ONDAS MECÁNICAS

Tipos de ondas mecánicas, ondas viajeras y periódicas unidimensionales. Rapidez de propagación de ondas en una cuerda. Ondas armónicas sobre una cuerda

ONDAS MECÁNICAS

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• Son perturbaciones en un sistema que pueden viajar de una región a otra transportando energía y cantidad de movimiento.

Onda mecánica se produce cuando la perturbación viaja por un material (sustancia) que es el medio de la onda.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_estacionaria

Onda mecánica

TIPOS DE ONDA

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• Onda transversal

Cuando la oscilación de las partículas del medio es perpendicular a la dirección de propagación de las ondas.

Onda longitudinal

Cuando la oscilación de las partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de las ondas

PULSOS DE ONDA La figura muestra a un “PULSO

VIAJERO” que se desplaza hacia la derecha. En el instante t = 0 su forma es:

Al cabo de cierto instante, el pulso se ha desplazado hasta una posición x, mientras que en el nuevo sistema de referencia que se mueve con la velocidad del pulso (en que el pulso no se mueve), sigue describiéndose por la misma ecuación.

Como dichas coordenadas se relacionan así:

La ecuación de la onda moviéndose hacia la derecha será:

y f ( x vt )= −

x vt x́= +

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La ecuación de la onda moviéndose hacia la izquierda será:

y f ( x )=

y f ( x́ )=

)( vtxfy +=

VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN LA CUERDA

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La velocidad de las ondas dependen de las propiedades del medio y es independiente del movimiento de las fuentes de onda.

F = Fuerza de tensión en la cuerda (N)µ = Masa por unidad de longitud (kg/m)

Ejercicio 1. La tensión aplicada a una cuerda se obtiene colgando una masa de 3,00 kg en uno de sus extremos, como se indica en la figura. La longitud de la cuerda es 2,50 m y su masa es 50,0 g . ¿Cuál es la velocidad de las ondas en la cuerda?

Solución

Fv

µ= m/s

mkgm/skg 2

4,38

50,2/0500,0

)81,9)(00,3(

=

=

v

v

EJERCICIO 2

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Un gusano está a 2,50 cm del extremo de la cuerda de un tendedero cuando la chica que está tendiendo ropa en el otro extremo lo ve. La chica imparte un pulso a la cuerda de 3,00 cm de altura que se dirige al gusano. Si el animal se mueve a 2,54 cm/s, ¿se escapará del pulso? La cuerda tiene 25,0 m de longitud y una masa de 0,250 kg. Se mantiene tensa gracias a una masa de 10,0 kg que cuelga en su extremo.

Solución

Con esta velocidad, el pulso llega al extremo de la cuerda en un tiempo de

El tiempo en que el gusano llega al extremo de la cuerda es

El gusano no se escapa

m/s0,99/

===Lm

mgFv

cuerda

T

µ

s202,0=∆=∆vx

t

xt 0,984s

v

′∆′∆ = =′

ONDAS ARMÓNICAS Si al extremo de una cuerda se le

imprime un movimiento oscilatorio, entonces se genera una onda periódica.

Si la fuente de la perturbación realiza un MAS, se produce una onda viajera, de tipo senoidal, que se mueve hacia la derecha sobre la cuerda.

Bajo estas condiciones, las magnitudes características del movimiento ondulatorio son:

• Periodo (T)

• Amplitud (A)

• Frecuencia (1/T)

• Longitud de onda (λ)

• La velocidad de propagación de la onda senoidal es igual a :

v fλ=

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Longitud de onda

EJERCICIOS

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Ejercicio 3. Se llama ultrasonido a las frecuencias arriba de la gama que puede detectar el oído humano, o sea, mayores de 20 000 Hz. Se pueden usar y producir imágenes al reflejarse en las superficies. En una exploración típica de ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1 500 m/s . Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no debe ser mayor que 1,0 mm . ¿Qué frecuencia se requiere?

Solución

Ejercicio 4. Si la amplitud es suficientemente alta, el oído humano puede responder en una gama de frecuencias de 20,0 Hz a 20 000 Hz aproximadamente. Calcule las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias para ondas en a) aire (v = 344 m/s); b) agua (v = 1 480 m/s).

Solución

a)

b)

vf =λ

61 500 m svf 1, 5 10 Hz

0,0010 mλ= = = ×

λλ

= == =

max

min

( ) ( , ) , ,

( ) ( ) ,

344m s 20 0Hz 17 2 m

344m s 20 000Hz 1 72 m

λ = =max , ,,

1480 m s74 0 m

20 0Hz

min

1 480 m s74,0 mm

20 000Hzλ = =

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA

La función de onda de una onda senoidal que se desplaza de izquierda a derecha tiene la siguiente expresión

Cuando t = 0 s,

Reemplazando x por x-vt, se tiene:

Donde, ω es la frecuencia angular k es el número de onda

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y( x , t ) A sen ( k x t )ω= −

2k

πλ

=2

T

πω =

y( x ,0 ) Asen( kx )δ= +

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CINEMÁTICA DE LA ONDA A partir de la función de onda se

pueden obtener las expresiones de la velocidad y aceleración de oscilación de un punto de la onda.

Derivando la ecuación de la función de onda se obtiene,

Derivando la expresión de la velocidad de la onda, se tiene

dv f

t T

λ λ= = =

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2ya y( x , t )ω= −

La cual se puede escribir como:

Hay que distinguir con la velocidad de la onda, que al no cambiar de medio, permanece constante.

y( x , t ) A sen ( k x t )ω= −

( )y

dv y( x , t ) A cos( k x - t )

dtω ω= =

( ) 2y y

da v A sen ( k x - t )

dtω ω= = −

EJERCICIOS

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y( x ,t ) A sen ( k x t )

A sen k( x v t )

ω= −= −

Ejercicio 5. Una función onda armónica que se mueve en una cuerda es y(x,t) = (0,0300 m) sen[(2,20 m-1)x – (3,50 s-1)t]. (a) ¿En qué sentido se propaga esta onda y cuál es su velocidad? (b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de esta onda. (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de esta cuerda? (d) ¿Cuál es la velocidad máxima de cualquier segmento de cuerda?

Solución: :a) De la función original, vemos que

Entonces el sentido es +x,

b)

c) El desplazamiento máximo es la amplitud: A = 0,0300 m

d)

1 2v

T 2 / T k

λ π ωπ λ

= = =

v 1,59m /s=

mk

86,22 == πλ 2

T 1,80sπ

ω= =

1f 0, 557Hz

T= =

y

dy( x ,t )v

dt( 0,105m /s ) cos( 2,20x 3,50t )

=

= − −

y ,máxv 0,105m /s=

ENERGÍA DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA

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2 2med

1P F A

2µ ω=

Calculando la energía cinética media transportada por la cuerda en la unidad de tiempo, se deduce la potencia media que transmiten las ondas en dicha cuerda.

Ejercicio 6. Ondas de longitud de onda de 25,0 cm y amplitud 1,20 cm se mueven a lo largo de un segmento de 15,0 m de una cuerda de 60,0 m de longitud y 320 g de masa y está sometida a una tensión de 12,0 N. (a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de la onda. (b) ¿Cuál es la energía total media de las ondas en la cuerda?

Respuestas: a) v = 47,4 m/s; ω = 1190 rad/s b) Pmed = 25,8 W

Ejercicio 7 En el ejemplo 15.3 (f = 2,00 Hz, A =

0,075 m, µ = 0,250 kg/m y F = 36,0 N) ¿con qué rapidez máxima aporta Tito energía a la cuerda? Es decir, ¿Cuál es su potencia instantánea máxima? b) ¿Y su potencia media? c) Al cansarse Tito, la amplitud disminuye. Calcule la potencia media cuando la amplitud ha bajado a 7,50 mm .

Respuestas: Pmax = 2,66 W Pmed = 1,33 W Pmed = 13,3 mW