oscilaciones de torsión en máquinas de campo giratorio

5/9/2018 Oscilaciones de torsi n en m quinas de campo giratorio - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

1 Oscilaciones de torsión en máquinas de campo giratorio

1.1 Introducción

Las máquinas eléctricas invariablemente están conectadas a través de sus terminaleseléctricos y mecánicos a dispositivos o máquinas y forman con éstos un sistema, descritopor un conjunto de ecuaciones diferenciales nolineales acopladas. Se podrá entenderentonces que, en condiciones dinámicas, en estricto rigor, no es admisible hablar de lacaracterística torque-velocidad propia de la máquina eléctrica, ya que ésta también estádeterminada por los otros componentes del sistema.

Este aspecto generalmente no es considerado en la literatura tradicional sobre pequeñas

oscilaciones de máquinas eléctricas ("hunting"), donde se plantea las ecuaciones deequilibrio eléctricas suponiendo velocidad angular relativa constante y sólo se asumeposteriormente una variación periódica con el tiempo de esta velocidad. Esta práctica, sibien admisible en algunos casos, pero no en otros, es la raíz de las dificultades paraexplicar oscilaciones de torsión anómalas que suelen manifestarse en accionamientos conmáquinas eléctricas de campo giratorio.

Sobre el rotor de la máquina eléctrica pueden actuar torques oscilatorios periódicos deorigen mecánico: bombas recíprocas, motores Diesel u oscilaciones naturales en el casode elementos de transmisión elásticos, o de origen electromagnético: resonanciasubsincrónica, fluctuaciones periódicas en la red. El movimiento oscilatoriocorrespondiente, superpuesto al giro estacionario, "modula" las corrientes estacionariasdel estator y del rotor, que puede pensarse descompuestas en tres componentes de otrastantas frecuencias: la "portadora" y las "bandas laterales", que dan lugar a camposgiratorios de velocidades diferentes.

La interacción de los campos giratorios correspondientes a las "bandas laterales" con loscampos giratorios fundamentales origina torques oscilatorios con la frecuencia de laoscilación del rotor.

En general el torque oscilatorio electromagnético estará desfasado en relación con la

velocidad de oscilación, que a su vez está adelantada (derivada) en 90° respecto aldesplazamiento oscilatorio.

El torque electromagnético oscilatorio puede descomponerse en dos componentes,respectivamente proporcionales a la velocidad y al desplazamiento oscilatorios, donde lasconstantes de proporcionalidad se interpretan, en analogía con la situación mecánicaequivalente, como amortiguación y rigidez electromagnéticas.



Oscilaciones torsionales en máquinas de campo giratorio 1-2

Cuando la velocidad de oscilación y la correspondiente componente del torque están enfase, se produce una transferencia de energía a la oscilación, aumentando ésta suamplitud, y se habla de una amortiguación electromagnética negativa.

Los conceptos amortiguación y rigidez electromagnéticas permiten integrar la máquinaeléctrica adecuadamente al sistema haciendo más transparente su comportamientooscilatorio.

En los párrafos siguientes se tratará analíticamente las ideas aquí expuestas.

1.2 Ecuaciones de equilibrio

Como la situación arriba descrita afecta tanto a máquinas sincrónicas como asincrónicas,se basará el análisis en un modelo isotrópico con devanado simétrico en el rotor, con lo

que se evita complicaciones analíticas innecesarias. En lugar de una máquina sincrónicacon jaula de amortiguación se analizará una máquina asincrónica sincronizada, queconserva todos los atributos esenciales de aquella.

Para esta máquina, en términos de las componentes simétricas de los valoresinstantáneos, rigen las siguientes ecuaciones de equilibrio en sistemas de referencia fijosrespecto a los respectivos devanados

)e i ( dt

d L+

dt i d

L+ i R = v j

2 12 1

1111

γ (1)

)e i ( dt

d L+ dt

i d

L+ i R = v j -

121

2

2 2 2 2

γ

(2)

Las funciones de excitación v 1 y v2 dependerán de la situación que desee analizarse.

Así para una máquina asincrónica conectada a una red infinita se tiene que:

e 2

V = v

t j 1

11ω (3)

0,=v2 (4)

mientras que para una máquina sincrónica el rotor trifásico se conecta de manera que

f b a V v v =−0=− c b v v

lo que determina:

3

V = )av + v a + v (

3

1= v

f c b

2 a 2 (4a)




Por otra parte, para un generador sincrónico conectado a una carga óhmico-inductiva rige:

dt

i d L+ i R - = v

1c 1c 1 (3a)

La ecuación de equilibrio mecánica implica:

, T - i Im 6p - = t d

d

p

J c

*

112

2

ψ γ

(5)

donde la función específica para Tc depende de la situación considerada.

Las ecuaciones (1), (2) y (5) constituyen un sistema de ecuaciones nolineales acopladas,cuya integración sólo es posible con algoritmos numéricos.

1.3 Linealización de las ecuaciones de movimiento

Para el caso de las pequeñas oscilaciones, objetivo de este capítulo, las ecuaciones demovimiento pueden ser linealizadas a través del uso de variables incrementales.

Supóngase una máquina sincrónica, conectada a una red infinita, cuyo rotor oscilearmónicamente alrededor de la velocidad sincrónica Ω1

01 γ −ΩΨ+ω=γ t sen t m (6)

t j e v v 1

21

1ω= (7)

32

f V v = (8)

Resulta conveniente introducir un sistema de coordenadas sincrónico común para elestator y rotor, lo que implica las transformaciones:

e i = i t -j

1s 1,1ω (9)

e e i = i )- t -j(

2 s 2,1 γ ω (10)

tomando las ecuaciones (1) y (2) las formas

s ,s , )t ( j f i )

dt

d js ( Li )

dt

d js ( LR e

V 11212122

1

3+ω+

+ω+=γ −ω− (12)

i )dt

d + (j L+ i )

dt

d + (j L+ R =

2

V s 2,112 s 1,111

1 ω

ω (11)




con 11 ω

γ

−ω= / dt

d s (13)

Considérese ahora la introducción de variables incrementales definiendo:

i + i = i ∆0 (14)v + v = v ∆0 (15)

s + s = s ∆0 (16)

En el sistema de referencia sincrónico io y vo son constantes y con el rotor girando avelocidad sincrónica el deslizamiento medio es nulo (so = 0).

Al introducir (14) - (16) en (11) y (12), estas se separan en dos sistemas lineales: el de losvalores medios estacionarios

i L j +

i )

L j +

R ( =

2

V

so 2,12 1

so 1,111

1

ωω(17)

o s , j f i R e

V 22

0

3=γ − (18)

y el de las variables incrementales superpuestas. Para este último se obtiene, aldespreciar los términos de segundo orden:

s ,s , i dt

d j Li )

dt

d j ( LR 211211110 ∆

+ω+∆

+ω+= (19)

i dt

d L+ i

dt

d L+ R = t sen e

3

V j s 1,21s 2,2 2 m

j - f o ∆∆

ΩΨγ

[ ]so ,so , i Li L j 221211 +ω∆+ (20)

Los primeros miembros de (18) y (20) resultan del desarrollo del primer miembro de (12)considerando (6)

01 γ −ΩΨγ −ω− = j )t sen ( j )t ( j e e e m

01 γ −ΩΨ+= j

m e )t sen j ( (21)

ya que, por lo pequeño de Ψm, el desarrollo en serie de potencias de la funciónexponencial se puede truncar después del segundo término.

De (16), (13) y (6) se desprende que:

t cos - = s 1

m Ωω

ΩΨ∆ , (22)




lo que - al reemplazar en (20) - permite apreciar que la función de excitación de lascorrientes incrementales es armónica con frecuencia angular Ω.

Como se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, las corrientesincrementales también serán armónicas (solución particular) y satisfarán a las solucionesque reemplazadas en (19) y (20) permiten obtener cuatro ecuaciones algebraicas, alagrupar separadamente los términos de igual frecuencia:

i L ) j( + i )L ) j( + R ( = 0 12 11111 ++ Ω+ωΩ+ω 2 (25)

i L )- j( + i )L )- j( + R ( = 0 - 2 12 1- 1111 ΩωΩω (26)

[ ] ++ Ω+Ω+=+ΩΨ121222221212

i L j i )L j R ( )i Li L( j o s ,o s ,

m (27)

[ ] −− Ω−Ω−=−+ΩΨ

12122222221212i L j i )L j R ( i R )i Li L( j o s ,o s ,o s ,

m (28)

A partir de estas cuatro ecuaciones se puede determinar las amplitudes de las corrientesincrementales.

1.4 Rigidez y amortiguación electromagnética

Para el torque electromagnético se había derivado anteriormente (FMS):

*

i Im p T 116 Ψ−= (29)

que con γ +=Ψ j e i Li L 212111 (30)

toma la forma γ −= j *

e i i Im Lp T 21126 (31)

y en términos de las variables en el sistema de referencia sincrónico queda:

s ,*

s , i i Im Lp T 21126−= , (32)expresión que, al reemplazar

T j t j so ,s , e i e i i i Ω−

−Ω−

+ ++= 1111 (33)t j t j

so ,s , e i e i i i Ω−−

Ω−+ ++= 2222 , (34)

se desglosa como sigue, si se desprecia los términos de segundo orden:

e i + e i = i t -j

- 1

t j

+ 1s 1,

ΩΩ∆ (23)

e i + e i = i t -j

- 2

t j

+ 2 s 2,

ΩΩ∆ (24)




o s ,o s , i i Im Lp T 21126−=

t cos )i i ( i )i i ( i * *

o s ,

*

o s , Ω++++ −+−+ 112221

t sen )i i ( i )i i ( i j * *

o s ,

*

o s , Ω−−−+ −+−+ 112221 (35)

Se aprecia que el torque tiene una componente estacionaria

o s ,

*

o s , i i Im Lp T 21120 6−= (36)

y dos componentes oscilatorias desfasadas en 90º

t sen )B j A( j t cos )B j A( Im Lp T c s o Ω++Ω+−= 2211126

)t sen At cos B ( Lp T c s o Ω+Ω−= 21126 (37)

t sen ALp

t cos B

Lp T m

m

m

m

c s o ΩΨΨ

−ΩΨΩΨΩ

−= 212112

66 (38)

donde )i i ( i )i i ( i Im B * *

o s ,

*

o s , −+−+ +++= 1122211 (39)

y )i i ( i )i i ( i Re A* *

o s ,

*

o s , −+−+ −−−= 1122212 . (40)

De acuerdo con (6) el desplazamiento angular es

ψ = Ψm sen Ω t (41)

por lo que la velocidad de oscilación es

ψ & =d

dt

ψ = Ω Ψm cos Ω t (42)

lo que permite reescribir (38), en analogía con la mecánica, como

Tosc = - de ψ & - ce ψ (43)

y definir la amortiguación electromagnética

de =m

B Lp

ΨΩ1126

(44)

y la rigidez electromagnética




ce =m

ALp

Ψ2126

, (45)

que a través de B1 y A2 dependen de las corrientes oscilatorias y deben ser

determinadas para cada condición de funcionamiento.

Específicamente, para el caso de la máquina sincrónica conectada a una red infinita, quesirvió de base para este desarrollo, el punto de trabajo estacionario está dado por (17) y(18), relaciones que se reducen a:

V1 = (R1 + j ω1 L1 ) I1 + Vp e jδ (46)

con Vp =2

121

3

2

R

V L f ω(47)

tensión inducida por el campo del rotor y

02γ −π=δ (48)

ángulo de carga.

La potencia que caracteriza este punto de trabajo se calcula como:

P = 3 ReV1I*1 = 3 Re

−

ρ−π

−

δ−

)( j

j

p

Ze

e V V V

2

12

1 (49)

con R1+ jω1 L1 = Ze j (π /2 -ρ) , (50)

obteniéndose P =Z V 213 sen ρ -

Z V V p 13 sen (δ + ρ) (51)

Para analizar el comportamiento oscilatorio de la máquina resulta conveniente determinarc e y d e como funciones de P, que determina los valores medios estacionarios a travésdel ángulo de carga y las relaciones (48), (17) y (18), e investigar la influencia de losparámetros y de excitación.

Por lo complejo de las relaciones analíticas para c e y d e , es conveniente recurrir a lasolución numérica de las ecuaciones, con ayuda del computador.

Con el objeto de reducir el número de parámetros y lograr así una simulación mástransparente se reescriben las ecuaciones (25) y (28) en términos de los parámetrosadimensionales.

11

1

L

R

ω=α (52)

21

2

L

R

ω=β (53)




21

21121LL

LL−=σ (54)

1ωΩ

=z , (55)

obteniendo:0 = (α + j (1 + z)) i1+ + j (1 + z) i2+’ (56)

0 = (α + j (1 - z)) i1- + j (1 - z) i2-’ (57)

[ ] ) jz ( ' i )( i jz )z j ( ' i )( i jz so ,so ,m +β+σ−=+β+σ−

Ψ++ 2121 11

2(58)

[ ] ) jz ( ' i )( i jz )z j ( ' i )( i jz so ,

so ,m −β+σ−−=+β−σ−

Ψ−

−2

12

1 112

(59)

con1

1222

L

Li ' i = . (60)

Los valores estacionarios i1, so y i2, s0 se obtienen de (17) y (18), que con (47) se reducena:

1 = ( α + j) i 1, so + j i ‘ 2,s0 (17a)

so ,

j p ' i j e

V

V 2

1

=δ (18a)

En las ecuaciones (56)-(59), (17a) y (18a) las corrientes están expresadas en por unidadde la corriente de vacío:

11

110

22 L

V I

ω= . (61)

En términos de las corrientes adimensionales, la amortiguación y la rigidezelectromagnética toman las expresiones:

1

1

3

1

213

B

Lz

V p d

m

e

Ψω

= (62)

y 21

21

213

AL

V p c

m

e Ψω= . (63)

La figura 1 ilustra esquemáticamente el accionamiento descrito y la figura 2 muestra elesquema oscilotécnico equivalente.




Se puede apreciar que, en principio, habrá dos modos de oscilación con sus respectivasfrecuencias naturales.

Para la oscilación en fase, de origen electromagnético, vale aproximadamente:

c m

e

e J J

c

+≈Ω , (64)

mientras que para la oscilación en contrafase, de origen mecánico, vale aproximadamente(al despreciar en primera aproximación el efecto de la amortiguación)

r

m

e J

c

≈Ω(65)

conc m

c m r

J J

J J J

+= (66)

La evaluación numérica de (63) como función de la potencia (grado de carga), que semuestra en el gráfico de la figura 3 para un caso específico, permite apreciar que la

motorsincrónico

carga

red

reductor

Figura 1 Esquema de un motor sincrónico

acoplado elásticamente a una carga

base

JM

ce

de

cm

dm

ψ Μ ψ c

Figura2 Esquema oscilotécnico del accionamiento de la figura 1

Jc




rigidez electromagnética resulta positiva, por lo que se desarrollarán ambos modos deoscilación.

Por otra parte, la evaluación de (62), que muestra el gráfico de la figura 4, indica quepara frecuencias naturales mecánicas relativamente altas (15Hz), resistencia del rotorbaja (β bajo) y línea de alimentación débil (α elevado) la amortiguación electromagnéticapuede tomar valores negativos que se acentúan con el aumento del grado de carga.

Figura 3 Rigidez electromagnética

Figura 4 Amortiguación electromagnética




1.5 Aplicación a generadores Diesel en red propia

Los conceptos desarrollados en los párrafos precedentes se pueden adaptar fácilmentepara explicar el comportamiento inestable de generadores sincrónicos en red propia

impulsados por motores Diesel, observado ocasionalmente.Para eso basta reemplazar (3a) en (1), que ahora toma la forma

)e i ( dt

d L

dt

i d )LL( i )R R ( j

c c

γ ++++= 2121

1110 . (67)

DefiniendoL

R

)LL(

R R

c

c

111

1

ω=

+ω+

=α (68)

21

21121 1

LL

LL−=σ (69)

L

L )(

LL

LL 11

2

2112 111 σ−−=−=σ , (70)

las ecuaciones (56) a (59) mantienen su forma si se considera

L

Li ' i 12

22 =

Los valores para las componentes estacionarias de las corrientes se obtienen de (17a) y(18a), debidamente modificadas:

so ,o s , ' i j i ) j ( 210 ++α= (17b)

o s ,o s ,

j p ' i

)(

)( j ' i

L

L j e

V

V 2

12

11 11

σ−σ−

==δ (18b)

donde se ha mantenido como base la corriente magnetizante (61),

11

110

22 L

V I n

ω=

Con esto las expresiones (39) y (40) para B1 y A2 mantienen su forma.

Para introducir la potencia P y el factor de potencia cos ϕ en forma explícita en lugar deRc y Lc se modifica (68) y (70) como sigue:




111

1

11

1

Lsen I

V

R cos I

V

n

n

ω+ϕ

+ϕ=α

o

o

S

P sen cos

S

P cos

+ϕϕ

α+ϕ=α

12

(68a)

σ = 1 - (1 - σ1)

111

1

11

Lsen I

V

L

n ω+ϕ

ωσ = 1 - (1 - σ1)

1

1

+ϕϕ sen cos P

S o

(70a)

con P = 3V1n I1 cos ϕ , So = 3V1n I10 =11

213

L

V n

ω

21

21121

11

11 1

LL

LLy

L

R −=σ

ω=α

Con estas relaciones se determinó las características de las figuras 5 y 6, donde se puedeapreciar que en ciertas circunstancias - como una resistencia de la jaula de amortiguaciónrelativamente alta (β > β0) - la amortiguación electromagnética efectivamente puederesultar negativa, dando así lugar a una oscilación de torsión autoexcitada con frecuencianatural mecánica (65).

Figura 5 Rigidez electromagnética

Se aprecia que una oscilación con la frecuencia natural eléctrica (64) no puededesarrollarse debido a que la rigidez electromagnética resulta negativa.

beta=0.021




Figura 6 Amortiguación electromagnética

beta=0.021

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