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Índice: Tema Página. Unidad I.

Operaciones fundamentales del algebra ----------------------------- 15

1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico -------------------- 15 2. Notación algebraica. -------------------------------------------------------------- 18 3. Valor numérico de una expresión algebraica --------------------------------- 23 4. Leyes de los exponentes enteros positivos. ---------------------------------- 24 5. Suma y restas de polinomios ---------------------------------------------------- 26 6. Multiplicaciones de monomios ---------------------------------------------------30 7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --------------------------- 33 8. División de monomios. ------- ---------------------------------------------------- 36 9. División de polinomios por monomios. --------------------------------------- 38 10. Productos notables. --------------------------------------------------------------- 43 11. Factorización de polinomios. --------------------------------------------------- 47 12. Ejercicios. --------------------------------------------------------------------------- 51

Unidad II. Fracciones algebraicas. -----------------------------------------------------53

1. Simplificación de fracciones algebraicas. ------------------------------------53 2. Adicción de fracciones algebraicas. -------------------------------------------58 3. Mínimo común múltiplo de polinomios. ------- ---------------------------- 61 4. Fracciones con denominadores distintos. -----------------------------------64 5. Multiplicación de fracciones. ------------------------------------------68 6. División de fracciones. ---------------------------------------------------------71 7. Operaciones combinadas y fracciones complejas. -----------------------73

Unidad III. Exponentes y radicales. ---------------------------------------------------77

1. Leyes de los exponentes. ------------------------------------------------------77 2. Exponentes enteros negativos y cero. --------------------------------------78 3. Exponentes fraccionarios. -----------------------------------------------------81 4. Leyes de los radicales. ---------------------------------------------------------85 5. Adición y sustracción de radicales. -----------------------------------------89 6. Multiplicación y división de radicales. ---------------------------------------91

Unidad IV. Ecuaciones lineales. -------------------------------------------------------95

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1. Ecuaciones de primer grado. --------------------------------------------------95 2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. --------------------------97 3. Ecuaciones que contienen quebrados. ----- -------------------------------103 4. Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado------104 5. Ejercicios. -----------------------------------------------------------------------108

Unidad V. Sistemas de ecuaciones. --------------------------------------------------110

1. Resolución de sistemas lineales. ---------------------------------------------110 2. Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117 3. Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ----------118 4. Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos

o más incógnitas.-----------------------------------------------------------------121 5. Ejercicios. ------------------------------------------------------------------------124

Unidad VI. Ecuaciones cuadráticas. ------------------------------------------------127

1. Forma general de la ecuación de segundo grado. ----------------------127 2. Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ----------------------128 3. Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. -----128 4. Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ------------------129 5. Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ------------135 6. Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.------------------------- 137 7. Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.----------------138 8. Ejercicios.----------------------------------------------------------------------- 139

Unidad VII. Inecuaciones. ------------------------------------------------------------- 142

1. Generalidades sobre desigualdades. -------------------------------------142 2. Propiedades de las desigualdades. -------------------------------------- 143 3. Resolución de las inecuaciones. ------------------------------------------ 144 4. Inecuaciones simultáneas. -------------------------------------------------- 146 5. Ejercicios. ---------------------------------------------------------------------- 147

15

UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA.

1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.

Notación y terminología algebraica.

Introducción al álgebra.

El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos

para efectuar cálculos y resolver problemas.

Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de

la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El

álgebra es una generalización de la aritmética.

En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero

desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para

representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI.

Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes

trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos

pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un

símbolo como la "x" para la incógnita.

LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos

el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo

convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las

divide en:

LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores

que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un

problema se representan par medio de literales.

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INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores

numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones

matemáticas.

VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las

primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".

Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u,

v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".

De lo anterior hacemos la siguiente observación:

VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de

números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:

Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y"

cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:

Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3

Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)

Y=2 y=4 y=6

CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no

pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será

nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un

circulo al diámetro.

TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE

ALGEBRAICO Y VICEVERSA.

Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas

expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera

abstracta.

Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara

confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.

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En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje

algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en

proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS:

LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-

Tres objetos cualesquiera. x .y, z.

2.- La semisuma de dos números 2

a b+

3.- La suma de dos veces un numero mas 2n + 3n = 5n

tres veces el mismo numero es igual a

cinco veces dicho número.

4.- El cubo de un numero menos el w³ - 2w

del mismo numero.

5.- El cociente de dos Fracciones comunes m pn p÷

LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:

5n –2n = 3n Cinco veces un numero restado dos

veces el mismo numero es igual a tres veces

dicho numero.

a² + b² Suma de los cuadrados de dos números. 2πr

EI doble producto de π por r(radio).

2 (u -v) El doble de la diferencia de dos números.

A = (l)(a) El área de un rectángulo es igual al producto de su

largo par su ancho.

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2. NOTACIÓN ALGEBRAICA.

Identificación de los elementos de una expresión algebraica.

En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman

una representaci6n matemática; por ejemplo:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de

literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas.

EJEMPLOS:

X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x; 2 2x ax a++

; etc.

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-)

reciben el nombre de Términos algebraicos.

TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de

uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-).

EJEMPLOS:

3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc.

ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el

signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de

nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos".

EJEMPLOS :

8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS

-6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS.

Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo

(+ ) suele no escribirse en términos positivos:

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COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el

coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:

COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino.

EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5"

COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino.

EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”.

Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término.

EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 ..

Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su

coeficiente es la unidad.

EJEMPLO: "axy = 1 axy "

Monomios

Clases de monomios (términos)

Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a, ba 34 , a52

Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como: - ba3

Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que

tiene radical, como: ab , 3 23

ab .

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, yx4 4 , y

yx326 son homogéneos porque ambos son de quinto grado.

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Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer

grado, y 3a², que es de segundo grado.

Polinomios

Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o

más monomios.

Son polinomios en varias variables:

yx 7632 +

378 −+− yxxy

No son polinomios porque la variable:

86 7 2 ++ −xx tiene exponente negativo.

9x + y tiene un radical.

8x + y 3/2 tiene exponente fraccionario.

10xyz

la variable esta en el denominador.

EI polinomio esta constituido por términos

El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o

menos.

Ejemplo

4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y²

E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras),

multiplicados entre sí, llamados factores.

21

Coeficiente Exponente

yx 27

Literales

Generalmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5

-5x²y³

A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".

Clases de polinomios

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por

ejemplo:

2x³ + 7x – 8 , 83

535 2

++xx

Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como

denominadores, por ejemplo:

72−+

dc

ba

Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo:

2x² + 2xy + y²

Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por

Ejemplo:

823 −+ yx

22

Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en

relación a una literal, por ejemplo:

xx x 8 35 3 −+

Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente

menor, los números constantes se escriben hasta lo último.

Ordenar el siguiente polinomio:

185

518

372723

223

232

+−=

−+−+

−−

−yxx

xxyxyy

xyy

Grado de los polinomios

E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas

variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las

variables.

Ejemplo:

Grado de un término en una sola variable:

6x³ 3er grado.

2x 1er grado.

3³x 1er grado.

-3 grado cero porque -3x°

Grado de un término en varias variables:

72 x³ y³ 6to grado

4 x² y³ 5to grado

√3 x y² 3er grado

23

3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad

siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya

que la incógnita tiene un valor específico.

La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto

de la expresión algebraica.

Si es de primer grado sólo tiene una solución.

Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la

incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.

Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.

Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la

incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.

Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el

valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos

el valor numérico o comprobamos la igualdad.

Encontrar el valor numérico

¿Cuánto vale la siguiente expresión?

Cuando x = 2 Y y = 4

2(2) ² - 3 (4) =

2(4) – 12 =

8 – 12 =

Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si

2x²- 3y

- 4

24

x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces

x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber,

sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el

valor numérico de la expresión algebraica.

4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS

Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si

mismo; por ejemplo:

a5 = (a) (a) (a) (a) (a)

La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:

N Exponente (Entero positivo)

n – ésima potencia a Base

de a.

Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes

enteros y positivos, dichas leyes son:

Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término

de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias

multiplicadas; Es decir:

Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de

la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias

divididas”; Es decir:

nm

n

m

aaa −= (Si m > n) mnn

m

aaa

−=

1 (Si n>m)

n n (a ) (a ) = a

25

10 === − aa

aa nm

n

m

(Si m = n)

Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino

de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:

mnnm aa =)(

Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente,

su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es

decir:

mmm baab =)(

Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del

dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la

división”; Es decir:

m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

a) 53232 ))(( uuuu == +

b) 2242

4

mmmm

== −

c) 6)3)(2(32 )( ccc ==

d) 6

3

)3)(2(

333

2

8.22ba

ba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

26

5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS:

SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones

algebraicas de una sola.

Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.

EJEMPLOS:

SUMANDO <--------------- 222 753 aaa ++ = 215 a -------------------- SUMA

2232

3333

632724

532

axaxaxaxxxxmx

mnmnmn

=++

=++

=+

En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede ser con cantidades

positivas y negativas, proceso que se denomina “suma o adición algebraica”.

Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda, sumar los términos

positivos y los negativos primeramente y finalmente se calcula su diferencia. si existen

términos no semejantes, la operación que da indicando.

EJEMPLOS:

=−−+++=++−+− YYYXXXXYYXYX 4783684376 10 11X Y−

cbaccbbaacccbbbaaacbacbacba

526273533926523455423625

+−=−+−+−=−++−++−+=+−+−+−++

3232

5353

+=+

+=+

mm

bxaxbxax

27

En la suma de polinomios en forma práctica se colocan verticalmente los términos

semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la

operación.

1.- suma las expresiones: .743253 22 babbababa −++−++ acomodando los términos

semejantes, tenemos:

bbabababa

−++

+−

__________472533

2

2

baba 845 2 ++

Resta o Sustracción.- Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significado determinar

la cantidad a “m”, de cómo resultado “l”.

rml =− ya que lmr =+

La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes.

En aritmética la resta indica “disminución”, en el álgebra puede indicar “aumento “ o

“disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del “minuendo“ cada uno de los

términos del “sustraendo “, combinándole el signo a todos sus términos.

EJEMPLOS:

1.- Restar zyx 247 +− de .5911 zyx −+

MINUENDO -------------- ZYX 5911 −+

} ZYX

ZYX247

5911−+−−+

SUSTRAONA ---------- )247( ZYX +−− ---------------------

ZYX 7134 −+ ----- RESULTADO

28

2.- Resta 48715 +−+ bcaca de 13611 −+− acbsa

)48715(16311+−+−

−−+bcaca

bcaca

4871516311+−+−

−−+bcaca

bcaca

-----------------------------

524 −+−− bcaca

Signos de agrupación

Cuando una expresión algebraica contiene uno o mas partes del símbolo de la agrupación

en cerrados en otro par, siempre se elimina el de mas dentro.

Para suprimir los signos de agrupación se procede como se indica a continuación:

Los lo que están precedidos del signo + se quita el signó de agrupación y se pone su

termino sin cambiar sus signos interiores + o de – .

Los signos de agrupación presididos del signo del signo – se quitan de agrupación y se

pone el simétrico (signo contrario) de cada término.

EJEMPLOS:

( )[ ] }{ 25234 +−+− xxx [ ( ) ]}{[ ]{ } abbaa

abbaa+−−−−−=+−+−−−

12295238351229523835

}][{ 25234 −−+− xxx { } abbaa 1229523832 −−+−−=

}{ 25234 −−+− xxx abbaa +−+−+−= 1223240162432

225234 =−+−− xxx 2202412 +−= ba

29

Ejercicios

1. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego

la tercera expresión de la suma de las dos primeras.

a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c− + − + + + + Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c+ + − − +

b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy+ − − + − + Resp: 4 6 ; 6 2xy yz xy x+ − +

c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r− + − − + + − Resp: 9 4 6 ;7r rs s r− + +

2. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes

a) 4 ( 3) (3 1)x y x+ − − + Resp: 4x y+ −

b) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y− − − − − + Resp: y

c) [ ]1 2 (3 ) 3a b a− − − − + Resp: 1 2 2a b− +

d) [ ](3 ) (4 3 )x x x− + − − + Resp: 3 1x +

e) ]{ }2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b⎡− − + − + + − − +⎣ Resp: 6 5 3xy x y+ −

f) ]{ }10 ( 3) ( 6)x y x y⎡+ − + − − −⎣ Resp: 7

3. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c= = − = y 2d = −

a) 2a b c− + b) 2a b d− − c) 6 5a b d− −

d) 2 3a b c d− + + e) ( 2 )b c d− − f) 2 2(3 2 )c a b− −

g) a da d+−

h) 3ab cdc− i) 3 2

4b ad

a−

Respuestas: a) 9; b) 9; c) 29; d) 1; e) -8 ; f) -22; g) 0; h) 0; i) 18

−

30

6. MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS

Regla

Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los

factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los

factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.

Ejemplos: (1) Multiplicar .32 32 apora

53232 63232 aaXaXa == +

R. El signo del producto es +porque + por + es +.

(2) Multiplicar 342 5 ymxporxy −−

553241342 55)5()( ymxymxymxXxy ==−− ++

R. El signo de producto es +porque- por – da +

(3) Multiplicar xbbpora 22 43 −

xbaxbaxxabbXa 3321222 1243)(3 −=−=− +

R. El signo del producto es - porque + por - da –

(4) Multiplicar 32 4 cbaporab nm−

32132132 4414)( cbacbaXcbaXab nmnmnm ++++ =−=−

R. El signo es producto es – porque + da –

I . Ejercicios:

1.- ab por ab− Resp: 2 2a b−

2.- 22x por x3− Resp: 36x−

3.- ba24− por 2ab− Resp: 3 34a b

4.- 32ba por xa23 Resp: 4 33a b x

31

II . Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

1) 3 2( )( )a b b 2) 2 2 3( )( )a b a 3) 2 2(2 )(3 )x xy

4) 2 3 43 (2 )x y x y− 5) 2 4 23 (4 )( )x x y x y− 6) 3 2 3 2(3 )( )x y x y x− −

7) 2 2 3 33 (4 )( 9 )a b ab a b− − 8) 2 3 2( )a b ab 9) 2 2 26 (2 )a b ab

10) 2 2 2 3( ) (2 )a b ab 11) 2 2 3(4 ) ( )ab ab 12) 2 3 3 2( ) ( 8 )x y x y− −

13) 2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz− − 14) 2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c− −

15) 2 2 2 32 ( ) ( )a b a b− − − 16) 2 2 2( 2 ) ( ) ( )ax a x− − − 17) 2 2 2 22 ( ) (4 )( )a b a b− + −

Respuestas: 1) 3 3a b ; 2) 5 2a b ; 3) 3 26x y ; 4) 6 46x y− ; 5) 7 312x y− ; 6) 7 43x y ;

7) 6 6108a b ; 8) 4 7a b ; 9) 4 524a b ; 10) 7 88a b ; 11) 5 816a b ; 12) 12 564x y− ; 13) 8 8 720x y z

14) 8 24 245184a b c− ; 15) 2 2 2 32a b a b− + ; 16) 2 25a x ; 17) 2 22a b

Multiplicación de Polinomios por Monomios

Sea el producto cba )( +

Multiplicar porcba )( + equivale a tomar la suma )( ba + como sumando c veces; luego:

.),...(),...........(

).....()()(

bcacvecescbbbvecescaaa

cvecesbabacba

+=+++++=

+++=+

Sea el producto (a-b)c.

32

Tendremos: ( ) ( ) ( ) ( )............ ,

( ......... , ) ( .. , )a b c a b a b a b c veces

a a a c veces b b b c vecesac bc

− = − + − + −= + + + + += −

Podemos, pues , anunciar lo siguiente:

Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio

Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta

en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios

signos.

En esta Ley Distributiva de la multiplicación

Ejemplos:

Multiplicar 22 4763 axporxx +−

Tendremos )4(7)4(34)763( 2"222 axaxxaxXxx +=+−

234 282412 axaxax +−= ç

2

2

4763

axxx +−

-----------------------

La operación suele disponerse a si 234 282412 axaxax +−

I. Ejercicios:

(1) xporxx 23 23 −− Resp: 4 36 2x x− +

(2) 322 238 axporyyx −− Resp: 5 3 216 6ax y ax y− +

(3) xporxx 2342 −+− Resp: 3 22 8 6x x x− + −

(4) abaporaa 364 23 +− Resp: 4 3 23 12 18a b a b a b− +

33

II. Efectúe las multiplicaciones indicadas:

1) 6( 7)x + 2) 7( 4)x − 3) ( 3)x y +

4) 5 (2 3)x y − 5) 4 ( 3)x y− − 6) 22 (3 2 )x x x−

7) 26 ( 4 )x x x− − 8) 23 (3 5 )x x x− − − 9) 3 22 (3 5)x x x+ −

10) 2 22 ( 3 )ab a ab b− + − 11) 2 3 2 2 42 ( 5 3 )a b a a b b− + −

12) 3 2 25 ( 4 )a b ab b a− + 13) 3 2 22 (2 3 2)ab a b− − −

14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x− − − 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x− − −

16) 2 22 (3 4 6) ( 8)x x x x x− + − − 17) 2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x− − − − −

Respuestas: 1) 6 42x + ; 2) 7 28x − ; 3) 3xy x+ ; 4) 10 15xy x− ; 5) 4 12xy x− +

6) 3 26 4x x− ; 7) 3 26 24x x− + ; 8) 2 39 15 3x x x− + + ; 9) 5 4 36 2 10x x x+ − ;

10) 3 2 2 32 6 2a b a b ab− + − ; 11) 5 4 3 2 52 10 6a b a b a b− − + ; 12) 4 4 3 3 4 25 5 20a b a b a b− + ;

13) 3 3 5 34 6 4a b ab ab− + + ; 14) 27x ; 15) 10x− ; 16) 35 12x x+ ; 17) 4x

7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS

Sea el producto (a+b-c)(m+n).

Haciendo m+n=y tendremos:

cbyayycbanmcba −+=−+=+−+ )())((

34

cnbnancmbmamcncmbmbnnaam

nmcnmbnma

−++−+=−−+++=+−+++= )()()(

(sustituyendo y por su valor m+n)

Podemos enunciar lo siguiente:

Regla para Multiplicar dos Polinomios

Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del

multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos

semejantes.

Ejemplos: (1) múltiplos a-4 por 3 + a

Tendremos: 34

+−

aa

34

+−

aa

( ) ( )aaa 4− o sea aa 42 −

( ) ( )433 −+ a 123 −a

122 −− aa

Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos término del

multiplicador y el segundo término del multiplicador 3 por los dos termino del

multiplicador escribiendo los productos parciales de modo que los términos

semejantes quedan en columnas y hemos reducido los términos semejantes.

(2) Multiplicador xyporyx 52..34 +−−

Ordenando en orden descendente con relación a la x tendremos:

35

yxyx

2534

−−

yxyx

2534

−−

yx 1520 2 −

)5(3)5(4 yyxx − 268 yxy +−

)2(3)2(4 yyyx +− 22 62320 yxyx +−

I. Ejercicios:

1. 1..3 −+ apora Resp: 2 2 3a a+ −

2. xyporyx 2..28 +− Resp: 2 216 2 4x y xy− +

3. yxporxy 23..54 +−+− Resp: 2 215 22 8x xy y− + −

4. abporba 84.. +−+− Resp: 2 28 12 4a ab b− + −

II. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:

1) ( 7)( 4)x x− + 9) 2( 1)((2 2 3)x x x+ − +

2) ( 6)( 6)x x− + 10) 2( 2)( 2 4)x x x− + −

3) ( 1)( 6)x x− − 11) 2(2 1)(4 2 1)x x x− + +

4) (3 1)(4 3)x x− − 12) 2 2( 2 )( 2 4 )x y x xy y− + +

5) (3 2 )(3 4 )x x− + 13) 2 2( 2 1)( 2 1)x x x x+ − − +

6) (7 3 )(8 5 )x x+ − 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x+ + + −

7) ( 4 )(3 4 )x y x y− − 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)

8) ( 3)( 4)xy xy+ − 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x+ − − −

Respuestas: 1) 2 3 28x x− − ; 2) 2 36x − ; 3) 2 7 6x x− + ; 4) 212 13 3x x− + ; 5)

5) 29 6 8x x+ − ; 6) 256 11 15x x− − ; 7) 2 23 16 16x xy y− + ; 8) 2 2 12x y xy− − ;

9) 32 3x x+ + ; 10) 3 8 8x x− + ; 11) 38 1x − ; 12) 3 38x y− ; 13) 4 24 4 1x x x− + −

14) 22 3x + ; 15) 23 2x − ; 16) 8−

36

8. DIVISIÓN DE MONOMIOS.

Regla para dividir dos Monomios

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a

continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un

exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo de

la Ley de los signos.

Ejemplos: (1) Dividir abentreba 24 23 −

baabbaabba 2

2323 2

242/4 =−

=− R.

Porque ( ) ( ) 2332 442 bababaxab ==−−

(2) Dividir baentrecba 234 ..5 −−

cbaba

cbabacba22

55/5 2

34234 =

−−

=−− R.

Porque cbabacba 34234 5)(*5 −=−−

Obsérvese que cuando el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este

caso c, dicha letra letras a párese en el cociente. Sucede lo mismo que si la c

estuviera en el divisor con exponente cero por que tendríamos.

cccc ==−010/

(3) Dividir 332 4/20 xyymx−

mxxy

ymxxyymx 54

204/20 3

32332 −=

−=− R

Porque 323 20)5(*4 ymxmxxy −=−

Obsérvese que letras iguales en el dividendo y el divisor se cancela por que su

cociente es 1.Así, en es te caso 3y del dividendo se cancela con 3y del divisor,

igual que en. Aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y

denominador de un quebrado.

37

También de acuerdo con la ley de los exponentes 3y / 3y = 33−y = 0y y veremos

mas adelante que 0y =1y1 como factor puede suprimirse en el cociente.

Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:

34

2

26x yzxy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el

exponente exterior.

3 34 3 9 3 9 3

2 3 3 3

26 3 3 27x yz x z x z x zxy y y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

I. Ejercicios:

(1) 243 214 abentreba − Resp: 2 27a b−

(2) 4343 baentrecba− Resp: c−

(3) nmentrenm 225− Resp: 5−

(4) 3232 88 xaentrexa −− Resp: 1

II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.

1) 5

2

aa

2) 3x

x 3)

6

12

aa

4) 2

8

xx

5) 10

10

xx

6) 10

6

bb−

7) 8

10

( )aa−−

8) 7

7

( )aa

−−

9) 8

4

( 1)( 1)xx++

10) 6

9

( )( )x yx y−−

11) 33bxb

12) 6 4

3 2

x yx y

13) 2 5

6 10

936

a ba b

14) 8 7

4 9

618

a ba b

−

15) 62

5

2aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

16) 32 5

6

24x yxy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

17) 34 2 7

3 4 72x y zx y z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18) 43 2 4

2 3

1218

x y zxy z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuestas: 1) 3a ; 2) 2x ; 3) 6

1a

; 4) 6

1x

; 5) 1 ; 6) 4b− ; 7) 2

1a

− ; 8) 1 ;

9) 4( 1)x + ; 10) 3

1( )x y−

; 11) x ; 12) 3 2x y ; 13) 4 5

14a b

; 14) 4

23ab

− ; 15) 18

64a

38

16) 3

38xy

; 17) 3

68xy

; 18) 8 416

81x z

9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS.

Regla para dividir un polinomio por un monomio.

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los

cocientes parciales con sus propios signos.

Esta es la ley distributiva de la división.

Ejemplos

Ejemplo 1) Dividir 3 2 23 6 9a a b ab− + entre 3a.

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 33 3 3 3

a a b ab a a b aba a b ab aa a a a

− +− + ÷ = = − +

Resultado: 2 22 3a ab b− +

Ejemplo 2) Dividir3 2 23 2a a b ab

ab− −−

Solución: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 3 2a a b ab a ab ab a a b

ab ab ab ab b− − − −

= + + = − + +− − − −

Ejemplo 3) Dividir 2(3 ) (3 )

(3 )x a a x a

x a+ − +

+ y simplificar

2(3 ) (3 )

(3 )x a a x a

x a+ − +

+=

2(3 ) (3 ) (3 ) 3 3(3 ) (3 )

x a a x a x a a x a a xx a x a+ +

− = + − = + − =+ +

Ejercicios: Efectué las operaciones indicadas y simplifique:

1) 2 22

x + 2) 10 55x − 3)

26 33

x xx+ 4)

3 23x x xx

− + 5) 6 33

ax aa+

39

6) 3 2

2

7 147

x xx− 7)

2 3

2

10 155

x y xx+

− 8)

5 4 3

3

12 18 66

x x xx

+ −−

9) 3 2 2 3

2 2

36 2412

x y x yx y

− −−

10) 3 2

2

4 6 82

x x xx

+ − 11) 6 4 2 2 4

3 3

2 33

x x y x yx y

− −−

12) 26( ) 3( )

3( )x a x a

x a− + −

−

13) 2(2 ) (2 )

(2 )x a x x a

x a+ − +

+ 14)

3 2(2 ) (2 )(2 )

x a x ax a

− − −−

Respuestas: 1) 1x + ; 2) 2 1x − ; 3) 2 1x + ; 4) 2 3 1x x− + ; 5) 2 1x + ; 6) 2x − ;

7) 2 3y x− − ; 8) 22 3 1x x− − + ; 9) 3 2x y+ ; 10) 42 3xx

+ − ; 11) 3

3

23 3x x yy y x

− + +

12) 2( ) 1x a− + ; 13) x a+ ; 14) 2(2 ) (2 )x a x a− − −

.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división se define como la operación inversa de la multiplicación; así que empezamos con un problema de multiplicación y luego deducimos la operación de división.

40

2 2( 3 5)(2 7) (2 7) 3 (2 7) ( 5)(2 7)x x x x x x x x+ − − = − + − + − − 3 2 2(2 7 ) (6 21 ) ( 10 35)x x x x x= − + − + − + 3 22 31 35x x x= − − + Por consiguiente si 3 2(2 31 35)x x x− − + se divide por (2 7)x − , el resultado es

2( 3 5)x x+ − , es decir, el primer polinomio del problema de multiplicación. El polinomio 3 2(2 31 35)x x x− − + se llama dividendo, (2 7)x − es el divisor, y 2( 3 5)x x+ − , el

cociente. El primer término del dividendo, 32x , proviene de multiplicar el primer término del cociente, 2x , por el primer término del divisor, 2x . De modo que para obtener el primer término del cociente, 2x , dividimos el primer término del dividendo, 32x , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando todo el divisor (2 7)x − por ese primer término del cociente, 2x , obtenemos 3 22 7x x− . Al restar 3 22 7x x− del dividendo, resulta 3 2 3 2 2(2 31 35) (2 7 ) 6 31 35x x x x x x x− − + − − = − + La cantidad 26 31 35x x− + es el nuevo dividendo. El primer término, 26x , del nuevo dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x , por el primero del divisor, 2x . Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x , se divide el primero del nuevo dividendo, 26x , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando el divisor (2 7)x − por el segundo término del cociente, 3x , se obtiene 26 21x x− . Restando

26 21x x− del nuevo dividendo, resulta 2 2(6 31 35) (6 21 ) 10 35x x x x x− + − − = − + La cantidad 10 35x− + es ahora el nuevo dividendo. Al dividir el primer término, ( 10 ),x− de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x , se obtiene el tercer término, (-5), del cociente. Multiplicando el divisor (2 7)x − por el tercer término del cociente, (-5), se obtiene 10 35.x− + Restando ( 10 35)x− + del dividendo ( 10 35)x− + , resulta cero. Iniciemos nuevamente el problema disponiéndolo de una manera semejante a la división larga en aritmética. + 2x + 3x - 5 cociente El primer término del cociente es Divisor 2 7x − 32x - 2x - 31x + 35 dividendo − +

41

3 22 / 2x x x= 2 (2 7)x x − = 32x - 27x restar 26x 31x− + 35

El segundo − + 26 / 2 3x x x= + 3 (2 7)x x − = 26x 21x−

restar El tercero 10x− + 35 + − 10 / 2 5x x− = − 5(2 7)x− − = 10x− +35 restar 0 residuo

Por consiguiente 3 2

22 31 35 3 52 7

x x x x xx

− − += + −

−

Ejemplo 2. Dividir 3 2(6 17 16)x x− + por (3 4)x − Solución: Escribimos el dividendo como 3 26 17 0 16x x x− + + 22x+ 3x− 4− 3 4x − 36x 217 x− 0x+ + 16 − + 3 26 / 3 2x x x= + 22 (3 4)x x − = 36x 28x− 29x− + 0x +16 + −

29 /3 3x x x− =− 3 (3 4)x x− − = 29x− 12x+ 12x− +16 + −

12 / 3 4x x− = − 4(3 4)x− − = 12x− +16 0 residuo

Por consiguiente 3 2

26 17 16 2 3 43 4

x x x xx

− += − −

−

42

Ejercicios: Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:

1) 2 3 2

1x x

x+ ++

2) 2 6

2x x

x+ −−

3) 2 14 48

8x x

x− +

− 4)

28 16 62 1

x xx+ ++

5) 29 6 13 1

x xx+ ++

6) 212 25 124 3

x xx+ ++

7) 216 8 14 1

x xx− +−

8) 222 8 21

4 3x x

x+ −

−

9) 3 2

2

4 2 84

x x xx

− − +−

10) 4 3 2

2

3 2 6 3 22

x x x xx x

+ − + −+ −

11) 3 23 4 6

2 3x x x

x− − +

+

12) 3 24 7 21 9

4 3x x x

x− − +

− 13)

3 26 11 14 22 5

x x xx

− − −−

14) 4 2

2

2 11 39 153 5

x x xx x− − −

+ +

15) 4 3 2 2 3 4

2 2

2 3 3 5 32

x x y x y xy yx xy y

+ + − −− −

Respuestas: 1) 2x + ; 2) 3x + ; 3) 6x − ; 4) 4 6x + ; 5) 3 1x + ; 6) 3 4x + ; 7) 4 1x −

8) 2 7x + ; 9) 2x − ; 10) 23 1x x− + ; 11) 2 42 13 2

x xx

− + ++

; 12) 2 964 3

x xx

− − −−

13) 2 123 2 22 5

x xx

+ − −−

; 14) 22 6 3x x− − ; 15) 2 22 3x xy y+ +

43

10. PRODUCTOS NOTABLES.

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo

resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la

multiplicación.

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso

para obtener su resultado.

El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

Cuadrado del primer término más

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de

trinomio cuadrado perfecto.

Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término

del trinomio.

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +

Cuadrado del primer término, menos

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

Debemos entender que para encontrar el resultado de un binomio al cuadrado tenemos que

aplicar la siguiente regla:

• Elevar al cuadrado el primer termino (todo: signo, coeficiente y literales).

• Mas el doble producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo,

coeficiente y literales).

• Mas el cuadrado del segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

44

1. 2 2 2 2 2(3 8 ) (3 ) 2(3 )(8 ) (8 ) 9 48 64a b a a b b a ab b− = − + = − +

2. [ ]22 2 2(4 2 3) (4 2 ) 3 (4 2 ) 2(4 2 )(3) (3)x y x y x y x y+ + = + + = + + + +

2 216 16 4 24 12 9x xy y x y= + + + + +

Binomios conjugados

El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto

notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de

diferencia de cuadrados.

( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados

( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Los binomios conjugados son iguales a:

El cuadrado del primer termino del binomio

Menos

El cuadrado del segundo termino del binomio.

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:

1. 2 2 2 2(8 3 )(8 3 ) (8 ) (3 ) 64 9b c b c b c b c− + = − = −

2. 2 2 2 2 2 2 4(5 6 )(5 6 ) (5 ) (6 ) 25 36p q p q p q p q− + = − = −

3.

2 22 25 3 5 3 5 3 25 9

9 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Binomios al cubo

45

Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su

solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:

( ) ( )( )( )3a b a b a b a b+ = + + +

Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación

debemos realizarla por partes:

( )( ) ( )2 2 22a b a b a b a ab b+ + = + = + + .

Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:

( )( )2 2 3 2 2 32 3 3a ab b a b a a b ab b+ + + = + + +

Binomio al cubo = Cubo perfecto

( )3a b+ = 3 2 2 33 3a a b ab b+ + +

El cubo de un binomio es igual a:

Cubo del primer termino más

El triple producto del cuadrado del

primer termino por el segundo mas

El triple producto del Primer termino

por el cuadrado del segundo mas

Cubo del segundo termino.

Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:

( )3a b− = 3 2 2 33 3a a b ab b− + −

Ejercicios:

3 3 2 2 3 3 2 2 3(2 5 ) (2 ) 3(2 ) (5 ) 3(2 )(5 ) (5 ) 8 60 150 125x y x x y x y y x x y xy y+ = − + − = − + −

3 3 2 2 3 3 2 2 3(3 2 ) (3 ) 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 ) (2 ) 27 54 36 8a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −

46

Resumen de productos notables: 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + Binomio al cuadrado 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + Binomio al cuadrado

( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − Binomios conjugados

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + Binomios al cubo

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + − Binomios al cubo

Ejercicios: Desarrolle los siguientes productos notables:

1. 2(5 3 )x y− Resp 2 225 30 9x xy y− +

2. (2x + 3y)2 Resp: 2 24 12 9x xy y+ +

3. (m + 4)2 Resp: 2 8 16m m+ +

4. (a3 - b3)2 Resp: 6 3 3 62a a b b− +

5. (2m – 3n)2 Resp: 2 24 12 9m mn n− +

6. 2(2 3 2 )x y z− + 2 2 2Re : 4 9 4 12 8 12sp x y z xy xz yz+ + − + −

7. (3 2 )(3 2 )x y x y+ − Resp: 2 29 4x y−

8. 2 4 2 4(6 4 )(6 4 )a b a b− + Resp:

4 836 16a b−

9. (x2 + a2)( x2 - a2) Resp: 4 4x a−

10. 3 2 3 24 7 4 7

x y x y⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Resp: 2 29 4

16 49x y−

11. 3(2 7 )x y− Resp:

3 2 2 38 84 294 343x x y xy y− + −

12. (2 + y2)3 Resp: 2 4 68 12 6y y y+ + +

13. (1 – 3y)3 Resp: 2 31 9 27 27y y y− + +

47

11. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.

La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificarlas

expresiones algebraicas.

Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad.

I. Factor común.

En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la

propiedad distributiva.

Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El

factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.

Ejemplos:

1) 5 5 5( )x y x y+ = +

El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los

factores son 5 y (x + y).

2) ( )ax bx cx x a b c− + = − +

X es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son x

y (a – b + c).

3) 24 8 2x y xy y− + = 22 (2 4 1)y x x− +

El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto,

son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la

expresión original 24 8 2x y xy y− + entre 2y, dando como resultado, 22 4 1x x− + que

representa al segundo factor.

4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 26 12 24x y x y xy+ −

Solución: El máximo factor común es 26xy .

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2 22 2 2

6 12 246 12 24 66 6 6x y x y xyx y x y xy xyxy xy xy

⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠= 2 26 ( 2 4)xy x x+ −

II. Diferencia de cuadrados

48

El producto de los factores ( )a b+ y ( )a b− es 2 2a b− , es decir, la diferencia de dos

términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma

y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.

Ejemplo 1) Factorizar 29 4a − .

Solución: La raíz cuadrada de 29a es 3a y la de 4 es 2.

Por consiguiente, 29 4 (3 2)(3 2)a a a− = + −

Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 481x y− .

Solución: 4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 )x y x y x y− = + −

2 2( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y= + + −

Ejemplo 3) Factorizar completamente 46 6x − .

Solución: 4 46 6 6( 1)x x− = −

2 26( 1)( 1)x x= + −

26( 1)( 1)( 1)x x x= + + −

Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 24( 3)x y− −

Solución: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y− − = + − − −

( 2 6)( 2 6)x y x y= + − − +

III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como

resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que

encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento:

1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término.

2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:

• Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c).

49

• Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b).

Ejemplo: x2 + 5x + 6.

Dos números que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x ) (x ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el

coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).

Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).

Ejemplo: a2 + 9a + 20.

Dos números que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a ) (a ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el

coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).

Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).

IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla:

El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que

multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos

términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del

trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios

factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.

Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.

a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,

siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino del trinomio,

dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos

que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser

(1)(8) y (2)(4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la

suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios

factores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su

factorización es:

50

3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)

b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,

siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino del trinomio,

dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos

que multiplicados den (-36) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden

ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y

(9)(-4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma

algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios

factores resulte (-11x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su

factorización es:

5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)

V. Factorización por agrupación.

Cuando tenemos polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se

repiten en él, podemos aplicar la propiedad asociativa y conmutativa a estos términos

semejantes y después factorizar.

Por ejemplo, si queremos factorizar el polinomio ax + by – cx + dx – ey; tenemos que

realizar la siguiente operación: juntamos todos los términos que tienen x en común y los

que tienen y en común.

ax + by – cx + dx – ey = (ax – cx + dx) + (by-ey);

= x(a – c + d) + y(b – e).

se escribe el signo de la suma porque este no cambia el signo de los términos que le siguen.

Ejemplo 1: Factoriza 25 3 10 6a ax a x− + − + .

Asociando ( ) ( )2 25 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x− + − + = − − + + .

51

Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser

positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la

propiedad conmutativa.

( ) ( )25 10 3 6a a ax x= − + + +

( ) ( )23 6 5 10ax x a a= + − +

Factorizando: ( ) ( )3 2 5 2x a a a= + − +

Y de nuevo factorizando: ( )( )2 3 5a x a= + −

Ejemplo 2: Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by− − +

12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by− − + = − − −

12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b− − + = − − −

(3 5 )(4 3 )a b x y= − −

12. EJERCICIOS:

I. Factorizar por factor común

a) 4 4x + b) 12 6x + c) 18 27x − c) 3 29 6x x− d) 3 3bx b+

e) 2 2xy x y+ f) 2 24 8xy x y− g) 2 2 24 12x y x y+ h) 2 26 4 10x y xy xy− +

i) 3 2 32x x y xy− + j) 3 2 2 3 2 24 2 6x y x y x y+ − k) ( ) ( )x a b y a b+ + +

l) 3( 3) ( 3)a x a+ + + m) 4(2 1) (2 1)x x x− + −

II Factorice completamente las siguientes diferencias de cuadrados

a) 2 16x − b) 2 36x − c) 29 25x − d) 281 x− e) 236 1x −

f) 24 81x − g)

2 29 16x y− h) 2 49 4x y− i) 4 2 24 9a b c− j) 6 4a b−

k) 2 2 49x y y− l) 8 12 1036 9a b c− m) 4 416 81x y− n) 2 2( 1)x y+ −

III. Factorizar los trinomios de las forma 2x bx c+ + siguientes:

52

a) 2 3 2x x+ + b) 2 7 12x x+ + c) 2 8 15x x− + d) 2 9 20x x− +

e) 2 4 21x x+ − f) 2 12 45x x+ − g) 2 3 18x x− − h) 2 8 12x x− +

i) 2 29 14x xy y− + j) 2 211 28x xy y− + k) 4 23 10x x− − l) 4 27 8x x+ −

IV Factorizar los trinomios de la forma 2ax bx c+ + siguientes:

a) 22 3 1x x+ + b) 23 7 2x x+ + c) 22 7 6x x+ + d) 22 11 5x x− +

e) 23 4 1x x− + f)

24 9 2x x− + g) 22 5 2x x− + h) 23 11 6x x− +

i) 24 8 6x x− + j) 22 15 8x x+ − k) 23 7 6x x+ − l) 24 5 6x x− −

m) 22 7 4x x− − n) 24 15 4x x− − ñ) 24 19 12x x+ + o) 26 5 4x x− −

p) 26 23 18x x+ − q) 26 7 2x x− + r) 26 11 4x x+ − s) 26 31 18x x+ +

t) 2 23 16 12x xy y− − u) 2 23 7 6x xy y− − v) 2 24 8 5x xy y− − w) 2 26 5 6x xy y− −

x) 4 25 8 4x x+ − y) 4 22 5 12x x− − z) 4 28 29 12x x− −

V. Factorizar por agrupación

a) 3 3x y ax ay+ + + Resp: ( )(3 )x y a+ +

b) 2 2ax ay cx cy− + − Resp: ( )( 2 )x y a c− +

c) 23 9 3xy ax ay a+ − − Resp: ( 3 )(3 )y a x a+ −

d) 2 2 2 2x y x y− − + Resp: ( )( 2)x y x y− + −

e) ax ay bx by+ + + Resp: ( )( )x y a b+ +

53

UNIDAD II FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

De las propiedades de fracciones estudiadas, se tiene que a acb bc= .

Las fracciones algebraicas ba y ac

bc se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus

números literales.

Una fracción esta expresada en términos mínimos, o reducida, cuando el numerador

y el denominador no poseen factor común.

Para reducir o simplificar la fracción algebraica bcac a sus términos mínimos, dividimos

tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener ba .

Nota: Los números a y c en la expresión bcac son factores del numerador, no términos como

en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.

La fracción cbca

++ no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a

ba

ni a 11

++

ba . Análogamente,

65

65 b

aba +≠

+ Pero a

ba

baa

aba

665

665

65

+=+=+

Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se

factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno

con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son

monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.

54

Ejemplo:

Reducir 3

23

5436

abccba a sus términos mínimos.

Solución. El máximo factor común de los monomios cba 2336 y 354abc es abc18 .

Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene. 2

2

3

23

32

5436

cba

abccba= .

Ejemplo: Reducir a su mínima expresión. ( )( )42

63

220236

−−

xxyxyx .

Solución. El máximo factor común es ( )24 2 −xxy .

Al dividir el numerador y denominador entre ( )24 2 −xxy , obtenemos

( )( ) ( )3

42

42

63

259

220236

−=

−−

xyx

xxyxyx

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos

son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y

luego se dividen por este.

Ejemplo Reducir 22

232

121830yx

xyyx − a sus términos mínimos.

Solución. 22

232

121830yx

xyyx − ( )22

2

12356

yxxyxy −

=

Dividiendo el numerador y denominador por 26xy , se obtiene

22

232

121830yx

xyyx − ( )22

2

12356

yxxyxy −

=x

xy2

35 −= .

Ejemplo Reducir yxyx

yx423

3

483624

+ a su mínima expresión.

55

Solución. yxyx

yx423

3

483624

+ ( )xyyxyx

431224

3

3

+=

Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener

yxyx

yx423

3

483624

+ ( )xyyxyx

431224

3

3

+=

xy 432+

= .

Ejemplo Reducir 1

322

2

−−+

xxx a su mínima expresión.

Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos

1

322

2

−−+

xxx ( )( )

( )( )11132

−+−+

=xxxx

Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, ( )1−x ,

1

resulta 1

322

2

−−+

xxx ( )( )

( )( )11132

−+−+

=xxxx 2 3

1xx+

=+

1

Nota La fracción 132

++

xx esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningún

factor común.

Notas:

1. ( )ababba −−=+−=−

2. ( ) ( )[ ] ( )222 ababba −=−−=− 3. ( ) ( )[ ] ( )333 ababba −−=−−=−

Ejemplo

( )( ) 1−=−−−

=−−

abab

abba

56

Ejemplo

( )( )

( )( )

3 3

2 2

1 1(1 ) 1

1 1a a

a aa a− − −

= = − − = −− −

o bien, ( )( )

( )( )

111

11

2

3

2

3

−=−−

=−− a

aa

aa

Nota: La fracción baba

−+ no puede reducirse a una forma mas simple, ya que a + b no se

puede escribir como múltiplo de a + b.

Hay que observar también que ba

ba

ba

−=−+

=+− .

Ejemplo Reducir 2

2

4723148

xxxx

−−+− .

Solución. 2

2

4723148

xxxx

−−+− ( )( )

( )( )( )( )( )( ) 2

32412

3241412

3214−−

−=−+

−−−=

−+−−

=xx

xxxx

xxxx

( ) ( )[ ]xx 4114 −−=−

Ejemplo Reducir 2

2

3265

xxxx+−+−

Solución. 2

2

3265

xxxx+−+− ( )( )

( )( )( )

xx

xx

xxxx

−−

=−−−

=−−−−

=13

13

1223 o bien

13

−−

xx .

57

EJERCICIOS 1

Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:

1. 3

6

xx 2. 7

2

xx 3. 2

5

128

xx 4. 6

3

249

xx

5. 252

34

6354

cbacba 6. 386

548

8064

zyxzyx 7.

baabc

2

3

1520−

8. 44 5

73a bab

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

9. ( )( )222

33

62

baba 10. ( )

( )23

32

63ab

ba− 11. ( )( )2

33

63

baxbax

++ 12. ( )

( )322

216212

−−

xxxx

13. ( )( )42

223

2114

yxxyyxyx

−− 14. 32

2

3216168

xxxx

++ 15.

baaabba

23

22

4422

−− 16. 2

22

)3(9baba

+−

17. 34

12

2

++−xx

x 18. 962411

2

2

+−+−

xxxx 19.

432410

2

2

−−+−

xxxx 20.

9412112

2

2

−+−

xxx

21. 14312

2

2

++−+

xxxx 22.

3114274

2

2

−+−+

xxxx

Respuestas a los ejercicios anteriores

1. 3x ; 2. 5

1x

; 3. 3

2 3x ; 4. 383x

; 5. cb

a2

2

76 ; 6. 4

22

54

yzx ; 7.

ac

34 3

− ; 8. 8

12

81ba ; 9.

ba

92 5

10. 3

4

43

ba

− ; 11. 2

)(2 bax + ; 12. )2(4

3−xx ; 13. 2

2

)(32

yxx−

; 14. x2

1 ; 15. a

b2

; 16. baba

33

+−

17. 31

+−

xx ; 18.

38

−−

xx ; 19.

16

+−

xx ; 20.

324+−

xx ; 21.

1312

+−

xx

58

2. ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas.

Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y

luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores

distintos.

FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.

Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación.

cba

cb

ca +

=+

Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una

fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el

denominador común.

Ejemplo Efectuar xx23

+

Solución. xx23

+ xx523

=+

=

Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre

paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.

Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y

la nueva fracción a su mínima expresión.

59

Ejemplo Efectuar 22 23

2 xx

xx −

++

Solución. 22 23

2 xx

xx −

++ ( ) ( )

xxx

xxx

xxx 1

22

233

233

222 ==−++

=−++

=

Ejemplo Efectuar 2

22

4+

++ x

xx

Solución. 2

22

4+

++ x

xx

( ) 22

222

24=

++

=++

=x

xx

x .

Ejemplo Efectuar 2

22

22

2

2

2

−+−

−−+

−xx

xxxx

x

Solución.

22

22

2

2

2

2

−+−

−−+

−xx

xxxx

x ( ) ( )2

222

222

2222

22

2

22

−+−

=−++−−

=−+−−−

=xx

xxx

xxxxx

xxx

( )( )( ) 2

212

12+

=−+

−=

xxxx .

Ejemplo Efectuar 3114

353114

92

2

2

2

−−−

−−−

+xxxx

xxxx

Solución. 3114

353114

92

2

2

2

−−−

−−−

+xxxx

xxxx ( ) ( )

3114359

3114359

2

22

2

22

−−+−+

=−−−−+

=xx

xxxxxx

xxxx

( )( )( )

( )( )( ) 14

4314

34314

343114

4122

2

+−=

−+−−

=−−

−=

−−−

=x

xxx

xxxxxx

xxxx .

Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de

ellas.

L+++ca

ca

ca 321

ca

ca

caa

can L++

+++ 321

caaaa n++++ L321

60

EJERCICIOS 2

1. xxx526

−+ 2. xxx 2

123

27

−− 3. 222

51520xxx

−−

4. 53

553

2−

+− xxx 5.

221

−−

−+

xx

xx 6.

322

3223

+−

+++

xx

xx

7. 2727

2714

+−

−+ x

xx

x 8. 1

21

2−

−− xxx 9.

252534 22

+−

+++

xxx

xxx

10. 24

12413

−+

−−+

xx

xx 11.

526

5243

−−

+−−

xx

xx 12.

xxx

xxx

844

844

22 −−

−−+

13. 43

343

1222 −−

+−−

−xxxx

x 14. 352352

222

2

−+−

−+ xxx

xxx

15. 6112

36112

322

2

2

2

−−+

−−−

−xxxx

xxxx 16.

23233

2

2

2

2

+−−

++−

−xxxx

xxxx

Respuesta a los ejercicios anteriores

1. x3 ; 2.

x23 ; 3. 0 ; 4.

5352

−+

xx ; 5.

21−x

; 6. 32

4+xx ; 7. 1; 8. 2 ; 9. x ; 10.

12 −xx

11. 2 ; 12. )2(

2−xx

; 13. 4

2−x

; 14. 3+x

x ; 15. 12 +x

x ; 16. 1

2−xx

61

3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.

Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se

descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos.

Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.

Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de

polinomios, si:

1. Cada polinomio del conjunto divide a p y

2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también

divisible por p.

Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios

completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que

aparezca en los polinomios dados.

Ejemplo Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.

Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la de y es

3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.

Ejemplo Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.

Solución. 53260 2 ⋅⋅=

23 3272 ⋅=

5280 4 ⋅=

Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24 =⋅⋅

El m.c.m. de los monomios 23720 yx= .

Ejemplo Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.

Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).

La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.

Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).

62

Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).

Ejemplo Encontrar el m.c.m. de x2-x y x2-1.

Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.

( )12 −=− xxxx

( )( )1112 −+=− xxx

Por lo tanto, m.c.m. = ( )( )11 +− xxx .

Ejemplo Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.

Solución.

( )( )212232 2 +−=−+ xxxx

( )( )312372 2 −−=+− xxxx

Entonces, m.c.m. = ( )( )( )3212 −+− xxx .

Ejemplo Obtener el m.c.m. 132 2 +− xx , 21 x− y 12 2 −+ xx .

Solución.

( )( )112132 2 −−=+− xxxx ( )( )

( )( )11212111

2

2

+−=−+

−+=−

xxxxxxx

Puesto que ( ) ( )11 −−=− xx , podemos escribir ( )x−1 como ( )1−− x o bien, ( )1−x como

( )x−− 1 .

Reacuérdese que .11 +=+ xx

Por lo tanto, ( )( )112132 2 −−=+− xxxx

( )( )111 2 −+−=− xxx

A si que, m.c.m. ( )( )( )1112 +−−= xxx .

( )( )11212 2 +−=−+ xxxx

63

EJERCICIOS 3

1. 8, 12 Y 18 2. x, x2 y 4x 3. 9x, 12x y 4x2

4. xy, xy2, y xy3 5. 4xy, 14xy2 y 8x2y 6. 9xy, 12x3y y 15x2y

7. ( ) 24,3 xxx + y ( )12 =x 8. ( ) ( )1,1 2 −− xxx y ( )12 −xx

9. 32,12 −− xx y ( )( )3212 −− xx 10. ( ) 5,2 2 ++ xx y ( )( )52 ++ xx

11. ( )( )313 ++ xx y ( )213 +x 12. ,1,12 ++ xx y ( )21+x

13. ( ) ,4,2 2 +− xx y 2−x 14. ,, 232 xxxx −− y 22 −x

15. ,1812,94 2 −− xx y 2718 −x 16. ,4816,12 22 +−− xxxx y xx 42 −

17. ,34,1 22 ++− xxx y 322 −+ xx 18. ,86,128 22 +−+− xxxx y 24102 +− xx

19. ,18152,968 22 ++−+ xxxx y 18214 2 −+ xx

20. ,3118,6724 22 ++−− xxxx y 232 xx −− .

64

4. FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.

Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los

denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común

denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se

cambia cada fracción a una equivalente que tenga el m.c.d. Como denominador mediante

la regla, bcac

ba= y luego se efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con

denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los

denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común

denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.

Ejemplo Efectuar xxx 3

2627

2 −+

Solución. El m.c.d. =6x2.

Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan operaciones.

xxx 326

27

2 −+( )( )

( )( )

( )( )xx

xxxx

x2322

666

3237

2 −+=( ) ( ) ( )

222 622

666

637

xx

xxx

−+=

( ) ( ) ( )222 63617

643621

6226637

xx

xxx

xx +

=−+

=−+

= .

Ejemplo Efectuar la operación y simplificar 2

23 −+

+ xxx

Solución. El m.c.d. = ( )( )23 −+ xx .

Al escribir fracciones equivalentes con denominador ( )( )23 −+ xx y efectuar luego la suma,

obtenemos.

22

3 −+

+ xxx ( )

( )( )( )

( )( )3232

232

+−+

+−+

−=

xxx

xxxx ( ) ( )

( )( ) ( )( )23622

23322 2

−+++−

=−+++−

=xx

xxxxx

xxx

( )( )236−+

+=

xxx .

65

En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego

combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d.

como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego

se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la

primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se

relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.

⊗ ( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )234

1364209223

13634

209+−+

−+−−+=

+−−

−−+

−xxx

xxxxxx

xxx

x

÷

El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción. Hay que

asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo adecuado.

( ) ( )( )( )( )234

521164029 22

+−+−+−−−

=xxx

xxxx

( )( )( )234521164029 22

+−++−−−−

=xxx

xxxx

( )( )( )( )( )

( )( )( )234343

23412133 2

+−+−−

=+−+

+−=

xxxxx

xxxxx

( )( )2443++

−=

xxx .

66

Ejemplo Efectuar la operación y simplificar.

222 345

49223

122

xxxxx

xxx

−−+

++−

−−−

+

Solución.

222 345

49223

122

xxxxx

xxx

−−+

++−

−−−

+( )( ) ( )( ) ( )( )xxxx

xxx

x−+

++−

−−

−++

=14

5412

23112

2

Tomamos el m.c.d. ( )( )( )4112 +−+= xxx

( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxx

xxx

−+−+

+−−

−−+

+=

145

41223

1122

( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxx

xxx

−+−

+−−

−−+

+=

145

41223

1122

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )4112

12523124+−+

+−−−−++=

xxxxxxxx

( ) ( )( )( )( )4112

51025386 22

+−+−−+−−++

=xxx

xxxxx

( )( )( )411251025386 22

+−+−−−+−++

=xxx

xxxxx

( )( )( )( )( )

( )( )( )4112121

411221 2

+−+−+

=+−+

−+=

xxxxx

xxxxx

( )( )( )( )( ) 4

14112

121+

−=+−+

−+−=

xxxxxx .

67

EJERCICIOS 4

Reducir a una sola fracción y simplificar:

1. xxx 5

6273+− 2.

yx

yx

yx

52

23

+− 3. xxx 5

6432

2 +− 4. 22 21

3133

xxx−+

5. x

xx

x2

25

13 −+

+ 6. x

xx

x10

54

2 ++

− 7. x

xx

x7

314

67 −−

− 8. 2515

33

xx

xx −

−+

9. 2

54−

++x

x 10. 4

53

3−

++ xx

11. 32

32 −+

+ xxx 12.

21

32 −+

+ xxx

13. 1

132

2+

−− xx

14. 1

112

2+

−− xxx 15.

3962 +

+− x

xx

x 16. 22

32 +

+−+ x

xxxx

17. 12

2472

832 +

−−−

−xxx

x 18. 9

1812

722 −

+−− xxx

x 19. 45

243

2322 −−

+−

−−−

xxx

xxx

20. 2

42

3444

2 −+

+−

−−

xxxx 21.

41

15211

12772

22 −−

−+−

++−

−xxx

xxx

x

68

Respuesta a los ejercicios anteriores

1. x10

7 ; 2. y

x10

− ; 3. 2156028

xx − ; 4. 26

2615x

x+ ; 5. x

x10

811 − ; 6. 207 ; 7.

145 ; 8. 2

2

1535

xx +

9. 2

)1)(3(−

++x

xx ; 10. )4)(3(

38−+

+xx

x ; 11. )32)(2(

62 2

−++xx

x ; 12. )2)(32(

32

−++

xxx

13. )1)(32(

5+− xx

; 14. )1)(12(

12 2

+−+xx

x ; 15. 3−x

x ; 16. 1−x

x ; 17. )4)(12( −+ xx

x

18. )3)(4(

247−−

−xx

x ; 19. )1)(1(

2−+ xx

x ; 20. 2

5−x

; 21. 5

2+x

5. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.

El producto de las fracciones ba y

dc se definió en el capitulo 2 como

bdac ; o sea

bdac

dc

ba

=× .

Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los

numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En general,

n

n

n

n

ba

ba

ba

bbaa

ba

ba

ba

ba

LL4

4

3

3

21

21

3

3

2

2

1

1 ⋅⋅=⋅⋅

n

n

ba

ba

bbbaaa

L4

4

321

321 ⋅=

n

n

bbbbaaaa

L

L

321

321=

Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.

69

Ejemplo Encontrar el producto yxba

2

23

827 y 22

2

8116

bayx .

Solución. bax

byaxyxba

bayx

yxba

32

8181627

8116

827

322

323

32

3

2

23

=⋅⋅

=⋅

Nota: Es más fácil reducir 8181627

⋅⋅ que

648432 , que es el resultado de los productos de los

coeficientes.

Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido simplificada.

Ejemplo Simplificar ( )( )

( )( )333

223

2323

3422

94

23

yxyx

yxyx

⋅− .

Solución. ( )( )

( )( )333

223

2323

3422

94

23

yxyx

yxyx

⋅− ( )

( )( )( )3332

2232

2323

3422

32

23

yxyx

yxyx

⋅−

= .

996

464

646

1266

32

23

yxyx

yxyx

⋅−

=

151366

161246

3223

yxyx

⋅⋅

=

xy

xy

422 −==

Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios,

primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una

sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para

obtener una fracción equivalente ya reducida.

Ejemplo Simplificar 3103

165112

32

2

2

2

+−−+

⋅++

−xx

xxxxxx .

1 1 1

Solución. 3103

165112

32

2

2

2

+−−+

⋅++

−xx

xxxxxx ( )

( )( )( )( )( )( ) 5133

1213512

3+

=−−+−

⋅++

−=

xx

xxxx

xxxx .

1 1 1

70

EJERCICIOS 5

Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:

1. 2720

3239

6536

⋅⋅ 2. 12815

12558

8764

⋅⋅ 3. xy

yx 2

3

2 249

⋅

4. 63

82

42

32 7214

bayx

yxba

⋅ 5. 27

8

68

35

3

3

2816

6026

3935

baxy

yxba

bayx

⋅⋅ 6. 2

3

3

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −x

yyx

7. ( )( )

( )( )33

332

32

22

23

94

yxyx

xyyx

⋅ 8. ( )( )

( )( )432

22

24

323

35

106

yxxy

xyyx −

⋅ 9. 204

326

3062

2

2

3

−+

⋅+−

xxx

xxxx

10. 32

122

42

34

2

−+⋅

+−xx

yxyxxx 11.

158209

12796

2

2

2

2

++++

⋅++++

xxxx

xxxx

12. 1521610

1492110

2

2

2

2

−++−

⋅+−+−

xxxx

xxxx 13.

xxxx

xxxx

11281342

1340920

2

2

2

2

−+−+

⋅−+−+

14. 22

22

22

22

20193673

32075367

yxyxyxyx

yxyxyxyx

+−−+

⋅−++−

Respuesta a los ejercicios anteriores

1. 21 ; 2.

251 ; 3.

yx

29 ; 4. 3

4

34aby ; 5. 45

3

92

xay ; 6. 4

1y

− ; 7. 27

4 3xy

8. 3

2x ; 9. 4

3x ; 10. )3()1(

2 +−

xxxy ; 11. 1 ; 12.

58

+−

xx ; 13.

86

−−

xx ; 14.

yxyx

4323

−−

71

6. DIVISIÓN DE FRACCIONES

De la definición de división de fracciones, considerada en el capitulo 2, tenemos que

a c a db d b c÷ = ⋅ .

El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una

multiplicación de fracciones.

Las fracciones dc y

cd se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.

Nota: La reciproca de la expresión a + b es ba +

1 , no ba11

+ .

La reciproca de ba11

+ es

ba11

1

+ o en forma simplificada,

abab+

.

abab

baba

⋅+

=+

111

111

abab

bab

aab

ab

baab

ab+

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=11

1

Ejemplo Simplificar b

aba

209

53 2

2

3

÷ .

Solución. b

aba

209

53 2

2

3

÷3

2 2

3 20 45 9 3a b ab a b

= × =

Nota: Obsérvese la diferencia entre

bcfade

fe

cd

ba

fe

dc

ba

=⋅⋅=⋅÷ y bceadf

cedf

ba

dfce

ba

fe

dc

ba

=⋅=÷=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅÷ .

Ejemplo Simplificar 3537672012

15174328

2

2

2

2

+−+−

÷−−−+

xxxx

xxxx .

Solución. 3537672012

15174328

2

2

2

2

+−+−

÷−−−+

xxxx

xxxx ( )( )

( )( )( )( )( )( )765

76125343412

−−−−

÷−++−

=xxxx

xxxx

1 1 1 1

( )( )( )( )

( )( )

2 1 4 3 ( 5) 6 71

4 3 5 (2 1) 6 7x x x xx x x x− + − −

= ⋅ =+ − − −

1 1 1 1

72

Ejemplo

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x xx x x x x x+ − + − + −

÷ ×+ − + − − +

Solución:

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x xx x x x x x+ − + − + −

÷ ×+ − + − − +

Es mejor ponerla toda como un producto

(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)

x x x x x xx x x x x x− + + − + −

= × ×+ − − + − −

3 44

xx+

=−

EJERCICIOS

1. 15 4526 39

÷ 2. 56 63 2738 57 16

÷ × 3. 2 3

2

10 49 27

x xy y

÷ 4. 2 3 3

2 4

17 5126 13

a b a bx x

÷

5. 2 3 4

2 6 3

6 158 12

a b a bx y xy

÷ 6. 2 4 4 9

4 2 3 6

4 89 27

a b a bx y x y

÷ 7. 3 4 3 2

2 2 2 2

x y a b ba b x y y

× ÷

8. 2 2 6

3 3

14 425 10

a b bb a a

÷ × 9. 3 2

2 2 2

43 3

x xx xy x y

÷− −

10. 3 3 2

2 2 2 1x x x xx x x x+ −

÷− − +

11. 2 2

2 2

9 6 272 3 10 9

x x xx x x x

+ − −÷

+ − − + 12.

2 2

2 2

2 8 4 43 4 6 8

x x x xx x x x+ − − +

÷− − − +

73

13. 2 2

2 2

4 12 10 67 6 7 8

x x x xx x x x− − + +

÷− + + −

14. 2 2

2 2

3 2 6 165 4 20

x x x xx x x x− + + +

÷− + + −

15. 2 2 2

2 2 2

12 35 18 6 23 18 4 19 122 17 36 6 19 36 12 11 36

x x x x x xx x x x x x

− + − − − +÷ ×

− + − − − −

Respuesta e los ejercicios anteriores

1. 12

; 2. 94

; 3. 152

yx

; 4. 2 2

6b x

a; 5.

2

2 3

35

ba xy

; 6. 4

2 5

32

ya b x

; 7. 2a xy ; 8. 75b

9. 4( )

3x y+

; 10. 2

2

1xx+

; 11. 2

2

9( 3)xx++

; 12. 41

xx++

; 13. 1; 14. 58

xx++

;

15. (3 2)(4 3)(2 9)(3 2)

x xx x− −− +

7. OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.

En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su

multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma

reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también

se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.

Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las

multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas

las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.

Ejemplo Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

132352

3462

125

2

2

2 +−−+

÷+−

+−

+ xxxx

xxx

x

74

Solución.

132352

3462

125

2

2

2 +−−+

÷+−

+−

+ xxxx

xxx

x( )

( )( )( )( )( )( )112

31213

3212

5−−+−

÷−−

+−

+=

xxxx

xxx

x

1 1 1

( )( )( )

( )( )( )( )112

31213

3212

5−−+−

÷−−

+−

+=

xxxx

xxx

x

1 1 1

( ) ( )( )( )312

122353

212

5−++−−

=−

−+

=xx

xxxx ( )( ) ( )( )312

17312

24155−+

−=

−+−−−

=xx

xxx

xx .

Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

2123

24

xxxx

se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los

términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra en los

ejemplos siguientes:

Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

2123

24

xxxx

Solución.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

2123

24

xxxx ( ) ( )

( ) ( ) ( )21263

242

21223

)2(42 2

−+−

⋅+−+

=−+−

⋅+−+

=x

xx

xxxx

xx

xxx

( ) ( )( )( )

( ) xxx

xxx

xx

xxx 3

223

22

263

222

=−+

⋅+−

=−+

⋅+−

= .

Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

929

329

xx

xx

75

Solución.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

929

329

xx

xx ( )

( )( )( )92

99232

932+

++÷

−−−

=x

xxx

xx

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )( )( )332

923332

9232

33292

99232

932 22

+++−

=++

+⋅

−−+

=+

++÷

−−−

=xxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Nota: Puesto que ( ) ( )dcba +÷+ se puede escribir como dcba

++ , podemos

expresar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 22

4436113xxxx

en la forma

2

2

443

6113

xx

xx

−+

+−la cual se llama fracción

compleja.

Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma

de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse

fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo

común múltiplo de todos los denominadores que intervienen.

Ejemplo Simplificar

1811

127

83

94

−

−.

Solución.

25

25

44422732

1811

127

172

83

94

172

1811

127

83

94

−=−

=−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

−

Ejemplo Simplificar

531223

13135

−++

++−

xx

xx

76

Solución.

531223

13135

−++

++−

xx

xx

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]12235313

1351353

531223

15313

13135

15313

++−++−+−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−++

−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++−

−+

xxxxxx

xxxx

xxxx

( )[ ]( )[ ]

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )1313

45313231342353

29913814353

1210991313514353

2

2

2

2

−+−−

=−−+−−−

=+−++−−

=+−−++−−−

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

EJERCICIOS 7

1. 1

282

333

22

2

2 −−+

⋅−−

++

+ xxx

xxx

x 2.

86168

124123

32 22 ++++

+−−

++

− xxxx

xxx

xx

3. 1

11 2 −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx

x 4.

1926 2 −

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

x 5. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

131113

xx

6. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2214

xxx 7. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

232

343

xxx

xx 8. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

121

121

xx

xx

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

2952

131

xx

xx 10. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41

414

4 xxxx

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

1297

1232

xx 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

3233103

321143

xx

xx

13.

321

21

43

−

− 14.

181

361

43

87

+

− 15.

2

2

3114

1112

xx

xx

−−

−−

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 5 1( 3)( 4)

xx x

++ −

; 3. 11x +

; 5. 3 ; 7. (3 2)x x − ; 9. ( 2)(2 1)x x+ −

11. 4 114 2

xx−−

; 13. 34

; 15. 44 1xx+

−+

77

UNIDAD III EXPONENTES Y RADICALES

1. LEYES DE LOS EXPONENTES

Sea an = a . a . a … a ( n factores)

La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el

exponente.

En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números

racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo enunciamos cinco leyes de

los exponentes y demostrado que tales leyes son validas para los exponentes enteros

positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales

para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración. Las

demostraciones de las leyes I y II están dadas en la unidad 1.

Ley I aman = am+ n

Ley II

Si m > n

= 1 Si m = n

Si m< n

Ley III

(am)n = amn

Demostración. Por definición, (am)n significa am tomando n veces como factor.

Pero cada am tiene a a como factor m veces repetido.

Por tanto, aparece a, en total, mn veces repetido como factor del producto, dando así ambm.

nmn

m

aaa −=

mna −=1

78

Ley IV

(ab)m = ambm

Demostración. Por definición (ab)m significa el producto obtenido tomando ab como

factor m veces repetido. Por tanto, el factor a ocurre m veces y el factor b ocurre m veces.

Por los axiomas de conmutatividad y asociatividad podemos reordenar los factores de tal

modo que todos los factores a aparezcan inicialmente y todos los factores b sigan. Así

podemos escribir (ab)m =ambm.

Ley V

(a/b)m = am / bm Si b ≠ 0

Demostración. Por definición ( ab)m significa el producto de m factores iguales a la

fracción a/b. Recordando la definición que dimos para el producto de fracciones, tenemos

am como numerador de él producto de las fracciones y bm como denominador de tal

producto.

Ejemplos.

(a2)3 = a2. 3 =a6 (4a)3 = 43 a3 = 64a3

( )( ) 4

8

4

422

1622 yxxx

yy

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ mm

mn

mn

xxxx 42

22 2

22

==+

2. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS Y CERO

Hemos definido los exponentes enteros positivo y establecido cinco leyes de

exponentes que se aplican a ellos. Nuestro siguiente paso es el extender la idea de

exponentes para incluir al cero y a los enteros negativos. Los nuevos exponentes se definen

de modo tal que satisfagan las cinco leyes de exponentes.

Primero determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha

de ser válida cuando m = n, tenemos

0aaaa nn

n

n

== − ( )0≠a

79

Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número

distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir

el exponente cero de la siguiente manera:

Definición 7-1.Si a es un número no nulo, entonces

10 =a

A continuación, y de manera semejante, determinamos el significado que ha de darse a

a-n cuando –n es un entero negativo. Si la Ley I ha de ser válida cuando m = -n, entonces

a-n a n = a0 =1

Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos

nn

aa 1

=−

De este modo hacemos la siguiente definición.

Definición 7-2. Si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces

nn

aa 1

=−

Las definiciones de a0 y a-n ha sido consecuencia de las leyes de los exponentes. De

haberse dado las definiciones sin referencia a dichas leyes hubiera sido fácil verificar que

satisfacen a las leyes de los exponentes.

EJEMPLOS.

( ) ( ) ( ) 1333 022 =−=−− − 23535 aaaa == −−

Como lo ilustra la última ecuación, se puede pasar un factor del numerador al

denominador o viceversa, si se altera el signo del exponente de dicho factor. Sin embargo,

los sumandos del numerador o del denominador no puede manejarse de esta manera. Así

por ejemplo,

( )0≠a

33

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

ab

ba

2

5

5

2

bxay

byax

=−

−

80

que no es igual a x2+ y2.

EJERCICIOS

Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de los exponentes.

1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4-1

4. (- 4)0 5. (2a)0 6. 3-3

7. 52 . 5-3 8. (52)-2 9. (2 . 3)-2

10. (4-2)-2 11. (-3)-2 12. (3 . 8)0

13. 1

71 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 14.

1

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 15. (2 . 70)-4

Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado

sin exponentes negativos o nulos.

16. (2xy)-2(3xy3) 17. (x2y-2)-1(x3y0)2 18. (a b-3)(a-1b-1)-1

19. 22

12

−−

−−

baba 20.

baba41

221

23

−−

−−

21. 201

322

105

−−

−

baba

22. 2

2

23

737

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xz

yzx 23. ( )

( )363

354

48

yxyx 24. ( )

( )32

23

510

yxxy

25. 2

10

23

2

−

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rqp 26.

3

1

42 −

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pq

qp 27. 1

2

03 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rqp

28. 1

11

232

−

−− + 29. 11

11

1212−−

−−

−+ 30. 1

11

353

−

−− −

31. 2 2

1 1

x yx y

− −

− −+ 32.

2

2 2

yx y

−

− −− 33.

2 2

2( )x y

xy

− −

−

+

22

22

22

22 1111

yxyx

yxyx +

=+

=+ −−

81

Solución a los ejercicios impares anteriores:

1. 32 ; 3. 14

; 5. 1 ; 7. 15

; 9. 136

; 11. 19

; 13. 7 ; 15. 116

; 17. 4 2x y

19. b ; 21. 2 525

a b ; 23. 3

3

8xy

; 25. 6 4

2

p qr

; 27. 2

3

rp

; 29. 3− ; 31. 2 2

1xy x y+

33. 2 2x y+

3. EXPONENTES FRACCIONARIOS

En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números

racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos

considerar la siguiente definición.

Definición 7-3. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a

(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-ésima raíz de

b.

De acuerdo con esta definición, las ecuaciones

22 = 4, (-2)2 = 4, 33 = 27, (-3)3 = -27

muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto

que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas

tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que

todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a

y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico.

Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de

82

los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de

orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier

potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos

concentrar nuestra atención solamente en los números reales. Diferiremos para después,

por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.

En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados,

pero sin demostración:

1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una de ellas

positiva y la otra negativa.

2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, siendo el

signo de la raíz igual al signo del número.

3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.

Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a.

Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la

raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por .n a El

símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice,

u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el

radicando es negativo y el índice es un número par.

Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales

,636 = ,283 = ,3814 = 2325 −=−

Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero ninguna es

raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero a se denota por n a− . Por tanto, 3814 −=− .

83

Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es

un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1

y buscamos una interpretación de .1 na Si la Ley III ha de ser valida, tenemos

( ) aaa nnnn ==1

En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de na1 es igual a a, o bien, que na1 es

una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de a,

tenemos por definición

( ) nnn aa =1

En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos

los valores negativos de a cuando n es par.

Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m ≠ 1, tenemos

( ) n mnmnm aaa ==1

y, además,

( ) ( )mnmnnm aaa == 1

Resumiendo, tenemos la siguiente definición:

Definición 7-4. Si m/n es un número racional con n positivo, entonces

( )mnn mnm aaa ==

La forma n ma significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma ( )mn a

significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el

denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin

embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m

representa a cualquier entero positivo o negativo.

Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y

estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para

incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de

los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede

demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.

84

Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos

demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n

y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos

( ) nmccnmcncm aaa ==

Ejemplo 1. ( ) 4288 22332 === 46488 32332 === .

Ejemplo 2.

( ) 271

31

81

181 334

43 ===− .

Ejemplo 3.

( ) ( ) ( ) 823232 33553 −=−=−=− .

Ejemplo 4.

( )( ) 224543313545314335 yxyxyxyx == ++ .

Ejemplo 5.

cba

cba

cba

244 3132

31

322121

232

34

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−

−

.

EJERCICIOS

Encuentre el valor de cada expresión.

1. 2116− 2. 254 3. 3164−

4. 32

278⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 5.

23

94 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 6.

41

8116

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

7. ( ) 5432− 8. ( ) 4415 − 9. ( ) 4415 −−

85

Simplifique cada expresión, dejando los resultados libres de exponentes negativos o

nulos.

10. 3432 xx 11. 5354 −xx 12. 3432 −− xx

13. 3223 55 ÷ 14. 6141 xx ÷ 15. ( ) 112 −−yx

16. ( ) 4852 −−y 17. ( ) 4431 −−− yx 18. 3/ 2 1 3/ 2

5/ 2 5/ 2 1/ 2

94

a ba b

−

−

19. 214121

324331

1627

baba

− 20. 51 2 3 5

0 2 5

x yx y

−−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21. 353131

322123

84

yxyx

−

Respuesta a los ejercicios impares anteriores

1. 14

; 3. 14

; 5. 278

; 7. 16 ; 9. 5 ; 11. 1/5x ; 13. 5/ 65 ; 15. 2

yx

;

17. 4 3x y ; 19. 1/ 63

4ab ; 21.

5/ 64xy

4. LEYES DE LOS RADICALES

De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales.

Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes

correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas

formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos

la restricción d que a y b, sean tales que no se anule dominador alguno y tales que ningún

radical de orden par tenga radicándoos positivos.

I. ( ) aaannn n == ( ) ( ) aaa nnnn == 11

II. nnn baab = ( ) nnn baab 111 =

86

III. n

nn

ba

ba= n

nn

ba

ba

1

11

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

IV. n mcn cm aa = nmcncm aa =

V. nmn m aa = ( ) mnnm aa 111 =

VI. nq npmqq pn m aaa += ( ) nqnpmqqpnm aaa /+=

Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los

cuales los más comunes son:

1. Remover factores del radicando.

2. Remover el denominador de un radicando.

3. Expresar un radical dentro de un signo radical.

4. Incluir a un factor dentro de un signo radical.

Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y

hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando

el denominador.

En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los

números literales son positivos.

Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 2375 ba y ( )73 8 yx + .

Solución,

( ) ( ) ( ) aabaabababa 353532575 22223 ===

( ) ( ) ( ) ( ) 323 633 7 228 yxyxyxyxyx ++=++=+ .

Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de

87

52 y 3

22xb

Solución,

1051

510

2510

2510

52

====

33

3 3

33

33

2 421

24

84

84

2bx

xxbx

xbx

xbx

xb

==== .

Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales

4 225a y 6 938 yx

Solución,

( ) aaa 5525 4 24 2 ==

( ) xyyxyxyyx 2228 36 336 93 === .

Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de

24112x

x − ,

con la potencia apropiada, dentro del signo radical.

Solución.

122

22 4

4114

4112 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− x

xx

xx .

EJERCICIOS

Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.

1. 12 2. 3 16− 3. 2420 ba

4. 3 4248 yx 5. 3 5464 yx 6. 54 432 yx

7. 32 8.

a53 9. 3

98

88

10. 3

43

− 11. 4272 12. 33

2x

13. 332

yx 14. 3

4

4

92yx− 15. 4

34bc

16. 43

38a

17. 4 9 18. 44 81x

19. 6 96 8x y 20. 8 46 81x y 21. 42

9x

Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical.

23. 2 3 24. 2x y 25. 2

424

xxx−

26. 5

2

3 29

a xx a

; 27. 33a b

b a 28. 2

1 124

aa

−

Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales

repetidos como un radical único.

29. 3 3 30. 3 3a 31. 32 16

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 2 3 ; 3. 22 5a b ; 5. 234xy xy ; 7. 1 63

; 9. 32 33

; 11. 41 63

;

13. 231 183

xyy

; 15. 41 42

bcc

; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21. 1 3xx

23. 12 ; 25. 4 x− ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 62 2

89

5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes.

Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo

usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales

equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que

no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos

un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.

Ejemplo 1.

4 241 22 18 6 4 2 (9)(2) 6 22 4

− + = − =

22326 +−=

24= .

Ejemplo 2.

aaaaaaa 226221632 3333 4 −−=−−

( ) aaa 226 3 −−= ,

Los radicales no semejantes 3 2a y a2 no pueden combinarse en un radical

único.

Ejemplo 3.

abab

aba

abba

bba

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−

1111 .

90

EJERCICIOS

Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces

todos los radicales semejantes.

1. 183250 +− 2. 122775 −− 3. 28 3 63 112+ −

4. 12475220 −+ 5. 286350 + 6. 8122

21

−+

7. 122713

31

+− 8. 60535

353 −+ 9. 3 3 32 16 54 50+ +

10. 333 548116 ++ 11. xxx 21838 3 +−

12. xyyxxy −− 33 164 13. 3642 753123 yxyxyx −+

14. 3 443 43 16542 baabab +− 15. 3 623 353 2 81243 babaa −+

16. 3 43 316 54 24a a a+ + 17. 3 3 32 4 2 52 2 16ab a b ab+ +

18. 2 34 25 20 5a a a+ + 19. 62 2 343 9 27a a a− +

20. 66 343 2 4 4 6 8a a a+ + 21. 1 22 2x

x x− −

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7+ ; 7. 2 3 ; 9. 3 37 2 50+ ; 11. (2 8) 2x x−

13. 2 3(2 15 ) 3x x x y y+ − ; 15. 32 2(1 2 3 ) 3ab b a+ − ; 17. 3 2(1 2 ) 2a b ab+ +

19. 3a ; 21. 3 22

x xx−

91

6. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.

Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales

equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de

los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV.

Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo

entero positivo mayor que 1.

Ejemplo 1. Multipliquemos 3 22 a por 3 235 ba .

Solución.

33 33 23 6106103522 bababaa ==⋅ .

Ejemplo 2. Encontremos el producto ( )( )5345332 −+ .

Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la manera

usual.

( )( )5345332 −+ 53151038 ⋅−+⋅=

15109 += .

Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3 26 .

Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el

mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,

66 236 26 33 10830233023302635 =⋅=⋅=⋅

La formula III de la Sec. 7-4 muestra como expresar el cociente de dos radicales del

mismo orden como un radical único. Como en la multiplicación, sin embargo, los

radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo

orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no

tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en

su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado

racionalización del denominador.

92

Ejemplo 4. Encontremos el cociente de 3 66 dividido por 5 .

Solución.

3051

5556

56

56

=⋅⋅

== ,

o, alternativamente,

3051

530

55

56

==⋅ .

Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 3 56 dividido por 22 .

Solución.

. 66 36 233

20023

4256

22

2256

2256

=⋅

=⋅=

De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos

66 326362

2121

2131

21

31

2002325

23

4256

222256

2256

=⋅=⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅ .

Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o

ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por

expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos que el producto de

ba + y ba − es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de

racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los

términos del divisor.

Ejemplo 6. Dividamos ( )3223 − por ( )3324 − .

Solución.

566

273218624

33243324

33243223

33243223 +

=−

−+=

++

⋅−−

=−−

93

EJERCICIOS

Multiplique como se indica y simplifique el resultado.

1. 72 ⋅ 2. 2872 ⋅⋅ 3. 3053 ⋅⋅

4. 32 218 xyyx ⋅ 5. 33 96 ⋅ 6. 3 23 43 aa ⋅

7. 33 2 416 aba ⋅ 8. 3 23 ⋅ 9. 3 32 ⋅

10. 4 82 ⋅ 11. 43 xxx ⋅⋅ 12. 33 322 ⋅⋅

13. 43 432 ⋅⋅ 14. ( )( )332432 −+ 15. aa +⋅− 33

16. Encuentre el valor de 762 +− xx si 23+=x

17. Encuentre el valor de 12 2 ++ xx si 12 −=x

18. Encuentre el valor de 52 −+ xx si 23 +

Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.

19. 763 ÷ 20. 3311 ÷ 21. xx 287 2 ÷

22. aa 315 4 ÷ 23. 35220 xx ÷ 24. 33 4108 ÷

25. 3 23 272 aa ÷ 26. 33 4 415 xx ÷ 27. 3 33 ÷

28. 393 ÷ 29. 3 22 baab ÷

30.5

3515 + 31. 53

1−

32. 23

1−

33. 25

2+

34. 5757

−+ 35.

532354

+− 36.

23722273

−+

94

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 33 2 ; 7. 34a b ; 9. 6 72 ; 11. 12x x

13. 32 3 ; 15. 9 a− ; 17. 6 3 2− ; 19. 3 ; 21. 12

x ; 23. 1x

25. 3 21 28aa

; 27. 6 3 ; 29. 6 5 41 a ba

; 31. 3 54+ ; 33. 5 2 2

23−

35. 9 15 267−

95

Unidad IV. ECUACIONES LINEALES. 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Objetivo especifico: El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones

lineales con una incógnita.

Ecuación:

Es una igualdad que solo se verifica para un valor determinado (o valores

determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional.

Al conjunto de términos situados a la izquierda de signos iguales se le llama primer

miembro de la ecuación y al conjunto de términos que están a la derecha se le llama

segundo miembro.

Esto es una ecuación:

2x – 5 = x + 3

Primer segundo

Miembro Miembro

Propiedades de las ecuaciones

1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la

ecuación sigue siendo cierta.

2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la

ecuación sigue siendo cierta.

3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto

cero) la ecuación sigue siendo cierta.

96

Identidad

Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la

literal (o literales); es una igualdad absoluta.

Se escribe: 4a + 6a ≡ 10a

Raíz o solución de una ecuación

Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.

Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7

Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23

12 = 12

De igual manera las raíces de x2 – 7x + 10 = 0 son x1 = 2

x2 = 5

porque: (2)2 – 7 (2) + 10 = 0 (5)2 – 7(5) + 10 = 0

4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0

- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0

0 = 0 0 = 0

Ecuación Literal

Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas

por letras.

ax + bx – c = 0

son ecuaciones literales 0ax=

97

ax

- 1 + b = 0

Ventajas de las ecuaciones literales

Con las ecuaciones literales, se obtienen formulas aplicadas no solo a un problema

determinado si no a todos los de su misma especie; generalizan por tanto los problemas, lo

cual es una finalidad del álgebra.

Así, por ejemplo, en la formula del interés:

i = Art en donde:

i = interés

A = capital

r = rédito anual

t = tiempo en años

Esta ecuación se puede resolver con respecto a cualquier de las literales, obteniéndose:

iArt

= irAt

= itAr

=

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Ecuación de primer grado es aquella en que, después de efectuadas todas las

reducciones posibles, el exponente de la incógnita es igual a la unidad.

Ejemplos de resolución

Haciendo uso de las propiedades de las ecuaciones, resolver la siguiente ecuación:

98

Súmese 3 a cada miembro 5x – 3 = 2x + 12

+ 3 = + 3

Réstese 2x a cada miembro 5x = 2x + 15

- 2x = - 2x

3x = 15

Divídase entre 3

x = 5 raíz

Comprobación: sustituimos el valor de la raíz en la ecuación original y si se verifica la

igualdad, entonces el problema esta bien resuelto, se no se verifica, habrá que revisar

nuevamente el procedimiento seguido.

5(5) – 3 = 2(5) + 12

25 – 3 = 10 + 12

22 = 22

Ejemplo

Resuelve: 52x + 4 = x + 13

Multiplicamos por 2: 2 52x + 4 = 2(x + 13)

Restamos 2x: 5x + 8 = 2x + 26

-2x = -2x

Restamos 8: 3x + 8 = 26

- 8 = - 8

3x = +18

99

Divídase entre 3:

Comprobación: 5*62

+ 4 = 6 + 13

15 + 4 = 6 + 13; 19 ≡ 19

19 = 19

Transposición de términos Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla: Si el término esta sumando pasa restando Si el término esta restando pasa sumando Si el término multiplicando pasa dividiendo Si el término esta dividiendo pasa multiplicando A esto se le llama transposición de términos. Intercambio de miembros Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el

primer miembro de la ecuación:

Así, las ecuaciones 25 = 3x - 4 y 12 = 2x + 3

Conviene escríbelas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12

Cambio de signo

+ -

- +

X

÷ X

x = 6

÷

100

En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus términos, lo que

equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran

utilidad según se ve continuación:

Forma original Forma preferible

-2x + 5 = - 25 2x – 5 = 25

- 8x - 3 = x – 6 8x + 3 = -x + 6

Ecuación con raíz negativa

Existen ecuaciones cuya raíz es un número negativo; esto no implica ningún problema, se

resuelve como ecuaciones que tienen por raíz un número positivo:

Así: Comprobación:

7x – 5 = 3x – 25 7(-5) -5 = 3(-5) -25

7x – 3x = -25 + 5 -35 -5 = -15 - 25

4x = -20 -40 = -40

204

x = −

Ejemplo

Resuelve: Comprobación:

16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0

16x = 192 192 - 192 = 0

19216

x = 0 = 0

x = -5

x = 12

101

Ejemplo:

Resuelve: Comprobación:

a = 12a – 44 (4) = 12(4) – 44

a – 12a = - 44 4 = 48 – 44

- 11a = -44 4 = 4

11a = 44

44

11

Ejemplo

Resuelve: Comprobación:

X=300+11x (-30) = 300 + 11 (-30)

X - 11x =300 -30 = 300 - 330

-10x = 300 -30 = -30

10x = -300

30010

x = −

X= -30

Ejemplo

Resuelve: comprobación:

2z + 96 = 15z – 8 - 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13)

2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 - 65

2z - 10z= -8 – 96 122 = 122

-8z = -104

8z = 104

1048

z =

Z = 13

a =

a = 4

102

Ejemplo

Resuelve: comprobación:

5c – 9 + c = 2x – 73 5(-16) – 9 + (-16) = 2(-16) -73

6c – 9 = 2c – 73 -80 – 9 – 16 = -32 - 73

6c - 2c = - 73 + 9 105 = 105

4c = -64

644

c = −

C = -16

Ejemplo

Resuelve: Comprobación:

y – 2 = -5(39 - y)- 3 49 - 2 = -5 (39-49) -3

y – 2 = -195 + 5y - 3 47 = -5 (-10) -3

y – 2 = - 198 + 5y 47 = 50 - 3

y- 5y = - 198 + 2 47 = 47

-4y = -196

4y = 196

1964

y =

y=49

Ejemplo

Resuelve: Comprobación:

84 - 19y = - 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = -7 (60+42)

84 - 19y = - 420 - 7y 84 – 798 = -7 (102)

-19y + 7y = - 420 – 84 -714 = -714

-12y = 504

103

50412

y =

y = 42

Ejemplo:

Resuelve: comprobación:

5(4x - 7) - (3x - 1) 2 = -5 5 (4 (2) – 7) - (3 (2 ) – 1) 2 = -5

20x – 35 - 6x + 2 = -5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = -5

14x – 33 = -5 5(1) – 2(5) = -5

14x = 28 5 - 10 = -5

-5 = -5

2814

x =

x = 2

3. ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS

Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que

tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los

denominadores.

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

3 335 1004 5x x− = − m.c.m. de 4 y 5 = 20

3 320 35 20 1004 5x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Comprobación:

15x – 700 = 2000 – 12x 3*100 3*10035 1004 5

− = −

15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 -60

27x = 2700 40 ≡ 40

X = 100

104

Ejemplo

Resuelve la siguiente ecuación:

5 3542 7 4x x x− = − + m.c.m. de 2,7 y 4 = 28

5 328 28 542 7 4x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Comprobación:

14x – 20x = -1512 + 21x 56 5*56 3*56542 7 4− = − +

15x - 20x - 21x = -1512 28 – 40 = -54 + 42

-27x = -1512 -12 ≡ -12

27x = 1512

4. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE ECUACIONES DE

PRIMER GRADO

Un problema que se puede resolver mediante una ecuación comprende varias cantidades

desconocidas (incógnitas), relacionadas con otros que se conocen (datos). En el enunciado

de un problema se indican como se relacionan los datos con las incógnitas.

El procedimiento general para resolver este tipo de problemas es designar por x la incógnita

y luego expresar la relación matemática que hay entre los datos y las incógnitas por medio

de una ecuación.

La solución de esta ecuación es, evidentemente, la solución del problema.

Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?

Primer número: x

Segundo numero: x + 1

X = 56

105

Tercer número: x + 2

Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48

x + x + 1 + x + 2 = 48

3x + 3 = 48 Los tres números

3x = 48 – 3 son 15, 16 y 17.

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15

Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a condición:

X + 20 = 3x

X – 3x = -20

-2x = -20

2x = 20

x= 20 / 2

x = 10

Como se paga una deuda de $700.00 con 52 monedas, unas de $20.00 y otras de $10.00

Numero de monedas de $ 20.00: x

Numero de monedas de $ 10.00: 52 – x

Valor de las monedas de $ 20.00: 20x

Valor de las monedas de $ 10.00: 10(52 – x)

Condición: 20x + 10(52 – x) = 700

20x + 520 – 10x = 700

10x + 520 = 700

10x = 700 – 520

10x = 180

18010

x =

x = 18

18 monedas de $ 20.00

106

34 monedas de $ 10.00

1. Un padre de familia tiene 45 años y su hijo 20. ¿Dentro de cuanto tiempo será la edad del

padre el doble de la del hijo?

Número de años pedido = x

Edad del padre pasados x años: 45+x

Edad del hijo pasados x años: 20+x

Condición: (45+x) = 2(20+x)

45+x = 40+2x

x - 2x = 40-45

-x =-5

x = 5

Dentro de cinco años la edad del padre será el doble de la del hijo.

2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos por la primera,

en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el

recipiente las 3 llaves juntas?

Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x

La primera llena en x minutos: 130

* (x) = 30x

La segunda llena en x minutos 120

*(x) = 20x

La tercera llena en x minutos: 140

*(x) = 40x

Condición: 30x +

20x +

40x = 1

4x + 6x + 3x = 120

13x = 120

12013

x =

107

x = 9.23 minutos

3. Un agricultor puede arar un terreno empleando un tractor en cuatro días, un ayudante

suyo puede hacer el mismo trabajo con un tractor más pequeño en seis días, ¿en cuántos

días pueden arar el campo si trabajan conjuntamente?

Tiempo que tardan juntos = x

El agricultor ara en x días = 4x

el ayudante ara en x días = 6x

Conducción: 4x +

6x = 1

3x + 2x = 12

5x = 12

x = 125

= 2 25

días.

Ejemplos

¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de

otro liquido que contiene 90% de alcohol, se desea una mezcla de 84% de alcohol?

Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5

Numero de litros en la mezcla = x + 5

Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2

0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5

- 0.10x = -0.3

0.30.10

x = x = 3 litros.

108

5. EJERCICIOS.

Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.

1. 8 8 4 5x x x− + = + 2. 720 2157x x− =

3. 7 2 9 6 4 3x x x+ − = + − 4. 12 22 3 2 13m m m+ − = −

5. 2(7 8) 7(2 ) 26x x− + − = 6. 5(4 7) 20(3 1) 5x x− − − −

7. 3(7 2 ) 11 4(2 3)x x− = − − 8. 9( 1) 7(3 ) 38 0x x+ + − − =

9. 5(8 3) 3 2(4 3)x x− = − − 10. 6 17 13( 1) 4x x− = − −

11. (5 )(2 ) ( 3) 0x x x x− − − − = 12. 4(4 3) 3(7 6 ) 16x x x− + − =

13. 3 1 2 22 6 3 3x x+ = − 14. 1 1

3 4 3 4x x− = −

15. 3 4 14 3 2 3x x− = − 16. 5 1 2 1

4 12 3 2x x+ = −

17. 3 1 2 66 3

x x++ = 18. 5 1

4 8x x ++ =

19. 3 1 2 3 12 3

x x− +− = 20. 4 2 3 1

3 4 12x x− +

− =

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 3x = ; 3. 16

x = − ; 5. 4x = ; 7. 1x = ; 9. 12

x = 11. 52

x =

13. 1x = − ; 15. 4x = 17. 5x = 19. 3x =

109

Resolver los siguientes problemas en palabras:

El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿cual será ese número?

Resp: 60

Los 5/6 del precio de una fabrica, disminuidos en $ 300 000.00, valen $ 56 300 000.00

¿cual será el precio de la fabrica?

Un padre deja 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos, los 5/16 al segundo, y los $ 640

restantes al tercero. Encontrar la suma repartida. Resp: $30720

Hace dos años la edad de Juan era la mitad de lo que será dentro de nueve años, ¿qué edad

tiene actualmente Juan?

¿Cuántos alumnos hay en una clase si la tercera parte de ellos están leyendo, la cuarta parte

escribiendo y los otros 20 resolviendo problemas? Resp: 48

La diferencia de dos números es 565, su cociente es 5 y el residuo de la división es 85,

¿cuales son esos números?

Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15 horas. Estando el

tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren las dos llaves a la vez?

Resp: 6 horas

110

Unidad V SISTEMAS DE ECUACIONES.

DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES:

Se le llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones independientes que

tienen una o mas soluciones comunes. También se llaman ecuaciones simultáneas.

1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores

que satisfagan simultáneamente cada una de las ecuaciones.

1. Solución

gráfica

Por suma

2. o resta

3. Por

igualación

Por

4. sustitución

Solución grafica

Si se trata de resolver el siguiente sistema:

2x + y = 16………………..1

x + y = 10………………..2

Se procede como sigue:

En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es función de (x)

como a continuación se indica:

y = 16 – 2x

111

Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta y).

En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos: Tabulaciones

A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un sistema

de ejes coordenados:

La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el punto de

intersección entre ambas rectas.

Solución: x = 6

112

y = 4

Comprobación: 2(6) + (4) = 16

16 = 16

(6) + (4) = 10

10 = 10

Solución por suma o resta

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de

eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:

1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores

tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.

2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las

restamos si son del mismo signo.

3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el

valor de una incógnita.

4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos

para la otra incógnita.

Resuelve el siguiente sistema de operaciones:

x + y = 4…………….1

+ x – y = 2…………….2

Sumamos ambas ecuaciones

2x = 6

62

x = , x = 3

Sustituimos en 1:

(3) + y = 4 x = 3

y = 4 – 3 y = 1

y = 1

Comprobación:

113

(3) + (1) = 4

4 = 4

(3) – (1) = 2

2 = 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

X + 2y = 5………………….1

X + y = 4………………….2

Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1

X + 2y = 5

+ -x –y = -4

y = 1

Sustituimos en 1:

x + 2(1) = 5

x + 2 = 5

x = 5 –2

x = 3

x = 3

y = 1

114

Solución por igualación

Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el método de

igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.

2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.

3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de

una de las incógnitas.

4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra

incógnita y resolvemos para ella.

Resuelve:

X + y = 12 (1

X – y = 8 (2

Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos:

De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y

Por lo tanto:

12 –y = 8 + y

-y –y = 8 – 12

-2y = - 4

2y = 4

y = 2

Como: Comprobación:

x =12 – y (10) + (2) = 12

x = 12 – (2) 12 = 12

x = 10 (10) - (2) = 8

x = 10 8 = 8

y = 2

115

Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:

15x = 10 – 20y………………….1

25x = 30y + 80…………………..2

Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos:

45x = 30 – 60y

50x = 60y + 160

95x = 190

19095

x =

x = 2

Sustituimos en 1: Comprobación:

15(2) = 10 – 20y 15(2) = 10 –20(-1)

30 = 10 – 20y 30 = 10 +20

20y = 10 – 30 30 = 30

20y = -20 25(2) = 30(-1) + 80 y = - 1 50 = - 30 + 80 x = 2 50 = 50

y = -1

Solución por sustitución:

El procedimiento es el siguiente:

1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.

3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no

eliminada.

4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra

incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.

116

Resuelve:

x + y = 23………………… (1

x – y = 7………………… (2

Despejamos el valor de y en la ecuación 1:

y = 23 – x………. (3

El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2:

x – (23 – x) = 7

x – 23 + x = 7

2x = 7 + 23

2x = 30

x = 15

Sustituimos en 3:

y = 23 – (15)

y = 8

x = 15

y = 8

Comprobación:

(15) + (8) = 23

23 = 23

(15) – (8) = 7

7 = 7

117

2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS

INCÓGNITAS

Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos

anteriormente.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

2x – 6y – 5z = -11…………………. (1

10x + 9y – 3z = 50………………… (2

4x – 8y + z = 15…………………. (3

Para eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la

ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:

+ 18x – 54y – 45z = - 99

60x + 54y – 18z = 300

78x - 63z = 201…………….. (4

Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:

80x + 72y – 24z = 400

+ 36x – 72y + 9z = 135

116x - 15z = 535………. (5

Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la

ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:

-1170x + 945z = - 3015

7308x – 945z = 33705

6138x = 30690

306906138

x =

x = 5

Sustituimos en 5:

118

116(5) –15z = 535

580 – 15z = 535

- 15z = 535 – 580

- 15z = - 45

15z = 45

z = 3

Sustituimos en 1:

2(5) – 6y – 5(3) = -11

10 – 6y – 15 = - 11

6y – 5 = - 11

6y = - 11 + 5

6y = - 6

y = - 1

3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes, veamos

que es un determinante y como se resuelve.

Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y se

desarrolla de la manera siguiente.

a b = ad – bc c d

X = 5 Y = -1 Z = 3

119

Calcula el valor del siguiente determinante: 3 5 = (3)(7) – (5)(- 20) = 21 + 10 = 41 -2 7 Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3

columnas y 3 renglones y se desarrolla de la manera siguiente:

A1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 A2 b2 c2 = a2 b2 c2 a2 b2 A3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 – a3b2c1 – a1b3c2 – a2b1c3 Calcula el valor del siguiente determinante: 3 2 4 3 2 4 3 2 -5 0 7 = -5 0 7 -5 0 1 3 5 1 3 5 1 5 = (3)(0)(5) + (2)(7)(1) + (4)(-5)(5) – (1)(0)(4) – (3)(7)(3) -(5)(-5)(2) = 0 + 14 – 100 – 0 - 63 + 50 = - 99 Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones

simultáneas. El procedimiento es el siguiente:

1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de

la derecha y las variables en el de la izquierda.

2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los

coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).

3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes

de la primer incógnita por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos

el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos ∆x (delta equis).

120

Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes, entonces

tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente

Aplicando la siguiente formula

, ,x x zx y zΔ Δ Δ= = =Δ Δ Δ

Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales,

únicamente haremos las modificaciones pertinentes.

Resuelve por determinantes:

2X + 3Y = 8

3X - Y = 1

2 3

∆= = (2)(-1) – (3)(3) = -2 –9 = -11

3 -1

8 3

∆x = = (8)(-1) – (1)(3) = -8 –3 = -11

1 -1

2 8

∆y = = (2)(1) – (3)(8) = 2 – 24 = -22

3 1

11 111

xx Δ −= = =Δ −

22 211

yy Δ −= = =Δ −

X = 1 Y = 2

121

4. PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS

1. Dividir el número 132 en dos partes tales que los 5/7 de la una y los 3/5 de la

otra, sumen 88

Primera parte: x

Segunda parte: y

Condiciones:

x + y = 132… (1

...8853

75

=+ yx (2

Multiplicamos la ecuación 1 por (-3/5) y luego sumamos con la ecuación 2:

3 3 3965 5 5

5 3 887 5

5 3 396887 5 525 21 3080 2772

4 30877132 7755

x y

x y

x x

x xx

xyy

− − = −

+ =

− = −

− = −=== −=

x =77

y =55

2. Tres personas pueden hacer un trabajo en 3 días; la primera y la segunda lo harían en

16/5 de día, la segunda y la tercera juntas pueden hacerlo en 12 días. ¿En cuantos días lo

haría cada persona sola?

122

Numero de días que emplearía la primera: x

Numero de días que emplearía la segunda: y

Numero de días que emplearía la tercera: z

En un día la primera hace 1;x

la segunda en el mismo tiempo hace yy1 la tercera .1

z

Condiciones:

L31111

=++zyx

(1

16511

=+yx

…(2

L12111

=+zy

(3

Multiplicamos la ecuación 2 por (-1) y la sumamos a la ecuación 1

1651131111

−=−−

=++

yx

zyx

484811

4815161

165

311

=

=

−=

−=

zz

z

z

Sustitución en 3:

164831

481

1211

121

4811

=

=

−=

=+

yy

y

y

123

Sustituimos en 2:

41641

161

1651

165

1611

=

=

−=

=+

xx

x

x

3. Una caja registradora contiene 50.00 en monedas de 5 centavos y 25 centavos. En total

son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10

centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor.

Numero de monedas de 5 c = x

Numero de monedas de 10c = y

Numero de monedas de 25 c = z

Condiciones:

.05x + .1y + .25z = 50 … 1

x + y + z = 802… 2

x = 10y… 3

15.205.25.5.21.0101111.05.

010111125.1.05.

−=−+−−+=−−

=Δ

15050500020050010018021.50

01001180225.1.50

−=−+−−+=−−

=Δx

X = 4

Y = 16

Z = 48

124

Por lo tanto, 70015.2

1505=

−−

=ΔΔ

=xx

Sustituimos en 3: 10y = 700 ∴ y = 70

Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 ∴z = 32

700 monedas de 5 c

70 monedas de 10c

32 monedas de 25 c

EJERCICIOS

Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

1. 42

x yx y+ =− =

2. 31

x yx y+ =− =

3. 51

x yx y+ =− =

4. 3 2 73 5

x yx y+ =+ =

5. 3 4

3 2x y

x y− =+ = −

Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de

ecuaciones simultáneas:

6. 2

2 1x y

x y+ =− =

7. 4 63 1

x yx y− =+ =

8. 2 63 8

x yx y+ =+ =

9. 6 7 108 13 6

x yx y− =− =

10. 2 33 2 8

x yx y− =+ =

11. 3 2

3 5 6x yx y+ = −+ = −

12. 2 7 265 9

x yx y− = −+ =

13. 5 2 37 3 10

x yx y+ =− =

14. 4 3 63 5 19

x yx y+ =− =

Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de

ecuaciones simultáneas:

15. 5 13 7

x yx y− =+ =

16. 2 23 7

x yx y− =+ =

17. 5

4 10x yx y− = −+ =

18. 4 5 25 3 21

x yx y− =+ =

125

19. 2 11 672 5 20

y xx y− =+ =

20. 3 7 27 8 2

x yx y+ =+ = −

21. 4 3 53 2 3

x yx y+ =+ =

22. 2 3 53 4 18

x yx y− =+ = −

Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de

ecuaciones simultáneas:

23. 3 02 5

x yx y− =+ =

24. 4 5

3 4 17x yx y+ =− = −

25. 5 75 3 3 2

y xx y x+ =− = +

26. 3 2

3 5 6x y

x y+ = −+ = −

27. 7 6 173 18

x yx y− =+ =

28. 37

2 3 31 13x y

x y x y− =+ = +

29. 2 6

2 4 3x y y

x y y− = ++ = +

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de

eliminación:

30. 12

2 2 2 33 7

x y zx y z

x y z

+ + =+ + =− + =

31. 2 4 2 03 5 3 4

7 2 7

x y zx y z

x y z

− + =+ − =− + = −

32. 3 2 9

4 3 192 8

x y zx y zx y z

− + − = −− − =

− + + = −

33. 713

x y zx y zy z x

− + =+ − =+ − =

34. 2 95 2 6

x y zx z yx y z

+ =+ = +− = −

35. 14

6(4 )

x y zx y zy x z

+ = +− = −− = − +

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de

determinantes.

36. 2 43 4 1

x yx y− =− =

37. 3 52 3 7

x yx y+ =− =

38. 4 3 2

4 0x y

x y+ = −− + =

39. 3 2 4 14 5 22 3 6

x y zx y zx y Z

− + =+ − =− + = −

126

Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. 3, 1x y= = ; 3. 3, 2x y= = ; 5. 1, 1x y= =− ; 7. 1, 2x y= = − ; 9. 4, 2x y= = 11. 2, 0x y=− = ; 13. 1, 1x y= = − ; 15. 1, 4x y= = ; 17. 2, 3x y= − = ; 19. 5, 6x y= − = ; 21. 1, 3x y= − = ; 23. 1, 3x y= = ; 25. 2, 1x y= = ; 27. 5, 3x y= = ; 29. 3, 0x y= = ; 31. 1, 2, 3x y z= = = ; 33. 4, 2, 5x y z= = = 35. 10, 5, 1x y z= = = ; 37. 2, 1x y= = − ; 39. 1, 3, 1x y z= = = Resuelve los siguientes problemas:

1. Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera restamos un

cuarto de la segunda, se obtiene 10. Resp: 240, 760

2. Hallar tres números A.B.C. tales que A con la mitad de B, B, con el tercio de C y C con

el cuarto de a, sea cada uno igual a 1000.

3. El perímetro de un rectángulo es de 300 m. La base tiene 30 m más que la altura.

Hallar las dimensiones del rectángulo. Resp: 90 m, 60m

4. Dos fuentes que emanan agua, una durante 3 días y 5 días la otra, han llenado un tanque

de 1 200 m3; durante 2 y 4 días, respectivamente, han llenado otro tanque de 840 m3.

¿Cuánta agua proporciona cada fuente por día?

127

Unidad VI ECUACIONES CUADRÁTICAS. Objetivo especifico

El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones de segundo

grado y reducibles a segundo grado.

Definición Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando

después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es

2.

1. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en forma

general:

En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la

incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.

Ecuación cuadrática completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que

aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera

potencia y en un término independiente.

Ecuación cuadrática incompleta:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o

del término con la incógnita a la primera potencia.

Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas

Es cuadrática pura ax2 + c = 0

ax2 + bx = 0

ax2 + bx + c = 0

128

Son cuadráticas mixtas

ax2 + bx + c = 0

2. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada

del cociente del termino independiente entre el coeficiente de x2 con el signo cambiado.

ax2 + c = 0

ax2 = -c

acx −=2

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:

2x2 + 7 = 194

5 2

+x

8x2+ 28 = 5x2 + 76

8x2- 5x2 + 28 – 76 = 0

3x2-48 = 0 ∴ 416348

±=±=−

−±=x

3. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA

La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz

nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del

termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0 ∴ x1 = 0

x = 0

(ax + b) = 0 ∴ abx −=

Ejemplo:

acx −±=

X 1 = 4 X2 = -4

129

Resuelve la siguiente ecuación:

x2 – 9x = 0

x(x – 9) = 0

x1 = 0

x – 9 = 0

x2 = 9

x1 = 0

x2 = 9

4. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS. Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas

Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico

Procedimiento:

1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)

2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.

3. Graficamos.

4. los valores de x para los cuales y valedero, serán las raíces solución

de la ecuación.

Método grafico

Factorización

completando el cuadrado

Por formula

130

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación

x2 + x – 2 = 0.

y = x2+ x - 2

Tabulación

x y -3 4

-2 0

-1 -2

0 -2

1 0

2 4

3 10

X1 = -2 X2 = 1

131

Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización

Procedimiento:

1. Factorizamos la ecuación.

2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada

caso obtenemos las raíces de la ecuación.

Ejemplo:

x2 + x – 20 = 0

x2 + x – 20 = 0

(x + 5) (x – 4) = 0

x + 5 = 0 ∴ 51 −=x

x – 4 = 0 ∴ 42 =x

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:

352 2 −− xx

0352 2 =−− xx

2x2 – 6x + x – 3 = 0

2x(x – 3) + 1(x -3) = 0

(x – 3) (2x + 1) = 0 ∴ 31 =x

x – 3 = 0 ∴ 21

2 −=x

2x + 1 = 0

Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:

x2 + 6x – 16 = 0

1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

x2 + 6x = 16

132

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado

(la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9), por lo tanto,

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un

binomio al cuadrado: 2( 3) 25x + =

4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.

5.

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:

2x2 + 9x – 5 = 0

En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente

de x2 sea la unidad.

Ejemplo:

x2 + x – 20 = 0

x2 + x – 20 = 0

(x + 5) (x – 4) = 0

x + 5 = 0 ∴ 51 −=x

x – 4 = 0 ∴ 42 =x

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:

352 2 −− xx

0352 2 =−− xx

2x2 – 6x + x – 3 = 0

2x(x – 3) + 1(x -3) = 0

(x – 3) (2x + 1) = 0 ∴ 31 =x

2x+1 = 0 x – 3 =0 ∴ 21

2 −=x

133

Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general

Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la ecuación

literal. 2 0ax bx c+ + =

Por el método de completar cuadrado:

aacb

abx

aacb

abx

aacb

abx

abac

abx

ab

ac

abx

abx

acx

abx

acx

abx

24

2

24

2

44

2

44

2

44

0

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

−±−=

−±=+

−±=+

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−=++

−=+

=++

Formula general

La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del radicando

(b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, acb 42 −

Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.

2. Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, acb 42 −

Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales

3. Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –b/2a.

aacbbx

242 −±−

=

134

4. Si (b2 – 4ac) < 0, entonces acb 42 − es imaginario: las raíces son

complejas.

Ejemplo:

x2 – 8x + 15 = 0

X = a

acbb2

42 −±−

X = )1(2

)15)(1(4)8()8( 2 −−±−−

228

2482

60648

±=

±=

−±=

x

x

x

∴ 3

26

52

10

2

1

==

==

x

x

Ejemplo:

125

11

11

=+

+− xx

Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores (x2-1) 12:

12(x + 1)1+12(x-1)1=5(x2-1)

12x +12 +12x -12 = 5x2 – 5

24x = 5x2 -5

5x2 + 24x + 5 = 0

5x2 – 24x -5 = 0

X1 = 5 X2 = 3

135

1010057624

)5(2)5)(5(4)24()24( 2

+±=

−−−±−−=

x

x

5. ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN

xx =− 92 2

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

2x2 -9 = x2

2x2-x2 = 9

x2 = 9

x = 9± ∴

Resuelve la siguiente ecuación:

032122 2 =+−+− xxx

Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen radical.

122 2 +− xx = 2x -3

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2x2- 2x +1 = (2x -3)2

2x2 -2x +1 = 4x2 -12 +9

2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0

X1 = 5

X251

X1 = 3

X2 = -3

102624

1067624

±=

±=

x

x

136

2x2 +10x -8 = 0

x2-5x +4 = 0

(x-4)(x-1) = 0

x -4 = 0

x-1=0 ∴∴

¡ Muy importante!

Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos que

comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que se pudieron

ver introducido raíces extrañas.

Comprobación:

Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:

22(4) 2(4) 1 2(4) 3 0

32 8 1 8 3 0

25 5 00 0

− + − + =

− + − + =

− ==

Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.

Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:

22(1) 2(1) 1 2(1) 3 0

2 2 1 2 3 0

1 1 02 0

− + − + =

− + − + =

+ ==

Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.

X1 = 4

X2 = 1

137

6. ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO

Resuelve:

3x4 = 2x2 + 1

Hacemos la sustitución z = x2 quedando:

3z2 = 2z + 1

3z2 - 2z – 1 = 0

z = 6

1242)3(2

)1)(3(4)2()2( 2 +±=

−−−±−−

∴±

=16

42z z1 = 1

z2 = 31

Pero, x2 = z, por lo tanto:

31

1

±=

±=

x

x

Resuelve:

8x6 = 19x3 +27

Sustitución: x3 = z

8z2 = 19z +27

8z2 -19z – 27 = 0

z = )27)(8(4)19()19( 2 −−−+−− = 86436119 ++

2(8) 16

z = 16

3519 + ∴ z1= 87

1654

=

z2= -1

3 zx = = 3 8/27 =3/2

1133 −=−== zx

ix

x

31

1

3

1

−=

=

ix

x

31

1

4

2

−=

=

X =3/2

X = -1

138

7. PROBLEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Hallar un número tal que sumado con su cuadrado de 2550

Número pedido: x

Condición: x + x2 =2550

X2+ x -2550 = 0

21020011

)1(2)2550)(1(4)1()1(1 2 +±−=

−−±−=x

21011±−

=x ∴

Ejemplo:

Se va a fabricar una caja de base cuadrada sin tapa, con una hoja cuadrada de cartón,

cortando cuadrados de 3cm de las esquinas y doblando los lados.

Si la caja debe tener 48 cm3, ¿Qué tamaño debe tener la hoja que se va a usar?

Condición: largo. Ancho. Alto = 48

(x – 6) (x- 6) (3) = 48

X1 = 50

X2 = -51

139

( x-6)2 = 16

x1 = +4 +6 = +10

x2 = - 4 +6 = + 2

Como x es la medida del lado de la hoja de cartón, el valor de x= 2 es inaceptable, por lo

tanto, la raíz aceptable es:

Dimensiones de la caja: 4cm * 4cm *3cm

Volumen de la caja: 48 cm3

8. EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 8x2 – 2x = 0

2. 7x2 + 21x = 0

3. 11x2 – 44x = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico:

4. x2- 5x+ 6 =0

5. x2 + 4x + 3 = 0

6. x2 -6x +8 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

7. x2+6x -7 =0

8. x2 – 4x -32 =0

9. x2 + 11x = -18

10. x2- 13x = -30

11. x2+2x -8 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones por método de completar cuadrados:

12. x2 + x4 – 21 = 0

X= 10 cm

140

13. x2 – 7x + 12 = 0

14. 8x2 = 6x – 1

15. 3x2 – 5x -8 = 0

16. 5x2 + 500 = 100x

Resuelve las siguientes ecuaciones por la fórmula general:

17. x2 = 2x +35

18. x2 +3x -54 = 0

19. 3x2 +8x – 35 = 0

20. x2 + a2 – b2 = 2ax

21. a2bx2 = 2ax +4b +4

Resuelve las siguientes ecuaciones:

22. 12532 −=+− xxx

23. 1522 ++= xx

24. 3615 =+−− xx

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 1 210,4

x x= = ; 3. 1 20, 4x x= = ; 5. 1 21, 3x x= − = − ; 7. 1 21, 7x x= = −

9. 1 22, 9x x= − = − ; 11. 1 22, 4x x= = − ; 13. 1 24, 3x x= = ; 15. 1 28 , 13

x x= = −

17. 1 27, 5x x= = − ; 19. 1 27 , 53

x x= = − ; 21. 1 22 2 2,bx x

ab a+

= = − ; 23. 32

x = ;

141

Resuelve los siguientes problemas que implican ecuaciones cuadráticas:

1. Si el cuadrado de un número le agregamos el quíntuplo de dicho número se obtiene 36.

Hallar el número.

Resp: 4

2. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la

longitud en 20 m, y la anchura en 8 m, el área resulta triplicada. ¿Cuál es la superficie del

campo?

3. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente

número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.

Resp: 7 y 8

4. ¿Cuál es el numero que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 1640?

5. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros

lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo supera en 32 pies cuadrados al

área del rectángulo original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado.

Resp: 8 pies.

6. La capacidad de una alberca es de 300 m3 y puede drenarse con una rapidez de ½ m3 por

minuto mayor que la rapidez con que puede llenarse. Calcúlese la rapidez de drenado si se

necesitan 20 minutos mas para llenarla que para drenarla.

142

Unidad VII INECUACIONES. Objetivo especifico:

El alumno aplicara las leyes que rigen a las desigualdades en la resolución de

cuestiones dadas.

Definición

Una desigualdad es una proposición de acuerdo con la cual una cantidad real es

mayor o menor que otra.

Simbología

a = b Significa que a es diferente de b.

a > b Significa que a es mayor que b.

a < b Significa que a es menor que b.

1. GENERALIDADES SOBRE DESIGUALDADES

Los términos a la izquierda de la desigualdad constituyen el primer miembro, y los que

están a la derecha, el segundo miembro.

De la definición de desigualdad se deducen las siguientes consecuencias:

1. Todo número real positivo es mayor que cero.

5 > 0, 7 > 0, 3 > 0

2. Todo numero real negativo es menor que cero.

- 3 < 0, - 2 < 0, -10 < 0

3. De dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

-20 > -25, -5 > -7 , -3 > -7

Desigualdades absolutas y condicionales

Una desigualdad valida para todos los valores reales de la variable es una

Desigualdad absoluta.

Una desigualdad valida para algunos valores reales de la variable es una desigualdad

Condicional.

Desigualdad absoluta: x2 + 2 > x

Desigualdad condicional: 3x – 5 > 0

143

Las desigualdades condicionales también se llaman Inecuaciones

2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Una desigualdad no se afecta cuando se le suma o resta un mismo numero a cada

miembro

Sea: x > b x mayor que b

Entonces: x + a > b + a

También: x – a > b – a

2. Una desigualdad no se afecta cuando sus miembros se multiplican o dividen por un

mimo número positivo.

Sea: x < b

Entonces: ax < ab

También: xa

< ab

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican o se dividen sus dos

Miembros por un mismo número negativo

Sea: x > b

Entonces: - ax < - ab

También: - xa

< - ab

4. Si ambos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma

Potencia, la desigualdad no se afecta.

Sea: x > b

Entonces: x2 > b2

5. Si ambos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a potencia impar

la desigualdad no se afecta, pero hay cambio de sentido en la desigualdad si el grado de la

potencia es par.

Sea: - x > - b

Entonces: - x3 > - b3

Sea: - x > - b

Entonces: x2 < b2

144

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta

una desigualdad del mismo sentido que aquellas.

Sean: , ,x a y b z c> > >

Resulta: x y z a b c+ + > + +

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una

desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sea: ( ) ( )a b c d> − <

Resulta: a c b d− > −

3. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES

La solución de una desigualdad consiste en encontrar los valores de la variable para los

cuales la desigualdad es valida.

En el procedimiento para resolver inecuaciones utilizaremos las propiedades vistas

anteriormente. El método algebraico para resolver inecuaciones es muy semejante al de las

ecuaciones y consta de los siguientes pasos.

1. Cambiamos el miembro de la izquierda los términos que contienen a la variable, y

al miembro de la derecha los términos constantes.

2. Sumamos los términos en cada miembro

3. Dividimos ambos miembros de la desigualdad obtenida en el paso anterior entre el

coeficiente de la variable, teniendo cuidado de que dicho coeficiente negativo, debe

cambiarse el signo de la inecuación.

Ejemplo:

Resuelve:

4x + 5 > 2x -3

4x – 2x > -3 – 5

2x > -8

x > -4

La inecuación se verifica para cualquier valor mayor que -4.

Comprobación: 4(-3) + 5 > 2(-3) -3

-12 + 5 > -6 -3

-7 > -9

145

Ejemplo:

Resuelve: x + 4 > 5x – 8

x – 5x > -8 – 4

-4x > -12

4x < 12

x < 3

La inecuación se verifica para cualquier valor menor que 3.

Comprobación: (2) + 4 > 5(2) – 8

2 + 4 > 10 – 8

6 > 2

Ejemplo:

Resuelve:

523

38 −

<+ xx

5( 8 + x ) < 3( 3x – 2 )

40 + 5x < 9x – 6

5x -9x < -6 – 40

-4x < -46

x > 46/4

La inecuación se verifica para cualquier x mayor que 23/2

Comprobación: 8 + 12 < 3(12) -2

3 5

20 < 36 – 2

3 5

20 < 34

3 5

Ejemplo: Resuelve: |3x + 2| < 4

La inecuación se satisface las dos siguientes desiguales:

3x + 2 < 4 y

3x + 2 > -4

146

3x < 2 y

3x > -6

x < 6 y x > -18

Entonces la solución es: -18 < x < 6

Ejemplo: Resuelve: |x - 4| < 2

x - 4 > 2

x < 6

x – 4 > -2

x > 2

2 < x < 6

4. INECUACIONES SIMULTÁNEAS

Son las que satisfacen para los mismos valores de la variable.

Ejemplo: Resuelve: 8x – 5 > 2

815 −x … (1

8

32032 −>−

xx … (2

En 1: 16x – 10 > 15x - 8

16x – 15x > -8 + 10

x > 2

En 2: 16x – 24 > 20x – 3

16x – 20x > -3 + 24

-4x > 21

4x < -21

421−

<x

Solución: Las inecuaciones se satisfacen para valores comprendidos entre -21/4 y 2.

Ecuaciones e inecuaciones combinadas

Ejemplo Resuelve: x + 2y < 10… (1

3x – 5y = 8… (2

Multiplicamos la ecuación 1 por 5 y la ecuación 2 por dos y sumamos:

5x + 10y < 50

147

6x + 10y = 16

11x < 66

x < 6

Multiplicamos la ecuación 1 por (-3) y la sumamos a la ecuación 2:

-3x – 6y > -30

3x -5y = 8

-11y > -22

11y < 22

y < 2

Si (x) y (y) son respectivamente que 6 y 2 la inecuación (1) se verifica, y cuando x = 6 y

(y) = 2 entonces se verifica la ecuación (2).

EJERCICIOS.

Resolver las siguientes inecuaciones:

1. (x + 5) > 3 – 3x

2. 47523

+>+ xx

3. 3x + 5 < 7x – 1

4 | x – 1 | < 2

5 | 5x + 3 | > 2

Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones simultáneas.

6.

55 4 7724 2 253

x x

x x

+ +

+ +

f

p

7. 115 2( 1)3

4( 4) 3 14

x x

x x

− +

− −

f

p

Resuelve los siguientes sistemas:

8. 3x + 2y > 37

2x + 3y = 33

9. 7x + 2y > 25

3x + 5y = 19

148