momento magn etico de un im an · pdf fileen el siguiente trabajo se presenta el c alculo del...

Momento Magnetico deun ImanLey de Faraday y Momento de torsion

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

Asignatura: Laboratorio Avanzado II

Walter Josue Fuentes Cuellar

20111000443

Walter Josue Fuentes Cuellar 1

Momento Magnetico de un Iman

Resumen

En el siguiente trabajo se presenta el calculo del momento magnetico de un iman, haciendolomediante dos metodos diferentes. Un sistema de tres bobinas donde se mide la fem inducidaproducida por el movimiento del iman a traves de ellas (m = (4,87 ± 0,04) × 10−3A · m2 ycon el cual podemos comprobar la ley de induccion de Faraday; comparamos con el resultadodeterminado si contamos con las oscilaciones que efectua un iman cuando intenta estabilizarseal estar inmerso en un campo magnetico uniforme (bobina de Helmholtz), el cual se llevo acabo elaborando una regresion lineal del cuadrado de la frecuencia angular del iman vrs.elcociente de la magnitud del campo magnetico entre el momento de inercia del iman, obteniendom = (3,94 ± 0,60) × 10−3A ·m2, llevandonos a concluir que el metodo de la ley de induccion esmas preciso para generar este dato, y conlleva a la comprobacion de la ley de Faraday.

I. Introduccion

Una de las expresiones que conforman las ecua-ciones de Maxwell esta detallada mediante

la le y de induccion de Faraday, la cual descri-be el fenomeno que ocurre cuando un campomagnetico varia con el tiempo generando uncampo electrico. Pueden existir otras factores uotras formas en las que podemos describir dichoproceso; experimentalmente podemos conside-rar la fem inducida a traves del movimiento deiman pasando por una bobina. Con ello com-probariamos la ley de induccion, pero nuestrotrabajo consiste no precisamente en corrobar enla practica que esto es cierto, si no utlizar dichoanalisis para conocer una propiedad inherente aliman, como lo es su momento magnetico. Regis-trando datos de fem inducida en cierto tiempoy haciendo las cosnideraciones fısicas necesariaspodemos hacer el calculo de dicho valor; perose plantea un metodo alternativo para verificarque los resultados obtenidos sean ciertos, esto sehara mediante el estudio del momento de torsionque sufre el iman al estar sometido a un campomagnetico uniforme.Nuestro problema es claro, lo que queremos deter-minar es el valor de esta caracterıstica del iman,y pues comparando resultados de ambos meto-dos, veremos que se cumple la ley de induccionde Faraday.

II. Objetivos

Determinar el momento magnetico de uniman, mediante la aplicacion de la ley deFaraday y considerando el momento de tor-sion.

Comprobar experimentalmente la ley deFaraday, detectando la fem inducida alatravesar un iman por una bobina.

III. Marco Teorico

Ley de Faraday de la induccion estable-ce:

”La fem inducida en una espira cerradaes igual al negativo de la tasa de cambio-del flujo magnetico a traves de la espiracon respecto al tiempo.”[1]

εind = −dΦ

dt(1)

Con respecto al signo o direccion de esta corrien-te inducida, aplicamos la ley de Lenz1:

”La direccion de cualquier efecto de lainduccion magnetica es la que se oponea la causa del efecto.”[1]

Para nuestro trabajo usaremos dos formasde calcular el momento magnetico del iman.

I. Usando la ley de FaradayCampo magnetico del imanConsideramos que el iman es pequeno conrespecto a las dimensiones de la bobina;hacemos una aproximacion de multipolosmagneticos, orientando el momento dipolar~m a lo largo del eje[2]:

1Esto es consecuencia del principio de conservacion de la energıa.



~Adip(~r) =µ0

4π

~m× ~r

r2(2)

Tenemos que ~m = I~a, donde ~a es el vectorde area e I es la corriente.

~B =µ0m

4πr3(2 cos θr + sin θθ) (3)

Para calcular el flujo magnetico considera-mos el iman en el origen, y consideramos lasuperficie limitada por la bobina (esfera).

~B · d~a =(µ0m

4πr32 cos θ

)r2 sin θdθdφ

Φ =

∫~B·d~a =

∫ π

0

∫ 2π

0

(µ0m

4πr32 cos θ

)r2 sin θ dθ dφ

Φ =µ0m

4πr2(2π)

∫ θ0

0

cos θ sin θ dθ

Φ =µ0m

4πr(2)(2π)

(sin θ20

2

)Φ =

µ0m

2rsin2 θ0 (4)

Esta expresion es para una espira, conside-rando las N espiras:

Φ =µ0mN

2rsin2 θ0 (5)

Tenemos que r = (a2 + z2)12 , y sin θ0 = a

r

Φ =µ0mN

2r

a2

(a2 + z2)12

(6)

Segun la ley de Faraday tenemos que:

εind = −dΦ

dt= −dΦ

dz

dz

dt= −dΦ

dzv

εind =3µ0mNa

2

2

zv

(a2 + z2)52

(7)

donde v es la velocidad con la que pasael iman por la bobina. Experimentalmentepodemos determinar la velocidad con laque viaja el iman y haciendo uso de unainterfase conectada a un computador tenerel registro para los valores de corriente in-ducida en terminos de fem (Voltios).Si usamos el criterio de la primera derivada,y encontramos los valores maximos para lafem inducida tenemos:

εind,Max = ±24µ0mNv

(5)52 a2

(8)

Entonces para calcular el momentomagnetico usaremos la expresion:

m =εind,Max(5)

52 a2

24µ0Nv(9)

Del grafico generado podemos obtener elvalor de la velocidad considerando un mon-taje de tres bobinas conectadas en serie, lacual estara conectada a la interfase.



Para calcular la velocidad:Consideramos una aceleracion constante(diferente al valor de la gravedad), tenemosuna expresion:

y = y0 + v0t+1

2at2 (10)

Asumimos un t0 en la primera bobina, enla siguientes t1 y t2, respectivamente. Conlo cual tendremos dos expresiones con res-pecto a la posicion:

y1 = v0t1 +1

2at21 (11)

y2 = v0t2 +1

2at22 (12)

Donde y1 es la distancia de la primera bo-bina a la segunda y y2 es la distancia de laprimera a la tercera bobina. Las lecturas delos tiempos corresponderan a los tiemposque trasncurren entre cada bobina, perolos datos seran tomados del grafico que segenera con el computador, debido a queeste comienza a contar el tiempo a partirde que se suelta el iman y luego comienzael registro. Para esto asignamos que t0 = 0,y los datos de tiempo obtenidos son τ1, τ2y τ3 corresponde al tiempo en que el imanpasa por cada bobina, pero para nuestro

analisis se considera que:

t1 = τ2 − τ1 (13)

t2 = τ3 − τ1 (14)

Con las ecuaciones (11)-(14) generamos unsistema de ecuaciones con las cuales obte-nemos el valor de v0 y de a. Ahora estamoslistos para calcular el valor de v:

v = v0 + at (15)

Donde usaremos el tiempo en la bobina 3(τ3), debido a que podemos aproximar unavelocidad terminal constante.

II. Usando el momento de torsionmagneticaCuando un dipolo magnetico ~m se colocaen una region donde existe una induccionmagnetica uniforme, se observa que el di-polo comienza a oscilar debido al momentode torsion magnetica.

~τ = ~m× ~B

Si colocamos un iman cılindrico dentro deun campo uniforme, podemos analizar elmovimiento oscilatorio que este sufre.

Στ = Iα

−mB sin θ = Id2θ

dt2

Consideramos que el angulo es pequeno.

−mBθ = Id2θ

dt2

d2θ

dt2= −mB

Iθ (16)

Resolviendo la ecuacion diferencial, la cualcorresponde a la del oscilador armonicosimple tenemos:

θ = θ0 cos(ωt+ φ)

Donde:

ω =

√mB

I(17)

Para un cılindro el momento de inercia conrespecto al eje que pasa en su centro es:

I =1

12ML2



y la induccion magnetica sera:

B = Bth +8µ0Ni

532 a

(18)

Si variamos la corriente y medimos la fre-cuencia de las oscilaciones, podemos obte-ner el valor de m, haciendo una regresionlineal; para nuestro caso y = ω2, y x = B

I ,donde el valor del momento magnetico co-rrespondera a la pendiente de dicho grafico.

IV. Equipo y materiales

Iman de neodimio

Bobina de Helmholtz

Multımetro

Cables conductores

Hilo

Balanza

Pie de rey

Fuente de corriente DC

Interfase

Programa analizador de videos, Tracker

Brujula

Resistor Variable

Capacitor variable

Cinta metrica

V. Procedimiento Experimental

Parte I. Usando la ley de FaradayPara esta parte de la experiencia hacemosuso de un sistema de tres bobina conec-tadas en serie en un tubo e igualmenteespaciadas; dicho sistema presenta dospuntas que permiten conectar la interfasey esta a su vez se conectara al computadordonde se registraran los datos obtenidos.Colocamos el sistema de bobinas en lapared, tratando de ponerlo lo mas perpen-dicular posible para evitar que el imanpegue con las paredes del tubo. Tambiense debe tener el cuidado que la zona detrabajo este libre de cable y conexionespara evitar la influencia de ruidos en lassenales reportadas.Los elementos dentro del circuito estan enserie, y agregamos un capacitor variablepara filtrar las senales que pasen por lainterfase y se registren en el computador;ya con todo el montaje listo, dejamos caerel iman a traves del tubo, previamente acti-vando la lectura del programa. Es necesariotener algo debajo del tubo para retener lacaida del iman y cuidar que no se dane.Generamos el grafico y analizamos nues-tros resultados, de este lo que tomaremosen cuenta son los tiempos que le toman aliman pasan por las bobinas y el valor delos picos para la fem inducida. Aplicamosel sistema de ecuaciones planteados enel marco teorico y usando la ecuacion (9)obtenemos el valor del momento magneticodel iman.

Parte II. Usando el momento de Tor-sionUsaremos la bobina de Helmholtz para re-gistrar datos debido a que con ella podemosasegurar un campo magnetico uniformedentro de la bobina. Ponemos una brujuladentro de la bobina y alineamos la orietan-cion del campo producido por la bobinacon la componente horizontal del campomagnetico de la Tierra.Amarramos el iman con un hilo por la



mitad y lo colocamos de forma que cuelgueen el centro de la bobina, sin aplicar nin-guna corriente sobre las espiras veremosque este oscila debido al campo magneticoterrestre. La conexion del circuito es enserie, conenctado la fuente de voltaje conla resistencia variable y este a la bobina;por otro lado, se conecta el multımetro ala bobina y la otra punta se conecta a lafuente cerrando el circuito.Si empezamos a variar la corriente usando0,200A para empezar veremos como eliman oscila, para calcular el valor del mo-mento necesitamos conocer la frecuenciacon la que oscila y el campo magnetico quese esta aplicando para hacerlo rotar. Lamagnitud del campo la podemos calcularusando la expresion (18). Para la frecuen-cia debemos considerar que la oscilacionla haga con angulos pequenos, se usara elprograma para analizar el vıdeo (Tracker),por ello registraremos videos de dichos mo-vimientos y con esto generaremos el tiempode cada oscilacion y con la aplicacion deconceptos de movimiento ondulatorio ob-tenremos la frecuencia angular.El modelo lineal se usara conlleva eltermino del momento de inercia, paraesto debemos de medir la masa del imany la longitud que posee. Se tomaran 10mediciones de estas magnitudes.Tabulando los resultados estamos listos pa-ra generar el valor del momento magneticodel iman, como resultado de la regresionlineal donde la pendiente de dicho ajustecorresposnde a nuestra incognita.

VI. Hojas de Datos

Parte I

Cuadro 1: Tabla

Resultados obtenidos mediante la interfase

τ1(s) 1.48632τ2(s) 1.67088τ3(s) 1.79822εind,max(V ) 4.512N 500 vueltasy1(cm) 50,00 ± 0,05y2(cm) 100,00 ± 0,05a(m) 0.01µ0 4π × 10−7

Parte II

Cuadro 2: Tabla

Resultados obtenidosmediante uso de la bobina de Helmholtz

I(Kg ·m2) (4,2 ± 0,1) ∗ 10−8

N 22 Vueltasa(m) (0,1445 ± 0,0005)

Cuadro 3: Tabla

N◦ T (s) f(Hz) ω(rad/s) B (10−5)(T)

1 2.210 0.452 2.840 2.702 2.143 0.467 2.934 4.203 2.002 0.500 3.142 5.384 1.924 0.520 3.267 5.865 1.893 0.528 3.318 7.096 1.725 0.580 3.644 7.95

Cuadro 4: Datos de la Regresion Lineal

N◦ B/I ω2

1 642.86 8.0662 1000.00 8.6083 1280.95 9.8724 1395.24 10.6735 1688.10 11.0096 1892.86 13.279



VII. Procesamiento de datosexperimentales

Parte IIntroduciendo las ecuaciones (13) y (14) en lasecuaciones (11) y (12), respectivamente, tenemosun sistema de ecuaciones donde haciendo uso delprograma Mathematica obtenemos los valores dela velocidad inicial y la aceleracion. Siendo losresultados:

v0 = 1,98876m/s

a = 7,80617m/s2

Con dichos valores obtenemos una expresion paracalcular la velocidad en tiempos siguientes:

v(t) = 1,98878 + 7,800617t

Donde al evaluar el valor del tiempo al que imanpasa por la tercera bobina, obtenemos el valorde la velocidad terminal, que usamos para hacerel calculo del momento magnetico. Dicho valores v(τ3) = 16,026.

Evaluando los valores obtenidos y tabuladosen la ecuacion (9), obtenemos el valor de:

m = (4,87 ± 0,04) × 10−3A ·m2 (19)

Se hicieron varias pruebas para ello:

Parte IISe tomaron videos para registrar los tiempos deoscilacion del iman, y se tabularon los resultadosobtenidos mediante el Tracker, considerando eltiempo de 10 oscilaciones.Al utilizar la expresion (17) podemos hacer unaregresion lineal con la cual obtuvimos lo siguien-te:

Obteniendo un valor para el momentomagnetico de:

m = (3,94 ± 0,60) × 10−3A ·m2 (20)

VIII. Discusion de Resultados

Parte del porblema del montaje al trabajarcon el sistema de las tres bobinas es debido

al movimiento del iman a traves del tubo, tratan-do de que no golpee las paredes y se manifiesteperdidas por friccion; con esto se debe procurarque el sistema de las bobinas este lo mas per-pendicular posible. Como hacemos medicionesdirectas de longitud entre bobinas y el radio delas mismas, introducimos error al generar el datonumerico del momento magnetico del iman.



Cada uno de los montajes tuvo diferentes dificul-tades, pero analizando la precision mediante laincertidumbre porcentual de cada uno de ellos,vemos que hacer el calculo mediante la induccionsobre el sistema de tres bobinas obtenemos me-jores resultados (0,82 %), a diferencia de tratarcon el momento de torsion (15,28 %). Estos re-sultados pueden ser debido a que en el montajede la bobina de Helmholtz es necesario asegurarque el campo magnetico generado sea uniforme,que el iman se encuentre al centro de la bobina,poder alinearlo con el campo magnetico de latierra, que sus oscilaciones las efectue barriendoun angulo pequeno; incluso es importante queel area de trabajo este libre de conexiones, deelementos metalicos que presenten alguna inter-accion con el iman, ya que esto contribuye a sumovimiento y a la tendencia que presenta esteelemento a orientarse y alcanzar su estabilidad.En el sistema de las tres bobinas contribuye elhecho de la cantidad de datos por segundo quepuede tomar la interfase, con esto podemos gene-rar un resultado mas preciso; y en este montajese reducen los posibles errores durante la tomade datos, por lo ya antes mencionado. Es intere-sante ver como la forma con la que se suelta eliman muetsra una diferencia en el orden de lospicos del grafico de fem inducida con respecto altiempo, en la imagen () sesolto el iman con unode sus polos hacia abajo, y luego se intercambio.Vemos como los picos salen contrarios.

IX. Conclusiones

Nuestro trabajo fue encontrar el momentomagnetico de un iman, y se logro hacerlo.

Se compararon dos metodos para la obtencionde esta caracterıstica del iman y vemos quetrabajar mediante la ley de induccion de Fara-day en un sistema de tres bobinas midiendo lafem inducida presenta mejores resultados quesi se considera un iman dentro de un campomagnetico uniforme alineandose hasta llegar ala estabilidad. Si tomamos medidas con la bo-bina de Helmholtz pudiesemos hacer el calculodel momento magnetico con buena precision,pero necesitamos hacer un buen registro de losdatos cuando este oscila y alejarlo de cualquierinfluencia del medio donde se realice. Debidoa esto se recomienda que el sistema de la tres

bobinas es una mejor alternativa para medirdicha cantidad, aun cuando se asume que laaceleracion es constante; y como lo planteamosal inicio del experimento generando nuestro re-sultado y comparando que andan por el mismoorden, podemos comprobar la ley de induccionde Faraday, validada por nuestro experimento.

X. Referencias

1. Young, H. & Freedman, R. (2009) FısicaUniversitaria con fısica moderna (Vol. 2)(12.a ed.). Mexico: Pearson Educacion.

2. Griffiths, D. & College, R. (1999) Intro-duction to Electrodynamics (3.a ed.). NewJersey: Prentice Hall.

3. Serway,R. & Jewett,J. (2008) Fısica paraciencias e ingenierıa (Vol. 2) (7.a ed.). Dis-trito Federal: Cengage Learning Editores.

4. Wangsness, R. (1989) Campos Electro-magneticos. Mexico: Impresiones Editoria-les, S.A.

5. Kingman, R. & Clark S. (2001) An expe-rimental observation of Faraday’s law ofinduction Am. J. Phys. 70(6), 595-598.

XI. Anexos


momento magn etico de un im an · pdf fileen el siguiente trabajo se presenta el c alculo del...

Documents