7/24/2019 Parcial de Alg 13

1/4

1

FACULTAD DE INGENIER A UBA LGEBRA II Segundo cuatr imestre 2009

PRIMER EXAMEN PARCIAL 31 de octubre de 2009 (Primera oportunidad)

TEMA 1RESOLUCIN

Aclaracin: El a lumno debe tener presente que siempre ha y m s de una forma correcta deresolver un ejercicio. La r esolucin a qu presentada es un a de las tan tas posibles.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EJERCICIO 1: Sea { } 321 ,, vvvB = una base de un espacio vectorial real V , sea S el subespaciode V generado por { } 321 ,vvv + y sea VVT : una transformacin lineal que verificasimultneamente las siguientes tres condiciones:

(a) TTT =o , (b) { } 212)( vv genTNu -= y (c) )(TIMS

Calcular BBT ,][ . Existe una nica transformacin lineal que verifique estas tres condiciones?.

RESOLUCIN 1: De la condicin (a) se deduce que para todo v en IM (T ) : vvT = )( . De (c)se deduce entonces que 2121 )( vvvvT +=+ y 33)( vvT = . Teniendo en cuenta (b) tenemosentonces las tres igualdades que necesariamente debe verificar T :

(1) 0)2( 21 =- vvT

(2) 2121 )( vvvvT +=+ (3) 33)( vvT =

Dado que { } 32121 ,,2 vvvvv +- es base de V , podemos afirmar entonces que existe una nicatransformacin lineal VVT : que verifica las condiciones (a), (b) y (c). Calculemos BBT ,][ :

231

131

2131

2131

212131

1 )()2()2()( vvvvTvvTvvvvTvT +=++-=++-=

232

132

2131

2132

212131

2 )2()()222()( vvvvTvvTvvvvTvT +=--+=+-+=

33)( vvT =

Por lo tanto,

=

10000

][ 323132

31

,BBT . Puede comprobarse fcilmente que efectivamente la matriz

=

10000

32

31

32

31

M verifica: = 2 ,

=

-

000

012

M ,

=

011

011

M y

=

100

100

M

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7/24/2019 Parcial de Alg 13

2/4

2

EJERCICIO 2: Determinar, si existen, todos los nmeros reales para los cuales la frmula

yMMx yx TT = ),( define un producto interno en3 , siendo

-

--=

111310

11 l M .

RESOLUCIN 2 : Una forma: >

7/24/2019 Parcial de Alg 13

3/4

3

Puesto que SMColPIM ==

)()(

010

y ^=

- SMNul )(1

11

l , estos vectores deben ser

ortogonales, de donde resulta que necesariamente es -1 = 0, es decir: el nico valor posible

para este parmetro es = 1. Por lo tanto, [ ]T genMNulS 101)( ==^ y entonces [ ] [ ]{ } TT genS 101,010 -= .

Finalmente, puesto que [ ] [ ] [ ]{ } TTTB 101,101,010 -= es una base ortogonalde 3 , para todo vector [ ] 3321 = Txxxx tenemos

-

-=

+-

-=

-+-+

==

3

2

1

21

21

21

21

321

121

2

321

121

312

0010

0

101

2010

)( x

x

x

xx

x

xxxx

xxPMx

Es decir:

-

-=

21

21

21

21

0010

0 M .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EJERCICIO 4: Dada 34 A , sea P la matriz de la proyeccin en 4 sobre Col (A) respectode la base cannica (y el producto interno cannico). Sabiendo que

=

012010020100

PAT ,

resolver [ ] TAx 1010 = por cuadrados mnimos.

RESOLUCIN 4 : Puesto que )()( AcolAPcol ii = para cada columna )(Acol i , se tiene PA = A y por lo tanto: TTT AA = . Por ser P simtrica resulta TT AA = y entonces

==

012010020100

PAA TT

Ya conocemos la matriz A y podemos resolver directamente:

7/24/2019 Parcial de Alg 13

4/4

4

=

501050101

AAT ,

-

-=-

41

41

51

41

45

1

000

0)( AAT , [ ] [ ] TTTA 2101010 = ,

y la nica solucin por cuadrados mnimos es

[ ] [ ] TTTT AAAx 2151211 1010)( -== -

(Existe una nica solucin pues la matriz 34 A tiene rango 3).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EJERCICIO 5: Sea ( . , . ) el producto interno en 22 dado por )(),( YXtrYX T = . Calcule la

distancia de la matriz identidad al subespacio

= 1002

,1110

genS .

RESOLUCIN: Ortogonalizando la base

=

1110

1 V ,

=

1002

2 V de S obtenemos

11 VW =

-

-=

-

-=

+

--=+-=

2116

312

1002

1110

31),(

32

32

31

212

1

122 VW

W

WVW

Entonces, la proyeccin de la matriz identidad I sobre S es:

-

-+

=

-

-+

=+=

32

31

31

32

31

31

31438

222

212

1

1 274

1110

312

1110

31),(),()( W

W

WIW

W

WIIPS =

= =

+--

218

31

214

31

214

31

78

=

=

+--

75

71

71

78

2115

213

213

78

218

217

214

217

214

217

78

Por lo tanto:

37796447.07

177

2111

71)())(,(),(

72

71

71

71

==

=

=-== IIPIPIdSId SS

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------