Número naturales y sus propiedades

Profesor Gonzalo Cerda Duarte

Departamento Educación Matemáticas Colegio Mater

Dolorosa

NÚMEROS NATURALES (N)

El primer conjunto numérico: los números naturales, a este conjunto lo simbolizaremos con la N.

N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}

El conjunto N tiene un primer elemento (el uno), no tiene un último elemento, es por lo tanto, un conjunto infinito.

¿Qué sucede con el cero (0)?

Aunque el cero no es un número natural, muchas veces es necesario “agregarlo” a N, en ese caso, el conjunto se simboliza N0 y se lo denomina “naturales con el cero” o simplemente “ene sub-cero”.

N0 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …}

Números cardinalesEl conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque: Tiene un número ilimitado de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el

1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando

uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales. 

Propiedades de los números: factores, múltiplos y divisores

En los seres humanos existen relaciones entre dos personas: padre-hijo, hermano-hermana, amiga-amigo, etcétera. Las propiedades de los números se determinaron al establecer relaciones entre dos de ellos. Tú ya conoces algunas relaciones como las de: mayor que (>), menor que (< ), etc.

Primera propiedad: relación factores Los factores son elementos de la multiplicación,

por lo tanto, llamaremos factores de un número, al par de números naturales que tienen como producto a ese número. Busquemos los factores de 18.

Encontramos:18 x 1 ; 2 x 9 ;   6 x 3

y... ¡no hay más! Si ordenamos el ejemplo quedaría:

Los factores son elementos de la multiplicación, por lo tanto, llamaremos factores de un número, al par de números naturales que tienen como producto a ese número. Busquemos los factores de 18.

Encontramos:18 x 1 ; 2 x 9 ;   6 x 3

y... ¡no hay más! Si ordenamos el ejemplo quedaría:

Hallar los factores de: 12

15

7

49

150

Factores Otra manera de hallar los factores, es

utilizando una MATRIZ, que es un conjunto de grupo de objetos dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Observa: «Factores de 24»

3

8

FactoresUtilizando matrices, halla la mayor

cantidad de factores posible de los siguiente números:

a) 36

b) 14

c) 9

En conclusión, los factores

El conjunto de los factores es finito.El número 1 es factor de todos los

números.Siempre el mismo número será su

propio factor.

Factores Halla todos los factores posible de los siguiente

números:a) 30

b) 15

c) 11

¿Qué diferencia hay entre el 15 y el 11?

¿Quién tiene menos factores? ¿Por qué sucede eso?

Número primos y compuestos

La cantidad de factores que tienen los números sirve para clasificarlos en primos y compuestos. Los primeros tienen sólo dos factores, mientras que los segundos cuentan con más de dos.

El número uno no es primo ni compuesto, porque tiene un sólo factor: él mismo.

Números primos Es importante que recuerdes de memoria

los números primos, estos son los que están en rojo:

Factorización prima Factorización prima es una forma

original de escribir cualquier número compuesto. Consiste en descomponer el número en un par de sus factores, luego revisamos si cada uno de ellos es primo y, si no lo es, lo volvemos a descomponer.

Ejemplo: 36 = 12 · 3

Descomposición prima 3 es primo y 12 es compuesto, por lo

tanto, lo descomponemos en 3 x 4. De estos dos números, 3 es primo y 4 compuesto, por lo que volvemos a descomponer en 2 x 2.

Si tomamos todos los números primos tenemos: 2 x 2 x 3 x 3. A esta forma se le conoce como árbol de factores.

En diagrama de árbol quedaría así:

Para hallar los factores primos de 36 con otro par.

Con cualquier par de factores se obtiene el mismo resultado, que escrito en forma de potencias sería:

Todo número natural puede expresarse como producto de factores primos.

Una forma de descomponer un número en sus factores primos es la siguiente:

1. Dividir el número natural, por el menor número primo posible.

2. El resultado obtenido, volver a dividirlo por el mismo número primo en caso que sea posible, sino por otro número primo.

3. Seguir éste proceso hasta que se obtenga cociente 1.Por ejemplo:

Dos maneras para la descomposición en factores primos

En una tabla Diagrama de árbol

Entonces 45 = 3 • 3 • 5 = 32• 5

Descompone en factores primos los siguientes números: 24

50

14