1. DefinicinNotacinOrganizadores grficosPropiedadesReglasOperacionesAplicacionesEjerciciosELABORADO POR : Aaron Bravo V. 2. En la prctica para sumar dos o ms polinomios suelen colocarse unos debajo de losotros, de tal modo que los trminos semejantes queden en columna, para facilitar lareduccin de stos, separados unos de otros con sus respectivos signos.Dados que los polinomios , de la forma general: o de forma compacta mediante elSumatorio de los trminos del polinomio:Podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritmticas oalgebraicas, que partiendo de uno o ms de esos polinomios nos da unos valores uotro polinomio, segn la operacin de que se trate.As como la aritmtica surgi de la necesidad que tenan los pueblos primitivos demedir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del lgebra es muy posteriorpuesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara alconcepto abstracto de nmero que es el fundamento del lgebra. El gran desarrolloexperimentado por el lgebra se debi sobre todo a los matemticos rabes y, muy enparticular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sent las bases del lgebra tal como laconocemos hoy en da.El lgebra es la parte de las matemticas que tienen por objeto generalizar todas lascuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.El concepto algebraico de cantidad es mucho ms amplio que el aritmtico, puestoque mientras en aritmtica las cantidades se representan mediante nmeros queexpresan valores determinados, en lgebra las cantidades se representan medianteletras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. 3. 100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1 000104 = 10 000105 = 100 000106 = 1 000 000107 = 10 000 000108 = 100 000 000109 = 1 000 000 0001010 = 10 000 000 0001020 = 100 000 000 000 000 000 0001030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 4. SignoLos trminos que van precedidos del signo + se llaman trminos positivos, en tantolos trminos que van precedidos del signo se llaman trminos negativos. Pero, elsigno + se acostumbra omitir delante de los trminos positivos; as pues,cuando un trmino no va precedido de ningn signo se sobreentiende de que espositivo.CoeficienteSe llama coeficiente al nmero o letra que se le coloca delante de una cantidad paramultiplicarla. El coeficiente indica el nmero de veces que dicha cantidad debetomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de uncoeficiente numrico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.Parte literalLa parte literal est formada por las letras que haya en el trmino.GradoEl grado de un trmino con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. As,por ejemplo el trmino x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo gradocon respecto a y y de primer grado con respecto a x. 5. Los trminos que tienen las mismas variables con losmismos exponentes se llaman trminos semejantes comopor ejemplo: y son trminos semejantes. y son trminos semejantes. y no son trminos semejantes. y no son trminos semejantes. 6. REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTESSe llama reduccin de trminos semejantes a la operacin que consiste enreemplazar varios trminos semejantes por uno solo. En la reduccin detrminos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:a) Para reducir trminos semejantes que tengan igual signo se suman loscoeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos lostrminos y a continuacin se escribe la parte literal.Ejemplo:b) Para reducir trminos semejantes que tengan distintos signos se restan loscoeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuacin seescribe la parte literal.Ejemplo:Reducir las siguientes expresiones 7. c) Para reducir varios trminos semejantes que tengan distintos signos se reducentodos los trminos positivos a un solo trmino y todos lo trminos negativos a unsolo trmino y se restan los coeficientes de los trminos as obtenidosanteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuacin se escribe laparte literal.Ejemplo:Reducir 5a -8a +a -6a + 21aReduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27aReduciendo los negativos: -8a -6a = -14aAplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, setiene 27a -14a =13aTendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13aEjemplo:ReducirReduciendo los positivos:Reduciendo los negativos:Tendremos: 8. GRADO ABSOLUTOEl grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor, de unode sus trminos.El grado absoluto es cuatro.El grado absoluto es sexto.El grado absoluto es quinto. 9. POLINOMIO CEROEl mismo nmero 0 se conoce como polinomio cero y no se le asignagrado. Se hace notar que 0 x4=0, 0 x2=0, 0 x3=0, y as sucesivamente demodo que los polinomios cero no pueden tener grado. 10. Se dice que un polinomio est ordenado con respecto a una letra cuando losexponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde elprimero hasta el ltimo con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre deletra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.As, por ejemplo, el polinomio est ordenado en orden ascendente con respecto a laletra ordenatriz y y est ordenado en orden descendente con respecto a la letraordenatriz x.Ejemplo: Escribir en orden ascendente el polinomioSOLUCIN: Ordenamos los trminos de menor a mayor segn su grado, as:Ejemplo: Ordenar el polinomio x5 x7 +x4 x6 en orden descendente con respecto a laletra xSOLUCIN: Deberamos escribirlo as: x7 x6 +x5 +x4Ejemplo:Escribir en orden descendente el polinomiocon respecto a cada una de las variables. 11. JERARQUA DE LAS OPERACIONESSe efecta toda operacin que se encuentre entre parntesis o arribao debajo de una raya de fraccin.Se efectan todas las operaciones de multiplicacin o divisin en elorden que se presenten de izquierda a derecha.Se efectan las sumas y las restas en el orden de izquierda aderecha. 12. Ejemplo:Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1 2(2)2 (3) (1)3 = 2(4) (3) (1) = 24Ejemplo:Evaluar,cuando b=8 y x=2Ejemplo:Evaluar cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.Ejemplo:Resuelvepara x=3.Ejemplo:Resuelvepara x=2 y=3.Ejemplo:Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6 13. SUMALa suma de monomios y polinomios es asunto de combinar trminos semejantes.Ejemplo:Supongamos que se desea sumary ; es decir deseamosencontrar:Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:Ejemplo:De manera semejante, la suma dey , se escribecomo:Ejemplo:Para sumary ; primero escribimos ambos polinomiosen orden descendente, colocamos los trminos semejantes en una columna yluego sumamosEjemplo:Del mismo modoque en aritmtica, podemos sumar o restar ms de dospolinomios.Por ejemplo, para sumar los polinomios, y,escribimos cada polinomio en orden descendente con los trminos semejantes enla misma columna y sumamos: 14. RESTAPara restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-cPara eliminar los parntesis de una expresin precedida por un signo menos (deresta) debemos cambiar el signo de cada trmino dentro del parntesis. Esto es lomismo que multiplicar cada trmino dentro de los parntesis por -1.Ejemplo:Efectuar la operacinSOLUCIN:Ejemplo:ResolverSOLUCIN:Ejemplo:RestarySOLUCIN:Ejemplo:Restar ySOLUCIN: 15. En ocasiones es necesario eliminar parntesis antesde combinartrminossemejantes. Por ejemplo, para combinar trminos semejantes enTenemos que suprimir los parntesis primero. Si hay un signo ms (o ningnsigno) enfrente de los parntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,Ejemplo:La eliminacin de parntesis precedidos por un signo menos se har de la manerasiguiente:Ejemplo:En ocasiones los parntesis se presentan dentro de otros parntesis. Para evitarconfusin, utilizamos diferentes smbolos de agrupacin. De este modo, por logeneralno escribimos ,sino . Paracombinartrminossemejantes en tales expresiones, los smbolos de agrupacin ms internos seeliminan primero.Ejemplo:Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:La propiedad distributiva tambin puede extenderse a ms de dos nmerosdentro de losparntesis. Por tanto. AdemsOperaciones con polinomios 16. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de lostrminos del mismo gradoP(x) = 2x3 + 5x 3 Q(x) = 4x 3x2 + 2x31Ordenamos los polinomios, si no lo estn.Q(x) = 2x3 3x2 + 4xP(x) + Q(x) = (2x3 + 5x 3) + (2x3 3x2 + 4x)2Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 33Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 4x3 3x2 + 9x 3 17. La resta de polinomios consiste en sumar alminuendo el opuesto del sustraendo.P(x) Q(x) = (2x3 + 5x 3) (2x3 3x2 +4x)P(x) Q(x) = 2x3 + 5x 3 2x3 + 3x2 4xP(x) Q(x) = 2x3 2x3 + 3x2 + 5x 4x 3P(x) Q(x) = 3x2 + x 3 18. Multiplicacin de un nmero por un polinomio es otro polinomio que tiene de grado elmismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio porel nmero.3 (2x3 3 x2 + 4x 2) = 6x3 9x2 + 12x 6MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIOSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.3 x2 (2x3 3x2 + 4x 2) = 6x5 9x4 + 12x3 6x2MULTIPLICACIN DE POLINOMIOSP(x) = 2x2 3 Q(x) = 2x3 3x2 + 4xSe multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundopolinomio.P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x3 3x2 + 4x) == 4x5 6x4 + 8x3 6x3 + 9x2 12x =Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 6x4 + 2x3 + 9x2 12xSe obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que semultiplican.Tambin podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: 19. Resolver la divisin de polinomios:P(x) = x5 + 2x3 x 8Q(x) = x2 2x + 1P(x): Q(x)A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondanA la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.X5: x2 = x3Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lomultiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.2x4: x2 = 2 x2 20. 10x 6 es el resto, porque su grado es menorque el del divisor y por tanto no se puedecontinuar dividiendo.x3+2x2 +5x+8 es el cociente. 21. Dados los polinomios:= 4x2 1 x2 2 = = 3x2 3P(x) = 4x2 1 3.- P(x) + R (x) =Q(x) = x3 3x2 + 6x 2 = (4x2 1) + (6x2 + x + 1) =R(x) = 6x2 + x + 1 = 4x2 + 6x2 + x 1 + 1 =S(x) = 1/2x2 + 4 = 10x2 + xT(x) = 3/2x2 +5 4.-2P(x) R (x) =U(x) = x2 + 2 = 2(4x2 1) (6x2 + x + 1) =Calcular:= 8x2 2 6x2 x 1 =1.- P(x) + Q (x) = = 2x2 x 3= (4x2 1) + ( x3 3x2 + 6x 2) 5.-S(x) + T(x) + U(x) = = (1/2x2 + 4) + (3/2x2 +5) + (x2 + 2) == x3 3x2 + 4x2+ 6x 2 1 = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 == x3 + x2+ 6x 3= 3x2 + 112.- P(x) U (x) = 6.-S(x) T (x) + U(x) == (4x2 1) (x2 + 2) = = (1/2x2 + 4) (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = = 1/2x2 + 4 3/2x2 5 + x2 + 2 = =1 22. 2.- (x 6+ 5x4 + 3x2 2x): (x2 x + 3)DIVIDIR LOS POLINOMIOS 3.- P(x) = 2x5 + 2x3 x 8Q(x) = 3x2 2 x + 1 23. Los exponentes se han utilizado para indicar el nmero de veces que serepite un factor en un producto. Por ejemplo, . La notacin exponencialproporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienenpotencias de la misma base.PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTESLos exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.Considera que m y n son enteros positivos:Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base,mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla delproducto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Porejemplo, la expresin tiene coeficiente numrico de 3. De manera similar, elcoeficiente numrico de es 5. Si decidimos multiplicar por , solomultiplicamos nmeros por nmeros (coeficientes) y letras por letras. Esteprocedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y asociativade la multiplicacin. Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:Ejemplos: 24. Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otrapotencia.Si m y n son enteros positivos:Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las basesy multiplicamos los exponentes.Considera la expresin , que significa que est elevado al cubo. Estaexpresin puede simplificarse como se muestra enseguida:En forma parecidaDebido a que la multiplicacin es en realidad una suma que se repite,es posible obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores almultiplicar entre s los exponentes.Ejemplos: 25. Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de lamultiplicacin es posible escribirUna potencia de un producto es igual al producto de las potencias decada uno de los factores.Simblicamente:Ejemplo:En general se cumple: Si n es nmero par Si n es nmero imparEjemplo: 26. La multiplicacin de polinomios es una operacin algebraica que tiene por objeto hallaruna cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando ymultiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo yvalor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto elmultiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. La multiplicacin de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dadostres polinomios cualesquiera se cumplir que . Esta ley acostumbra a enunciarsediciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. Asimismo, el producto de polinomios tambin cumpla la propiedad conmutativa. Esdecir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplir que . Esta ley acostumbra aenunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto. Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse loscuatro puntos siguientes:a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto tambin tendr signopositivo.b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, elproducto tendr signo negativo.c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, elproducto tendr signo negativo.d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendr signo positivo. 27. Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:+ + =++ - =-- + =-- - =+En la multiplicacin algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:a)Multiplicacin de monomios.b)Multiplicacin de un polinomio por un monomioc)Multiplicacin de polinomiosMULTIPLICACIN DE MONOMIOSPara multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuacin seescriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabticamente, elevadasa un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en losfactores. El signo del producto ser el que le corresponda al aplicar la regla de lossignos.EJEMPLO:SOLUCIN: 28. Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los trminosdel polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se sumantodos los productos parciales as obtenidos.EJEMPLO:Multiplicar SOLUCIN:MULTIPLICACIN DE POLINOMIOSPara multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los trminos delmultiplicando por cada uno de los trminos del multiplicador, teniendo en cuenta laregla de los signos, y a continuacin se efecta la suma algebraica de todos losproductos parciales as obtenidos. EJEMPLO: 29. Un producto es el resultado de multiplicar dos o ms nmeros. Los nmerosque se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llamanproductos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplenreglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir,sin verificar la multiplicacin.CUADRADO DE UN BINOMIOEl cuadrado de la suma de dos nmeros es igual al cuadrado del primernmero, ms el doble del producto del primer nmero multiplicado por elsegundo, ms el cuadrado del segundo.Consideremos que. Tendremos que. Por tantoEs decirEjemplo:DesarrollarSOLUCIN: Tendremos que el cuadrado del primer nmero:El doble del producto del primer nmero por el segundo:El cuadrado del segundo nmero:As pues 30. El producto de dos binomios del tipoes igual al cuadrado del primertrmino, ms el producto de la suma de los dos segundos trminos por el primertrmino, ms el producto de los segundos trminos.Se trata de demostrar que.Tendremos que:Es decir , tal como queramos demostrar.Ejemplo:Comprobar que .SOLUCIN: Tendremos. 31. El cubo de la suma de dos nmeros es igual al cubo del primer nmero, ms el tripledel producto del cuadrado del primer nmero por el segundo, ms el triple del productodel primer nmero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo.Consideremos,por lo tantoEs decirEjemplo:DesarrollarSOLUCIN: Cubo del primer nmero:Triple del producto del cuadrado del primer nmero por el segundo:Triple del producto del primer nmero por el cuadrado del segundo:Cubo del segundo nmero:As pues 32. El teorema del binomio es una frmula (por esto se llama tambin frmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los trminos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de :Por multiplicacin directa podemos obtener:De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen ensu formacin:Si el exponente del binomio es n, hay n+1 trminos en el desarrollo.Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con y termina con . En cada trmino losexponentes de a y b suman n.Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada trmino al siguiente. La b aparecepor primera vez en el segundo trmino con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. Elexponente de b siempre es una unidad menor que el nmero de orden del trmino.El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro trmino se obtiene multiplicando en eltrmino anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre elnmero de trminos anteriores al que se trata de formar.Cierta simetra constituye una caracterstica del desarrollo del binomio. Esta simetra sepuede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce comoTringulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de 33. A estos nmeros se les llama coeficientes binomiales o binomios, dado que cada rengln seobserva que el primer y ltimo elemento es 1 porque los coeficientes del primer y ltimo trminoson iguales a 1.Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda yderecha en el rengln superior. As, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de loselementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el rengln superior; el tercercoeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglnsuperior, y as sucesivamente.EJEMPLO:Desarrollar por el teorema del binomio:SOLUCIN:Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potenciascorrespondientes para cada trmino del desarrollo. Es decir,Efectuando las potencias, se tiene:Efectuando los productos: 34. La suma algebraica de dos trminos, por un trinomio que consta del cuadrado delprimer trmino menos el producto de los dos, ms el cuadrado del segundotrmino, es igual a la suma de los cubos de los dos trminos algebraicos.Se trata de demostrar que.Tendremos:Es decir, tal como queramos demostrar.Ejemplo:Comprobar queSOLUCIN: 35. El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno delos trminos, ms el doble producto de cada trmino por los que le siguentomados de dos en dos.Ejemplo:EfectuarSOLUCIN: 36. Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la formaSe puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar elexponente del cociente. Por lo que para cualquier nmero real a excepto el 0(cero), y para cualquier par de nmeros completos m y nEjemplo:Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:Por si el exponente mayor est en el denominador, es decir si n es mayor que mentonces:Ejemplo:o bien 37. La divisin algebraica es la operacin que consiste en hallar uno de los factores deun producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor,y el producto de ambos factores llamado dividendo.De la definicin anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto deldivisor por el cociente. As por ejemplo, si dividimos, se cumplir queSi el residuo no fuera igual a cero, entonces:Para efectuar una divisin algebraica hay que tener en cuenta los signos, losexponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.(+)(+)=+()()=+(+)()=()(+)= 38. Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre elcoeficiente del divisor y a continuacin se escriben las letras ordenadasalfabticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre elexponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. Elsigno del cociente ser el que corresponda al aplicar la regla de los signos.Ej e mp l o :DividirSOLUCIN: 39. Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los trminos delpolinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se sumanlos cocientes parciales as obtenidos.Ejemplo:DividirSOLUCIN: 40. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.2) Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino deldivisor, obtenindose as el primer trmino del cociente3) Se multiplica el primer trmino del cociente por todo el divisor y elproducto as obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia designo y se escribe cada trmino de su semejante. En el caso de que algntrmino de este producto no tenga ningn trmino semejante en el dividendo,es escribe dicho trmino en el lugar que le corresponda de acuerdo con laordenacin del dividendo y del divisor.4) Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor,obtenindose de este modo el segundo trmino del cociente.5) El segundo trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y elproducto as obtenido se resta del dividendo, cambindole todos los signos. 41. Ejemplo:Dividir: 42. GRACIASAaron Bravo V.