movimiento curvilíneo

5/13/2018 Movimiento curvil neo - slidepdf.com

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Movimiento curvilíneoSupongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen,y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por losque pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición en un instante t .

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en

el punto P, o en otras palabras, su vector posición es y en el instante t' se encuentra en el

punto P', su posición viene dada por el vector .

Diremos que el móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t . Dichovector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamientoentre el tiempo que ha empleado en desplazarse ∆ t .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secanteque une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando elintervalo de tiempo tiende a cero.



Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo acero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los

puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t , el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad cuya dirección estangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad cuya dirección estangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad .



El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la

cantidad dada por el vector diferencia .

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad yel intervalo de tiempo ∆ t=t'-t , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del ejeX, la segunda fila corresponde a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo deleje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición demovimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración



Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lotienen las componenetes de la aceleración en un nuevo sitema de referencia formado por latangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante esun problema de geometría, tal como se ve en la figura.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración endicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistemade referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección dela velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la direccióntangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y secalcula el valor numérico de dichas componentes: at =a cosθ y an=a senθ

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar

del vector aceleración y el vector velocidad .

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleracióntangencial at



La aceleración tangencial se obtiene también derivando el módulo de la velocidad conrespecto del tiempo

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleraciónsiempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de lavelocidad o ambas cosas a la vez.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en unmovimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemosúnicamente aceleración normal.

• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..

Obtendremos la expresión de la aceleración normal en el estudio del movimiento circular .

FISICA

CONTENIDO

1.

Introducción

2.

MOVIMIENTORECTILINEO

UNIFORME

3. CAIDA

LIBRE DE

LOS

CUERPOS

4.

MOVIMIENTO

CURVILINEO

5.

MOVIMIENTO

CIRCULAR

4. MOVIMIENTO CURVILINEO

4.1. INTRODUCCION.Se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado el de un móvil que

recorre espacios desiguales en tiempos iguales, es decir, la trayectoria deuna recta y los espacios recorridos en tiempos iguales crecen o decrecen encantidades iguales en cada unidad de tiempo.

Aspecto de la gráfica Distancia - Tiempo

Si los espacios crecen, el movimiento es uniformemente variado.

Si los espacios decrecen el movimiento es uniformemente retardado.

La velocidad en el Movimiento uniforme variado se calcula dividiendo un

espacio recorrido a partir del instante considerado, por el tiempo.

Cuando la velocidad de un cuerpo en movimiento no es constante seentiende por velocidad del cuerpo en un momento dado el camino que en unsegundo recorrería si a partir de ese momento cesara la acción de lasfuerzas que determinan la variación de la velocidad.

Las variables del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado son:

Aceleración [a]

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http://guillermoga.galeon.com/album13779.html


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http://guillermoga.galeon.com/enlaces13781.html










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Distancia [d]Velocidad Inicial [Vo]Velocidad Final [Vf]y sus respectivas fórmulas están listadas a continuación:

a = (Vf - Vo) / td = Vot + [(at2)/2]Vf = Vo + atVo = Vf - at

. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

La primera parte del estudio de la mecánica de ingeniería se ocupa de la Estática, que trata del equilibrio delos cuerpos en reposo o en movimiento con velocidad constante.La segunda parte de dedica a la Dinámica,

la cual se ocupa de los cuerpos en movimiento acelerado.

2.1. POSICIONSe puede especificar la trayectoria recta de la partícula empleando un solo eje coordenado (s),El origen 0sobre la trayectoria es un punto fijo,y a partir de éste se emplea el vector de posición (r) para definir el lugar de la partícula P en cualquier instante. Sin embargo, para el movimiento rectilíneo, la dirección de r siemprees a lo largo del eje (s), y por lo tanto nunca cambia.Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o seala orientación de la punta de la flecha.

2.2. DESPLAZAMIENTO.Se define como el cambio en su posición.Si indicamos con X1 la posición en el tiempo t1 , y con x1 en eltiempo t2 , entonces definimos el dezplazmiento mediante:Dx = x2 - x1

2.3. VELOCIDAD.Si la partícula se mueve a través de un desplazamiento Dx de P a P'; durante el intervalo de tiempo Dt.: v =Dx/Dtv = (x2 - x1) / ( t2 - t1 )

2.4. ACELERACION.El término Aceleración se refiere al cambio de la velocidad de un objeto, con respecto al tiempo.Esta sedefine por la ecuación:a = Dv /Dt

a =(v2 - v1)/( t2 - t1 )



La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, queno es otra cosa que la definición de la derivada de v.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, yrepresentamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t .

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o enotras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dadapor el vector r '.

Diremos que el móvil se ha desplazado ðr=r'-r en el intervalo de tiempo ðt=t'-t . Dicho vector tiene la direcciónde la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad



El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ðr entre el tiempo queha empleado en desplazarse ðt .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une lospuntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiendea cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección delvector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2.....,tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t , el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoriaen dicho punto.



Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoriaen dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por elvector diferencia ðv=v'-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempoðt=t'-t , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila

corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientosrectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen lascomponentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y lanormal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un problema degeometría, tal como se ve en la figura.



• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Serepresentan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, ladirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre ladirección normal.

• Se determina el ángulo ð entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosð y an=a senð

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5) j m/s. Calcular las

componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t =2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

vx =3t -2 m/s, ax =3 m/s2vy =6t 2-5 m/s, ay =12t m/s2

Los valores de dichas componentes en el instante t =2 s son

vx =4 m/s, ax =3 m/s2vy =19 m/s, ay =24 m/s2

Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración



Calculamos el ángulo ð que forman el vector velocidad y el vector aceleración

• Por el producto escalar: v·a=v·a·cosð

•

Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

at=a·cosð =24.1 m/s2an=a·senð=2.0 m/s2

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v·a=va·cos=v·at

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentidout=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

El primero, tiene la dirección de la velocidad, es la componente tangencial de la aceleración



El segundo, se puede demostrar que tiene la dirección perpendicular a la tangencial, es la componente normalde la aceleración.

siendo el radio de curvatura de la trayectoria. Relación que demostraremos para el movimiento circular uniforme.

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en elinstante t . Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t , la dirección del vector velocidad v+dven el instante t+dt . Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto Cdenominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t , y el centro decurvatura C es el radio de curvatura .

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambiecon el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo,tenemos únicamente aceleración tangencial.

• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanececonstante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico,tendremos aceleración tangencial y aceleración normal

MOVIMIENTO CIRCULAR

Aquí,vamos a definir las magnitudes características del movimiento circular, análogas a las ya definidas parael movimiento rectilineo.Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia.Unavez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes:

POSICIÓN ANGULAR, w.En el instante t el móvil se encuentra en el punto P.Su posición angular viene dada por el ángulo alfa, quehace el punto P,el centro de la circunferencia C y el Origen de ángulos O.

En el instante t´el móvil se encuentra en la posición P´dada por el ángulo (teta)´.El móvil se habrá desplazado

D(teta)=(teta)´en el intervalo de tiempo :Dt = t´- t

comprendido entre :t' y t

VELOCIDAD ANGULAR, w.Se denomina al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

w= D(teta) / Dt

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular1/circular1.htm







Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo,la velocidad Angular en un instante dado se obtienecalculando la velocidad Angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

w = lim [D(teta)/Dt] = d(teta)/dtDt---->0

ACELERACION ANGULAR, alfa.Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo: alfa = Dw/Dt.La aceleración angular en un instante,se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo detiempo que tiende a cero:

alfa = lim Dw / Dt = dw / dtDt---> 0

Suma de vectores

Propiedad conmutativav + w = w + v

Propiedad asociativa(v + w) + u = w + (v + u)

Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de aplicaión y punto final coinciden, por lo que su intensidadvale 0

v + 0 = v

Existe elemento opuesto (-v), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlosse obtiene el vector 0

v + (-v) = 0

Cantidades vectoriales y escalares

Vector aceleración y vector aceleracion

movimiento curvilíneo

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