música o matemáticas
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Guía didáctica "Música o Matemáticas", para el programa educativo del curso 2011/2012 de la Orquesta Sinfónica de GaliciaTRANSCRIPT
Consorcio para la promoción de la Música
Guía didáctica
MÚSICA o MATEMÁTICAS
J. S. BACH
El Arte de la Fuga
W. A. MOZART Dúo de la mesa
I. XENAKIS
Mikka (Para violín electrónico)
W. A. MOZART
Juego de dados musicales
Autores: Florian Vlashi María Remedios Cruz Araújo
Prólogo La imagen que sirve para
ilustrar la portada de esta guía
es el cuadro “Los
Embajadores” de Hans Holbein
el Joven, pintado en 1533 y
considerado una de las obras
maestras del Renacimiento.
Hoy se encuentra en la
National Gallery de Londres.
El cuadro representa al
embajador de Francia en
Londres, Jean de Dinteville, y
al obispo de Lavaur, Georges
de Selve, embajador ante la
Santa Sede. Los personajes
están rodeando un mueble con
dos estantes donde hay varios
objetos relacionados con las
cuatro artes que se estudiaban
en el Quadrivium, y que representan las cuatro ciencias matemáticas: Aritmética,
Geometría, Música y Astronomía.
En el estante inferior aparecen:
Un globo terráqueo.
Un libro de aritmética.
Una escuadra, que mantiene abierto el libro de aritmética.
Un laud, con una cuerda rota.
Un libro de himnos luteranos.
Un compás.
Estante inferior Estante superior
En el estante superior:
Una esfera celeste.
Varios relojes de sol.
Un libro: AETATIS SVAE 25 (es decir: Tiene 25 años)
Un instrumento astronómico medieval: Toquetum
Además de estos objetos aparece un crucifijo en la esquina superior izquierda que se
ve pese a la gran cortina de terciopelo verde que cubre el fondo. Este crucifijo en
muchas reproducciones del cuadro no se ve por el redimensionamiento de los
márgenes.
Pero lo más reseñable de este cuadro es un raro objeto que ocupa el primer plano y
que se mantuvo como algo misterioso durante mucho tiempo. Este objeto se
denomina “hueso de sepia” y no es más que una figura vista en anamorfosis, es decir
que el objeto tridimensional ha sufrido una deformación para poder ser representado
en forma bidimensional. El objeto oculto es un cráneo humano.
Para corregir la deformación y observar el cráneo se puede usar el dorso de una
cuchara. También se puede ver la figura oculta usando métodos informáticos.
El cráneo, visto en anamorfosis Uso de una cuchara para corregir la deformación
Pero ¿cuál es el significado oculto del cuadro?. Un embajador representa el poder
político, el otro el poder de la Iglesia. Los objetos de las estanterías el poder de las
ciencias. Pero como contraste de tanto materialismo aparece un cráneo que nos habla
de la vanidad humana. Lo importante en la tierra la muerte lo deshace.
Tal vez sea la música la matemática del sentimiento y la matemática la música de la razón.
Pedro Puig Adam ( 1900-1960)
Matemático español.
Introducción La palabra música proviene del griego musiké (el arte de las musas). Por esta razón
la paternidad de la música es atribuida a los griegos.
El término matemáticas proviene del griego mathema, que significa conocimiento.
Etimológicamente mathema se contrapone a musiké en el siguiente sentido:
Mathema: es lo que necesita estudio, conocimiento e instrucción para
ser conocido, como por ejemplo la Astronomía, la Aritmética,…
Musiké: es lo que se puede entender sin haber sido instruido o
estudiado y se refiere a la Poesía, la Retórica,…
Orígenes
En la época anterior a la Antigua Grecia el hombre primitivo ya había encontrado
música en la naturaleza, y había aprendido a usar objetos como huesos, cañas, palos,
troncos, conchas,… para producir nuevos sonidos, además de usar su propia voz.
Ciertos instrumentos de percusión y cuerda (similares a liras y arpas) aparecen en
excavaciones de la antigua Sumeria y se supone que estos objetos tienen unos 50
siglos (30 siglos antes de Cristo).
En Egipto hace unos 40 siglos la voz humana era considerada como el instrumento
más poderoso para contactar con el mundo de los muertos.
En el siglo X a.C. (hace unos 30 siglos), en Asiria en las grandes celebraciones y
fiestas colectivas la música profana era considerada un ingrediente fundamental.
Con toda seguridad en el siglo VI a.C., en Mesopotamia, ya conocieran las relaciones
numéricas entre longitudes de cuerdas.
1:1……….. Unísono (dos cuerdas iguales de igual longitud producen la misma nota)
1:2……….. Octava (si una cuerda es doble de otra el sonido diferirá en una octava)
2:3………… Quinta
3:4…………..Cuarta
Do4
Octava: Do5
Quinta: Sol4
Cuarta: Fa4
Estas proporciones de las cuerdas fueron estudiadas por Pitágoras en el siglo IV a. C.
así como sus derivaciones armónicas. Esto dará lugar al inicio de la teoría musical
occidental Europea.
Los inicios de la matemática también se remontan a los orígenes de las
civilizaciones. Las ideas primitivas mediante la abstracción van evolucionando poco
a poco. Aparece la necesidad de llevar un registro del paso del tiempo, nace así el
concepto de número, después las primeras operaciones, el cálculo, las mediciones,
los primeros estudios de la forma, de los objetos geométricos, la geometría… La
Matemática desde sus inicios ha tenido una vertiente práctica, y su finalidad era
solucionar problemas y generalizar sus resultados.
Los primeros matemáticos de los que tenemos conocimiento son los griegos Tales de
Mileto y Pitágoras.
Pitágoras
Pitágoras es el inventor de la filosofía y él a sí mismo
se denomina filósofo. En la palabra filosofía recogió
dos formas de conocimiento: contemplación y
comprensión. Dicho de otro modo el arte de filosofar
consiste en aprender a ver y saber escuchar.
Por lo tanto las matemáticas y la música, lo que se
aprende por los ojos, y lo que se aprende por los
oídos, son los dos fundamentos de la filosofía
pitagórica, y ambas se unen en el concepto pitagórico
de harmonia que significa: proporción de las partes de
un todo.
Pitágoras fue el primero en llamar Cosmos al conjunto
de todas las cosas. El universo está en movimiento y
este movimiento y las fuerzas que mueven a los astros se ajustan en un todo
harmónico. Así, el Cosmos es “harmonía”. Creía que las órbitas de los cuerpos
celestiales que giraban en torno a la Tierra producían sonidos que armonizaban entre
sí, dando lugar a un sonido bello al que llamaba “música de las esferas”
Pitágoras establecía un paralelismo entre los intervalos acústicos considerados como
base de la música y las distancias que nos separan de los planetas.
1 tono distancia Tierra – Luna
1/2 tono distancia Luna – Mercurio
1 tono y medio distancia Venus – Sol
Cuarta distancia Luna – Sol
Quinta distancia Tierra – Sol
Los pitagóricos dividieron la ciencia Matemática en cuatro secciones: aritmética,
geometría, astronomía y música, que constituían la esencia del conocimiento.
Aristóteles nos dice sobre la relación que encontraban los pitagóricos entre
matemática y música:
“Como los pitagóricos veían que las propiedades y las
relaciones de la armonía musical están determinadas por los
números y que todas las cosas están también conformadas
según los números y que estos son lo primero en toda la
naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son
las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es
armonía y número.”
Las 7 artes liberales
Quadrivium (saberes exactos): Geometría, Aritmética, Música, Astronomía.
Trivium (saberes humanos): Gramática, Dialéctica, Retórica.
Quatrivium o Matemáticas:
Matemáticas o Quadrivium (el estudio de lo inmutable)
Cantidad
(lo discreto, números)
Magnitud (lo continuo, medidas)
Números en reposo Aritmética
Números en movimiento
Música
Medidas en reposo Geometría
Medidas en movimiento Astronomía
Esta clasificación muestra lo que fue el plan de estudios durante siglos, desde la
Antigua Grecia hasta el Renacimiento.
Por lo tanto la música estaba considerada una parte de las matemáticas.
“”
Propiedades que comparten Música y Matemáticas
1. Lenguajes universales: esta es la propiedad fundamental y la más
excepcional que comparten la Música y la Matemática. 2. Son lenguajes abstractos: cada uno de estos lenguajes tiene su propia
notación y no puede ser comprendido por los no iniciados. 3. La teoría de ondas: la teoría de ondas juega un papel prioritario en la
percepción de la música y esta teoría se puede analizar matemáticamente. 4. Buscan la belleza: tanto los músicos como los matemáticos puros buscan
la belleza a través de sus creaciones.
Afinación y Temperamento
Hemos dicho anteriormente que ya en Mesopotamia, alrededor del siglo VI a. C. se
conocían las relaciones numéricas entre las longitudes de las cuerdas.
Después Pitágoras, en el siglo IV a. C., estudia estas relaciones en profundidad lo que
dará lugar a un sistema de afinación.
A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se
siguen utilizando media docena.
Pero ¿qué es un sistema de afinación? Un sistema de afinación es el conjunto de los
sonidos que se utilizan en la música. En el conjunto de las frecuencias de todos los
sonidos hemos de elegir algunos y descartar el resto. Los sonidos admitidos se
denominan notas musicales.
Según sea la naturaleza de los números elegidos, que representan las frecuencias de
los sonidos, se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los
temperamentos.
Afinación: cuando todos los números son racionales.
Temperamento: cuando algunos o todos los números son irracionales
Actividad 1:
¿Recuerdas lo que era un número racional y un número irracional?
Número Racional: es todo aquel que se puede expresar a través de una fracción.
Número Irracional: es aquel número real que no se puede expresar en forma de
fracción.
Recuerda que un número no puede ser a la vez racional e irracional.
Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:
3,2; 1,01001…; 7; π; 2 ; 1,010101….; 1,02022; 1,020220222…
Aunque ahora, a posteriori establecemos esta clasificación en relación al tipo de
números utilizados, lo cierto es que los temperamentos surgieron como
aproximaciones a las afinaciones sin que se tuviese en cuenta el tipo de números
implicados en cada caso.
Hoy en día podemos preguntarnos si este tema sigue siendo interesante para alguien
que no se dedique al estudio de la Historia de la Música.
Pero tanto músicos como musicólogos siguen necesitando estudiar y comprender este
tema en profundidad, sobre todo en lo referente a dos campos:
La búsqueda de nuevas afinaciones aumenta las posibilidades de creación
musical.
La recuperación de la fidelidad a la hora de interpretar partituras antiguas.
De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de
la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach,
resulta imprecisa. Buen temperamento no designa una única forma de afinar y
continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de
afinación de 12 notas por octava o se trataba de otro temperamento de los que en la
época se utilizaban en Alemania.
La octava
En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Esta idea es
bastante intuitiva en música, basta pensar lo que sucede cuando un hombre y una
mujer cantan juntos. El hombre suele cantar una octava más grave aunque todo el
mundo diría que están interpretando las mismas notas.
Recordando lo expuesto en relación a las longitudes de las cuerdas vibrantes: si una
cuerda tiene longitud 1 una cuerda emitirá un sonido una octava más grave si tiene
longitud 2.
En cuanto a las frecuencias de los sonidos: si un sonido tiene frecuencia f entonces
otro una octava más aguda tendrá frecuencia doble 2f.
Observamos que la relación entre longitud de una cuerda y frecuencia del sonido es
una razón inversa: si la cuerda es el doble de larga, la frecuencia del sonido será la
mitad.
Las distintas octavas de un sonido tendrán frecuencias: f, 2f, 4f, 8f, 16f,…
Por tanto es más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [ 1,2 ]
Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del
intervalo [1, 2]
Siete notas
La comparación entre las longitudes de las cuerdas tirantes dio lugar a cuatro
relaciones que tomaron nombres propios
1/1 unísono
2/3 quinta
3/4 cuarta
1/2 octava
Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de
sucesos destacaban el 4 (cuatro estaciones) y el 7 (siete días de la semana). De hecho
probablemente la antigua escala mesopotámica era de siete notas.
Desde los pitagóricos en occidente se considera que las notas fundamentales son 7 y
las demás son alteraciones de estas.
Sostenidos (#): son las alteraciones que aumentan la frecuencia de un sonido.
Bemoles (b): son las alteraciones que disminuyen la frecuencia de un sonido.
Tonos y Semitonos
Dado que para producir los intervalos afinados sólo disponemos de las cuatro
relaciones anteriores, las definiciones de tono y semitono se obtienen a partir de
ellas.
Tono: decimos que una nota es un tono más alta que otra si la primera se puede
obtener de la segunda subiendo dos quintas y bajando una octava.
FA1→DO2→SOL2→→SOL1
Semitono cromático: decimos que una nota es un semitono cromático más alta que
otra si la primera se puede obtener de la segunda subiendo siete quintas y bajando
cuatro octavas.
FA1 →DO2→ SOL2 →RE3→ LA3→ MI4→ SI4→ FA#5→→→→→FA#1
Semitono diatónico: decimos que una nota es un semitono diatónico más grave que
otra si la primera se puede obtener de la segunda subiendo esta cinco quintas y
bajándola tres octavas.
FA1→ DO2→ SOL2→ RE3→ LA3→ MI4→→→→MI1
Afinación Pitagórica
Después de un periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, Pitágoras lleva las
teorías de la música y los principios de afinación a Grecia.
El sonido de una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud:
“cuanto más corta es la cuerda más aguda es la nota producida”
Divide el intervalo de octava en siete notas y además las distintas notas musicales se
obtienen combinando las cuatro relaciones conocidas entre las longitudes de las
cuerdas vibrantes.
L UNÍSONO
3L/4 CUARTA
2L/3 QUINTA
L/2 OCTAVA
El sistema de afinación pitagórico se puede expresar en forma axiomática como:
La música se basa en 7 notas.
La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 3.
La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 2.
En lugar de manejar longitudes de cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas
por ellas.
Todas las notas se obtienen aumentando o disminuyendo quintas, es decir dada una
nota de frecuencia f podemos multiplicar o dividir por 3/2 cualquier número de
veces para obtener otra. Además como hemos dicho que una afinación consiste en
elegir puntos de [1, 2] debemos multiplicar o dividir el resultado por una potencia
adecuada de 1/2 de forma que el resultado esté en el intervalo [1,2].
El orden de las notas según las quintas son:
…Lab Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Re# La# Mi# Si# Fa##...
Ejemplo
Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo SOL, y lo subimos tres quintas.
La nota obtenida será:
8
27
2
33
ff
Para trasladar esta nota a la misma octava que f hay que multiplicar dos veces por
1/2.
32
27
48
127
2
1
8
272
fff =5
3
2
3f
Este resultado es la frecuencia de la nueva nota afinada.
Actividad 2:
Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo DO, y lo subimos cinco quintas.
Calcula la frecuencia de la nueva nota afinada trasladándola a la misma octava que la
anterior.
Método para obtener las notas
1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir
0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si
2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
En la primera fila marcamos la nota central (3)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO
porque la casilla de partida también se cuenta)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y
repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente:
Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si
Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas
aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido
contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc.
Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos
por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que
haremos es dividir por 3/2 .
Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib?
a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de
las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:
Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una
potencia de 2 , en concreto 2 3
, es decir:
b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de
las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:
Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por
una potencia de 2 , en concreto 2 2
, es decir :
Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes:
Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes
Actividad 3:
Calcula las frecuencias de La b y Sol# a partir de Do natural y comprueba que son
notas distintas.
¿Cuántas notas deben aparecer en una octava?
Con este método podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una
misma octava.
Dado que manejar un número infinito o muy elevado de notas sería inoperativo
parece lógico pensar que debemos conformarnos con aceptar como “sonidos iguales”
a los sonidos que sean “muy parecidos”.
De ahí que nos quedemos con 12 notas de la tabla anterior: Mib Sib Fa Do Sol Re
La Mi Si Fa# Do# Sol#, y aceptemos como notas iguales por ejemplo: La# y Sib.
Justa entonación
Cuando para representar la tercera mayor se toman los 4/5 de la cuerda vibrante base
de longitud L, entonces se dice que la nueva afinación se llama justa.
La forma de incorporar esta nueva razón sería ajustando algunas notas de la afinación
pitagórica. Dado que en la afinación pitagórica la tercera mayor no se considera un
intervalo consonante sino que se calcula subiendo cuatro quintas (y bajando dos
octavas) se aprecia una diferencia entre ambas construcciones.
Tercera pitagórica Tercera justa
MiDoDoDo 2656,164
81
2
1
2
324
MiDoDo 25,14
5
Temperamentos
Los temperamentos surgen para evitar en la práctica los problemas que acabamos de
analizar. Lo que se hace es templar o disminuir las quintas de manera que los
resultados obtenidos sean aceptables. Los temperamentos más utilizados en nuestros
días son dos:
Temperamento igual de 12 notas (regular e igual)
Temperamento de Holder (regular mesotónico)
Matemáticamente los temperamentos se obtienen de la siguiente forma:
Si queremos obtener n notas distintas dividimos el intervalo [1,2] en n subintervalos
iguales. De forma que si el primer subintervalo va de 1 a x el segundo va de x a x2, y
así sucesivamente hasta el último que irá de xn-1
hasta xn.
Como sabemos que el extremo superior del intervalo es 2 igualamos y despejamos x:
2nx nx 2
Por lo tanto las notas afinadas en un temperamento de n notas serán:
120
n,
1
2n,
2
2n, … ,
1
2n
n, 22
nn
Temperamento igual de 12 notas
El intervalo [1,2] se divide en 12 semitonos iguales.
120
12;
112 2 = 1,05946…;
212 2 ; … ;
1112 2 ; 22
1212
En otra notación:
12
0
2 ; 12
1
2 ; 12
2
2 ; … ; 12
11
2 ; 12
12
2
Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12
notas resulta totalmente uniforme:
Aunque este temperamento tiene la ventaja de que se puede modular fácilmente,
tiene el inconveniente de que no existen intervalos justos. La aproximación de las
quintas es bastante buena, sin embargo las terceras mayores están muy desviadas. En
la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento en el que el intervalo
justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado.
En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades
de los temperamentos. En términos generales, es preferible la perfección en las
quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992).
Temperamento de Holder
William Holder (1614-1697) divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta
forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4.
120
53;
453 2 ;
553 2 ; … ;
4953 2 ; 22
5353
El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico
y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente
iguales.
En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7
notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se
obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica:
El mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un
número excesivamente grande.
Actividad 4:
Suponiendo que la frecuencia de DO es f, calcula las frecuencias de SOL# y de LAb
con la afinación temperada de Holder. (Observa que los resultados son casi análogos
a los de la afinación pitagórica que vimos en la actividad 3)-
Veamos una tabla donde se comparan las frecuencias de las notas de la escala central
fijado el diapasón en 440 Hz para La4
NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz.
Actividad 5:
En la columna de la afinación temperada de 12 notas (3ª columna) multiplica la
frecuencia del DO por 11
12 2 para obtener la frecuencia de SI. (Comprueba que la
afinación de la tabla es correcta).
J. S. Bach (1685 - 1750)
El español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) sistematizó el Temperamento
igual de 12 notas en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la
Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se
encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos.
En 1627 el matemático francés Mersenne formula en su obra Armonía Universal la
relación entre la longitud de la cuerda y la frecuencia. Esto permitía la creación de
una escala en donde todos los intervalos son iguales: la escala cromática de 12
semitonos. Se resolvía así el problema de cambiar de tonalidad sin reajustar la
afinación.
Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach en su
obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros)
en todas las tonalidades, usando el modo mayor y el menor. Dada la complejidad de
hacer modulaciones en un sistema de afinación pitagórico, Bach demuestra las
posibilidades de modulación creada por una afinación igual.
Transformaciones Geométricas y Homotecias
Una transformación geométrica en el plano hace corresponder a una figura otra
figura de igual forma y tamaño.
Una homotecia en el plano hace corresponder a una figura otra de igual forma pero
de distinto tamaño, tanto mayor como menor. (La homotecia podemos definirla como
un cambio de escala).
Las transformaciones se pueden llamar Movimientos en el Plano y son de tres tipos:
Traslaciones
Giros (Rotaciones)
Simetrías axiales (Reflexiones)
Veamos una figura con forma de “ele” invertida
Esto es una transformación geométrica ya que la
figura no cambió de forma ni de tamaño (la figura
está girada 90º)
Esto no es una trasformación geométrica porque
la figura cambió de tamaño (está agrandada)
Esto es una Homotecia.
Analizamos cada caso:
Traslación En una traslación se conserva la forma y el tamaño, pero la figura está
desplazada de lugar según una dirección dada.
Traslación horizontal
Traslación vertical
Giro La figura resultante está girada según un ángulo de giro
Giro de 90º
Giro de 180º
Tanto la traslación como el giro son movimientos directos: conservan la
orientación (la “ele invertida” sigue siendo una “ele invertida”)
Simetría axial
Para hacer una simetría axial se necesita un eje (es decir una recta)
Las simetrías son movimientos inversos: no conservan la orientación. (la “ele
invertida” pasa a ser una “ele”)
Hay otro movimiento más al que podemos llamar: Deslizamiento
Deslizamiento En realidad un deslizamiento es una composición de una simetría axial con
una traslación en la dirección del eje de simetría
Estos 4 movimientos en el plano: Traslaciones, Giros, Simetrías y Deslizamientos
podemos aplicarlos para construir Frisos (cenefas) y Mosaicos.
Friso (o cenefa)
En un friso hay un motivo inicial y este motivo se repite periódicamente.
Aunque hay infinidad de motivos que pueden dar origen a una cenefa y
podríamos pensar que hay un número ilimitado de combinaciones de
realizarla, en realidad generar un friso depende de muy pocos movimientos
geométricos.
Mosaico
Un mosaico es una forma de recubrir el suelo(o una pared) con baldosas entre
las cuales no habrá agujeros ni solapamientos.
o Hay mosaicos con baldosas iguales
o Hay mosaicos con baldosas diferentes
Existen sólo 17 estructuras básicas de Mosaicos periódicos. Esto fue
demostrado recientemente, en 1981, por el cristalógrafo ruso Fedorov.
En la Alhambra de Granada hay representaciones de cada uno de los 17
modelos posibles.
Mosaico de baldosas iguales
Mosaicos de baldosas diferentes
Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
Escher es un artista holandés conocido por sus grabados que tratan de teselados y de
figuras imposibles. La obra de Escher ha interesado mucho a los matemáticos.
Utiliza las traslaciones y homotecias de una forma muy original.
El trabajo gráfico de M. C. Escher estuvo muy influenciado por los diseños de arte
musulmán que descubrió visitando Granada.
En la obra “Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle” (Douglas Hofstadter-
1979) el autor relaciona los logros creativos de Bach y Escher, además de los del
lógico y matemático Kurt Gödel.
En resumen
Traslaciones
Giros (Rotaciones)
• Movimientos Simetrías axiales (Reflexiones)
Deslizamientos
Homotecias
La geometría en la música Las transformaciones geométricas que en matemáticas conservan la forma de una
figura, en música se corresponden con transformaciones que conservan los intervalos
(en el caso de los movimientos) o que conservan la proporción entre ellos (en el caso
de las homotecias).
En casi cualquier composición se pueden encontrar ejemplos de este tipo de
transformaciones.
Esto no quiere decir que el compositor sea consciente de estar realizando una
“transformación geométrica”, pero su oído y su experiencia le indican que conservar
los intervalos o sus proporcione es una excelente forma de familiarizar al oyente con
el motivo musical sin que este tenga que ser repetido exactamente.
Simetrías en la música: Reflexiones (4 ejemplos)
o Simetría en la altura de la melodía por medio de un eje vertical: es una
reflexión horizontal
o Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza
respecto de la nota LA
o Simetría del ritmo en el tiempo:
A tempo - accel - decel - a tempo
o Simetría de la intensidad del sonido en el tiempo
Piano - Forte - Piano
Actividad 6: Puedes identificar el tipo de reflexión del siguiente ejemplo
Veamos ahora una rotación y otro tipo de reflexión (inversión).
o Primero tenemos un giro o rotación respecto a SI
Se mantienen los intervalos en orden inversa por ser un giro:
RE - MIb - RE • SOL - FA# - SOL 1/2↑ 1/2↓ GIRO 1/2↓ 1/2↑
o En segundo lugar se realiza una reflexión(simetría respecto a la nota
SOL, en clave de FA)
Se mantienen los intervalos en el mismo orden pero con distinto
sentido por ser una reflexión:
LA - SOL - FA - MI - SOL FA - SOL - LA - SIb* - SOL
1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓
*Nota: Fuga nº 6 en Re menor de J. S. Bach (el SI es Bemol)
Continuemos con una reflexión desplazada y dos tipos de reflexión con
homotecia:
o Primero tenemos un desplazamiento con simetría horizontal
DO MI SOL MI → DO MI SOL MI → DO MI SOL MI
Hay una traslación 3 veces
DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO
Hay una reflexión respecto a la nota SOL
o Reflexión con homotecia en la duración(disminución del tempo)
DO RE MI FA SOL FA MI RE DO
Negras corcheas
o Reflexión con homotecia en la compresión del sonido
FA SOL LA SI DO# DOb SI SIb LA
1↑ 1↑ 1↑ 1↑ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓
Gioachino Antonio Rossini (1792 - 1868)
La repetición es uno de los procedimientos más usado en
la música. La repetición constante causa un efecto
hipnótico, una adaptación del oído y ayuda a recordar la
melodía.
Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación
melódica. Las frases se repiten cada vez con más
intensidad, en crescendo. Precisamente el clímax se
alcanza rompiendo la traslación.
F. Chopin (1810-1849)
Una doble traslación.
Estamos en Mib Mayor
LAb SOL MI DO → REb DO SIb SOL
1/2↓ 1 ½ ↓ 1 ½ ↓ 1/2↓ 1 ↓ 1 ½ ↓
LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL → LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL
L. van Beethoven (1770-1827)
Homotecia en la duración.
o 1er compás: SOL FA# MI RE# MI
Semicorcheas Corchea
o 2º compás: SOL FA# MI RE# MI
Corcheas Negra
o 3er compás: SOL FA# MI RE# MI
Negras Negra
Reflexión desplazada (Simetría + Traslación)
La transformación geométrica ocurre 132 compases después de la primera
aparición (se repite todo salvo el compás en rojo).
En este caso Beethoven, en la Sonata nº 29, tuvo que ser consciente de
que estaba utilizando una transformación geométrica.
J. S. Bach (1685 - 1750)
Veamos ahora 8 compases de la Invención I a dos voces (BWV 772) de J. S.
Bach de su música para clave.
o El sujeto de la fuga aparece en el 1er compás en una elipse roja
DO RE MI FA RE MI DO SOL
1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª
En el mismo compás ya aparece el sujeto trasladado (una 8ª más
grave)
En el compás siguiente aparece otra vez pero subiéndolo una quinta
(do → sol)
SOL LA SI DO LA SI SOL RE
En el quinto compás vuelve a aparecer subiéndolo una 2ª Mayor
(do → re)
RE MI FA# SOL MI FA# RE SOL
Hay una variación en la última nota que debería ser un LA
En el octavo compás aparece otra vez pero ya con nota final LA
En el último compás aparece otra vez el sujeto pero ya no guarda la
misma relación interválica:
LA SI DO RE SI DO LA …
o La elipse azul se usa para marcar una simetría del sujeto
Sujeto: DO RE MI FA RE MI DO SOL
1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª
Reflexión: LA SOL FA MI SOL FA LA SOL
1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↓ 1 ½↑ 1↓
Aunque no siempre guarda la relación interválica (3er compás 2ª
parte)
FA MI RE DO MI RE FA MI
o El rectángulo rojo marca un motivo que aparece en la mano izquierda
en corcheas: SI DO RE MI y que se traslada bajando una tercera
la primera vez: SOL LA SI DO (aquí tampoco se guardan los
intervalos)
o El rectángulo verde marca otro motivo que aparecerá mas adelante.
Actividad 7: Comprueba la relación interválica de los rectángulos rojos
1ª vez: SI DO RE MI
2ª vez: SOL LA SI DO
3ª vez: MI FA# SOL LA
4ª vez: SOL LA SI DO
5ª vez: SI DO RE MI
6ª vez: RE MI FA# SOL
Tanto las simetrías en espejo como las traslaciones son frecuentes en la
música de Bach a muchos niveles.
En la obertura de La Invención en dos partes nº 6 en Mi Mayor aparece
una simetría en espejo entre los dos pentagramas de la partitura con una
traslación al cabo de cuatro compases.
La famosa Ofrenda Musical está formada por las siguientes formas
musicales:
Ricercar 5 Cánones Trío Sonata 5 Cánones Ricercar
Esta composición presenta una indudable simetría en su distribución, aunque
en este caso no es nota a nota.
Además los 10 Cánones de esta obra son un ejemplo de la operación de
traslación.
Pero esto no es lo único, dentro de la Ofrenda Musical el Canon 1 es
conocido por el Canon del Cangrejo. En esta pieza cada violín toca la parte
del otro al revés resultando ser una simetría en espejo vertical. De esta obra
volveremos a hablar más adelante.
La geometría en las obras de Bach
Durante muchos años Bach no fue consciente del rigor científico de sus obras. En
palabras de su hijo CPE Bach “(mi padre) no se dejaba arrastrar por profundas
consideraciones teóricas y dedicaba en su lugar
sus energías a la práctica”
Tras 9 años de negativa, en 1774 Bach accedió a
entrar en la Sociedad de las Ciencias Musicales
(Sozietat der Musicalischen Wissenschaften).
Esta sociedad creada por L.C. Mizler, un alumno
de Bach, que además de músico fue matemático,
físico, filósofo y médico. Su propósito era
investigar la relación entre la música y las
matemáticas, de hecho el propio Mizler publicó
un trabajo basado en el “Ars Combinatoria” de
Leibniz.
JS Bach para ingresar presentó una pieza a canon
basada en su “Vom Himmel hoch (BWV 769)”
junto con un canon a 6 voces de las Variaciones
Goldberg. Además por exigencias de la sociedad
también aportó un retrato, que se ha convertido en la imagen más conocida de Bach.
La genialidad de Bach alcanza su cenit en el contrapunto y en la fuga, composiciones
donde la estructura geométrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y se
les somete a Transformaciones geométricas: Traslaciones – Giros – Reflexiones –
Deslizamientos y Homotecias, que confieren a la obra una estructura muy rígida pero
donde el “Cantor de Leipzig” encontró una fuente de inspiración.
La suprema importancia de este compositor está en el hecho de que pese a la rigidez
estructural, sus obras poseen una velocidad y una brillantez en la improvisación que
resultan admirables.
El biógrafo de JS Bach, J.N. Forkel (1749-1818) nos comenta una anécdota
refiriéndose a una visita de Bach a rey de Prusia Federico II (1712-1786):
Una noche, en los momentos en que [Federico II] preparaba ya su flauta y sus músicos estaban preparados para comenzar, un funcionario […] dijo[…] “Señores el viejo Bach está aquí”. […] El rey renunció a su concierto de esa noche e […] invitó a Bach […] a tocar […] alguna improvisación. […] Bach le pidió al rey un tema para una fuga, ofreciéndose a interpretarla de inmediato, sin preparación alguna. El rey quedó admirado […] y expresó el deseo de oir una fufa a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armonía tan rica, Bach mismo eligió uno, y al punto, con asombro de todos los presentes lo desarrolló de la misma sabia y magnífica manera como había desarrollado antes el tema del rey.
La dificultad de componer una fuga a 6 voces es altísima y el hecho de improvisarla
está sólo al alcance de unos pocos elegidos. En palabras de Hofstadler (Autor del
libro: “Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle” 1979): “la tarea de improvisar
una fuga a 6 voces puede compararse, por decir algo con jugar con los ojos vendados
60 partidas simultáneas de ajedrez y ganarlas todas”.
El Arte de la Fuga (1751) es una de las obras maestras de la Historia de la música y
puede verse como una colección de ejemplos brillantes de transformaciones
geométricas.
El Arte de la Fuga
Fue escrita en el último año de su vida y es una obra didáctica incompleta que
sobrecoge por su inmensa trascendencia y belleza. El libro del Arte de la fuga se
compone de catorce fugas y cuatro cánones, o más bien, a juicio de Spitta, de una
gigantesca fuga en quince capítulos. Esta creación, descansa sobre un único tema en
re menor, «bastante insignificante por sí mismo». La homogeneidad del inacabado
opus es tan grande que las fugas requieren una ejecución conjunta, Interpretadas
aisladamente pierden algo de su peculiar grandeza, y tan solo brillan esplendorosas
cuando suenan agrupadas.
El Arte de la Fuga (Die Kunst der Fuge, BWV 1080) probablemente JS Bach la
comenzaría a componer entre 1738 y 1742. Fue publicada inacababa en 1751, un año
después de la muerte del compositor. Está formada por 14 Fugas(la última
incompleta) y 4 Cánones, todos ellos basados en el mismo sujeto en Re menor. Fue
publicada sin indicaciones de instrumentación ni de orden, lo que ha dado lugar a
múltiples versiones.
Fugas:
4 Fugas simples (Contrapunctus I - IV)
3 Fugas con respuestas invertidas (Contrapunctus V- VII)
4 Fugas dobles / triples (Contrapunctus VIII - XI)
2 Fugas en espejo (Contrapunctus XII- XIII)
1 Fuga cuádruple inconclusa (Contrapunctus XIV)
Cánones:
Canon per Augmentationem in contrario motu
Canon alla Ottava
Canon alla Duodécima in contrapunto alla Quinta
Canon alla Decima in contrapunto alla Terza
El Contrapunctus XIV es una fuga a 3 temas, el tercero de los cuales está basado en
el considerado tema BACH (las notas B-A-C-H están escritas en notación alemana,
donde B es Sib, A es La, C es Do y H es Si)
Actividad 8:
Escucha el contrapunto nº 1 de El Arte de la Fuga.
Veamos algunos ejemplos:
Los sujetos de las dos primeras fugas son prácticamente iguales, con una pequeña
modificación al final, en la segunda aparecen corcheas con puntillo:
El sujeto de la fuga nº3 utiliza ya una transformación geométrica:
La línea melódica es justo la contraria que en el primer sujeto. Donde antes subía un
intervalo, ahora baja y además en la misma cantidad. Se puede encontrar una
pequeña "trampa" en el primer intervalo para conseguir la tonalidad deseada.
En la fuga nº4 el procedimiento utilizado es el mismo pero un poco más grave que en
el nº 3.
Estos cuatro primeros contrapuntos son "simples", entendiendo por tales aquellos en
las que las posteriores entradas de los sujetos no sufren modificaciones importantes,
es decir, siempre volvemos a escuchar el sujeto tal como se enuncia al principio de
cada contrapunto.
Actividad 9:
Escucha los cuatro primeros contrapuntos de El Arte de la Fuga.
Comprueba que los sujetos de las cuatro primeras fugas siguen los ejemplos
anteriores.
A partir del contrapunto nº5 las transformaciones geométricas empiezan a ser más
complicadas.
Actividad 10:
La fuga XII tiene dos partes: Rectus e Inversus.
Vamos a comparar las dos primeras páginas de ambas fugas.
Comparando los distintos compases de ambas partituras vemos que existen
reflexiones (inversiones) en las entradas de las distintas voces:
Compases:
• 1-4 Rectus: Entrada de Bajo.
• 1-4 Inversus: Entrada de Soprano.
• 5-9 Rectus: Entrada de Tenor.
• 5-9 Inversus: Entrada de Alto.
• 10-13 Rectus: Entrada de Alto.
• 10-13 Inversus: Entrada de Tenor.
• 14-18 Rectus: Entrada de Soprano.
• 14-18 Inversus: Entrada de Bajo.
Identifica estas inversiones en las partituras siguientes.
Manuscrito de la primera página del Arte de la Fuga. Fuga nº 1
Bach y los Números Veamos el Abecedario alemán de la época de Bach
Antes de nada hay que reseñar que en esa época en Alemania la I y la J eran la
misma letra y lo mismo ocurría con la U y la V
A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z
Ahora a cada letra le asignamos un número natural de forma consecutiva
A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Vamos a ver cuánto suma el nombre BACH, de la siguiente manera:
Sumamos ahora: 2+1+3+8= 14
Actividad 11:
Realizamos la misma operación con el nombre completo del compositor(J S
BACH)::
Suma tú ahora y calcula el resultado.
J S B A C H
Ahora observamos que el Coral para órgano de Bach “Vor deinen Thron tret ich
hiermit” en su manuscrito original contiene 14 notas en su primera frase y en total
tiene 41 notas.
¿Es casualidad o está escrito así de forma deliberada?
http://icking-music-archive.org/scores/bach/bwv668/Bach-VorDeinenThron.pdf
En esta página web puedes ver la pieza de órgano a la que nos referimos. Observa
que el coral es los que está escrito en el primer pentagrama.
Actividad 12:
Cuenta las notas de la primera frase del coral.
Cuenta las notas de todo el coral.
Cuando con anterioridad nos hemos referido a que Bach ingresó en la Sociedad de
las Ciencias Musicales. Este ingreso no se produjo hasta que nuestro compositor no
constató que ya se había dado de alta en esta Sociedad el socio nº 13, por lo tanto
Bach fue admitido como socio nº 14. ¿Otra casualidad?
Actividad 13:
Suma ahora las letras de la palabra CREDO.
En la primera sección del Credo de la Misa en Si menor la palabra “Credo” se
repite 43 veces.
B A C H
2 1 3 8
Además la dos primeras secciones del Credo tienen en total 129 compases, es decir
43x3=129, y esta multiplicación por 3 representa la Trinidad.
http://erato.uvt.nl/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf
http://imslp.info/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf
En esta página podéis ver el Credo de la Misa en Si menor. La primera sección son
las 5 primeras páginas. La segunda sección va de la página 6 a la página 17.
Actividad 14:
Contar las veces que sale la palabra Credo en la primera sección, son sólo 5 páginas.
Como hay 5 voces el trabajo se puede repartir. Cada alumno contará los “credo” que
hay en cada voz.
Además se pueden contar los compases de la primera y segunda parte del Credo.
Palíndromos
Un Palíndromo es una frase, una expresión, una sucesión que se puede leer igual de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Uno de los palídromos más conocidos
es:
Dábale arroz a la zorra el abad
Geométricamente hablando un Palíndromo es una reflexión horizontal (simetría) de
una melodía.
Haydn (1732-1809)
El Minueto al Rovescio, uno de los movimientos de la Sonata en La mayor (Hob
XVI-26) que Haydn, compuso en 1773. La composición se divide en dos partes,
donde la segunda es una reflexión exacta de la primera. Dicho de otro modo, ambas
juntas forman un palíndromo musical, una partitura “capicúa”. En este caso Haydn
era realmente consciente del uso de la simetría en la composición musical.
El propio Haydn también es el autor de la sinfonía El palíndromo (Sinfonía nº 47)
que contiene otro minueto y un trío palindrómicos.
Mozart (1756 - 1791)
La obertura de la famosa Sinfonía nº 40 en sol menor es un ejemplo de simetría
traslacional. Mozart era un apasionado de los juegos de todo tipo entre ellos los
dados y la lotería. Su hermana Nannerl, recordó que en una ocasión cubrió las
paredes de las escaleras y de todas las habitaciones de la casa con números y cuando
ya no quedaba espacio libre, continuó en la casa de al lado. Incluso los márgenes del
manuscrito de Mozart de la Fantasía y Fuga en do mayor contiene cálculos de las
probabilidades de ganar la lotería.
El musicólogo británico Donald Tovey identificó las “proporciones bellas y
simétricas” de las composiciones de Mozart como una de las razones clave de su
popularidad.
La siguiente composición, “El dueto del espejo” o también llamado “Dúo de la
Mesa”, se trata de un divertimento en Sol mayor para dos violines, atribuido a
Mozart. La partitura está diseñada para que ambos violinistas puedan ejecutarla a la
vez, ¡pero cada uno leyéndola en sentido contrario!
Por ejemplo, colocando la partitura en una mesa, los dos violinistas se deben colocar
enfrentados, en lados opuestos de la mesa, con la partitura situada entre ambos. De
esta forma, comenzando a la vez, mientras uno interpreta el primer compás, el otro se
encuentra ejecutando el último (que para él es el primero, naturalmente), y cuando el
primer violinista avanza hasta el segundo compás, el otro violinista avanza hasta el
penúltimo.
¿Cómo se ha creado esta curiosa composición y, sobre todo, cuál es “el truco” que
permite a ambos violinistas intercambiarse sus voces (principal y acompañamiento)
sin dejar de armonizar en ningún momento?
Para ello, observemos la siguiente partitura. Se trata de la primera mitad de la
partitura anterior (para el primer violinista), a la que se le ha añadido la segunda
mitad de la partitura anterior “girada 180 grados” (que es la primera mitad que
interpreta el segundo violinista).
Se han coloreado las figuras en función del intervalo -diferencia de altura- que separa
cada dos notas ejecutadas al mismo tiempo:
azul significa la misma nota (aunque sea en distinta octava)
verde los intervalos de tercera
dorado los de sexta
rojo el resto.
De esta forma, podemos comprobar que a lo largo de la mitad de la ejecución, los
intérpretes están ejecutando o bien las mismas notas o bien notas separadas por
intervalos de tercera o sexta, pues las veces que se desvían de esta norma (figuras
rojas) son meros adornos.
Así que la segunda voz no sólo armoniza con la primera, sino que sigue un camino
“casi paralelo” a ella. Con ello se consigue que cuando reconstruimos la partitura
completa, volviendo a girar la segunda voz 180 grados, cada una de las dos voces, al
encontrarse con “el camino” seguido por la otra, no lo encuentre extraño (y nuestro
oído tampoco, por supuesto).
Actividad 15:
Escucha el Dúo de la Mesa de Mozart.
El Número Áureo El número áureo tiene diversas denominaciones
Número áureo
Número de Oro
Divina proporción (Fray Luca Pacioli)
Extrema y media razón (Euclides)
Sección áurea (Leonardo da Vinci)
Una Razón es el cociente de dos números:
La razón de a y b es b
a
Por ejemplo la razón de 6 y 2 es 2
6= 3
Otro ejemplo la razón de 5 y 3 es 3
51,666….
Una Proporción es una igualdad entre dos razones, esto es d
c
b
a
Por ejemplo 6
10
3
5
El origen del Número de Oro hay que buscarlo al tratar de dividir un segmento en
partes desiguales pero de la forma más general posible.
a b
Medida del segmento: a+b
Medida de la parte mayor: a
Medida de la parte menor: b
Después de estudiar las distintas proporciones que se pueden formar igualando dos
razones cualquiera se llegó a la conclusión de que la forma más general de dividir un
segmento en dos partes desiguales es la siguiente:
“la parte mayor (a) es a la menor (b) como el segmento total (a+b) es a la mayor
(a)”
Esto da origen a la proporcióna
ba
b
a
Haciendo un cambio de variable y llamando x=b
a, obtenemos la ecuación de
segundo grado: x2 – x – 1 = 0, cuyas soluciones son:
Φ= 2
51= 1,6180339…
Φ‟=2
51= -0,6180339…
Estas soluciones se las suele denotar con el nombre de la letra griega Φ (phi= fi) en
honor a Phidias, escultor griego que utilizaba mucho este número en las proporciones
de sus obras.
Nos vamos a quedar con el resultado positivo y vamos a ver qué representa esta
solución. Volviendo al segmento quiere decir que si la parte mayor midiese 1 metro,
la parte menor mediría 0,618 metros
a= 1 b=0,618
Por lo tanto el segmento total tendría una longitud de 1,618 metros
Actividades 16 – 17 – 18 – 19:
Resuelve la ecuación de 2º grado: x2 – x – 1 = 0
Comprueba si se verifica la igualdad a
ba
b
a para a=1 y b=0,618
Mide con una regla el largo y el ancho de tu carnet de identidad y
calcula la razón de los dos números (el resultado es aproximadamente
1,6)
Mide el largo y el ancho de un billete de 5 € y calcula la razón de los
dos números.
El número Φ también se puede obtener a través de la sucesión de Fibonacci
(Leonardo di Pisa). Esta sucesión empieza por dos unos y cada nuevo número se
obtiene de la suma de los dos anteriores:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
Ahora el número Φ se obtiene como límite de las sucesivas divisiones de dos
términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci:
1
1 1
1
2= 2
2
3=1,5
3
5= 1,66…
5
8= 1,6 ……….
89
144=1,61797…
Observamos que el resultado cada vez está más próximo a 1,6180339…
Leonardo de Pisa fue un matemático italiano que vivió a caballo de los siglos XII y
XIII, y usó como seudónimo el nombre de Fibonacci. En 1202, cuando contaba con
27 años descubrió esta serie.
Sección áurea en la Naturaleza y en el Arte
La sucesión tiene múltiples aplicaciones en diversos campos: En Botánica, en Arte
en Música, en Arquitectura, en el Crecimiento de poblaciones, …
Música
Si non detenemos en el 7º número de la sucesión de Fibonacci: 13
Comprobamos que en la secuencia….5 8 13…., 13=5+8
Curiosamente 13 son los semitonos de una escala cromática
8 son las notas de la escala principal (notas blancas)
5 son las notas de la escala pentatónica (negras), en grupos de 2 y 3
teclas
La Construcción de instrumentos
Stradivarius usaba el número Φ en la construcción de sus famosos violines. Así por
ejemplo las distancias entre las distintas partes del violín guardan relación con el
número 1,618.
Botánica
Número de pétalos de ciertas flores
El iris tiene 3 pétalos.
El hibisco 5 pétalos.
La driada 8 pétalos.
La margarita tiene 13 pétalos.
Arte
La armonía entre las proporciones
para hacer un trazado del hombre
perfecto se plasma en este dibujo de
El Hombre de Vitrubio que
Leonardo da Vinci hizo en 1509 para
ilustrar el libro “La Divina
Proporción” de Luca Pacioli.
La relación entre la altura del
hombre y la distancia de los pies al
ombligo es el número de oro.
Proporciones del rostro humano
Representación de la cabeza humana acorde con La Divina
Proporción (grabado de la edición de 1509, Paganino dei
Paganini, Venecia).
Arquitectura
El Partenón de Atenas. Precisamente este edificio fue diseñado por Phidias, el
escultor griego a quién le debe su nombre el número fi = phi
La gran Pirámide de Egipto
Zoología
La concha del Nautilus
Actividad 20:
Mide las falanges primera, segunda y tercera del dedo medio (corazón) de tu mano
izquierda y calcula las razones entre ellas. Haz lo mismo con las falanges del dedo
índice de la mano izquierda.
La sección áurea en la música La sección áurea aparece frecuentemente como hemos visto en la arquitectura y en el
arte, pero también en la música.
Muchos compositores con una fuerte concepción arquitectónica, como Bach o
Mozart, dividen a menudo sus composiciones en secciones cuyas extensiones
guardan aproximadamente una proporción áurea.
G. Dufay (1400? - 1474)
Un exponente de este método fue Guillaume Dufay (1400-
1474), quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral
florentina utilizando la antes mencionada sección áurea
(1:1.618). Dufay fue de los primeros en utilizar las
traslaciones geométricas de manera deliberada. El uso de
secuencias rítmicas como una técnica formal se utilizó entre
los años 1300-1450 y el músico G. Machaut lo utilizó en
algunos motetes.
J. S. Bach (1685 - 1750)
El canon es una forma musical en la que las distintas partes se incorporan
sucesivamente repitiendo la melodía de la voz principal. Lo sorprendente del Canon
del Cangrejo de Johann Sebastian Bach es que el acompañamiento repite
exactamente lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se puede
ver perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo repite lo escrito en el de
arriba pero invertido en el tiempo. Lo diré de otra manera: una melodía interpretada
marcha atrás se sirve de acompañamiento a sí misma.
No es de extrañar que se haya escrito respecto de Bach y Escher que "ambos fueron
matemáticos experimentales del más alto rango". No sé si alguno de los dos aceptaría
tal descripción, pero lo que es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas
consecuencias las posibilidades de la simetría.
La partitura puede escribirse en un pentagrama sobre una cinta de Moebious.
En este enlace puede verse la partitura y escucharse la música además de ver como se
enrolla la partitura hasta formar una banda de Moebius.
http://www.youtube.com/watch?v=cwhLDLQLI44
Empieza en el segundo 53
Para ver la construcción de una cinta de Moebius se puede consultar esta página:
http://www.youtube.com/watch?v=tK_dMNqXy2I
El logotipo de Caixanova era una banda de Moebius.
Mozart (1756 - 1791) En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y
su introducción es muy cercana a la razón áurea. ¿Esta construcción será deliberada o
acaso es pura intuición?
Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento
en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la
proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y
46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428,
también muy cercana a Φ.
La sonata Nº 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente
es 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relación áurea.
Aunque desde luego no toda la música se secciona de esta manera, es uno de los
posibles principios para la organización del tiempo en la música. Otro es la simetría,
según el cual las secciones tienen igual duración. Curiosamente, la simetría funciona
mejor en el corto plazo (a nivel de frases o motivos), mientras que la relación áurea
domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables el
ser humano es incapaz de percibir objetivamente la duración, pero es posible que sí
exista una percepción inconsciente de la estructura general.
Ludwig van Beethoven (1770 - 1827)
Tampoco se sabe si Beethoven fue consciente o no, pero
en su Quinta Sinfonía, el famoso tema está distribuido
siguiendo la razón áurea. Cada vez que aparece el tema
está separado del siguiente un número de compases que
pertenece a la serie.
Béla Bartók (1881 - 1945)
En el siglo XX, Béla Bartok, célebre compositor
húngaro, adoptó la relación áurea como principio
rector para la estructuración de varias de sus obras.
No sólo utilizó este principio para establecer las
proporciones entre los diferentes segmentos, sino
que la utilizó para construir acordes y melodías. En
la figura se reproduce el análisis gráfico efectuado
por Larry Solomon de la Fuga de la Música para
Cuerdas, Percusión y Celesta de Bartok, donde
se observa que la proporción áurea ha sido
sistemáticamente utilizada para segmentar
temporalmente la obra.
Análisis gráfico de la Fuga de la “Música para Cuerdas, Percusión y Celesta” de Béla
Bartok según Solomon.
Recordamos la sucesión se Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
Compuesta en cuatro partes, el primer tiempo de esta obra es una fuga de 89
compases. En los primeros 55 compases se va poco a poco creando una tensión que
halla su punto culminante en el 56 para concluir 34 compases después.
Las cuerdas tocan con sordina desde el compás 1 al 34 y sin sordina los 21 compases
siguientes, completando así los 55 compases iniciales. Una vez alcanzado el clímax
las cuerdas siguen tocando sin sordina durante 13 compases y los 21 finales con
sordina.
55 compases
34 compases
34
21
13 21
89
Para ampliar información:
http://www.sectormatematica.cl/musica/Musica%20y%20Matematicas%20De%20Sc
hoenberg%20a%20Xenakis.pdf
En las páginas 8-14.
Probabilidad
Un experimento se llama determinista cuando ya sabemos de antemano que
resultado va a tener.
Ejemplo: Si un automóvil va a 100km/h por una carretera durante dos horas. ¿Qué
espacio ha recorrido?
Evidentemente 200 km, y esto lo sabemos porque el espacio viene dado en función
del tiempo y de la velocidad, e = v · t, y esto ocurre siempre.
e = v · t
e = 100 km/h · 2 h = 200 km
Un experimento se llama aleatorio cuando en su resultado interviene el azar.
Ejemplo: Lanzar un dado al aire.
En principio hay 6 resultados posibles y no sabemos cual va a salir en cada momento.
En principio puede salir cualquiera.
Veamos ahora unas definiciones matemáticas.
Espacio Muestral, E: es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un
experimento.
E lanzamiento dado= {1,2,3,4,5,6}
E lanzamiento moneda= {c, +}
Sucesos elementales: Son los elementos de E
Sucesos aleatorios: Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.
= Suceso imposible (suceso vacío)
E = Suceso seguro (suceso total)
El conjunto de todos los sucesos aleatorios se llama S
Además si E tiene n-elementos, entonces S tiene 2n – elementos.
Ejemplos:
Lanzamiento de una moneda
E = {c,+} tiene 2 elementos
S = { , c, +, E} tiene 22 = 4 elementos
Lanzamiento de un dado
E = {1,2,3,4,5,6} tiene 6 elementos
S = { ,1,2,3,4,5,6, {1,2}, {1,3}, … {2,3,4,5,6}, E } tiene 26 = 64 elementos
Probabilidad de un suceso
Cuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces en idénticas condiciones el
número de veces que aparece un suceso dividido entre el número total de veces que
se realiza el experimento tiende a un número fijo. Este número se llama probabilidad
de un suceso. (Ley de los grandes números de J. Bernouilli)
En notación de Laplace: P(suceso) =
posibles
favorables
casosn
casosn
º
º
Ejemplo 1:
Volvemos al lanzamiento de un dado:
Espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6}
Todos los sucesos elementales son equiprobables (en cada tirada del dado tanto
puede salir una cara como otra)
Entonces de cada 6 veces que lancemos el dado hay una vez teórica que saldrá la cara
1, otra vez que saldrá la 2,…
P(1)=6
1 P(2)=
6
1 P(3)=
6
1 P(4)=
6
1 P(5)=
6
1 P(6)=
6
1
Ejemplo 2:
Ahora lanzamos dos dados a la vez.
Veamos primero cual es el espacio muestral. Para ello tenemos que sumar los
resultados de ambos dados.
E= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} hay 11 sucesos elementales.
En este caso no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad.
Si nos fijamos en el cuadro hay 36 celdas, o sea 36 resultados posibles pero por
ejemplo el 2 o el 12 sólo aparecen una vez cada uno, en cambio el 7 aparece 6 veces.
Así las probabilidades de cada suceso serán:
Dados 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(2) =36
1 P(3) =
36
2 P(4) =
36
3 P(5) =
36
4 P(6) =
36
5 P(7) =
36
6
P(8) =36
5 P(9) =
36
4 P(10) =
36
3 P(11) =
36
2 P(12) =
36
1
Combinatoria
La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden agrupar u ordenar
los elementos de un conjunto. El punto de partida será el principio de la
multiplicación o estrategia del producto.
Hay tres tipos de ordenaciones:
Variaciones (interviene el orden de los elementos).
Permutaciones(interviene el orden de los elementos).
Combinaciones( no interviene el orden de los elementos).
Cada una de ellas puede ser con o sin repetición. Veamos las fórmulas:
Sin Repetición Con Repetición
Variaciones Vm,n = m•(m-1)• …• (m-n+1) VR m,n = mn
Permutaciones Pm = m! PR m; n1,…,nk =
!...!1
!
nkn
m
Combinaciones Cm,n =
!!
!
nmn
m CRm,n=
!1!
!1
nm
nm
Mozart (1756 - 1791)
Mozart, en 1777, a los 21 años, describió
un juego de dados que consiste en la
composición de una pequeña obra musical;
un vals de 32 compases que tituló “Juego
de dados musical para escribir valses con
la ayuda de dos dados sin ser músico ni
saber nada de composición” (K 294).
Cada vals consta de dos partes un minueto y
un trío y cada uno de ellos tendrá 16
compases. Mozart compone 176 compases
para los minuetos y 96 compases para los
tríos. Estos compases están sueltos. El juego
descrito por Mozart se basa en componer
cada vals escogiendo algunos de estos
compases.
Para hacer esta elección Mozart nos dejó dos tablas. La primera es para escribir los
minuetos y la segunda tabla es para componer los tríos. Las columnas están
numeradas en romano, son 16, e indican el número de orden del compás. Las filas en
la primera tabla se numeran de 2 a 12, que indican los 11 resultados posibles de
lanzar dos dados. Las filas en la segunda tabla se numeran de 1 a 6 e indican los
resultados posibles de lanzar un dado.
La elección sería de la siguiente manera: por ejemplo en la primera tirada lanzamos
dos dados y el resultado obtenido es 9 entonces el primer compás será elegido dentro
de la primera columna justo en la intersección con la fila 9, en este caso el 119, y así
sucesivamente.
El método funciona porque los compases correspondientes a la misma columna son
variaciones sobre una misma base armónica, por eso el resultado será armónicamente
coherente.
Las tablas son las siguientes:
Minueto
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14
3 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83 4 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111
10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8
11 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78
12 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131
Trío
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 72 6 59 25 81 41 89 13 36 5 46 79 30 95 19 66
2 56 82 42 74 14 7 26 71 76 20 64 84 8 35 47 88
3 75 39 54 1 65 43 15 80 9 34 93 48 69 58 90 21
4 40 73 16 68 29 55 2 61 22 67 49 77 57 87 33 10
5 83 3 28 53 37 17 44 70 63 85 32 96 12 23 50 91
6 18 45 62 38 4 27 52 94 11 92 24 86 51 60 78 31
Tabla original de Mozart para los minuetos:
Cada minueto de Mozart está formado de dos partes. Primero se interpretan 8
compases, se repiten y después se interpretan los 8 siguientes también con
repetición. Observamos que todos los compases que están situados en la columna
octava, por ejemplo 5, 24, 30, 33, … , tienen dos versiones una para hacer la
repetición y otra para continuar.
Actividad 21:
Escucha algunas de las posibles composiciones de El Juego de Dados de Mozart.
Pero ahora nos preguntamos:
¿Cuántos minuetos distintos se pueden componer con estos 176 compases?
¿Cuántos tríos distintos se pueden componer con estos 96 compases?
¿Cuántos valses distintos se pueden componer?
Veamos primero cuantos minuetos se pueden escribir:
Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 11 para elegir.
Como 2º compás elijo uno de los de la 2º columna: hay 11 para elegir.
…
Como compás 16 elijo uno de los de la columna 16ª: hay 11 para elegir.
Luego usando el principio de multiplicación de la combinatoria tendríamos las
siguientes elecciones posibles:
11x11x…x 11 (16 veces) = 1116
46 000 000 000 000 000 = 46 mil billones
Para calcular cuántos tríos se pueden construir procedemos de la misma forma, la
única diferencia es que en cada columna sólo hay 6 compases para escoger:
Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 6 para elegir.
…
Análogamente:
6x6x…x6 (16 veces) = 616
3 000 000 000 000 = 3 billones
Sabiendo que cada vals está compuesto por un minueto más un trío (vals =
minueto+trío) el número total de valses será:
Para cada minueto elegido entre 46 mil billones podemos escoger un trío entre 3
billones.
1116
· 616
= (11 · 6)16
= 6616
= 1,2 · 1029
12 seguido de 28 ceros = cien mil
cuatrillones
¡Más que granos de arena hay en toda la Tierra!
De entre los 46 mil billones de minuetos posibles no todos tienen la misma
probabilidad de ocurrir. De hecho sólo uno de ellos tiene la probabilidad más alta.
Este será el minueto formado por los 16 compases obtenido cuando los dos dados
suman 7.
Esta es la partitura de la composición más esperada:
En cambio los 3 billones de tríos tienen todos la misma probabilidad de ocurrir.
Por otro lado estas pequeñas composiciones de 32 compases con repetición tardan en
interpretarse unos 60 segundos cada una: 30 segundos cada minueto y 30 segundos
cada trío.
Vamos a ver cuántas versiones distintas podemos interpretar en un año.
¿Cuántos segundos hay en un año?
1 año = 365 días = 365 días · 24 horas/día · 3600 segundos/hora = 31 536 000 seg
¿Cuántos minuetos de 30 segundos cada uno puedo interpretar en un año (tocando
día y noche)?
Si en 30s se realiza una versión en 31 536 000s se realizarán x versiones.
000.000.1105120030
31536000x
En un año se interpretarían un millón de versiones aproximadamente.
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los minuetos?
Como hay casi 46 mil billones de minuetos y cada año se puede interpretar 1 millón
de versiones se tardaría en interpretar todas 46 mil millones de años.
Se estima que el Big Bang (inicio del Universo conocido) ocurrió hace unos 15 mil
millones de años y que la existencia de nuestro Sistema Solar, que tiene media vida,
va a durar otros 5 mil millones de años.
Por lo tanto interpretar todas las realizaciones posibles de esta obra, sin descanso,
requeriría la colonización de otros Sistemas Planetarios.
Actividad 22:
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos?
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los valses completos?
Otra pregunta que nos podríamos hacer es ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que se
repita la misma obra?
En este caso hay que distinguir tríos de minuetos, pues los tríos son todos
equiprobables sin embargo hay minuetos que son más probables que otros.
Ya por último nos preguntamos:
De entre las 6616
1,2 · 1029
obras distintas posibles, si cada habitante del planeta
Tierra, unos 7 000 millones, interpretara una obra distinta cada 5 minutos. ¿cuánto
tiempo tardarían en agotarse?
(1,2 · 1029
) : (7 · 109 ) = 17 · 10
18 cada humano debe interpretar 17 trillones de
versiones
Si una versión se toca cada 5 minutos, 17 trillones de versiones se tocarán en x
minutos:
x = (17 · 10 18
) · 5 = 85 · 1018
minutos
pasados a años serán:
( 85 · 1018
) · (365 · 24 · 60 ) = 160 · 1012
, unos 160 billones de años.
¡Recuerda que el Universo sólo tiene 15 mil millones de años!
Actividad 23:
Si todos los minuetos posibles son interpretados uno cada 30 segundos, por cada uno
de los habitantes del planeta, unos 7 mil millones de personas. ¿Cuánto tiempo
tardarían en agotarse?
¿Y todos los tríos? ¿Y todos los valses, si estos tardan un minuto en ser
interpretados?.
Todas las obras de Mozart han sido catalogadas por su número Köchel y esta obra en
particular, Musikalisches Würfelspiel es la K. 294 (Anh.C), así que ha sido propuesto
que cada realización pudiera tener un número particular Köchel que la identifique. Es
relativamente simple hacer una extensión con 16 “dígitos” utilizando un sistema de
base 11, por ejemplo, los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A. La correspondencia
entre la suma de los dados y cada uno de los 16 compases representaría a la suma
igual a 2 con “0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la suma igual a 12 con “A”.
Así la partitura más probable tendría el número Köchel, K. 294.5555555555555555.
Por ejemplo la versión que se generaría con 16 lanzamientos de dos dados de sumas
(4, 12, 11, 6, 7, 7, 11, 8, 3, 5, 4, 8, 2, 12, 10, 7),sería K 294. 2A94559613260A85.
Actividad 24:
Escribe el número de Köchel de la versión del minueto generada por 16 lanzamientos
de dos dados de sumas (8,3,7,12,7,11,5,7,2,9,7,12,4,10, 5,5)
Actividad 25:
Implicamos a los alumnos para que escriban 8 compases rítmicos en 4x4, todos
distintos.
• ¿Cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases se pueden hacer usando
todos estos 8 compases (no se pueden repetir)?
• Si cada pieza dura unos 10 segundos y una clase de música dura 50 minutos,
¿cuántas piezas se pueden interpretar en cada clase?
• ¿Cuántas clases necesitaría para interpretarlas todas?
• Si puedo repetir los compases, ¿cuántas piezas rítmicas distintas de 8
compases puedo hacer?
Iannis Xenakis (Braïla, 1922 - París, 2001)
Xenakis nació en 1922 en Rumania,
aunque su familia era griega. Su madre
era pianista y lo introduce en la música
desde temprana edad. Pero ella muere
cuando él tiene cinco años de edad, hecho
que le traumatiza, "su muerte me dejó
profundamente asustado", diría años más
tarde. A la edad de 10 años Xenakis
vuelve a Grecia y su padre lo envía a un
internado. Allí estudia filosofía, literatura
europea, matemáticas, ciencias y música.
Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música
litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano.
Estalla la Segunda Guerra Mundial y Xenakis debe interrumpir sus estudios de
ingeniería. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel. En
1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión
le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946
acaba sus estudios de ingeniería.
En 1947 llega a París y entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso
arquitecto Le Corbusier. Xenakis participa en varios proyectos importantes tales
como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de
Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de
proporciones.
Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con
Honegger y Milhaud, pero no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus
clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases
de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la
composición musical.
A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar
sistemáticamente las matemáticas en la composición. En su
obra podemos encontrar piezas cuyos principios
compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las
cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios
geométricos y en otras ramas de las matemáticas.
Xenakis es también un pionero de la música electrónica.
Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la
aplicación de la informática a la música.
Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene
una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta
1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga
enfermedad.
Procesos estocásticos Un proceso estocástico es todo aquel que evoluciona en el tiempo de forma total o
parcialmente aleatoria.
Veamos unos ejemplos:
La temperatura en una ciudad: aumenta por el día y baja por la noche,
aumenta en verano y baja en invierno. La variación es pues parcialmente
aleatoria.
Las variaciones del precio de unas acciones: aunque se espera que a largo
plazo el crecimiento sea positivo, la evolución de un día a otro es aleatoria.
Los números que salen en un sorteo de lotería. Son totalmente aleatorios.
Podemos definir un proceso estocástico mediante una ley de probabilidad que rige la
evolución de una variable x (temperatura, variación del precio de acciones, números
extraídos en la lotería,…) a lo largo de un tiempo t.
Así en los diferentes momentos del tiempo t0 < t1 < t2 … podemos obtener la
probabilidad de los valores correspondientes x0 < x1 < x2…
En el instante t1 observamos el valor de x1 y podemos condicionar la probabilidad de
futuros sucesos a la luz de esta información.
La Música estocástica
Xenakis se sentía ajeno a dos de las corrientes musicales más importantes del S. XX:
El serialismo, abanderado por Pierre Boulez, contra el que reacciona por su
enorme complejidad que impide al oyente seguir el entramado de las líneas.
Esta corriente proponía el uso de una serie de sonidos, normalmente utilizaba
los doce sonidos que se encuentran en una octava, sin que se pudiera repetir
una sola nota hasta no haber aparecido los doce sonidos.
El indeterminismo (o música casual, o postserialismo), personalizado en
John Cage. Xenakis califica este movimiento como sonidos tocados libre y
aleatoriamente, y que no transmiten ningún significado estético musical al
oyente.
La respuesta a los problemas estéticos de ambas tendencias viene dada por las
Matemáticas. Xenakis introduce sobre todo la probabilidad en el mundo de la
composición. A pesar de la excesiva formalización del proceso compositivo logra
dotar a su obra de gran expresividad.
Xenakis tenía preferencia por los grandes bloques de sonido. Al buscar un tipo de
causalidad apropiada para los efectos sonoros en masa comenzó a aplicar a su música
las teorías de la Probabilidad matemática, especialmente “La ley de los grandes
números”, formulada por el matemático suizo Jacques Bernoulli en el S. XVIII.
Esta ley, de la que ya hemos hablado con anterioridad, en términos sencillos dice que
cuanto más aumente el número de ocasiones en las que se produce un hecho casual
(aleatorio) más posibilidades habrá de qué el resultado se encamine hacia un fin
determinado.
Usando “La ley de lo grandes números”, Xenakis definió la música estocástica como
música indeterminada en sus detalles pero que sin embargo se dirige hacia un final
definido. Las matemáticas las utiliza como una herramienta y cuando traslada los
cálculos a unas indicaciones musicales concretas los ajusta con el fin de obtener los
resultados musicales previamente prefijados.
Los principios formales de la música, tales como la altura, la duración y el instante
de comienzo de cada sonido son controlados estadísticamente.
La música estocástica esta gobernada por las leyes de la probabilidad. Xenakis
encuentra tres puntos de inflexión para componer música estocástica:
Intenta reproducir sonidos y estructuras propias de la naturaleza. Así la
música es concebida como el medio más idóneo para reflejar la realidad
universal. En palabras del compositor “la música es el arte que, antes que
las demás artes, ha creado un puente entre el ente abstracto y su
materialización sensible”.
El hombre siempre ha intentado determinar la naturaleza mediante reglas
universales; el uso de estas reglas se hace necesario a la hora de componer
música. Xenakis acudió a las leyes de Poisson y Gauss, (la teoría cinética de
gases), que postula que toda alteración, movimiento o alternancia en el
espacio y tiempo se puede medir y acaso prever según la posibilidad de
cálculo de probabilidades. No hay más que aplicar estas reglas sobre los
timbres y estructuras tonales para que sea el principio de incertidumbre el que
guíe toda composición musical. El resultado es una música libre, liberada de
la determinación serial.
Sólo la intencionalidad del autor pueden medir el valor de una obra.
Dos aspectos influyeron decisivamente al desarrollo de la música estocástica y en
particular a la proyección creativa de Xenakis:
Su “visión arquitectónica”
El desarrollo de la tecnología computacional.
Dos tipos de escritura musical son usados por el compositor de forma recurrente:
Los Glissando: Si en Geometría la línea recta es la forma espacial más
básica, en música lo serán los glisandos, que son variaciones constantes y
continuas de alturas de sonido. Estas estructuras sonoras más tarde las llevará
a la arquitectura.
El Pizzicato: que intenta asemejar al movimiento de las moléculas de gas.
Un aspecto de importancia capital para el desarrollo de la música estocástica fue el
auge de la computación. El uso de sofisticadas computadoras, permitía al compositor
el poder preocuparse de aspectos estéticos, ya que todos los complicados y fatigosos
cálculos algebraicos y probabilísticos que determinaban el desarrollo de la
composición, eran relegados y resueltos por el ordenador.
La primera composición realizada por ordenador y calculada para un conjunto de 10
instrumentistas, fue “ST/ 10-1”; Xenakis utilizó el IBM 7090, que le fue cedido
durante 1hora por el centro de investigación científica IBM-France, aunque el trabajo
de producción posterior le ocupó meses.
Estas son algunas de las leyes de la probabilidad, y otros campos matemáticos que
usó en algunas de sus obras:
Distribución aleatoria de puntos en un plano: Diamorphoses
Ley de Maxwell-Boltzmann : Pithoprakta
Restricciones mínimas: Achorripsis
Cadenas de Markov: Analogicas
Distribución de Gauss: ST/IO,Atrés
Teoría de juegos: Duel, Stratégie
Teoría de grupos: Nomos alpha
Teoría de conjuntos y álgebra booleana : Henna, Eona.
Otro de los campos matemáticos en los que el compositor se ha movido, incluyendo
nuevas definiciones para la composición musical, es la Teoría de Conjuntos, pero
incomprensible para la mayoría de los compositores que han decidido estudiarla o
imitarla.
Según palabras de su autor, extraídas del prefacio de su libro “Formalized Music:
Thought and Mathematics in Composition”:
“Los acontecimientos naturales, tales como la colisión del granizo o la lluvia sobre superficies duras, o el canto de las cigarras en un campo veraniego. Estos acontecimientos sonoros están constituidos por miles de sonidos aislados; esta multitud de sonidos, vista como una totalidad, es un nuevo acontecimiento sonoro. Este acontecimiento masivo está articulado y forma un molde temporal flexible, que de por sí sigue las leyes aleatorias y estocásticas. Si alguien desea formar una gran masa a partir de notas puntuales, como con pizzicati de cuerdas, debe saber estas leyes matemáticas, que, en cualquier caso, no son más que una estricta y concisa expresión de cadenas de razonamiento lógico. Todo el mundo ha observado los fenómenos sonoros de una multitud política de decenas o cientos de miles de personas. El río humano grita un lema con un ritmo uniforme. Entonces otro lema surge desde la cabeza de la manifestación; se extiende hacia la cola, reemplazando el primero. Una onda de transición pasa de la cabeza a la cola. El clamor llena la ciudad y la fuerza inhibidora de la voz y el ritmo llegan a un clímax. Es un acontecimiento de gran poder y belleza en su ferocidad. Entonces, el impacto entre los manifestantes y el enemigo se produce. El perfecto ritmo del último lema se rompe en un gran grupo de gritos caóticos, que también se extiende hasta la cola. Imagina, además, los estallidos de las ametralladoras y el silbido de las balas intercalándose en ese desorden total. La multitud se dispersa rápidamente y después del infierno sonoro y visual sólo queda el silencio, lleno de desesperación, polvo y muerte. Las leyes estadísticas de estos acontecimientos, separadas de su contexto político o moral, son las mismas que aquellas de las cigarras o de la lluvia. Son las leyes de transición desde el orden absoluto al desorden total de una manera continua o explosiva. Son leyes estocásticas [Xenakis, 1971].”
Mikka
Obra para violín solo de 4 minutos de duración, compuesta en 1971.
Es una aplicación de la música estocástica de Xenakis. Consiste en una serie de
glissandos calculados por ordenador, en el que los intervalos y cuartos de tono son
recorridos sin detenimiento, explotando fuertes contrastes de dinámicas y alturas.
Estos glissandos confieren a la pieza una textura musical muy insinuante y delicada.
Actividad 26:
Escucha la obra Mikka de Xenakis.
El crítico musical Paco Yánez escribió la siguiente nota de prensa publicada en
Mundoclasico.com (ISSN 1886-0605) el 08/05/2007, después del concierto del
martes 24 de abril de 2007, del „Festival de Música Cidade de Lugo‟ donde se
programó un interesante concierto que, bajo el título El violín en el Siglo XX, estuvo
interpretado por el violinista albanés Florian Vlashi (Durres, 1963) y compuesto por
obras de Manuel Quiroga, Paulino Pereiro, Sergei Procofiev, Iannis Xenakis y Alfred
Schnittke. Precisamente el mismo violinista que interpretará la obra en el concierto
didáctico “Música o Matemática”.
“Si alguna interpretación de Vlashi resultó especialmente reveladora esa fue, para mí,
la de Mikka.[…]; en la [interpretación]de Vlashi prima los aspectos expresivos de la
obra, en la que destaca su carácter femenino (algo que el propio Xenakis señalaba),
lírico y hasta sensual. Pude contrastar esta opinión tras el concierto con el propio
violinista, cuyo amor por Mikka es conocido desde que hace ya años la incorporara a
su repertorio. Este énfasis en la expresividad no implica, en absoluto, una pérdida en el
rigor técnico y constructivo de su ejecución. Técnicamente la lectura de Vlashi me ha
parecido deslumbrante en cuanto a matices, control del recorrido y velocidad del
glissando, dominio de la transición dinámica -aquí muy matizada, buscando una
progresión más sutil e ínfima que brusca y abrupta-, y precisión en la medida con el
arco en los pasajes más centelleantes y ágiles, muchos de ellos cristalinamente
desarrollados, con una presencia totalmente nítida de cada nota hasta en los pasajes de
volumen apenas audible.
A pesar de que el concepto y ejecución de la obra por parte de Vlashi (que la interpretó
de forma entregadísima, como su lenguaje corporal manifestaba) son idóneos para
facilitar el acceso del público a esta difícil composición, siempre habrá a quien estas
piezas le resulten aún desconcertantes, cuando no perturbadoras o molestas. Y lo digo
porque al final del concierto, ya en la calle, Paulino Pereiro y yo fuimos testigos de un
comentario que nos hizo esbozar una sonrisa a ambos, por parte de una mujer que
decía que “el virtuoso ha estado muy bien, pero si la obra del Xenakis ese dura cinco
minutos más subo al escenario y le pego con el paraguas”. Obviamente, el público es
muy libre de tener sus gustos, pero siempre me ha parecido la crítica más interesante la
de aquel/aquella que comprende la obra en profundidad y desde ese conocimiento la
comparte o la rechaza, que es una opción totalmente lícita y respetable”.
Actividad 27:
Después de escuchar la obra Mikka de Xenakis lee el texto del crítico musical Paco
Yánez y comenta tus impresiones respecto a esta pieza. ¿Estás de acuerdo con la
“señora del paraguas”?
Fractales
Un fractal es una estructura donde si se analiza a distintas escalas se encuentran una
y otra vez os mismos elementos. Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza,
resulta muy fácil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los
diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad. El matemático
Benoît Mandelbrot en los años sesenta observó fractales en muchas estructuras
naturales: nubes, montañas, líneas de costas, conductos pulmonares, vasos
sanguíneos, helechos,…
Hoja de Helecho Fractal diseñado por ordenador
Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica
contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un
ejemplo muy representativo.
Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de
manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas.
Fractales en la música
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes
compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que
reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras
clásicas.
El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no,
para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión
fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.
Beethoven (1770 - 1827)
A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de
Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.
Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o
compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16;
B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3
y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4)
agrupadas cada una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --
> 8 --> 4 --> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia de una
estructura fractal.
Música Tecno
Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son
usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están
experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico
estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro
sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales
de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.
Las estructuras repetitivas de Philip Glass
Philip Glass estudió matemáticas y filosofía en la Universidad de Chicago. Uno de
sus héroes de juventud fue el señor Einstein (su primera ópera se titularía Einstein on
the Beach). Después le daría por la música, y se convirtió en una de las grandes
figuras del minimalismo musical. Como es normal, rechaza la etiqueta, aunque para
ello se invente otra al decir que lo suyo es trabajar con "estructuras repetitivas".
En cierta ocasión dijo en The Wall Street Journal:
"Los matemáticos experimentan los mismos tipos de entusiasmos que todos los
demás. La belleza de las matemáticas es algo de lo que los matemáticos hablan todo
el tiempo, y la elegancia de un teorema matemático es casi tan buena como su
prueba. No sólo es cierto, sino que es elegante. Por lo que entramos en cuestiones
cuasi estéticas."
La influencia de la matemática no solo es visible en la repetición de estructuras
musicales, o en su filosofía estética: también la utiliza directamente como material
sonoro, como en el caso de sus knee plays, pequeñas piezas musicales que sirven
para entretener al personal mientras se realizan los cambios de escenario. En estas
piezas se puede escuchar una voz recitando números. Lo curioso es que resulta de
lo más sugerente.
John Cage (1912 - 1992)
John Milton Cage Jr. (Los Ángeles 1912 – Nueva York 1992) fue un compositor,
instrumentista, filósofo, poeta, pintor y aficionado a la micología.
Fue uno de los pioneros de la música aleatoria y de la música electrónica. Y uno de
los compositores estadounidenses más influyentes del Siglo XX.
Uno de sus maestros fue el compositor Arnold Schoenberg, durante el periodo
comprendido entre los años 1933-35. Pero su principal influencia se encuentra en
diferentes culturas orientales. Estudió filosofía india, budismo zen y el clásico texto
chino “I Ching”, este libro se convierte en una herramienta habitual compositiva de
Cage.
Cage es conocido principalmente por su composición de 4´ 33´´ tres movimientos
que se interpretan sin tocar una sola nota.
4′ 33″
4′33″, pronunciado cuatro, treinta y tres, es la obra más conocida de Cage. Está
escrita en tres movimientos y compuesta en 1952.
La pieza puede ser interpretada por un instrumento solista o por cualquier conjunto
de instrumentos. En la partitura la única palabra escrita es “tacet”, que significa
silencio. El material sonoro de la obra son los ruidos que oye el espectador durante
ese tiempo.
En el transcurso de una clase que dio en la Universidad de Passer, en 1947, Cage
mencionó por primera vez la idea de una pieza compuesta exclusivamente de
silencio, pero una obra así le pareció incomprensible en Occidente. Sin embargo en
1951, Cage visitó la cámara anecioca de la Universidad de Harvard. El compositor
entró en ella esperando escuchar el silencio, pero oyó dos sonidos: uno agudo y otro
grave. Un ingeniero le explicó que el agudo era su sistema nervioso y el grave era su
sistema circulatorio. Ante la imposibilidad del silencio decidió escribir finalmente la
obra.
John Cage sobre la premier de 4′33″ escribió:
“No entendieron su objetivo. No existe eso llamado silencio. Lo que pensaron que era silencio, porque no sabían como escuchar, estaba lleno de sonidos accidentales. Podías oir el viento golpenado fuera durante el primer movimiento. Durante el segundo, gotas de lluva comenzaron a golpetear sobre el techo, y durante el tercero la propia gente hacía todo tipo de sonidos interesantes a medida que hablaban o salían.”
Actividad 28:
Escucha la obra 4′33″ de John Cage.
Después anota lo que has sentido y qué has escuchado durante estos cuatro minutos y
medio. Al final poned en común los resultados.
ORGAN²/ASLSP
Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible) es otra pieza musical de Cage escrita para
órgano en 1987 y es una adaptación de una obra escrita para piano (las obras para
piano suelen tener una duración entre 20 y 70 minutos).
La curiosidad de esta pieza es que se ejecuta de una forma muy lenta y por tanto es la
de mayor duración jamás escrita.
La interpretación actual de esta pieza está llevándose a cabo en la iglesia de San
Buchardi en Halberstadt, Alemania, y empezó en 2001. Se estima que finalizará en
2640, por los tanto después de 639 años.
La partitura consta de 8 páginas y el “tempo” está ajustado para una duración tan
larga. De hecho hay una línea temporal debajo del pentagrama que marca cada año.
La obra comenzó con un silencio que duró 17 meses y después se tocó el primer
acorde que se prolongó durante 2 años. Las notas, que se mantienen poniendo unos
pesos en los pedales del órgano, están sonando constantemente ya que un fuelle
eléctrico proporciona un flujo continuo de aire al órgano.
http://www.youtube.com/watch?v=30GzB2VHv_w&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=JqETWOiMNwo&feature=related
En estas páginas se puede ver y oir la obra en el escenario real.
La iglesia de San-Burchardi en Halberstadt, Alemania
Conclusión
La música y las matemáticas a lo largo de la historia han estado y continúan estando
muy cercanas. La música necesita orden y la matemática proporciona instrumentos
para producir y analizar ese orden. Números, fracciones, operaciones, potencias,
raíces, logaritmos, simetrías, homotecias, progresiones, combinatoria,
probabilidad,… toda la construcción armónica es pura matemática.
En el cuadro de Holbein a pesar de su orden formal, todos los ojos se dirigen a un
elemento que nos produce una ilusión visual. Gracias a la geometría podemos
descifrar este objeto.
Además de ilusiones visuales también tenemos ilusiones auditivas. El efecto Shepard
es uno de ellos. En el efecto Shepard nos parece estar oyendo una subida continua en
la altura sonora, mientras que la realidad es que no nos elevamos en absoluto. El
engaño se produce porque cada nota es en realidad un acorde compuesto por la
misma nota en distintas octavas. En realidad, no se escuchan notas aisladas, sino
acordes compuestos cada uno por seis notas en seis octavas diferentes. Los cambios
de volumen y ambigua posición de las notas en las escalas producen el efecto. A
pesar de lo bien que funciona nuestro oído, esto consigue engañarlo.
http://www.ilustrae.com/ilustrae/2008/07/el-tono-shepard.html
En esta página puedes escuchar el efecto Shepard.
Anexo 1:
Propuesta didáctica
TÍTULO CONCIERTO: MÚSICA O MATEMÁTICA Curso Temporalización
Secundaria y
Bachillerato
3 sesiones
ÁREA: MÚSICA – MATEMÁTICAS
OB
JET
IVO
S
Diferenciar los distintos temas o motivos que aparecen en una audición.
Valorar el silencio y el sonido como fenómenos naturales y como elementos musicales.
Utilizar de forma autónoma diversas fuentes de información –medios audiovisuales, internet, textos,
partituras y otros recursos gráficos- para el conocimoento y el disfrute de la música.
Entonar con buena voz melodías que se realicen de manera individual o colectiva.
Imitar o improvisar con instrumentos sencillos, formulas rítmicas y melódicas.
Despertar el interés por el conocimiento del folclore y tradiciones del lugar en el que viven, así
como valorar las distintas manifestaciones artísticas del patrimonio cultural de otros pueblos.
Participar en la organización y realización de actividades musicales desarrolladas en diferentes
contextos, con respeto e disposición para superar estereotipos e prejuícios.
Experimentar con los códigos y elementos musicales y matemáticos (convencionales y no
convencionales) para elaborar sencillas producciones propias e instrumentarlas.
Percibir y comprender las posibilidades del sonido, las palabras, el gesto y el movimiento como
elementos de representación.
Identificar los propios sentimientos, emociones y necesidades, y comunicarlos a los demás así como
identificar y respetar el de los otros.
Identificar e analizar las características, organización e interacciones de aspectos relevantes del
entorno natural, social y cultural.
Promover posiciones solidarias e respetuosas con otras culturas a partir de la propia identidad.
Utilizar de manera responsable y creativa las TICS y el material relacionado con la
experimentación y con el trabajo de campo para aprender a aprender.
Realizar operaciones sencillas con números enteros, fracciones, potencias y raíces, y aplicar
correctamente la jerarquía de las operaciones. Operar con números en notación científica.
Distinguir entre un experimento aleatorio y otro determinista, reconocer un espacio muestral, y un
suceso elemental y aplicar las propiedades de las frecuencias relativas de los sucesos elementales.
Calcular la probabilidad de un suceso usando la regla de Laplace.
Resolver ecuaciones completas de segundo grado usando la fórmula general.
Conocer los movimientos y semejanzas de una figura en el plano e identificar movimientos y
homotecias presentes tanto en el arte como en el medio natural.
Comprender y valorar la relación que hay entre los códigos musical y matemático y como las
herramientas proporcionadas por las matemáticas nos permiten conocer mejor y profundizar en
determinados aspectos musicales. Conocer también la relación entre estas dos disciplinas y el arte.
CO
NT
EN
IDO
S
La audición y el reconocimiento de las distintas partes de una obra, la melodía.
La partitura como elemento de apoyo pera una audición. El musicograma y el pictograma.
La expresión vocal y el canto.
La imitación.
La relación del arte con las matemáticas.
El trabajo en grupo y la colaboración.
Realización de operaciones con potencias y raíces.
Cálculo de la probabilidad de sucesos mediante la regra de Laplace.
Análisis crítica de la informacións referidas a contextos de azar.
Uso de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes para la realización de
numerosos estudios dentro de una partitura.
Sensibilización y actutud crítica ante el consumo indiscriminado de música y la contaminación
sonora.
Interacción entre música, matemática y arte.
El respeto por el trabajo propio y de los demás compañeros.
MÉ
TO
DO
S
PE
DA
GÓ
GIC
OS
Metodología:
Las actividades están diseñadas y presentadas para realizarse en pequeño grupo, gran grupo y de forma
individual.
Se pretende que el alumnado sea partícipe tanto de las actividades propuestas por el profesorado como de
otras que a ellos mismos se les ocurran, ya sean variantes de las anteriores o totalmente innovadoras.
Se buscará una metodología dinámica, activa y participativa en la que de modo constante se pueda observar
en el alumnado la evolución en el proceso de enseñanza-aprendizaje, procurando el desarrollo personal y
social del alumnado para su integración en un sistema de valores y en un cuerpo de saberes organizados.
Plan lector y TIC:
Cada centro podrá adecuar a los planes y proyectos en los que participa las actividades propuestas ya que
están relacionadas unas con la lectura y el uso de la biblioteca dentro del plan lector y otras se presentan
para el uso de las nuevas tecnologías dentro del plan TIC. Además hay actividades de debate y puesta en
común de opiniones que pueden ser integradas dentro del Plan de Convivencia.
CO
MP
ET
EN
CIA
S
BÁ
SIC
AS
Las competencias básicas según el Decreto 130/2007 , del 28 de junio por el que se establece el currículo de
la educación primaria en la Comunidad Autónoma de Galicia son:
1. Competencia en comunicación lingüística. (C1)
2. Competencia matemática. (C2)
3. Competencia en el conocimiento y en la interacción con el mundo físico. (C3)
4. Tratamiento de la información y competencia digital. (C4)
5. Competencia social y ciudadana. (C5)
6. Competencia cultural y artística. (C6)
7. Competencia para aprender a aprender. (C7)
8. Autonomía e iniciativa personal. (C8)
En esta unidad didáctica se presentan junto a los criterios de evaluación las competencias básicas ya que
parten de los objetivos iniciales y se evalúan dentro de esos mismos criterios. La numeración que hace
referencia a cada uno de ellos está representada por C1, C2, C3…
AT
EN
CIÓ
N A
LA
DIV
ER
SID
AD
Para este apartado se tendrán en cuenta las características personales, físicas e afectivas que pueden darse
dentro da aula. De cualquier forma es imposible recoger toda la variedad de situaciones y necesidades que
pudieran aparecer. En general daremos unas indicaciones básicas para que todo el alumnado pueda
participar en el mayor número de actividades posibles.
El principal objetivo a seguir será que todos los niños y niñas que realicen cualquier actividad participen de
una forma activa. Muchas veces con alumnado con diversidad funcional (alumnado que presenta
dificultades visuales, auditivas, motoras, intelectuales…) no sabemos como implicarlos en la dinámica del
aula. Daremos algunas pautas genéricas.
En casos concretos podemos apoyarnos en el departamento de Orientación.
RE
CU
RS
OS
Material de clase del alumnado; material audiovisual: reproductor de CD e DVD, discografía, equipos
informáticos; material de plástica: ceras o lápices de colores, láminas, tijeras, pegamento…; biblioteca;
pizarra digital.
EV
AL
UA
CIÓ
N
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Reconocer los temas principales de las obras trabajadas. (C1, C6, C7, C8)
Analizar y reconocer los componentes básicos de una pieza musical usando documentos
impresos como una partitura, o un comentario de la obra. (C1, C4, C6, C7, C8 )
Determinar la época y la cultura musical a la que pertenecen distintas piezas escuchadas con
anterioridad en el aula. (C3, C4, C5, C6, C7)
Exponer de forma crítica la opinión personal respecto a distintas piezas musicales. (C1, C5, C6,
C7, C8 )
Calcular el resultado de operaciones básicas con números naturales y fracciones, decidiendo si
es necesaria una respuesta exacta o aproximada. (C1,C2, C4, C7, C8 )
Identificar con destreza las transformaciones geométricas de figuras planas en el arte así como
sencillas transformaciones musicales sobre una partitura. (C1, C2, C4, C6, C7, C8 )
Expresar con instrumentos sencillos, con la voz o gestualmente formulas rítmicas y melódicas
propuestas.(C1, C2, C3, C6, C7, C8)
Fomentar una actitud respetuosa hacia la escucha de un concierto en vivo y valorar el trabajo de
los instrumentistas. (C1, C3, C5, C6, C7, C8)
Mostrar respecto y responsabilidad hacia el trabajo personal y el del grupo.(C1, C3, C5, C7, C8)
Realizar las tareas y las actividades artísticas propuestas.(C1, C3, C6, C7, C8)
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Registro de datos, test de autoevaluación , controles, observación directa, asistencia a los conciertos con una
actitud positiva…
AUTO EVALUACIÓN
Revisar cada uno de los objetivos planteados y analizar su grado de consecución.
Adecuación de los objetivos al nivel del alumnado.
Realización del test de autoevaluación
Resultou ben:
Aspectos a mellorar:
Anexo 2:
RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES
Actividad 1:
¿Recuerdas lo que era un número racional y un número irracional?
Número Racional: es todo aquel que se puede expresar a través de una fracción.
Número Irracional: es aquel número real que no se puede expresar en forma de
fracción.
Recuerda que un número no puede ser a la vez racional e irracional.
Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:
3,2; 1,01001…; 7; π; 2 ; 1,010101….; 1,02022; 1,020220222…
Números Racionales: 3,2; 7; 1,010101….; 1,02022;
Números Irracionales:1,01001…; π; 2 ; 1,020220222…
Actividad 2:
Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo DO, y lo subimos cinco quintas.
Calcula la frecuencia de la nueva nota afinada trasladándola a la misma octava que la
anterior.
Subimos por quintas desde el DO
DO-SOL-RE-LA-MI-SI
La nueva nota será SI. Su frecuencia será:
...8984,1128
243
2
3
22
3
2
1
2
37
5
25
525
fffff
Actividad 3:
Calcula las frecuencias de La b y Sol# a partir de DO natural y comprueba que son
notas distintas.
Frecuencia de SOL#
DO-SOL-RE-LA-MI-SI-FA#-DO#-SOL#
Subimos 8 quintas y bajamos 4 octavas.
...6018,14096
6561
2
3
22
3
2
1
2
312
8
48
848
fffff
Frecuencia de LAb
LAb-MIb-SIb-FA-DO
Bajamos 4 quintas y subimos 3 octavas.
...5802,181
128
3
2
3
22
1
2
3
24
7
4
3434
fffff
Actividad 4:
Suponiendo que la frecuencia de DO es f, calcula las frecuencias de SOL# y de LAb
con la afinación temperada de Holder. (Observa que los resultados son casi análogos
a los de la afinación pitagórica que vimos en la actividad 3).
Cuadro de afinación de Holder
Frecuencia de SOL#
De las 53 partes en que Holder divide la octava de DO a SOL# hay que subir
36 partes.
9+9+4+9+5=36
...6013,1236
53
Si la frecuencia de DO es f, entonces la frecuencia de SOL# será: f •1,6013…
Frecuencia de LAb
De las 53 partes en que Holder divide la octava de DO a LAb hay que subir
35 partes.
9+9+4+9+4=35
...5804,1235
53
Si la frecuencia de DO es f, entonces la frecuencia de LAb será: f •1,5804…
Nota: Observa que con la afinación Pitagórica y el temperamento de Holder las
frecuencias de estas notas son casi análogas
Frecuencias Afinación Pitagórica Temperamento de Holder
SOL# f •1,6018… f •1,6013…
LAb f •1,5802… f •1,5804…
Actividad 5:
En la columna de la afinación temperada de 12 notas (3ª columna) multiplica la
frecuencia del DO por 11
12 2 para obtener la frecuencia de SI. (Comprueba que la
afinación de la tabla es correcta).
Frecuencia de DO, en la afinación temperada de 12 notas (tabla, columna 3):
261,6256
Para llegar a un SI hay que multiplicar por 11
12 2
1112 2 = ...8877486,120482 1212 11
Frecuencia de SI = 261,6256 • 1,8877= 493,8833
que coincide con la afinación dada por la tabla.
Actividad 6: Puedes identificar el tipo de reflexión del siguiente ejemplo
Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza respecto de la nota
SI
Actividad 7: Comprueba la relación interválica de los rectángulos rojos.
1ª vez: SI DO RE MI
2ª vez: SOL LA SI DO
3ª vez: MI FA# SOL LA
4ª vez: SOL LA SI DO
5ª vez: SI DO RE MI
6ª vez: RE MI FA# SOL
1ª vez: 1/2 tono – 1 tono – 1 tono
2ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono
3ª vez: 1 tono – 1/2tono – 1 tono
4ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono
5ª vez: 1/2 tono – 1 tono – 1 tono
6ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono
Actividad 8:
Escucha el contrapunto nº 1 de El Arte de la Fuga.
Actividad 9:
Escucha los cuatro primeros contrapuntos de El Arte de la Fuga.
Comprueba que los sujetos de las cuatro primeras fugas siguen los ejemplos
anteriores.
Actividad 10:
La fuga XII tiene dos partes: Rectus e Inversus.
Vamos a comparar las dos primeras páginas de ambas fugas.
Comparando los distintos compases de ambas partituras vemos que existen
reflexiones (inversiones) en las entradas de las distintas voces:
Compases:
• 1-4 Rectus: Entrada de Bajo.
• 1-4 Inversus: Entrada de Soprano.
• 5-9 Rectus: Entrada de Tenor.
• 5-9 Inversus: Entrada de Alto.
• 10-13 Rectus: Entrada de Alto.
• 10-13 Inversus: Entrada de Tenor.
• 14-18 Rectus: Entrada de Soprano.
• 14-18 Inversus: Entrada de Bajo.
Identifica estas inversiones en las partituras siguientes.
Hay un extenso análisis de estas partituras en el enlace:
http://www.teoria.com/articulos/analysis/kdf/XII/esp/index.html
Donde además se ven animaciones y se pueden escuchar las melodías de los
distintos temas.
Actividad 11:
Realizamos la misma operación con el nombre completo del compositor (J S
BACH):
Suma tú ahora y calcula el resultado.
A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
9+18+2+1+3+8= 41
Actividad 12:
Cuenta las notas de la primera frase del coral.
Cuenta las notas de todo el coral.
http://icking-music-archive.org/scores/bach/bwv668/Bach-VorDeinenThron.pdf
En esta página web puedes ver la pieza de órgano a la que nos referimos. Observa
que el coral es los que está escrito en el primer pentagrama de cada sistema.
Primera frase: 14 notas.
Todo el Coral: 41 notas.
Actividad 13:
Suma ahora las letras de la palabra CREDO.
3+17+5+4+14 = 43
Actividad 14:
Contar las veces que sale la palabra Credo en la primera sección, son sólo 5 páginas.
Como hay 5 voces el trabajo se puede repartir. Cada alumno contará los “credo” que
hay en cada voz.
Además se pueden contar los compases de la primera y segunda parte del Credo.
http://imslp.info/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf
En esta página podéis ver el Credo de la Misa en Si menor. La primera sección son
las 5 primeras páginas.
J S B A C H
9 18 2 1 3 8
C R E D O
3 17 5 4 14
Fíjate que en la parte vocal de La Misa en Si menor de Bach en vez de contar con las
cuatro voces que suelen aparecer normalmente, la voz de soprano está doblada y por
lo tanto aparecen las 5 voces siguientes: Soprano I, Soprano II, Alto, Tenor, Bajo.
Soprano I : 10 veces.
Soprano II: 7 veces.
Alto: 8 veces.
Tenor: 10 veces.
Bajo: 8 veces.
En total: 10+7+8+10+8= 43 veces se repite la palabra “Credo”
Primera parte del Credo: 45 compases.
Segunda parte del Credo: 84 compases.
En total: 45+84= 129 compases.
Actividad 15:
Escucha el Dúo de la Mesa de Mozart.
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/64/historia_02.pdf
Aquí está el palíndromo de Mozart: “Mirror Mozart” o “Dúo de la Mesa”
Actividades 16 – 17 – 18 – 19:
Resuelve la ecuación de 2º grado: x2 – x – 1 = 0
Comprueba si se verifica la igualdad a
ba
b
a para a=1 y b=0,618
Mide con una regla el largo y el ancho de tu carné de identidad y calcula la
razón de los dos números (el resultado es aproximadamente 1,6)
Mide el largo y el ancho de un billete de 5 € y calcula la razón de los dos
números.
16.
Los coeficientes son: a=1, b=-1. c=-1
618,02
51
618,12
51
{2
51
2
411
12
)1(14112
x
17.
Para los números a=1 y b=0,618 veamos que dan los mismos resultados:
618,1618,0
1
b
a
618.11
618,1
1
618,01
a
ba
18.
Largo del carné de identidad: 8,5cm
Ancho del carné de identidad: 5,4cm
6,157,14,5
5,8
19.
Largo del billete de 5€: 11,9cm
Ancho del billete de 5€: 6,2cm
9,12,6
9,11; el billete de 5€ se aproxima poco al rectángulo áureo.
Actividad 20:
Mide las falanges primera, segunda y tercera del dedo medio (corazón) de tu mano
izquierda y calcula las razones entre ellas. Haz lo mismo con las falanges del dedo
índice de la mano izquierda.
Haré los cálculos con las medidas de las falanges de mi mano izquierda. En cada
caso estas medidas serán distintas.
Dedo corazón:
Primera falange: 5,8cm
Segunda falange: 3,5cm
Tercera falange: 2,5cm
La razón de la primera y segunda falange es 65,15,3
8,5
La razón de la segunda y tercera falange es 4,15,2
5,3
Dedo índice:
Primera falange: 5,6cm
Segunda falange: 3,3cm
Tercera falange: 2,3cm
La razón de la primera y segunda falange es 69,13,3
6,5
La razón de la segunda y tercera falange es 43,13,2
3,3
Todas estas razones son números bastante próximos al número áureo.
Actividad 21:
Escucha algunas de las posibles composiciones de El Juego de Dados de Mozart.
http://www.youtube.com/watch?v=569cWshoPgQ&feature=related
El director narra como va a ser el concierto.
http://www.youtube.com/watch?v=-XeD0FgBXWU&feature=related
Se explica el procedimiento y se ve la computadora que generará las partituras del
concierto en tiempo real.
http://www.youtube.com/watch?v=bKOFWYYvfRo&feature=related
Ejecución de los tres valses escogidos por el ordenador.
http://www.youtube.com/watch?v=iwFYNmMlYoY&feature=related
En las noticias explican el proceso matemático.
http://www.youtube.com/watch?v=a1fyhRTKsZ0&feature=related
En esta página hay bastantes combinaciones realizadas a piano, propuestas por un
ordenador japonés.
http://www.sectormatematica.cl/musica/matematica%20en%20la%20musica.pdf
Se habla sobre Mozart y su juego de dados.
Actividad 22:
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos?
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los valses completos?
Habíamos visto que para calcular el número de tríos que se pueden construir
procedemos de la misma forma que con los minuetos, la única diferencia es
que en cada columna sólo hay 6 compases para escoger:
Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 6 para elegir.
…
Por lo tanto:
6x6x…x6 (16 veces) = 616
3 000 000 000 000 = 3 billones de tríos distintos.
Por otro lado estas pequeñas composiciones de 32 compases con repetición tardan en
interpretarse unos 60 segundos cada una: 30 segundos cada minueto y 30 segundos
cada trío.
Vamos a ver cuántas versiones distintas podemos interpretar en un año.
¿Cuántos segundos hay en un año?
1 año = 365 días = 365 días · 24 horas/día · 3600 segundos/hora = 31 536 000 seg
¿Cuántos tríos de 30 segundos cada uno puedo interpretar en un año (tocando día y
noche)?
Si en 30s se realiza una versión, en 31 536 000s se realizarán x versiones.
000.000.1105120030
31536000x
En un año se interpretarían un millón de versiones aproximadamente.
¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos?
Como hay sobre 3 billones de tríos y cada año se puede interpretar 1 millón de
versiones, entonces:
tríosdebillones
añosx
tríosdemillón
año
31
1
000.000.3000.000.1
000.000.000.000.3x (tres millones de años)
Para interpretar todos los minuetos: se tardaría 46 mil millones de años.
Para interpretar todos los tríos: se tardaría 3 millones de años.
(46 · 109) · (3 · 10
6) = 46 · 3 · 10
9+6 = 138 · 10
15 = 138 000 000 000 000 000 =
138 mil billones de años.
Actividad 23:
Si todos los minuetos posibles son interpretados uno cada 30 segundos, por cada uno
de los habitantes del planeta, unos 6 mil millones de personas. ¿Cuánto tiempo
tardarían en agotarse?
¿Y todos los tríos? ¿Y todos los valses, si estos tardan un minuto en ser
interpretados?.
Los minuetos son: 46 mil billones = 46 · 1015
Los tríos son: 3 billones = 3 · 1012
Los valses son: 138 mil cuatrillones = 138 · 1027
En un ano hay 31 536 000 segundos.
Si cada 30 segundos se interpreta una pieza
Entonces en un año se pueden interpretar aproximadamente 1 000 000 de piezas
Si cada habitante del planeta realiza aproximadamente 1 000 000 de piezas al año,
entonces los 6 000 000 000 de personas tocarían en un año x piezas:
x= 1 000 000 • 6 000 000 000 = 6 000 000 000 000 000 = 6 · 1015
piezas al año.
Luego los 46 · 1015
minuetos tardarían en tocarse:
(46 · 1015
) : (6 · 1015
) = 7,7 años
Los 3 · 1012
tríos tardarían en tocarse:
3 billones de tríos repartidos entre los 6 mil millones de habitantes tocan a 500 piezas
por persona.
500 piezas · 30 segundos = 15 000 segundos.
Como una hora tiene 3600 segundos, entonces dividiendo tenemos:
15 000 : 3 600 = 4,16 4 horas 10 minutos.
Los 138 mil cuatrillones de valses tardarían en tocarse:
Como los valses tienen una duración de 1 minuto entonces tardan el doble de tiempo
en tocarse que las otras piezas, por lo tanto en un año cada habitante podrá tocar 500
000 piezas. Con lo cual los 6 mil millones de habitantes del planeta sólo podrían
tocar 3 mil billones de piezas al año: 3 · 1015
(138 · 1027
) : (3 · 1015
) = 46 000 000 000 000 años = 46 billones de años.
Actividad 24:
Escribe el número de Köchel de la versión del minueto generada por 16 lanzamientos
de dos dados de sumas (8,3,7,12,7,11,5,7,2,9,7,12,4,10, 5,5)
Utilizando un sistema de base 11, con los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A.
La correspondencia entre la suma de los dados y cada uno de los 16 compases
representaría a la suma igual a 2 con “0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la
suma igual a 12 con “A”.
Así la versión que se generaría con 16 lanzamientos de dos dados de sumas
(8, 3, 7, 12, 7, 11, 5, 7, 2, 9, 7, 12, 4, 10, 5, 5), sería K 294. 615A5935075A2833.
Actividad 25:
Implicamos a los alumnos para que escriban 8 compases rítmicos en 4x4, todos
distintos.
• ¿Cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases se pueden hacer usando 8
compases distintos (no se pueden repetir)?
• Si cada pieza dura unos 10 segundos y una clase de música dura 50 minutos,
¿cuántas piezas se pueden interpretar en cada clase?
• ¿Cuántas clases necesitaría para interpretarlas todas?
• Si puedo repetir los compases, ¿cuántas piezas rítmicas distintas de 8
compases puedo hacer?
Por ejemplo construimos estos 8 compases rítmicos, (pueden ser otros cualquiera
pero siempre diferentes):
I I I I I I I I
I I I I I I I I
Nº de piezas distintas de 8 compases: Son las permutaciones de 8 elementos
P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40 320 piezas distintas
Nº de piezas que se pueden interpretar en una sesión.
Suponemos que cada pieza tocada con las palmas dura 10 segundos
En una sesión de 50 minutos hay; 50 x 60 = 3 000 segundos
Entonces puedo interpretar en una sesión; 3 000 : 10 = 300 piezas.
Nº de clases para interpretarlas:
Contamos el número de semanas de clases de un curso: sobre 35 semanas.
Cada semana suponemos que tiene 3 sesiones: 35 x 3 = 105 sesiones en el
curso.
Para interpretar las 40 320 piezas distintas a razón de 300 piezas por sesión se
necesitan; 40 320 : 300 = 135 clases.
Por lo tanto en un curso no se darían interpretado todas.
Nº de piezas rítmicas distintas de 8 compases pero pudiendo repetirlos:
Si puedo repetir los compases, en cada elección tengo los 8 compases para
escoger.
88
= 8·8·8·8·8·8·8·8 = 16 777 216,
Casi 17 millones de piezas distintas y sólo con los 8 compases anteriores.
Actividad 26:
Escucha la obra Mikka de Xenakis.
Actividad 27:
Después de escuchar la obra Mikka de Xenakis lee el texto del crítico musical Paco
Yánez y comenta tus impresiones respecto a esta pieza. ¿Estás de acuerdo con la
“señora del paraguas”?
Actividad 28:
Escucha la obra 4′33″ de John Cage.
Después anota lo que has sentido y qué has escuchado durante estos cuatro minutos y
medio. Al final poned en común los resultados.