Módulo de Polinomios Escrito por: Dra. Luz M. Rivera

Lección 1: Generalidades

Lección 2: Objetivo A   Multiplicar   Monomios

Lección 3: Objetivo A: Multiplicar Polinomios

Lección 4: Factorización mediante máximo factor común .  

Lección 1

Generalidades

    Expresiones algebraicas son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raices.

Algunos ejemplos  son:

                              3x2 + 5x - 3                        (3x - y) 3    

                              2 + x                                    a + b - 5                               4 + y    

                              _   1_                               x - 9    

    Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:

        5a + b                                        3x3 - 2x + 5

       2x - 5y                                        9x2 - 8

        x2                                              5x4 - 3x3 + x2 - x + 5  

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.

Objetivo A:   Sumar polinomios

Un término es una expresión  que está separada por los signos de suma o resta. Ejemplos de términos:   3x , -2x2, 4

Ejemplo:

3x2 - 4x

3x2 es un término.  -4x es otro término.  

Un constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente.

3x2 + 9x + 8  En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.

Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.  Algunos ejemplos de monomios son:

 3x 2,  2x,   -5,   37 p4,   0

 1  x      No es un monomio  porque la variable  aparece en el denominador.  

___Un polinomio es una expresión cuyos términos son monomios.

                        x2 + 2x - 8  

___Un monomio es un polinomio con un término.

                       5x3  Es un monomio

___Un binomio es un polinomio con dos términos.

                     5y2 - 3x  es un binomio.

___Un trinomio es un  polinomio con tres términos.

                     6xy -  2r2s + 4r   Es un trinomio.

Polinomios con más de tres términos no reciben nombres especiales..

___Los términos  de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor  y  de izquierda a derecha. Esto  se llama orden descendente.

 4x3 -  3x2 + 6x - 1  5y4  - 2y3 + y2 - 7y + 8     ___El grado de un polinomio  es una variable es el exponente mayor.

___El Polinomio de 4x3 -3x2 + 6x - 1 es de  grado 3

___ 5y4 - 2y3  + y2- 7y + 8 es un polinomio de  grado 4.  

Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.

Por ejemplo simplifica (2x2 + x - 1) + ( 3x3 + 4x2 - 5 ) usando el  formato vertical.

Primero los términos son arreglados. En orden descendente son términos  semejantes en la misma.  

              2x2 + x  - 1   +   3x 3 + 4x 2               - 5      3x3 + 6x2 + x -6

Simplifica (3x3 - 7x + 2) + ( 7x2  + 2x -7) usando el formato horizontal.

Pasos:

1) Usando las propiedades conmutativas       (3x3 - 7x + 2) + (7x2 + 2x -7)  y asociativas de la adición de reemplazar los términos semejantes.                               3x3 + 7x2 + (-7x + 2x) + (2 + -7)                                                                    (Este paso se hace mentalmente.) 2) Combinar términos semejantes. 3)  Escribir el polinomio en orden descendente.   3x3 + 7x2 - 5x -5   Ejemplo 1:

Escribe el siguiente polinomio en orden descendente. 3x2 - 5 + 4x3 - 2x

Solución: 4x3 + 3x2 -2x -5   Ejemplo 2:

Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x2 -1 + 5x3

Tu solución:

5x3 + 6x2 + x - 1   Ejemplo 3:

Identifica el grado del polinomio

8x3 - 2x2 -7

Solución: El exponente mayor de la variable x es 3. El grado de  8x3 - 2x2 - 7 es grado 3.   Ejemplo 4:

Identifica el grado del polinomio

9x4 - 3x2+ 11

Tu solución:

Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4.   Ejemplo 5:

Simplifica  (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2).  Usar el formato vertical.

Solución:

                        7 y2 + - 6y + 9                      +   -8 y 2                       + -2                        -y2   +   -6y + 7

                        -y2  -    6y + 7     Nota: Fíjate que hemos  reescrito  7y2 - 6y + 9 como  7y2 + -6y + 9 ( usando las reglas  de la resta - restar  un número es igual que sumar el opuesto del número)

Ejemplo 6:

Simplifica ( 2x2  + 4x -3 ) + ( 5x2 - 6x ).  Usar el formato vertical.

Tu solución:

                              2x2 +  4x  - 3                          +  5x 2 + -6x

                            7x2 + -2x +-3     Ejemplo 7:  

Simplifica ( -4x2   -  3xy    + 2y 2  )  + ( 3x2  - 4 y2 ).  Usar el formato  horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

Solución:  

( - 4x2 - 3xy + 2y2 ) + ( 3x2 - 4y2 )=

   -4x2 + 3x2 + -3xy + 2y2 + -4y2            [Cómputo mental]

   -x2 - 3xy - 2y2    

Ejemplo 8:

Simplifica  (-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

(-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy)

-3x3 +( 2y2 +- 8x2 )+ 9xy

-3x3 -6x2  + 9xy

La respuesta debe estar siempre en orden descendente.      

Objetivo B:   Restar polinomios  

Nuestro objetivo es simplificar   - ( x2 - 2x + 3)  

Para simplificar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del paréntesis.  

                        -(x2 - 2x +3) =  - x2 + 2x - 3  

Polinomios pueden ser restados usando el formato vertical  o el formato horizontal.  Recuerda que para restar  es lo mismo sumar el opuesto del polinomio. Simplifica  ( -3x2 - 7) - (-8x2 + 3x + -4). Usa el formato vertical.

1. Arreglar los términos de cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna. 2. Reescribes la resta como la suma del opuesto. 3. Combinar los términos en cada columna.    

                -3x2        +  7            - (-8x2 + 3x + -4) = 

           -3x2        +   7        +     8x 2 + 3x + -4) =   5x2  - 3x    - 3

(Restar un número es igual que sumar el opuesto del número.) (-3x2 - 7) - ( -8x2 + 3x + -4) (-3x2 + -7) + - (8x2 + 3x + -4) (-3x2 + -7) + ( -8x2 + -3x + 4)

Simplifica (5x2 - 3x + 4) - ( -3x3 - 2x + 8). Usar el formato horizontal.

1. Reescribes la resta como la suma del opuesto.         (5x2 - 3x + 4) - (-3x3 - 2x + 8)

2. Combinas los términos semejantes.                            (5x2 + -3x + 4) + - (-3x3 + -2x + 8)

3. Escribes el polinomio en orden descendente.            (5x2 + -3x + 4) + (3x3 + 2x + -8)

                                                                                               3x3 + 5x2 + -3x + 2x + 4 + -8                                                                                                 3x3 + 5x2 - x - 4  

Ejemplo:

Simplifica (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.  

Solución:       

6y2 - 3y - 1      =           6y2 + -3y + -1                    -(7y2 - y)         _               + -7y2 + y_____                                                               -y2 - 2y - 1  

Ejemplo:

Simplifica  (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.

Solución:   

( 6y2 + - 3y + -1)+ - (7y2 + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y                      6y2 + -7y2 + -3y + y + -1                      -y2 + -2y + -1                     -y2- 2y - 1  

Ejemplo:

Simplifica  (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2) . Usar el formato horizontal.  

Solución:

            (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2)             (4x3 + -3x + -7) +-(7x2 + -4x + -2)             (4x3 + -3x + -7) + (-7x2+ 4x + 2)             4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 +2             4x3 + -7x2 + x + -5             4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2             4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2             4x3 + -7x2 + x + -5             4x3 - 7x2 + x - 5       Ejemplo:

    Simplifica ( -3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6). Usar el formato horizontal.

Tu solución:

        (-3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6)         (-3a2 - 4a + 2) + -(5a3 + 2a - 6)         (-3a2 - 4a + 2) + ( -5a3 - 2a + 6)         -5a3 + -3a2 + -4a + -2a + 2 + 6

        -5a3 - 3a2 - 6a + 8

Lección 2

Objetivo A   Multiplicar   Monomios

    Recordemos que en la expresión exponencial x5, x se llama la base y 5 es el exponente.  Los exponentes indican el número de veces que la base se está  multiplicando por sí mismo.     El producto de expresiones exponenciales con la misma base se puede simplificar escribiendo cada expresión en forma factorizada y escribiendo el resultado con un exponente.

x3 · x2 = ( x · x  · x)   · ( x · x)  = x · x · x ·  x · x  = x5

   

Fíjate que si sumas los exponentes te da el mismo producto

 x3 · x2 = x 3+2  = x5

Regla para la Multiplicación de expresiones exponenciales

Si m y n son enteros, entonces xm · xn  =  x m + n  

Simplifica a2 · a6 ·  a    

Las bases son iguales. Suma los exponentes.

a2 · a6 · a = a 2 + 6 + 1 (Cómputo Mental)                  = a9

Simplifica:  (2xy) (3x2y)    

Usar las Propiedades Comutativas y Asociativas de la Multiplicaciónpara reagrupar los factores.

(2xy)(3x2y) = ( 2 · 3) ( x · x2) ( y ·y)                         = 6x 1 + 2  y 1 + 1                             (Cómputo Mental) 

                                     =6y3y2

 

Ejemplo 1:

Simplifica  ( -4y) (5y3)

Solución:  (-4y) (5y3) = ( -4 · 5)  · ( y · y3)  =    -20 y4    

Ejemplo 2:

Simplifica  (3x2) (6x3)

Tu Solución:   ( Pausa 10 segundos)

(3x2) (6x3) = ( 3 · 6 ) ( x2 · x3) = 18x5  

Ejemplo 3:

Simplifica:  ( 2x2y) (-5xy4)

Solución: ( 2x2y) ( -5xy4) = ( 2 · -5) ( x2 · x) ( y · y4) = -10x3y5  

Ejemplo 4:

Simplifica:  (-3xy2) ( -4x2y3)

Tu Solución: ( Pausa 10 segundos)

(-3xy2) (-4x2y3) = ( -3 · -4) ( x · x2) ( y2 · y3) = 12x3y5    

Objetivo B.  Simplificar potencias de monomios    Una  potencia de  un monomio puede ser simplificado reescribiendo  la expresión en forma factorizada y luego aplicando la Regla para la Multiplicación de expresiones exponenciales.

a. (x2)3 =  x2 · x2 · x2          = x6

  b. (x4y3)2 = (x4y3) (x4y3)                   = x4 · y3 · x4 · y3

                 = (x4 · x4) ( y3 · y3)              = x8y6

Fíjate que multiplicando cada exponente que está dentro del  paréntesis por el exponente que está afuera  te da el mismo resultado.

a.  (x2)3 = x 2 · 3 = x6 b. (x4y3)2 = x 4 · 2  y 3· 2                  = x8y6 

 

Regla para Simplificar Potencias de Expresiones Exponenciales

Si m y n son enteros, entonces (xm)n = x mn

Regla para Simplifiación de Potencias de Productos

Si m, n y p son enteros, entonces (xmyn)p = x mp · y np  

Simplifica  (x5)2

 Multiplica los exponentes

(x5)2 = x 5 · 2   (Cómputo mental)          =  x10

Simplifica  ( 3a2b)3    

Multiplica cada exponente de adentro del paréntesis con el exponente de afuera.

(3a2b)3  =  33 · a 2·3  ·b 1·3               =  3 3 a6 b3               = 27a6b3

Ejemplo: Simplifica ( 2xy3)4.

Solución:  (2xy3)4 = 2 4 x 4  y 12 = 16x 4  y12  

Ejemplo: Simplifica:   (3x)(2x2y)3

Tu solución:

             (3x)(2x2y)3 =  (3x)(23 x6 y3)                                 = (3 · 8) (x · x6) ( y3)                                 = 24x7y3  

Ejemplo: Simplifica:  (-2x)(-3xy2)3

Solución:  (-2x)(-3xy2)3  =   (-2x) (-3)3 x3y6                                         =  (-2x)(-27) x3y6                                         =  (-2)(-27)(x · x3) (y6)                                         =  54x4y6    

Ejemplo:  Simplifica  (3x2)2 ( -2xy2)3   =  (3 2x4) (-2 3 x3y6)                                                                = (32 · -23) (x4 ·x3)(y6)                                                                = (9 · -8)(x5y6)                                                                =  -72x5y6

Lección 3

Objetivo A: Multiplicar Polinomios

        Para multiplicar un polinomio por un monomio se utiliza la Propiedad Distributiva y la Regla para la Multiplicación de Expresiones Exponenciales.  

Simplifica:    -2x( x2 - 4x - 3)  

Usar la propiedad distributiva. Usar Regla para la Multiplicación de Expresiones Exponenciales.

 -2x ( x2 - 4x - 3) -2x(x2) + (2x) (4x) + (2x) (3)  Cómputo Mental -2x3 + 8x2 + 6x

   

La multiplicación de los polinomios requiere la aplicación repetida de la propiedad distributiva.

(y - 2) ( y2 + 3y + 1) (y + -2)(y2) + ( y + -2)(3y) + (y + -2)(1) y3 + -2y2 + 3y2 + -6y + y + -2 =  y3 + y2 - 5y - 2

 

Un método conveniente para multiplicar dos polinomios es usando el formato vertical que es similar a la Multiplicación de números enteros.  

Pasos:  

Multiplica cada término en el trinomio por -2. Multiplica cada término en el trinomio por y.

         y2      +   3y    + 1  x                                        y       + -2       -2y2 + -6y + -2   y 3+3y2 +         y   y3 + y2 + -5y + -2  =   y3 + y2 - 5y - 2

 

Simplifica (a2 - 3) ( a + 5)

Pasos:  

Multiplica cada término de a2-3  por 5. Multiplica cada término de a2 - 3 por a. Arregla los términos en orden descendente. Sumar los términos de cada columna.

         a2 + -3   x        a + 5         5a2 + -15 a3                  -3a   a3 + 5a2 - 3a - 15

 

Ejemplo 1

Simplifica:  ( 5x + 4) (-2x)

Solución:

(5x + 4) (-2x) = -10x2 - 8x      

Ejemplo 2

Simplifica :   x3 ( 2x2 - 3x + 2)

Solución:

x3 ( 2x2 + -3x + 2) =  2x5 - 3x4 + 2x3    

Ejemplo 3:

Simplifica:   ( 2b3 - b + 1) ( b+3)

Solución:               2b3 + -b + 1                    x                                       2b + 3                          6b3      - 3b + 3                4b4             -2b 2 + 2b                 4b4 + 6b3 - 2b2 - b + 3  

Ejemplo 4:

Simplifica:  (x2 - 1)(x + 3)  

Solución:                 x2 + -1                         x             x   +   3                           3x2        + -3                     x 3                        - x

                 x3 + 3x2 - x  + -3    =   x3 + 3x2 - x - 3      

Objetivo B:  Multiplicación de dos binomios  

    Es frecuentemente necesario hallar el producto de dos binomios. El producto  puede ser encontrado  con el métdo PAIU, el cual está basado en la propiedad distributiva. Las letras representan lo siguiente:  P = primero, A = afuera,  I = interiores, U = últimos.  

Simplifica:  ( 2x + 3) ( x + 5)  

Multiplica los Primeros  términos    ( 2x + 3) ( x+ 5)    2x · x = 2x2 Multiplica los términos de Afuera    (2x + 3) (x + 5)     2x · 5 = 10x Multiplica los términos Interiores     (2x + 3) ( x + 5)    3 · = 3x Multiplica los Ultimos Términos      (2x + 3) ( x+ 5)     3 · 5 = 15  

Sumar combinando los términos semejantes.                                    P        A       I      U (2x + 3) ( x + 5)   =    2x2 + 10x + 3x + 15                              =    2x2 + 13x + 15    

Simplifica ( 4x - 3) (3x - 2)  

(4x - 3) (3x - 2) =  4x (3x) + 4x (-2) + (-3)(3x) + (-3) (-2)  ( Hacer este paso mentalmente)                           = 12x2 - 8x - 9x = 6                           = 12x2 - 17x + 6  

Simplifica:    ( 3x - 2y) ( x + 4y)

(3x - 2y) (x + 4y) = 3x(x) + 3x (4y) + (-2y)(x) + (-2y)(4y)   ( Hacer este paso mentalmente)                             = 3x2 + 12xy - 2xy - 8y2                             = 3x2 + 10xy - 8y2    

Ejemplo 1:

Simplifica:  ( y + 4) ( y - 7)

Solución:

(y + 4) ( y - 7) = y2 - 7y + 4y - 28                        = y2 - 3y - 28    

Ejemplo 2:

Simplifica:  (2a - 1) ( 3a - 2)

Solución:

(2a - 1) (3a - 2) = 6a2 - 4a - 3a + 2                            = 6a2 - 7a + 2    

Ejemplo 3:

Simplifica:  ( 2x - 3y) (3x + 4y)

Solución:

(2x - 3y) (3x + 4y) = 6x2 + 8xy - 9xy - 12y2                                = 6x2 - xy - 12y2   Objetivo C:  Multiplicar binomios que tienen productos especiales  

        Usando PAIU, podemos encontrar  el producto de una suma y diferencia de dos términos y para el cuadrado de un binomio ( el binomio multiplicado por él mismo)

La Suma y Diferencia de Dos Términos

(a + b) ( a - b)  = a2 - ab + ab - b2                           = a2     -     b2 El cuadrado del primer término     El cuadrado del segundo término  

El Cuadrado de un Binomio

Simplifica :  (2x + 3) (2x - 3)

(2x + 3) (2x - 3) es una diferencia de cubos.

                         Hacer este paso mentalmente (2x + 3) (2x - 3) = (2x)2  - 3(2x) + 3(2x) - 9                            =  4x2 -6x + 6x - 9

                           =  4x2 - 9  

Simplifica: (3x - 2) 2

(3x - 2)2 es el cuadrado de un binomio.

(3x - 2)2 = (3x)2 + 2(3x)(-2) + (-2)2   ( Hacer este paso mentalmente)

               = 9x2 - 12x + 4    

Ejemplo 1

Simplifica  (4z - 2w) (4z + 2w)

Solución:  (4z - 2w) (4z+ 2w) = 16z2 - 4w2  

Ejemplo 2

Simplifica:  ( 2a + 5c) (2a - 5c)

Solución:  (2a + 5c) (2a - 5c) = 4a2 - 25c  

Ejemplo 3:

Simplifica:  (2r - 3s)2 =

Solución: ( 2r - 3s)2 =  4r2 - 12rs + 9s2  

Ejemplo 4

Simplifica: ( 3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2

Lección 4

Factorización mediante máximo factor común.  

Objetivo:  Al finalizar el estudio independiente los estudiantes podrán factorizar polinomios mediante máximo factor común.

Introducción: En una expresión de multiplicación tenemos los siguientes componentes:

                                              a    x    b  =   ab                                           Factores          Producto

En muchas ocasiones es necesario escribir un producto ya obtenido en término de sus factores.  A este proceso lo conocemos como factorización.

Cuando estudiamos  las expresiones algebraicas en los capítulos 1 y 2  estudiamos la factorización mediante máximo factor común.

Ejemplo I:   Factoriza   4x2 - 12x + 6 = 2 (2x2 - 6x + 3)

 Sin embargo, en este caso solamente buscábamos  el máximo factor común entre los  coeficientes numéricos.  Ahora veremos algunos ejemplos donde la variable o variables también forman parte del máximo factor común.  En este caso la  variable deberá estar en todos  los términos  del polinomio.

Ejemplo 2:  Factoriza   4x3  -  12x2 + 6x

 En este caso  podemos observar que la variable x aparece en todos los términos y debe formar parte del máximo factor común.  Podemos decir que el máximo factor común de un conjunto de variables es el producto de las variables que se repiten al exponente menor.

 Volviendo al ejemplo anterior podemos decir que el máximo factor común entre los términos  del polinomio es 2x y la factorización se llevará a cabo de la siguiente manera:

          4x3  -  12x2 + 6x  =      2x (4x3  -  12x2 + 6x)                                                    2x        2x      2x

 Esto es: Buscamos el máximo factor común y dividimos cada término del polinomio por el máximo factor común.                                          =      2x (2x2 - 6x + 3)

 Recuerda en división: si las bases son iguales los exponentes se restan.

Veamos otros ejemplos:  

Ejemplo 3:  Factoriza    6x5 - 8x4 - 10x3  

El máximo factor común entre los coeficientes numéricos es 2. La variable x se repite en todos los términos y al exponente menor que aparece es 3. Por lo tanto el máximo factor común es:  

                             6x5 - 8x4 - 10x3  = 2x3( 6x5 - 8x4 - 10x3)                                                                    2x3   2x3     2x3

                                                        = 2x3 ( 3x2 - 4x - 5)    

El paso de división es opcional y lo podemos hacer mentalmente.  

Ejemplo 4:  Factoriza    3x2  -  9x .   El máximo factor común es 3x y dividiendo por este obtenemos:                                       3x2  -  9x =  3x  ( x - 3 )    

Ejemplo 5:  Factoriza    y3 + 6y2 =  y2 ( y + 6 )

En este caso no hay máximo factor común entre los coeficientes numéricos que sea distinto de 1 y solamente buscamos  máximo factor común entre las variables. La variable que se repite en todos los términos es y, el exponente menor a la que aparece es 2. Por lo tanto, el máximo factor común es y2.  

 Hemos visto varios ejemplos sobre factorización mediante máximo factor común.  Repasemos los pasos:

1. Halla el máximo factor común entre los términos del polinomio.  Recuerda con relación a las variables el mcf es la variable que se repite en todos los términos al exponente menor. 2. Para hallar el otro factor divide cada término por el máximo factor común.