msp-3-sea-nl

7/17/2019 MSP-3-SEA-NL

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METODOS NUMERICOSMETODOS NUMERICOS

SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES

ALGEBRAICAS NO LINEALESALGEBRAICAS NO LINEALES

M.S. MIGUELM.S. MIGUEL

ANGEL CARDENASANGEL CARDENAS

MALAGAMALAGA

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INTRODUCCIONINTRODUCCION

más difícil de resolver que lossistemas lineales– múltiples raíces

– dificultad de establecer buenos puntosiniciales

Antes de intentar resolver :reducir el número de ecuacionesdespejando una o más incógnitas yreemplazándolas en las otras ecuacionesen las otras ecuaciones

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METODO DE NEWTONMETODO DE NEWTON

SIS!"A A #!S$%&!#

'()*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1',)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

'-)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

'n)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

SIS!"A 2! !34A3I$5!S A%6!7#AI3AS 5$ %I5!A%!S

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SE OBTIENE UN SISTEMA LINEALSE OBTIENE UN SISTEMA LINEAL

( )n3211n

n

13

3

12

2

11

1

1 x,...x,x,xFhx

F.....h

x

Fh

x

Fh

x

F−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

( )n3212n

n

23

3

22

2

21

1

2 x,...x,x,xFhxF.....h

xFh

xFh

xF −=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

( )n3213nn

3

33

3

22

3

11

3

x,...x,x,xFhx

F

.....hx

F

hx

F

hx

F−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

( )n321nn

n

n3

3

n2

2

n1

1

n x,...x,x,xFh

x

F.....h

x

Fh

x

Fh

x

F−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

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h :h :

diferencia entre dosdiferencia entre dos

aproximaciones consecutivas deaproximaciones consecutivas de

una variableuna variable

h1 = x1(i+1) –x1(i) h2 = x2(i+1) –x2(i)

h3 = x3(i+1) –x3(i)

hn = xn(i+1) –xn(i)

!SAS !89#!SI$5!S SI#&!5

9A#A A34A%IA# &A%$#!S 2! 8

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EN FORMA MATRICIALEN FORMA MATRICIAL

( )n32111n

1

3

1

2

1

1

1 x,...x,x,xF h xF....

xF

xF

xF −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( )n32122

n

2

3

2

2

2

1

2 x,...x,x,xF h

x

F....

x

F

x

F

x

F −=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

( )n321nnn

n

3

n

2

n

1

n x,...x,x,xF h xF....

xF

xF

xF −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( )n32133

n

3

3

3

2

3

1

3x,...x,x,xF h

x

F....

x

F

x

F

x

F −

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

A% #!S$%&!# S! $7I!5!5 &A%$#!S 2! %AS ;

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ALGORITMO ALGORITMO

Asumir valores de xAsumir valores de x11, x, x22, x, x33,x,xnn

!ormular el sistema matricial de!ormular el sistema matricial deecuacionesecuaciones

"esolver el sistema matricial de"esolver el sistema matricial deecuaciones para hallar hecuaciones para hallar h11, h, h22, h, h33,h,hnn

Actuali#ar los valores de xActuali#ar los valores de x11, x, x22,,

xx33,x,xnn

"epetir hasta satisfacer criterios de"epetir hasta satisfacer criterios deconver$enciaconver$encia

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CONVERGENCIACONVERGENCIA

% & '% & '

2n

23

22

21 h....hhhD +++=

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METODO DE NEWTONMETODO DE NEWTON

MULTIVARIABLEMULTIVARIABLE

SIS!"A A #!S$%&!#

'()*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

',)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

'-)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

'n)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1

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Aplicar la formula recursiva e Aplicar la formula recursiva e

Ne!"o# Rap$so# a caa fu#ci%#Ne!"o# Rap$so# a caa fu#ci%#

11

)i(n)i(3)i(2)i(11

)i(1)1i(1xF

x,...x,x,x(Fxx

∂∂+=+

22

)i(n)i(3)i(2)1i(12

)i(2)1i(2xF

x,...x,x,x(Fxx

∂∂+= +

+

33

)i(n)i(3)1i(2)1i(13

)i(3)1i(3

xF

x,...x,x,x(Fxx

∂∂

+= ++

+

n3

)i(n)1i(3)1i(2)1i(1n

)i(n)1i(n

xF

x,...x,x,x(Fxx

∂∂

+= +++

+

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CONVERGENCIACONVERGENCIA

% & '% & '

2n

23

22

21 h....hhhD +++=

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&UNTO FI'O MULTIVARIABLE&UNTO FI'O MULTIVARIABLE

xx11 =$=$11(x(x11, x, x22 ,x,x33,x,xnn))xx22 = $= $22(x(x11, x, x22,x,x33,x,xnn))

xx33 =$=$33(x(x11, x, x22, x, x33,x,xnn))

xxnn = $= $nn(x(x11, x, x22, x, x33,x,xnn))

2espejar una variable decada función

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Asumir valores iniciales para xAsumir valores iniciales para x11, x, x22,,xx33 *x*xnn

alcular xalcular x11(i+1), x(i+1), x22(i+1)etc(i+1)etc

tili#ar como criterio de conver$enciatili#ar como criterio de conver$encia

% & '% & '

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E'EM&LO(E'EM&LO(

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