Definición

Notación

Organizadores gráficos

Propiedades

Reglas

Operaciones

Aplicaciones

EjerciciosELABORADO POR : Aaron Bravo V.

En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los

otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la

reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos.

Dados que los polinomios , de la forma general: o de forma compacta mediante el

Sumatorio de los términos del polinomio:

Podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o

algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u

otro polinomio, según la operación de que se trate.

Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de

medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior

puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al

concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo

experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en

particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la

conocemos hoy en día.

El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las

cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto

que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que

expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante

letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto

los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el

signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues,

cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es

positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para

multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe

tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un

coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así,

por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado

con respecto a y y de primer grado con respecto a x.

Los términos que tienen las mismas variables con los

mismos exponentes se llaman términos semejantes como

por ejemplo:

y son términos semejantes.

y son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

y no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en

reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de

términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los

coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los

términos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo:

b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los

coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo:

Reducir las siguientes expresiones

c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen

todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo:

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a Ejemplo:

Reducir

Reduciendo los positivos:

Reduciendo los negativos:

Tendremos:

GRADO ABSOLUTO

El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor, de uno de sus términos.

El grado absoluto es cuatro.

El grado absoluto es sexto.

El grado absoluto es quinto.

POLINOMIO CERO

El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna

grado. Se hace notar que 0 x4=0, 0 x2=0, 0 x3=0, y así sucesivamente de

modo que los polinomios cero no pueden tener grado.

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los

exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el

primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de

letra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.

Así, por ejemplo, el polinomio está ordenado en orden ascendente con respecto a la

letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra

ordenatriz x.

Ejemplo:

Escribir en orden ascendente el polinomio

SOLUCIÓN: Ordenamos los términos de menor a mayor según su grado, así:

Ejemplo:

Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la

letra x

SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4

Ejemplo:

Escribir en orden descendente el polinomio

con respecto a cada una de las variables.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba

o debajo de una raya de fracción.

Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el

orden que se presenten de izquierda a derecha.

Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a

derecha.

Ejemplo:

Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1

2(2)2 (3) (1)3 = 2(4) (3) (1) = 24 Ejemplo:

Evaluar , cuando b=8 y x=2

Ejemplo:

Evaluar cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

Ejemplo:

Resuelve para x=3.

Ejemplo:

Resuelve para x=2 y=3.

Ejemplo:

Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6

SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes. E j e m p l o :

Supongamos que se desea sumar y ; es decir deseamos encontrar:

Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:

E j e m p l o :

De manera semejante, la suma de y , se escribe como:

E j e m p l o :

Para sumar y ; primero escribimos ambos polinomios en orden descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

E j e m p l o : Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.

Por ejemplo, para sumar los polinomios , y , escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y sumamos:

RESTA

Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1. E j e m p l o :

Efectuar la operación

SOLUCIÓN: E j e m p l o :

Resolver

SOLUCIÓN: E j e m p l o :

Restar y SOLUCIÓN:

E j e m p l o :

Restar y

SOLUCIÓN:

En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos

semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en Tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,

E j e m p l o :

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente: E j e m p l o :

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo

general no escribimos , sino . Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero. E j e m p l o :

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números

dentro de los paréntesis. Por tanto . Además

Operaciones con polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los

términos del mismo grado

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de un número por un polinomio es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 • (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x – 6

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 • (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) • Q(x) = (2x2 − 3) • (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x): Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

X5: x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo

multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4: x2 = 2 x2

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor

que el del divisor y por tanto no se puede

continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1.- P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2)

= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2+ 6x − 3

2.- P(x) − U (x) =

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 =

= 3x2 − 3

3.- P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

4.-2P(x) − R (x) =

= 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

= 2x2 − x − 3

5.-S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2x2 + 4) + (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =

= 3x2 + 11

6.-S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =

= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1

DIVIDIR LOS POLINOMIOS

2.- (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x): (x2 − x + 3)

3.- P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1

Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que serepite un factor en un producto. Por ejemplo, . La notación exponencialproporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienenpotencias de la misma base.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES

Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.

Considera que m y n son enteros positivos:

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base,mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla delproducto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Porejemplo, la expresión tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, elcoeficiente numérico de es 5. Si decidimos multiplicar por , solomultiplicamos números por números (coeficientes) y letras por letras. Esteprocedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y asociativade la multiplicación. Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:

Ejemplos:

Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otrapotencia.

Si m y n son enteros positivos:

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las basesy multiplicamos los exponentes.

Considera la expresión , que significa que está elevado al cubo. Estaexpresión puede simplificarse como se muestra enseguida:

En forma parecida

Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite,es posible obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores almultiplicar entre sí los exponentes.

Ejemplos:

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la

multiplicación es posible escribir

Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de

cada uno de los factores.

Simbólicamente:

Ejemplo:

En general se cumple:

Si n es número par Si n es número impar

Ejemplo:

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar

una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y

multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y

valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el

multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados

tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse

diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es

decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a

enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los

cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo

positivo.

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo.

c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo.

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente: + + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes: a) Multiplicación de monomios. b) Multiplicación de un polinomio por un monomio c) Multiplicación de polinomios MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. EJEMPLO:

SOLUCIÓN:

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos

del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman

todos los productos parciales así obtenidos.E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSPara multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del

multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la

regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los

productos parciales así obtenidos.

EJEMPLO:

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números

que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman

productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen

reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir,

sin verificar la multiplicación.

CUADRADO DE UN BINOMIO

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer

número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el

segundo, más el cuadrado del segundo.

Consideremos que . Tendremos que . Por tanto

Es decir E j e m p l o :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número:

El doble del producto del primer número por el segundo:

El cuadrado del segundo número:

Así pues

El producto de dos binomios del tipo es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que .

Tendremos que:

Es decir , tal como queríamos demostrar. E j e m p l o :

Comprobar que .

SOLUCIÓN: Tendremos .

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple

del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto

del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos , por lo tanto

Es decir E j e m p l o :

Desarrollar

SOLUCIÓN: Cubo del primer número:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:

Cubo del segundo número:

Así pues

El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio)

con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia

entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo

de : Por multiplicación directa podemos obtener:

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en

su formación:

Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.

Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con y termina con . En cada término los

exponentes de a y b suman n.

Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece

por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El

exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.

El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el

término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el

número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se

puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como

Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binomios, dado que cada renglón se

observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término

son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y

derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los

elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer

coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón

superior, y así sucesivamente.

E J E M P L O :

Desarrollar por el teorema del binomio:

SOLUCIÓN: Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

Efectuando las potencias, se tiene:

Efectuando los productos:

La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que . Tendremos:

Es decir , tal como queríamos demostrar. E j e m p l o :

Comprobar que

SOLUCIÓN:

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.

E j e m p l o :

Efectuar SOLUCIÓN:

Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma

Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par de números completos m y n

E j e m p l o : Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:

Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m entonces:

E j e m p l o :

o bien

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del

divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos. E j e m p l o :

Dividir

SOLUCIÓN:

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. E j e m p l o :

Dividir

SOLUCIÓN:

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término deldivisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y elproducto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia designo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algúntérmino de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo,es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con laordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y elproducto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

Ejemplo:

Dividir:

GRACIAS

Aaron Bravo V.