ANÁLISIS DE DATOS E INCERTIDUMBRE.INVESTIGACIÓN SOBRE TEMAS RELACIONADOS CON LA POSIBILIDAD, ESTADÍSTICA Y LÓGICA

o Números Realeso Clasificación de Números Realeso Propiedades de los Números Realeso Operaciones con Números Reales y Fraccionarioso Sumao Multiplicacióno Restao Divisióno Radicaleso Expresiones Algebraicas, Termino Algebraica, Clasificaciones de Expresiones

Algebraicas. Grado Absoluto,o Grado Relativo y Grado de una expresión.o Leyes de los Exponenteso Notación Científica en suma, resta, multiplicación y división.o Exponentes Fraccionarios.o Exponentes Compuestos.o Operaciones con expresiones algebraicas, suma, resta, multiplicación y división.o Productos Notables.o Factorización por 4 métodos diferentes.o Simplificación de expresiones algebraicas.o Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.

INVESTIGACIÓN REALIZADA POR:

Sarabia Salas Samantha1-2 Matutino

DEFINICIÓN DENÚMEROS REALES

Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

El concepto de números reales  surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca  del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero). Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

CLASIFICACIÓN DE NUMEROS REALES

ESQUEMA DE NÚMEROS REALES

EJEMPLO DE NÚMEROS REALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

 Elemento identidadSuma: a + 0 = 0 + a = aProducto: a . 1 = 1 . a = aElemento inversoSuma: a + (–a) = –a + a = 0Producto: a (1/a) = (1/a)a = 1, a¹0Ley AsociativaSuma: a + (b + c) = (a + b) + cProducto: a . (b . c) = (a . b) . cLey ConmutativaSuma: a + b = b + aProducto: a . b = b . aLey DistributivaProducto sobre la suma: a (b + c) = (b + c) a = ab + ac 

EJEMPLOS: Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.B) (x + y) × z = xz + yz.  Respuesta: ley distributiva.

C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.

La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Y FRACCIONARIOS A.- Para sumar o restar una fracción y un número natural:3 + 5 / 2 Empezamos convirtiendo el número natural en fracción poniéndole como denominador 1:3 = 3 / 1 Ahora seguimos operando igual que con fracciones con distintos denominadores.3 / 1 + 5 / 2 Calculamos fracciones equivalentes con el mismo denominador:Aplicamos el procedimiento del mínimo común múltiplo: 1 x 2 = 2Sustituimos las fracciones originales por las fracciones equivalentes y sumamos:6 / 2 + 5 / 2 = 11 / 2 Veamos otro ejemplo: 7 – 6 / 37 – 6 / 3 = 7 / 1 – 6 / 3Aplicamos el procedimiento del mínimo común múltiplo: 1 x 3 = 3Sustituimos las fracciones originales por las fracciones equivalentes y restamos:21 / 3 – 6 / 3 = 15 / 3 

B.- Multiplicación de una fracción por un número natural:3 x 7 / 2

Se multiplica el numerador por el número y el denominador se deja el mismo.3 x 7 / 2 = (3 x 7) / 2 = 21 / 2

 Esta es la operatoria que se utiliza cuando se aplica una fracción a un número natural:

 Por ejemplo: en una clase de 30 niños, 2 / 3 nunca juegan al fútbol ¿cuántos son?

2 / 3 x 30 = (2 x 30) / 3 = 60 / 3 = 60 : 3 = 20 niños 

C.- División de una fracción por un número natural:5 / 4 : 3Se deja el mismo numerador y se multiplica el denominador por el número:5 / 4 : 3 = 5 / (4 x 3) = 5 / 12

SUMA

Suma de números positivos y otro negativo 

Para sumar un número positivo y un número negativo se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero. 

-78+1=-77  47+ (-1) =46 

MULTIPLICACIÓN

Multiplicación de Números Relativos

Regla: El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado levará signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales; llevará signos negativos (-), si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0.

Cuando operamos con símbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma 

ax b; bien en la forma a.b; y más usualmente ab.

RESTA

Sustracción de números relativos  Regla: Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma

el minuendo el sustraendo, cambiándole el signo. 

Ejemplos:

DIVISIÓN

División de números relativos Regla: Para dividir un número cualquiera d por otro número distinto de

cero d´, multiplicamos d  por el recíproco d´ ( 1/d´). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo; y negativos, si son de signos contrarios.

Con el siguiente cuadro podemos recordar fácilmente la ley de los signos de la división con números relativos.

RADICALES Leyes de los Radicales 

LeyLa potencia pasa a ser exponente del radicando y se convierte en fracción, el índice será el

denominador y el exponente el numerados.(ⁿ√x)ᵐ=ⁿ√xᵐProducto de radicales con un mismo índice radicalEl índice se conserva y los radicandos se multiplican.ⁿ√x.ⁿ√y=ⁿ√x.yDivisión de radicales con un mismo índice radicalEl índice se conserva y los radicandos se dividen.ⁿ√x/ⁿ√y=ⁿ√x/yRaíz de raícesEl radicando se conserva y los índices se multiplican.ᵐ√ⁿ√x=ᵐ˙ⁿ√x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico. En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. 

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en

monomios y polinomios.

MONOMIO:Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b , POLINOMIO:Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.

Ejemplo:a. x+y+zb. 9m² - 16n⁴c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.Ejemplos de binomios:

a. x² - y²b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷

Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

Son ejemplos de trinomios:

a. x² - 10x + 25b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Grado absoluto: se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.Grado = 5 + 4 + 7 

Grado = 16 Grado relativo: es el valor del exponente de cada variable.Grado de a = 5

Grado de b = 4Grado de c = 7

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla examinando el exponente de la variable en cada término.

El exponente en 3x2 es 2El exponente en 5x4 es 4El exponente en  -2  es 0, porque -2=-2x0 (x0=1) 

LEYES DE LOS EXPONENTES

Leyes de los exponentesLos exponentes también se llaman potencias o índicesEl exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

NOTACIÓN CIENTÍFICA EN SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

SUMA Y RESTA EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 0 DE POTENCIAS EN BASE DIEZ.

Multiplicación o división en notación científica o con potencias en base diez.

EXPONENTES FRACCIONARIOS

Los exponentes fraccionarios no son usados a menudo, además de las fórmulas avanzadas en los altos niveles de las matemáticas y la ciencia. Pero ocasionalmente son útiles para simplificar expresiones algebraicas.

EXPONENTES COMPUESTOS

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACIÓN DE 4 MÉTODOS DIFERENTES

1.- factor común 

ab + ac = a*b + a*c = a*(b + c) 

2.- factor común x grupo 

ab + 4ac + 2b + 8c = a*b + 4*a*c + 2*b + 2*4*c = a*(b + 4c) + 2*(b + 4c) = como los dos paréntesis son iguales.. (a + 2) * (b + 4c)

3.-binômio (suma o resta de dos términos).. 

2a + b ½b - 5c -b² + 2b 

4.-trinomios..  a + b - c 

-a² + ¾a + ½g  625x² + 30[25]x + 225 

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS