parcial 3-ejemplo. geometria vectorial. udea@-2013-2
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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
UDE@
Servicios a la Facultad de Ingeniera
Instituto de Matemticas
Parcial 3 de Geometra Vectorial
Octubre 09 de 2013
NOTA:
Nombre: Documento:
Profesor: Juan Carlos Arango Parra Grupo:
1. (20 %) Argumentacin. Para las proposiciones siguientes, indique si son Verdaderas o Falsas.Justifique las proposiciones falsas.
a) ( ) Si a y b tienen sentidos opuestos entonces a y
b tienen igual sentido.
b) ( ) Si los vectores libres a yb tienen la misma direccin y magnitud, pero no son
iguales entonces a = b .
c) ( ) Si el ngulo entre los vectores libres a yb es pi
6entonces el ngulo entre los
vectores 2a yb es 5
6pi.
d) ( ) Toda recta en el espacio tiene ecuacin vectorial, paramtica y simtrica.
e) ( ) Si c = 25
b a entonces el conjunto
{a ,
b ,c
}es L.I.
f ) ( ) Si a = b entonces a =
b .
g) ( ) Si la magnitud del vector posicin esA
= 17 y A (x, 8, 9) entonces x = 12.h) ( ) Todo vector en E3 se puede escribir como una combinacin lineal de los elementos
del conjunto{i ,j ,k}
.
i) ( ) Si el conjunto{a ,
b}
es L.I. entonces los vectores a yb estn sobre la misma
recta.
j ) ( ) El conjunto {(x, y, z) R : (x, y, z) = (2+ 5,3 + 8, 4 + )} es un planoque no pasa por el origen.
2. a) La recta L est determinada por los puntos A(2,1, 3) y B(0,4, 1). Hallar las ecuaciones:vectorial, paramtrica y simtrica de la recta L.
b) Un plano pi esta determinado por el punto P (2, 3, 1) y los vectores a = (2, 3, 1) yb =
(1, 4, 3). Halle las ecuaciones: vectorial, paramtrica y cartesiana del plano pi.
c) Para cada uno de los lugares geomtricos hallados con anterioridad, recta L y plano pi,hallar dos puntos diferentes a los dados en el planteamiento.
d) Halle la interseccin entre los lugares geomtricos L y pi.
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3. Considere los vectores posicinA = (3, 1, 0),
B = (2, 2, 3) y
C = (2,6,12).
a) Expresar el vectorA en trminos de los vectores unitarios
i ,j y
k . Encuentre la
magnitud de este vectorA .
b) Para el vectorB encontrar un vector D con sentido contrario y que su mangnitud sea 8
unidades.
c) Encuentre los escalares y para los cuales se presenta la igualdadC =
A +
B .
De acuerdo a esta expresin que se puede decir del conjunto{A,B ,C}
en cuanto a la
dependencia o independencia lineal.
4. Considere el siguiente paralelogramo ABCD donde P es el punto de interseccin de las diago-
nales. Si u =AP y w =
PF entonces son L.I. y por ende forman una base.
A B
CD
P
F
E
Expresar los vectoresAB,
PE y
ED en trminos de esta base.
5. En la pirmide triangular de base ABC y vrtice Q, los segmentos AB, BC y AC, tienen porpuntos medios M , N y L respectivamente. Demuestre vectorialmente que
QM +
QN +
QL =
QA+
QB +
QC
A B
C
Q