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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E.)CALCULO 2 (CE 14)

Practica Calificada N°1Ciclo 2012-1 MODA

Secciones : A43A, E41A, I41A, M41A.Profesores : Elías Soto, José Cuevas, Julio Sánchez, Felix Villanueva.Duración : 110 minutos

1. Responda lo siguiente, justificando adecuadamente su respuesta: ( 1 punto c/u)

a) La ecuación 2xy = representa lo mismo en el plano y en el espacio.

b) La ecuación 9yx 22 =+ tiene solo una parametrización.

c) La gráfica de la superficie 1222 −=−+− zyx , es

Solución:

a) Falso, La ecuación 2xy = en el plano representa a una parábola y en elespacio a un cilindro

b) Falso, la ecuación 9yx 22 =+ puede tener más de una representación

x=3 cost , y= 3sent

c) Falso, la gráfica de la ecuación 1222 −=−+− zyx , la cual se puede escribircomo: 1222 =+− zyx , es un hiperboloide de una hoja.

INDICACIONES:• Sólo serán calificadas las preguntas desarrolladas en los recuadros respectivos, donde debe aparecer el

procedimiento y la respuesta. Las caras izquierdas se utilizarán como borrador.• El orden y la claridad de los desarrollos serán considerados en la calificación.• No se permite el intercambio ni préstamo durante la práctica.• No se permite el uso de libros ni apuntes de clase.

A

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2. Pregunta de la tarea virtual Dada la superficie S: 16164 222 =+− zyx .

a) Describa las trazas de S con respecto a cada uno de los planos coordenados.( 1,5 puntos)

b) Describa las secciones planas paralelas a los planos coordenados. ( 1,5 puntos)

c) Bosqueje e identifique la superficie S. ( 1,5 puntos)

Solución:

La ecuación de la superficie es: 1164

22

2

=+−zyx

a) Traza de S respecto al plano xy: z=0 , 14

22

=− yxHipérbola.

Traza de S respecto al plano xz: y=0 , 1164

22

=+zx

Elipse.

Traza de S respecto al plano yz: z=0 , 1164

22

2

=+−zyx

Hipérbola.

b) Secciones planas paralelas al plano xy: z=k,

161

4

22

2 kyx−=− o 1

k4 1

2

1

2

=−y

kx

Familia de Hipérbola.

Secciones planas paralelas al plano xz: y=k,

222

1164

kzx+=+ o 1

16k4 1

2

1

2

=+z

kx

Familia de Elipses.

Secciones planas paralelas al plano yz: x=k,

41

4

222 kzy −=+− o 1

16k 1

2

1

2

=+−k

zyFamilia de Hipérbola.

c) La superficie es un hiperboloide de una hoja

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3. Suponga que E es un sólido del primer octante limitado por las superficies4: 22

1 =+ yxS , 2:2 =zS . Represente gráficamente el sólido E. ( 1,5 puntos)

Solución:

4. Halle el dominio de la función vectorial→r dada por

−

−−=

→

)1ln(;2

1;4)( tt

ttr

( 2 puntos) Solución:

f(t)= t−4 , Dom f = ]4;−∞<

g(t) =2

1−t

, Dom g = { }2−ℜ

h(t)= 1ln( −t , Dom h= >+∞< ;1

Luego: Dom→r = Dom f ∩ Dom g ∩ Dom h= ] { }24;1 −<

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5. Sea la función vectorial→

r dada por:

−++=

→

tt

ttttr

21)1(;sen;)12ln()(

2

y→

r (0) = (0; 1; 2),

a) Halle )(lim0

trt

→

→. ¿Es la función

→r continua en t = 0? ( 3 puntos)

b) Halle )(' tr→

. ( 2 puntos)

Solución:

a.

−++=

→→→

→

→ tt

ttttr

tttt 21)1(lim;senlim;)12ln(lim)(lim

2

0000

La 2da y 2ra componente son F.I. 0/0, aplicando l’Hospital

+

=→→ 2

)1(2lim;1

coslim;)1ln(00

tttt

( )1;1;0)(lim0

=→

→tr

t

Como )0()(lim0

→→

→≠ rtr

t, entonces

→r no es continua en t = 0

b. ( )

−+

+=

→

'2

1)1(;'sen;')12ln()('2

tt

ttttr

( ) ( )

−+−+−+

=→

2

2

2 41)1(22)1(2;sencos;

122)('

tttt

tttt

ttr

−

+=

→

21;sencos;

122)(' 2t

tttt

tr

6. Sea la función vectorial→r dada por: ( ) etttttr ≤≤−−=

→

1;;ln;2)( 2

a) Determine la longitud de la curva descrita por→r en el intervalo de t dado. (2 puntos)

b) Calcule dttr∫→

)( . (2 puntos)

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Solución:

a. La longitud de la curva será:

L= ( )( ) ( )( ) ( )( ) dtttt

e

∫ +−+−

1

2222 ''ln'2

dttt

e

∫ ++=

1

22 414

dtt

t

e

∫

+=

1

212

dtt

t

e

∫

+=

1

12

( ) 39,71

ln 22 ≈=+= ee

tt

b.

−−= ∫∫∫∫

→

dttdtttdtdttr 2;ln;2)(

+++−+−= 3

321

2

31;ln; ctctttct

Monterrico,10 de mayo de 2012