ONDAS ESTACIONARIAS

Ondas longitudinales y transversales. Ondas senoidales. Principio de superposición. Propiedades ondulatorias. Ondas estacionarias. Ondas estacionarias en cuerdas.

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

2

2 2maxP F Aµ ω=

( ) ( )2 2 2P x ,t F A sen kx tµ ω ω= −

El movimiento ondulatorio transporta energía de una región a otra. En el caso de una onda mecánica senoidal que se transporta a través de una cuerda de densidad lineal de masa µ y bajo la tensión de la fuerza F:

Siendo la potencia máxima: Y la potencia media:

15.20 Un alambre de piano con masa de 3,00 g y longitud de 80,0 cm se estira con una tensión de 25,0 N. Una onda con frecuencia de 120,0 Hz y amplitud 1,6 mm viaja por el alambre. a) calcule la potencia media que transporta l onda. b) ¿Qué sucede con la potencia media si se reduce a la mitad la amplitud de la onda?

Solución: a)

b) Disminuye en 4 veces.

P vs t en la coordenada x = 0

Periodo T

2 2med

1P F A

2µ ω=

( ) ( )3

22 3med

med

1 3,00 10P 25,0 2 120 1,6 10 W

2 0,800

P 0,2228 W 0,22 W

π−

−×= × ×

= =

INTENSIDAD DE LAS ONDAS

3

Otros tipos de ondas como las ondas sonoras y las ondas sísmicas, transportan energías en tres dimensiones.

En este caso se define la Intensidad (I) como la potencia media por unidad de área de una superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda y se mide en W/m2.

Si la potencia de la fuente es P, la intensidad media I1 sobre una superficie esférica de radio r1 es:

La intensidad media I2 sobre una superficie esférica de radio mayor r2 debe ser menor.

Si no se absorbe energía entre las dos esferas, la potencia es la misma en cada superficie:

Intensidad I1

r1

21

1 4 r

PI

π=

Fuente de las ondas

I2 < I1: misma potencia distribuida en un área mayor

r2

21

22

22

21

2

1

4

4

r

r

rP

rP

I

I ==ππ

REFLEXIÓN DE ONDAS

4

21

257

110

01

r

,

,

, =

15.22 Imagine que encuentra un objeto extraño que radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. Suponga que el sonido proviene de una fuente puntual y que pueden despreciarse todas las reflexiones. Está caminando lentamente hacia la fuente. Cuando está a 7,5 m de ella, la intensidad es de 0,11 W/m2. Comúnmente, se considera que una intensidad de 1,0 W/m2 es el umbral del dolor. ¿Cuánto más podrá acercarse a la fuente antes que la intensidad de sonido alcance ese umbral?

Solución.

De donde r1 = 2,5 m . Así que solo se puede mover 5,0 m .

Reflexión. Una onda que llega a la frontera del medio de propagación se refleja parcial o totalmente.

Pulso incidente

El pulso reflejado se invierte

(a) Extremo fijo

Pulso incidente

El pulso reflejado no se invierte

(b) Extremo libre

INTERFERENCIA DE ONDAS

5

Cuando dos pulsos viajan en direcciones opuestas se combinan en el espacio, se interfieren y se produce un pulso resultante. La interferencia puede ser:

Constructiva, cuando los desplazamientos individuales son en la misma dirección.

Destructiva, cuando los desplazamientos son en direcciones opuestas.

Ver video de interferencia

Combinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada punto para obtener el desplazamiento real es un aplicación del principio de superposición, es decir cuando dos ondas cuyas funciones son y1(x,t) y y2(x,t) interfieren, la función de onda y(x,t) que describe el movimiento resultante es:

( ) ( ) ( )1 2y x , t y x , t y x , t= +

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

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Cuando una onda viajera de forma senoidal se refleja en un extremo fijo de una cuerda tensada, las ondas incidentes y reflejadas (con la misma frecuencia y amplitud) se combinan (superponen) para formar una onda estacionaria (que no parece moverse) con nodos y antinodos.

Los nodos son puntos que nunca se mueven (interferencia destructiva).

Los antinodos son puntos en los cuales la amplitud de movimiento es máxima (interferencia constructiva).

Aplicando el principio de superposición para la onda incidente que viaja hacia la izquierda:

y la onda reflejada que viaja hacia la derecha:

Entonces,

Considerando

Obtenemos la ecuación de una onda estacionaria con un extremo fijo en x = 0:

oscilador

onda incidente onda reflejada

( ) ( ) ( )y x , t A cos kx t cos kx tω ω= − + + −

( ) ( )1y x , t A cos kx tω= − +

( ) ( )2y x ,t A cos kx tω= −

( )cos a b cos a cos b a b± = m sen sen

( ) ( )y x ,t 2 A kx tω= sen sen

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

7.. 3, 2, 1, 0,

22

3

2

2

20 =λ=λλλ= n

nx ,.....,,,

Como en los nodos el máximo desplazamiento vertical es cero:

sen kx = 0, kx = 0, π, 2π, 3π, ….

En los antinodos:

sen kx = ±1, kx = π/2, 3π/2, 5π/2, ….

43λ

45

λ4

7λ

4λ

Antinodos

Nodos

2λ λ

23

λ

... 5, 3, 1, 44

5

4

3

4=λ=λλλ= n

nx ,.....,,

MODOS NORMALES DE UNA CUERDA

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Si ambos extremos de una cuerda con longitud L están fijos, solo puede haber ondas estacionarias si L es múltiplo entero de λ/2.

15.37 Un alambre de 40,0 g está estirado de modo que sus extremos están fijos en puntos separados 80,0 cm. El alambre vibra en su modo fundamental con frecuencia de 60,0 Hz y amplitud en los antinodos de 0,300 cm .a) Calcule la rapidez de propagación de ondas transversales en el alambre. b) Calcule la tensión en el alambre.

Solución.a. v = λf =(2×0,800)(60,0) m/s = 96,0

m/s

b. F = µv2 = (0,0400/0,800)(96,0)2 N = 461N

2

λ1=L

L

Frecuencia fundamental, f1

Segundo armónico, f2

Tercer armónico, f3

2

λ2 2=L

2

λ3 3=L

2

λnnL =

µ== F

LL

vf

2

1

21

L

vff == 12 2

L

vff

233 13 ==

12nf

L

vnfn == n =1, 2, 3, ..

EJERCICIO

9

15.39 La forma de un hilo tenso que está atado por ambos extremos y oscila en su tercer armónico se describe con la ecuación:

Donde el origen está al extremo izquierdo del hilo, el eje x está a lo largo del hilo y el eje y es perpendicular al hilo.

a) Dibuje el patrón de onda estacioaria. b) Calcule la amplitud de de las dos ondas

viajeras que constituyen esta onda estacionaria.

c) ¿Qué longitud tiene el hilo? d) Calcule la longitud de onda, frecuencia,

periodo y rapidez de las ondas viajeras. e) Calcule la rapidez transversal máxima de un

punto del hilo. f) ¿Qué ecuación y(x,t) tendría el hilo si vibrara

en su octavo armónico? Solución Asi:

b. A ondas viajeras = 2,80 cm

χ. λ = 2π/k = 2π/(3,40) m = 1,848 m ;

L = 3λ/2 = 2,77 m

δ. λ = 1,85 m ;

f = ω/2π = 50,0/ 2π = 7,96 Hz ;

T = 0,126 s ;

v = λ f = 14,7 m/s

e) Derivando la posición dy/dt, se obtiene el valor máximo

vmax = Aω = (5,60)(50,0) cm/s = 2,80 m/s

d. f3 = 3 f1 ; f1 = 2,65 Hz ; f8 = 8(2,65 Hz) = 21,2 Hz ; ω3 = 133 rad/s

k = 2π/(v/f8) = 9,06 rad/m

( ) ( ) ( ) ( )y x ,t 5,60 cm sen 0,0340rad/cm x sen 50,0 rad/s t=

( ) ( ) ( ) ( )y x ,t 5,60 cm sen 0,0906 rad/cm x sen 133 rad/s t=

ECUACIÓN DE ONDA

y( x ,t ) Asen( kx t )ω= ± 31/01/15

10

Jorge Moy, Y

uri Milachay

Si es - la onda se propaga hacia la derecha

Si es + la onda se propaga hacia la izquierda

Amplitud

Número de onda (rad/m)

Frecuencia angular

(rad/s)

REFLEXIÓN DE ONDAS

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Extremo fijo: cuando la onda se refleja en una frontera fija, observe que la onda se invierte al regresar.

Extremo libre: cuando la onda se refleja en una frontera sin restricciones (observe el efecto látigo) al regresar lo hace con la misma fase es decir no se invierte.

INTERFERENCIA

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Tiene lugar cuando dos ondas se encuentran en la misma región. Pueden tener dos tipos de interferencia:

Interferencia constructiva: En este caso las ondas suman sus efectos y la amplitud de la onda resultante es mayor a las originales.

Interferencia destructiva: En este caso las ondas restan sus efectos y la amplitud de la onda resultante es menor a las originales.

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=19

ONDAS ESTACIONARIAS Onda estacionaria: Es el resultado de la superposición de dos

ondas viajeras de la misma frecuencia que se mueven en sentidos opuestos. El resultado de esta superposición es la formación de cuadros de interferencia destructiva (partículas en reposo) llamados nodos, y cuadros de interferencia constructiva (máxima amplitud) denominados anti nodos.

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ONDAS ESTACIONARIAS

31/01/15Jorge M

oy, Yuri M

ilachay

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La cuerda de una guitarra: onda estacionaria

Si se acciona la cuerda de una guitarra, un pulso de onda se enviará al extremo donde la cuerda se ata (y también al otro extremo).

Este pulso de onda se reflejará y se encontrará con el pulso reflejado del otro extremo (para instrumentos como el violín, donde la cuerda puede accionarse continuamente, también pueden encontrarse nuevos pulsos de la onda que se envían).

Estas ondas reflejadas estarán interfiriendo entre sí constructiva o destructivamente.

http://www.youtube.com/watch?v=u6IsXBeIqmM&feature=related

http://www.edumedia-sciences.com/es/a541-cuerda-vibrante-guitarra

ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS31/01/15

Jorge Moy, Y

uri Milachay

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Modo Fundamental (primer armónico):

Hay nodos en los extremos de la cuerda.

Esto hace que sólo la mitad de la onda progresiva completa esté ahí. Si la longitud de la cuerda es L,

L = λ/2 que combinado con

v = λ f ⇒ λ = v / f Da,

f1 = v/2L  Segundo armónico

L = λ, De donde f2 = v/L = 2f1 .

En general, fn = n(v/2L) = nf1

31/01/15Jorge M

oy, Yuri M

ilachay

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EJERCICIOS

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1. Una cuerda de violín está fijada en ambos extremos. La misma puede oscilar de diferentes maneras.

a) Si la cuerda tiene 0,400 m de longitud, calcular la longitud de onda del segundo armónico.

b) Si la frecuencia fundamental para la cuerda es 440 Hz, calcule la rapidez de propagación de la onda.

c) El violinista desea tocar una nota de la frecuencia fundamental 524 Hz. Esto se hace utilizando un dedo para acortar la longitud de vibración efectiva de la cuerda. Calcule la longitud efectiva de la cuerda.

2. La porción de una cuerda de violonchelo que está entre el puente y el extremo superior del bastidor mide 60,0 cm y tiene una masa de 2,00 g . La cuerda produce una nota A4 (440 Hz) al tocarse. A) ¿A qué distancia x del puente debe una ejecutante poner un dedo para tocar una nota D5 (587 Hz)? En ambos casos la cuerda vibra en modo fundamental.

EJERCICIOS

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3. Se genera una onda estacionaria en un hilo fijo en ambos extremos, que vibra a su frecuencia fundamental. Entonces se aumenta la tensión del hilo y se genera una nueva onda estacionaria que vibra a su frecuencia fundamental. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la nueva onda estacionaria fundamental comparada con la anterior es correcta?

a) La velocidad de onda aumenta y la longitud de onda disminuye

b) La velocidad de onda aumenta y la frecuencia aumenta

c) La velocidad de onda disminuye y la frecuencia aumenta

d) La velocidad de onda disminuye y la frecuencia disminuye

4. Existe una onda estacionaria en una cuerda fijada en ambos extremos. En un determinado instante de tiempo, la cuerda está como se indica. Dos puntos de la cuerda se identifican por P y Q. ¿Qué punto alcanzará primero la posición de equilibrio (línea horizontal)?

ONDAS ESTACIONARIAS EN TUBOS

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Tubo Abierto en ambos extremos

Una onda estacionaria puede producirse en una columna de aire dentro de un instrumento en forma de tubo (órgano de iglesia). Aquí las oscilaciones son longitudinales - paralelas al tubo, pero además pueden ilustrarse con un gráfico que muestra el desplazamiento de las moléculas de aire de su posición de equilibrio como una función del lugar en el tubo

Se demuestra, igual que en el caso de las cuerdas que:

fn = n(v/2L) = nf1, n = 1,2,3,...

Por ejemplo al soplar con cierto ángulo en tubos de PVC, se puede obtener resonancia en los diversos armónicos:

ONDAS ESTACIONARIAS EN TUBOS

20

Tubos abierto en un extremo y cerrado en el otro

Ahora la situación será diferente.

Se demuestra que:

fn = n(v/4L) = nf1, n = 1, 3, 5,...

Por ejemplo cuando se produce resonancia soplando en una tapa de lapicero:

EJERCICIOS

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1. Dos columnas de aire son idénticas excepto que una de ellas está en un tubo abierto en ambos extremos, mientras que la otra está en uno cerrado en un extremo. Cuando oscilan a su frecuencia fundamental, ¿Cuál de las siguiente cantidades es igual para la onda sonora asociada con cada columna?

a) Longitud de onda.b) Frecuencia.c) Velocidad de onda.d) Número de antinodos de

desplazamiento.

2. Un tubo de órgano de 1 m de longitud está abierto en un extremo y cerrado en el otro. Ignorando los efectos de los extremos, ¿Cuál es la longitud de onda de su nota (armónico)fundamental?

3. Un tubo de órgano de 1,00 m de longitud está abierto en un extremo y cerrado en el otro. Si la frecuencia fundamental del tubo es f = 440 Hz, ¿Cuál será la frecuencia y la longitud de onda de su tercer armónico? Considere que la rapidez del sonido en el tubo es de 345 m/s.