nociones de teoría de conjuntos.v

Nociones de Teoría de Conjuntos.Cuando los objetos se agrupan de acuerdo al menos en algunacaracterística común a cada uno de los objetos, estos objetos pasan aser elementos de una colección.Una colección con elementos que poseen una característica común, sellama conjunto.Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas tales como: A, B, C,etc.S í m b o l o s q u e s e u t i l i z a n Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

implicación material o en un solo sentido implica; si .. entonces; por lo tanto lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se

dicesobre A.

→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)

doble implicación si y sólo si; sii, syss1 lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y

conjunción lógica o intersección en

una rejay lógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de

los valores

n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural

disyunción lógica o unión en una reja o lógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

negación lógica no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.

una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados


cuantificador universal para todos; para cualquier; para cada lógica de predicados∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x∀ n ∈ N: n² ≥ n

cuantificador existencial existe por lo menos un/os lógica de predicados∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

cuantificador existencial con marca de unicidad existe un/os único/s lógica de predicados∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.∃! n ∈ N: n + 1 = 2

reluz tal que lógica de predicados∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos


delimitadores de conjunto el conjunto de ... teoría de conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

notación constructora de conjuntos el conjunto de los elementos ... tales que ... teoría de conjuntos

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que

{x : P(x)}.

{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

conjunto vacío conjunto vacío teoría de conjuntos

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.

{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

pertenencia de conjuntos en; está en; es elemento de; es miembro de;

pertenece a

teoría de conjuntos

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S

(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N

subconjunto es subconjunto de teoría de conjuntos

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B

A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión teoría de conjuntos

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos

aquellos de B, pero ningún otro.

A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

intersección de conjuntos la intersección de ... y ...; intersección teoría de conjuntos

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.

{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

complemento de un conjunto menos; sin teoría de conjuntos

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Números


números naturales N números

N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención

diferente.

{|a| : a ∈ Z} = N

números enteros Z números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}

{a : |a| ∈ N} = Z

números racionales Q números

Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

3.14 ∈ Q; π ∉ Q

números reales R números

R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

π ∈ R; √(−1) ∉ R

números complejos C números

C significa: {a + bi : a, b ∈ R}

i = √(−1) ∈ C

L e n g u a j e C o n j u n t i s t a

A = {a,b} A conjunto, a y b elementos del conjunto

Los conjuntos se definen por:Extensión: Escribiendo los elementos uno por uno, separados por una coma y entre paréntesis de llaves, es decís que cuando expresamos un conjunto por extensión se nombran todos los elementos del conjunto, por ejemplo: A={1;2;3;4}.

Comprensión: expresando la cualidad general que poseen sus elementos y sólo ellos, es decir un enunciado nos dice las cualidades de los elementos que forman el conjunto, por ejemplo: B={el conjunto B esta formado por los días de la semana}, o D={X/X es impar para ? x < 5}

Ejercicios: Escribir por extensión los siguientes conjuntos:H = {x/x, es par ? 4< x < 8}W = {x/x, es múltiplo de 7 ? 14 < x < 42

Determinación de conjuntosI) POR EXTENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos de un conjunto.Por ejemplo: A) Conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18}B) el conjunto de números negativos imperes mayores que -10. B = {-9;-7;-5;-3;-1}

II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: P= {los números dígitos}. Se puede entender que el conjunto P esta formado por lo números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Otra forma de escribir es P= {x/x=dígito} se lee “P es el conjunto formado por los elementos de x tal que x es un dígito”Ejemplo: expresar por extensión y por compresión el conjunto de días de la semana.Por extensión: D = {lunes;martes;miércoles;jueves;viernes;sábado;domingo}Por comprensión: D = {x/x=día de la semana}

Diagrama de vernnSirven para representar conjunto de manera gráfica.

Relación entre conjuntosInclusión: un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B.

Para entrar en tema podemos decir previamente que es un subconjunto y un superconjunto, un SUBCONJUNTO : un conjunto es llamado de esta manera cuando está contenido en otro; es decir, cuando todos sus elementos pertenecen al otro conjunto.

SUPERCONJUNTO: un conjunto es llamado de esta manera cuando contienen a otro u otros dentro de sí,

INCLUSIÓN () Y NO INCLUSIÓN ():A.INCLUSIÓNUn conjunto está incluido o es subconjunto de otro conjunto, si todo sus elementos pertenecen, o están contenidos, en el otro conjunto.B.NO INCLUSIÓN

Un conjunto no está incluido en otro conjunto o no es subconjunto de otro conjunto, si al menos un elemento no pertenece o no se encuentra dentro del otro conjunto.

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN, SUBCONJUNTO PROPIOInclusión: propiedades.En la inclusión de conjuntos podemos destacar tres propiedades importantes que enseguida veremos:

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A AHemos definido que un conjunto está incluido en otro si todos sus elementos pertenecen al otro conjunto. Con mucha más razón, todos los elementos del conjunto A pertenecen al mismo conjunto A. es reflexión. El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos: AEl conjunto vacío se representa así y está incluido en cualquier conjunto. Si un conjunto está incluido en otro y éste en un tercero, entonces el primero conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es transitivo A B B C A C

SUBCONJUNTO PROPIO

Si observar los siguientes conjuntos con mucha atención: A={1;2;3} y B={1;2;3;4;5}, te darás cuenta que AB. además, te darás cuenta que el conjunto incluido A tiene menos elementos que el conjunto que incluye. Es por eso que al conjunto incluido A se le llama subconjunto propio de B. gráficamente un subconjunto propio se verá así:

PROPIEDADES:

I) todo conjunto está incluido en si mismo A ⊂ AII) el conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto ∅ ⊂ AIII) A está incluido en B (A⊂B) equivale a decir que B incluye A (B⊂A)

IV) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B (AB)V) simbólicamente: A B X A X B

SUBCONJUNTOS Y SÚPER-CONJUNTOSUn conjunto se dice subconjunto de otro A, si todo elemento de A es también elemento de B, es decir, cuando se verifique:

X A X BSea cual sea el elemento X. en tal caso, se escribe A B.Otro ejemplo: A ={1;2;3;4;5}, B={2;3}Los elemento del conjunto B, están todos incluidos en el conjunto A, por lo cual se puede decir que ambos conjuntos guardan una relación entre ellos, o sea, como el conjunto B esta contenido en A, este se considera como un subconjunto con respecto al conjunto A; al conjunto Ase le llama súper-conjunto con respecto al conjunto B, porque contiene todos los elementos de B y más.

RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOSEntre las relaciones de conjuntos podemos citar, a los conjuntos iguales, los comparables, incomparables, equipolentes, disjuntos.

CONJUNTOS IGUALES.Tenemos un conjunto M={2;3;4;5} y otro N={3;2;5;4}, si observamos los elementos de ambos conjuntos, independientemente del orden en que aparecen podemos notar que ambos conjuntos tienen igual cantidad de elementos y los mismo elementos en cada conjunto; y cuando se cumple esta regla decimos que los conjuntos son iguales.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Por ejemplo: A= {X/X2=9} y B = {X/(X-3)(X+3)=0}, resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que X es

igual a 3 o -3, es decir: A={-3;3} y B={-3;3} por lo tanto A=B. simbólicamente: A=B(AB) (BA)Genéricamente decimos que siempre que para cualquiera que sea el elemento X, se verifique

X A X B

CONJUNTOS COMPARABLESSi tenemos los conjuntos A: “ son los días de la semana” y B: “son los días de la semana que terminan en 0”, si los expresamos por extensión A={domingo, lenes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado} y B= {domingo, sábado}, en este tipo de circunstancias podemos decir que estos conjuntos son comparbles por los elementos que poseen en común.ALGO MASUn conjunto A es COMPARABLE con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión.Observa que B (el ovalo interior), está incluidoEn A, por lo tanto A y B son

COMPARABLES.A ={1;2;3;4;5}, B={2;4}

CONJUNTOS INCOMPARABLES

4 2

5

1

3

Si tenemos dos o más conjuntos y no poseen elementos en común, no se pueden comparar uno con el otro ejemplo: C = {1;2;3;4;5} y D ={6;7;9}.

CONJUNTOS EQUIPOLENTESSi tomamos a los conjuntos A y B, y decimos que A: “son los días de la semana” y que B: “ son los elementos de una casa”, de acuerdo a las características de las enumeraciones podemos comparalas y clasificarlas como equipolentes, es decir: A = “domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado”B = “sala, cocina, baño, habitaciones, comedor, galería.”

CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.Cinco personas que están debajo de una planta de magos observan que la planta solo tiene mangos. Inmediatamente piensa que a cada uno le corresponde un mango. Entonces decimos que las cinco personas son A= {pedro, juan, maría, Isabel, rosa} y B= {son los 5 mangos}. Analizando este problema llegaremos a la conclusión de que los conjuntos son incomparables, por la carencia de elementos y estructura similar.Los conjuntos incomparables pueden ser disjuntos, o sea, pueden no tener ningún elemento en común.

CLASES DE CONJUNTOS o ESPECIALESSe pueden clasificar en universal o referencial, unitario, vacío, finito, infinito, familia de conjuntos y conjunto potencia.

Conjunto vacío: conjunto que no tienen elementos también se lo llama conjunto nulo. Generalmente se representa por lo símbolos: { } o ∅A= ∅ o A= { } se lee: “ A es el conjunto vacio o A es el conjunto nulo”Ejemplos: M={números mayores que 9 y menores que 5}; P={X/ 1/X=0}Cuando se escribe un enunciado y no podemos nombrar sus elementos, entonces se clasifica como vacío. Ejemplos: A= “son los 14 continentes de la tierra”, B= “todos los hombres mayores de 1000 años de edad”.

Conjunto unitario: es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F={X/ 2X + 6= 0}; G={X/X2 = 4^X< 0}Cuando se escribe un enunciado por compresión y resulta que el conjunto solo tiene un elemento, entonces el conjunto es unitario. Ejemplos: A= “es el creador del universo”, B= “es el presidente de la república dominicana”, C= “es el satélite de la tierra”, D= “descubrió américa”.

Conjunto finito Es aquel conjunto con un número limitado de elementosEjemplos: E={X/X es un número impar positivo menor que 10}; N={X/X2=4}.Es aquel al enumerar los elementos de dicho conjunto se pueden mencionar todos y cada uno de sus elementos. Ejemplos: A= “son los días de la semana”, es decir A= {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado},B= “son los meses del año, es decir, B={enero, febrero, marzo, abril, mayo ,junio, julio, agosto, setiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Conjunto infinito: con un numero ilimitado de elementos Ejemplo: R={X/X<6}; S={X/X es un numero par}.Es todo aquel conjunto del cual no se pueden enumerar todos los elementos de los que se compone.Ejemplo: A= “los números reales”, B= “los metros que tiene el universo”.

Conjunto universal: es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra UEjemplo: el universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NUMEROS COMPLEJOS.

Conjunto Universo: Es un conjunto de referencia que agrupa a todos los elementos de los conjuntos con que se opera en una determinada situación.

El conjunto referencial depende de la situación que se esté estudiando, se construye en forma convencional, este conjunto contiene los elementos de los conjuntos dados, es decir, cualquier conjunto respecto al conjunto referencial será subconjunto de él. Podemos decir, que el conjunto referencial es el super-conjunto de todos los elementos dados.Ejemplos: A= “son los números reales”, B= {1;2;3;4;5}, C= {9;10;11;12;13;14}, D= {5;6;7;8;9}.

CONJUNTOS DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.Ejemplos: F= { {a}; {b};{a, b};{a, b ,c} } observe que los elementos del conjunto F también son conjuntos. {a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F, ¿es correcto decir que {b} F? NOPorque {b} es un elemento del conjunto F, lo correcto es {b} F

Sabemos que los elementos de un conjunto se nombran con letras minúsculas, si es que son letras:

N ={a; e; i; o; u}, ahora observamos lo siguiente:M= {A;B;C;D}

El conjunto M tiene como elementos letras, y como esán en mayúscula podemos decir que los elementos de M son también conjunto.Cuando sucede esto podemos decir que se trata de familia de conjuntos.

A M, B M, C M, D M

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. ejemplo: sea A={m;n;p}Los subconjuntos de A son {m},{n},{p},{m;n},{m;p},{n;p},[m;n;p}, Entonces el conjunto potencia de A es: P(A)= { {m};{n};{p};{m,n};{m;p};{n;p};{m:n;p};}¿Cuántos ELEMENTOS TIENEN EL CONJUNTO POTENCIA DE A? tiene 3 elementos, y P(A) tiene 8

CONJUNTO NUMERICOS

A) P={X N/X2 - 9=0} aquí P={3}B) Q={XZ/X2 - 9=0} aquí Q={-3;3}C) F={XR/X2 + 9=0} aquí F={ }D) T={XQ/(3X – 4 (X -2)=0} aquí T={4/3}E) B={X I/(3X – 4(X -2)=0} aquí B={2}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión, Intersección, diferencia y diferencia simétrica.Sea A y B dos conjuntos.

UNIÓN

Los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos A y B, forman otro Conjunto, llamado unión de A y B, escrito AB. así pues, se tiene que:AB = {X : X A X B}Ejemplos: si tenemos los conjuntosA = {2;4;6}B = {4;6;8;10}C = {10;14;16;26}

B

AB

A

Entonces: AB= {2;4;6;8;10}, AC = {2;4;6;10;14;16;26}

El conjunto “A unión B” que se representa asi AB es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos. A B

Ejemplo: A={1;2;3;4;5;6;7} y B={5;6;7;8;9}

Ahora calculemos AB={1;2;3;4;5;6;7;8;9}

AB={X/X A XB}

REPRESENTACION GRAFICA DE LA UNION DE DOS CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables AB AB

Si A y B son conjuntos disjuntos

PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS

1. AA= A 2. AB=BA 3. A=A 4. AU=U5. (AB) C=A(BC) 6. Si AB= A=, B=

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Los elementos comunes entre A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por AB:

AB= {X : X A X B}

1 3 6

2 4 5

5 7

6 8 9

U B

A

U

B A

U B

A

Si dos conjuntos A y B son tales que AB=, entonces A y B se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplo: si tenemos los conjuntos A={2;4;6}, B={4;6;8;10}, C={10;1416;26}, entonces AB={4;6}

AC=

El conjunto “A intersección B” que se representa AB es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

Ejemplo: A={1;2;3;4;5;6;7} y B={5;6;7;8;9} entonces AB={5;6;7} AB={X/XAXB}

A B

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA INTERSECCIONN DE CONJUNTOS

SI A Y B SON NO COMPARABLES SI A Y B SON COMPARABLESAB AB=B

Si A y B son conjunto

Disjuntos tengo

AB=

5

6 7

8 9

1 2 4 53 6

7

U B

A

U A

B

U A B

PROPIEDADES DE INTERSECCION DE CONJUNTOS

1. AA=A 2. AB=BA 3.A= 4.AU=A 5. (AB) C=A(BC)

6. A(BC)=(AB) (AC) A(BC)=(AB) (AC)

DIFERENCIA DE CONJUNTOSlos elementos de un conjunto B que no se encuentran en otro conjunto A forman otro conjunto llamado diferencia de B y A, representado por, B-A:B –A = { X : X B X A} vemos que:X (B – A) X B X A X B X A´ X (B – A) X (BA´) De manera queB – A = B A´.

Pero también X (BA´) X B X A´ X A´ X B X A´ X B´ X (A´- B´), de modo que B – A = A´- B´

El conjunto “A menos B” que se representa A-B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplo: A={1;2;3;4;5;6;7} y B={5;6;7;8;9}

A-B= {1;2;3;4} A-B={X/X A X B}

NOS HACEMOS UNA PREGUNTA ¿A – B= B -A?

El conjunto “B menos A” que se representa B-A es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A, entonces B-A= {8;9}, B-A={X/X B X A}

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

SI a Y b SON NO COMPARABLES A –B SI A Y B SON COMPARABLES A-B

U B

A

U A

B

U A B

SI A Y B SON CONJUNTOS DISJUNTOS

A –B =A

DIFERENCIA SIMÉTRICA

Los elementos de conjuntos, A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

B A = (B – A) (A – B)

El conjunto “A diferencia simétrica B” que se representa AB es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o (B-A). EJEMPLO. A={1;2;3;4;5;6;7;} y B= {5;6;7;8;9}

A B= {1;2;3;4}{8;9}, AB={X/X (A-B) X (B-A)}

También es correcto afirmar que: AB=(A-B)(B-A)

AB=(AB)-(AB)

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. Notación: A’ o Ac simbólicamente: A’={X/X U X A}, A’= U – A Ejemplo: U={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A={1;3;5;7;9}

U

A’={2;4;6;8}

A B

1 3 5 79

2 A

8

6 4

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

1. (A’)’=A 2. AA’=U 3.AA’= 4. U’= 5. ’=U

LÓGICA PROPOSICIONAL

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le puede asignar un valor de verdad o falsedad.Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p´ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee “no p”.A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.Por ejemplo: la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

P P´1 00 1

A continuación se describe las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad:CONJUNCIÓN: es aquella proposición que es verdad cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.Se escribe p q, se lee “p y q”.

P q pq1 1 11 0 00 1 00 0 0

DISYUNCIÓN: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdaderas, y falsa en caso contrario. Se escribe pq, y se lee “p o q”.

p q pq1 1 11 0 10 1 10 0 0

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p y q, y se lee “p o q pero no ambas”. Se usa muy poco.

p q p y q1 1 01 0 10 1 1

0 0 0

CONDICIONAL: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa.Se escribe pq, y se lee “si p entonces q”.

p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1

BICONDICIONAL: Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe pq, y se lee “si y sólo si p entonces q”.

p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 1

PROPIEDADES QUE PUEDEN AFECTAR A LOS CONJUNTOS:PROPIEDADES UNIÓN INTERSECCIÓN

1-Idempotencia AA-A AA-A2-Conmutativa AB=BA AB=BA3-Asociativa A(BC)=(AB) C A(BC)=(AB) C4-Absorción A(AB)-A A(AB)=A5-Distributiva A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)6-Complementariedad AA´=U AA´=

Ejercicios1. En el siguiente gráfico observa los conjuntos y complementa el cuadrado usando los símbolos de

,, o , según corresponda.

2. marca verdadero o falso según corresponda.A={2;3;{5};{6;7};8}

a) 2Ab) 5Ac) 8Ad) {5}Ae) 7A

3. Dado el conjunto A={ {1};3;5;{2;4};7}. Señale la afirmación falsa:a) {1}Ab) {3}Ac) {5}Ad) {2;4}A

e) 7A

4. Dado el conjunto M={ {2};{3};4;{5;6}}. Señale la afirmación falsa.

a) 2Mb) {{3}}Mc) {4}Md) {5;6}Me) {5;6}M

5. Si A= {letras de la palabra aseo}, B={letras de la palabra poesía}. El conjunto de letras de A que no pertenecen a B es:

A) {a} B) {e} C) {p} D) {i} E)

6. De acuerdo al diagrama, la afirmación correcta es:A) Q= {1;2;3;7} B) PQ C) QP D) P={3;7}

7. En el siguiente gráfico, observa los conjuntos y completa usando los símbolos ,, o según corresponda:

8. ¿Qué conjunto esta incluido en A?A) B, C y D B) sólo CC) Sólo DD) C y D E) D y B

A) 2 AB) 1 BC) 6 CD) 4;5 AE) B AF) 3 CG) A UH) B CI) C UJ) 7 UK) {6;8} C

Dados los conjuntos U, A,B,C determina el conjunto indicado en cada caso.

U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}A= {2;4;6;8;10}B= {1;2;3;4,5}C= {1;3;5;7;9}a. ABb. BAc. ABd. B – Ue. U – Bf. Cc

g. BAh. ABi. (AB)c

AB= {1;2;3;4;5;6;;8;10}

9. Si A= {n R/n 2 2n 1} ; A=(a,b). calcule el valor de 6a+3b.A)8 B)9 C)7 D)10 E)12

Resolución: se sabe que AB=(ACB)(BcA)(n2)(2n1)(-;2)(1/2;)[{-;2)C{1/2;}] [{-;1} {1/2;}C][{2;} {1/2;}] [{-;1} {-;1/2}], luego {1/2;2}A={a;b} = {1/2;2}a=1/2 b=2 6a +3b=6(1/29) + 3(2)=9

10. Representación gráficaA) (BA)(B-C)B) (AC)-(ABC)C) [B(AC)]-(ABC)D) (AC) [(AB)-(BC)]E) (BA)-(ABC)

Solución:

11. Dé el valor de verdad de los siguientes proposiciones:1. Si A={n} B={m} n m P(A-B)=P(A)2. A-(AB)=3. Si ABC= A-B= A; A 4. [(B-AC){A(ABC)C}]C=

A) VFVF B) VFVV C) VVFF D) VVFV E) VVVF

Resolución:1. Como nm A y B son disjuntos, A-B=A P(A-B)= P(A) (V)2. A-(AB)=

A(AB)C=AACBC= vemos que AAC= BC

= A- (AB)= (V)3. ABC= A-B= A

A-B= F VABC= A –B=A (F)

4. [(BAC)C(ACB)A)]C= (ACB)A)= absorción{BCAAB}C={UA}C=

{U}C== (V)

12. Dado el siguiente diagrama lineal:

Halle el valor de verdad de los siguientes proposiciones:1. (AB)D=2. (BC´)-[(B-A)C´]=(AB)C´3. (AB)(CD)=D

A) VFF B)VVV C) FFV D) FVV E)VFV

4. Resolución:1. (AB)D= porque (AB)C=D es falso

2. (BC´)-[(B-A)C´]=(AB)C´ es verdadero

3. (AB)(CD)=D es verdadero por que ABCD=(AD)(BC) D C=D

13. Un total de 90 alumnos dio 3 exámenes para aprobar un curso y se observa que los que aprobaron solo un examen representan el quíntuplo de los que aprobaron los 3 exámenes resultan el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes. Si el número de los que desaprobaron los 3 exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes. ¿cuántos aprobaron el curso? Considere que para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2 exámenes.

A) 36 B)12 C)16 D)20 E)18Resolución: graficando convenientemente

Por lo menos dos aprobados 3a+a=4ª=4(9)=36

14. En la facultad de ingeniería económica y estadística de cierta universidad, las cantidades de estudiantes de ingeniería,Económica E1 e ingeniería estadística E2 son iguales. De las 450 mujeres, ninguna practica solo fútbol y 250 estudian E2. De loa 550 varones, ninguno practica solo vóley; 75 estudian E1 y practican fútbol; además 40 estudian E2 practican fútbol y vóley. La quinta parte de los varones que estudian E2, practica solo fútbol y esta cantidad es la tercera parte de las mujeres que practican vóley. Halle a+b, sia: cantidad de mujeres que no practica vóley.b: cantidad de varones, que estudian E1 y no practican fútbol o estudian E2 y practican sólo fútbol.A)435 B)465 C)480 D)540 E)575

Resolución: Gráficamente

a=450-150=300b=300-75+50=275a+b=575

15. a una conferencia asistieron 60 piuranos, 90 apurimeños y 70 tacneños. Se observó que entre los tacneños y piuranos había 100 personas que usaban lentes y 12 corbata, pero no tenían lentes y 48 apurimeños usaban lentes o corbata. Halle la cantidad de personas que no usaban lentes ni corbata y cuya procedencia era piurana o apurimeña, si 9 tacneños no usaban lentes ni corbata.

A)48 B)51 C)56 D)62 E)67

Resolución: haciendo el diagrama

Nos piden X+YLuego 220-X-Y-9=160 X+Y=51

nociones de teoría de conjuntos.v

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