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Trabajo Fin de Master en Fısica: Radiaciones, Nanotecnologıa, Partıculas yAstrofısica

Dualidad ElectromagneticaBelen Coronado Granados

Universidad de GranadaSeptiembre de 2017

Tutor: Bert JanssenDepartamento de Fısica Teorica y del Cosmos

Universidad de Granada

Resumen

En este trabajo se presenta la teorıa de Maxwell a traves del formalis-mo lagrangiano, dentro del marco de la relatividad general y expresadaen lenguaje covariante. Se explica la dualidad electromagnetica comouna simetrıa que surge en las ecuaciones del vacıo y se rompe al intro-ducir la carga electrica. Como intento de restaurar la simetrıa se tratade entender lo que supondrıa incluir monopolos magneticos, para locual habrıa que tener en cuenta efectos de fısica cuantica como ocurreen otros efectos electromagneticos. Especialmente podemos ver como lafısica cuantica toma relevancia en el efecto de Aharonov-Bohm.Aprovechando la naturaleza antisimetrica del tensor electromagneti-co podemos entender los temas tratados desde una perspectiva masgeometrica. Para ello se reformula la teorıa en el lenguaje de las formasdiferenciales, con las que se acentuan los aspectos topologicos gracias asu relacion con la cohomologıa de De Rham.Como ocurre con otros conceptos y estructuras matematicas podremosver otras aplicaciones de la geometrıa diferencial en fısica, concretamen-te en relatividad general procediendo a la dualizacion del tensor de cur-vatura.Palabras clave: Dualidad Electromagnetica, Efecto Aharonov-Bhom,Monopolo Magnetico, Formas diferenciales, Topologıa

Dualidad Electromagnetica

Belen Coronado Granados

Universidad de Granada

Tutor: Bert Janssen

Departamento de Fısica Teorica y del Cosmos.

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Indice

1. Introduccion 4

1.1. Teorıa de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Dualidad electromagnetica 11

2.1. Dualidad Electromagnetica en el vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. ¿Dualidad electromagnetica con cargas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Dualidad electromagnetica en otras dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Monopolos de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1. Potenciales electromagneticos en mecanica cuantica. . . . . . . . . . 18

2.4.2. Cuantizacion de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Formas diferenciales 23

3.1. Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Operador Estrella de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Teorema de Stoke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Operador adjunto de la derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6. Clasificacion de formas y Cohomologıa de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7. Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7.1. Homologıa y Cohomologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Electromagnetismo con formas diferenciales 32

4.1. Dualidad Electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Efecto de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. El monopolo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Otras aplicaciones 38

5.1. El tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Tensor de curvatura desde el espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Dualidad del tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Conclusiones 44

7. Apendice : Sımbolo de Levi-Civita 46

Referencias 48

1 INTRODUCCION 4

1. Introduccion

Las simetrıas juegan un papel significativo en la fısica moderna. El concepto de simetrıahace referencia a la invariancia de un sistema fısico, de la realidad y las propiedades fısi-cas, bajo ciertas transformaciones. Sobre las simetrıas tiene mucho que decir la teorıa delfısico James Clerk Maxwell (1831-1879), de hecho esta se consolida como una teorıa ejem-plar en el ambito de la simetrıas, de la cual se puede aprender ampliamente. Lo que Max-well hizo fue unificar todo el conocimiento sobre los fenomenos electricos y magneticosen una teorıa donde la mayorıa de las ecuaciones ya habıan sido propuestas por otroscientıficos, con lo que su genialidad fue completar dichas ecuaciones dando lugar a unateorıa de campos consistente en la que se hace notoria la idea del campo como entidadfısica. Posteriormente la teorıa de Maxwell ha ido dejandose ver con mayor complejidadexhibiendo distintas caracterısticas de las cuales difıcilmente podrıamos menospreciar suimpacto en la ciencia.

Un ejemplo de ello es que las ecuaciones de Maxwell transformen bajo el grupo de si-metrıa de las transformaciones de Lorentz, conforme con la relatividad especial propuestapor el fısico Albert Einstein (1879-1955) cuatro decadas despues. Y llamando la atencionlo bien que se adaptan las ecuaciones a la relatividad general.

Ademas la teorıa de Maxwell se pronuncia como raız de las teorıas de campo gauge, lascuales poseen alguna simetrıa interna que deja invariante el lagrangiano que las describe.El concepto de teorıa gauge que aparece en la teorıa de Maxwell se generaliza dandolugar a estructuras fısica y matematicamente mas complejas por tanto abre camino a otrasteorıas ampliamente reconocidas. Como la generalizacion de Yang Mills de grupos gaugesno-abelianos. Hoy en dıa el modelo estandar describe en lenguaje de campos gauge lainteraccion del electrodebil y la interaccion fuerte. Hasta cierto punto la gravedad tambienexhibe este tipo de simetrıa. Con lo que queda subrayado su importancia en el panoramade la fısica actual.

En este trabajo vamos a enfocar la atencion en otro aspecto remarcable de la teorıa deMaxwell donde de nuevo salen a la luz la trascendencia de las simetrıas. Oliver Heavisi-de (1850-1925) fue el primero en darse cuenta de que en el vacıo existe una simetrıa entrelos campos electricos y magneticos, si los intercambiamos las ecuaciones de Maxwell per-manecen invariantes, por tanto es puramente convenio a que llamamos campo electrico ya que llamamos campo magnetico. A esta simetrıa se le llama dualidad electromagnetica yes el eje central del trabajo. Al igual que ocurrıa con la nocion de campo gauge, la dualidadse puede generalizar y ser aplicada en otros campos. Por ejemplo, algo analogo le ocurrea la gravedad, con la diferencia de que los campos gravitacionales tienen una estructu-ra mas sofisticada que el campo electromagnetico. Por ello la dualidad electromagneticaconstituye un primer acercamiento para comprender la dualidad en otras areas de la fısi-ca mas complejas, y resulta interesante un estudio para conocer las caracterısticas fısicasde esta simetrıa ası como la estructura matematica subyacente. El objetivo del presentetrabajo sera realizar este estudio expresando la teorıa de Maxwell mediante el formalismolagrangiano y de acuerdo con la relatividad general.

5 1 INTRODUCCION

Plan de trabajo

En primer lugar se muestra un marco teorico en el cual se presenta la teorıa propuesta porMaxwell comentando la invariancia gauge y repasando algunos conceptos utiles sobrerelatividad general como la derivada covariante y el concepto de espaciotiempo comovariedad, a continuacion se expresa la teorıa de Maxwell en el formalısmo lagrangiano.

Resultara de gran utilidad dicho formalismo, puesto que se demuestra la dualidad en elvacıo construyendo un lagrangiano equivalente al primero expresado en terminos del lla-mado tensor electromagnetico dual, el cual, intercambia los campos electricos y magneti-cos respecto del tensor electromagnetico, esto se expone en el apartado 2. Como la dua-lidad electromagnetica ocurre en las ecuaciones de vacıo se pretende estudiar la rupturade la simetrıa al introducir cargas electricas y aprovechar para conocer las consecuenciasde introducir monopolos magneticos.

Una vez familiarizados con el concepto veremos como existen una matematicas en lasque se expresa la teorıa de Maxwell y la nocion de dualidad surge de forma muy natu-ral. Se trata de aprovechar la antisimetrıa del tensor electromagnetico para hacer uso deunos objetos matematicos llamados formas diferenciales. En el apartado 3 se realizaranlas aclaraciones matematicas necesarias para hacer uso de la notacion de formas diferen-ciales y sus operadores principales. Una de las principales ventajas de esta notacion escomo se relaciona con la topologıa de la variedad en la que se definen. Posteriormente enel apartado 4 veremos como, efectivamente, se trata de una notacion con bastante exitopara expresar la teorıa de Maxwell y estudiar la dualidad electromagnetica.

Como se ha explicado antes, una de las motivaciones de estudiar la dualidad electro-magnetica es la posibilidad de generalizar la idea en otros ambitos de la fısica. Por ello enel apartado 5 se daran algunas pinceladas sobre la dualizacion del tensor de curvatura,donde seguira siendo util la notacion de formas diferenciales.

1.1. Teorıa de Maxwell

Las cuatro ecuaciones de la teorıa de Maxwell en su forma diferencial y en unidades deLorentz-Heaviside toman la siguiente forma:

−→∇ · −→E = ρe,−→∇ ×−→B = 1

c−→j e +

1c ∂t−→E , (1.1)

−→∇ · −→B = 0,−→∇ ×−→E = 1

c ∂t−→B , (1.2)

donde−→E es el vector de campo electrico,

−→B es el vector de campo magnetico, ρe es la

densidad de cargas electricas,−→je es la densidad de corriente electrica y c es la velocidad

de la luz.

Las dos ultimas ecuaciones permiten escribir los campos−→E y−→B en funcion de los llama-

dos potenciales electromagneticos φ y−→A 1:

1Gracias a las propiedades del rotacional y la divergencia, teniendo en cuenta que para el espacio planoR3 se cumple

−→∇ · (−→∇ ×−→V ) = 0 para un campo cualquiera−→V . Mas adelante se estudiara el caso en espacios

con topologıas no triviales.

1 INTRODUCCION 6

−→B =

−→∇ ×−→A ,−→E = −−→∇φ− 1

c ∂t−→A . (1.3)

Estos potenciales determinan los campos−→E y−→B unıvocamente pero dado el campo elec-

tromagnetico se tienen infinitos potenciales φ y−→A que lo describen, todos ellos estaran

relacionados entre sı por una transformacion del tipo:

φ 7−→ φ′ = φ + ∂Λ,−→A 7−→ −→A ′ = −→A − c

−→∇Λ, (1.4)

con Λ = Λ(−→x , t) una funcion arbitraria. Se dice de esta transformacion que es una trasn-formacion gauge porque deja los campos

−→E y−→B invariantes,

−→E ′ =

−→E y−→B ′ =

−→B , dando

libertad para tomar una eleccion de los potenciales que parezca mas favorable en cadacaso, a lo que se llama fijar el gauge. Se interpreta que la fısica reside en los campos electro-magneticos, mientras que de los potenciales se dice que son campos gauges los cuales nosomos capaces de medir directamente, no son observables fısicos sino mas bien una herra-mienta matematica. Mas adelante veremos la importancia de trabajar con los potencialesya que, en realidad, son la variable dinamica de la teorıa.

A dıa de hoy se sigue usando la teorıa de Maxwell para describir el electromagnetismoaunque su formulacion puede sufrir algunos cambios. Por ejemplo en este caso vamosa escribirla en el lenguaje covariante de los tensores, teniendo en cuenta el concepto deespacio-tiempo que ofrece la relatividad general y ademas, hacer uso del principio varia-cional, va a ser muy conveniente para el estudio de las simetrıas que de otro modo nose hacen tan evidentes. Por ello se hace necesario introducir algunos conceptos como elde variedad o derivada covariante. Mas adelante (en el apartado 4), tras introducir unosobjetos matematicos llamados formas diferenciales se reformula la teorıa en termino deestos objetos, que permiten ver la teorıa desde un punto de vista mas geometrico.

Conceptos previos

Para enmarcar la teorıa de Maxwell en la relatividad general se hace necesario hablar devariedades. Einstein acaba con la idea de un espaciotiempo absoluto, con una geometrıadada a priori, estatico, para entenderlo como un espacio dinamico, con curvatura, el cualno se puede describir globalmente con un sistema de coordenadas cartesianas aunquesı localmente. De hecho el principio de equivalencia, que se enuncia como

“Observadores en caıda libre en un campo gravitatorio general son localmenteequivalentes a observadores inerciales. No hay experimentos locales que puedan dis-tinguir entre esas dos situaciones. ´´,

habla de un espaciotiempo que, aunque curvo, lo podemos aproximar a un espacio lo-calmente plano. Esto implica cierta estructura matematica del espaciotiempo pues ha deexistir un cambio de coordenadas que apague el campo gravitatorio en una pequena re-gion haciendo que parezca localmente Minkowski. Dicho cambio de coordenadas sera de-pendiente de punto en punto. En matematicas el objeto que describe este tipo de espaciosse llama variedad (N-dimensional), MN . En cada punto p de la variedad se puede defi-nir el espacio tangente Tp(MN) que es isomorfo a RN , estos espacios tangentes aunqueson diferentes para cada punto se van ’solapando’ de forma continua. Las variedades seclasifican en riemannianas y lorentzianas dependiendo de si la metrica es definida positiva

7 1 INTRODUCCION

o si tiene una signatura (+, −, −, ...,−). En relatividad general la variedad se consi-dera lorentziana por lo que los planos tangentes son Minkoswki, con la metrica siendoηµν = diag(1, −1, −1, −1). Ademas, el principio de covariancia,

“Las leyes de la fısica deben tener la misma forma en todos los sistemas de refe-rencia. Las leyes de la fısica deben por lo tanto transformar de manera covariante bajocambios generales de coordenadas. ´´

implica el uso de escalares, vectores y tensores (objetos que transforman bien bajo cam-bios generales de coordenadas) para formular las leyes de la fısica. Esto es, si en unavariedad MN se tienen dos sistemas de coordenadas xµ y yα relacionados a traves delcambio general de coordenadas yα = yα(xµ) (transformacion local) se define un tensorde rango (m, n) que vive en el espacio tangente Tp(MN) como el objeto matematico quetransforma como:

Tµ1,µ2,...,µmν1,ν2,...,νm =

∂xµ1

∂yα1· · · ∂xµm

∂yαmTα1,α2...,αm

β1,β2...,βm

∂yβ1

∂xν1· · · ∂yβn

∂xν2. (1.5)

Se introduce la metrica gµν expresada en las coordenadas xµ a traves del elemento de lınea,ds2 = gµνdxµdxν, con esto se puede deducir su caracter como tensor de rango (2, 0). Conla metrica subimos, bajamos y contraemos los ındices de los tensores, por ejemplo: Tµ =

gµνTν.

La medida de una integral viene dada porˆ √

|g|dnx f (x), (1.6)

con g el determinante de la metrica, para que el elemento de volumen sea invariante bajocambios generales de coordenadas. Se comprueba facilmente si se escribe dnx a traves delsımbolo de Levi-Civita, εµ1,...,µn (7.6):√

|g|dnx =√|g| 1

n!εµ1,...,µn dxµ1 ...dxµn =

1n!

Eµ1,...,µn dxµ1 ...dxµn =1n!

Eα1,...,αn dxα1 ...dxαn ,(1.7)

εµ1,...,µn no es un tensor covariante, sino una densidad pseudo tensorial pero Eµ1,...,µn =√|g|εµ1,...,µn sı trasnforma como tensor covariante, y cada dxµ = ∂xµ

∂yα dxα lo hace como

vector contravariente por lo que√|g|dnx se trata de una cantidad invariante . Para una

mayor ampliacion se discuten las propiedades del sımbolo de Levi-Civita en el apendice.

Si bien la regla de la cadena demuestra que la derivada de un campo escalar, ∂µ ≡ ∂φ∂xµ ,

transforma como un vector covariante, ∂αφ = ∂µφ ∂xµ

∂yα , no ocurre lo mismo al derivar cam-pos tensoriales. La derivada parcial de un vector covariante trasnforma como

∂αVβ =∂xµ

∂yα

∂yβ

∂xν∂µVν +

∂xν

∂yαVν ∂2yβ

∂xµ∂xν, (1.8)

suma de un termino tensorial y otro no tensorial debido al caracter local de la transforma-cion.

Se construye una nueva derivada ∇µ a partir de la derivada parcial mas un termino notensorial exigiendo que esta transforme covariante:

1 INTRODUCCION 8

∇αVβ = ∂αVβ + ΓβαγVβ, (1.9)

donde Γβαγ es la conexion afın se puede demostrar que transforma

Γβαγ =

∂xµ

∂yα

∂xν

∂yβ

∂yγ

∂xρΓρ

µν −∂2yγ

∂xµ∂xν

∂xµ

∂yα

∂xν

∂yβ, (1.10)

como un termino tensorial menos uno no tensorial que no depende de la conexion y queanula el termino no tensorial que aparecıa en la transformacion de la derivada parcial. De-rivar campos vectoriales en una variedad es mas delicado que hacerlo en espacio plano,puesto que para comparar dos tensores hay que tener en cuenta que estos viven en planostangentes diferentes, ası que es necesario encontrar la forma de transportar los vectores aun mismo plano. En espacio plano se realiza un transporte paralelo, pero dada una varie-dad no hay una unica manera de realizar el transporte, de decidir que es lo que tomamoscomo paralelo, y por ello existe cierta libertad para elegir como la derivada covariantedebe ser. Por ello el significado de la conexion afın es que se define como transporte para-lelo.

Se va a trabajar con la llamada conexion de Levi Civita que es aquella que satisface:

Γρµν = Γρ

νµ

Condicion de compatibilidad con la metrica ∇µgνµ = 0.

Con esta eleccion se puede demostrar que la conexion queda completamente determinadapor la metrica a traves de la expresion

Γρµν =

12

gρλ(∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν), (1.11)

por lo tanto todas las propiedades geometricas vienen dadas por la metrica.

A continuacion se define la generalizacion de los operadores divergencia, rotacional ylaplaciano en variedades curvas para cualquier conexion (primera igualdad) y para Levi-Civita (segunda igualdad):

−→∇ · −→A = ∇µ Aµ = 1√|g|

∂µ

[√|g|Aµ

],

−→(∇×−→A )µ = εµνρ√

|g|∇ν Aρ = εµνρ√

|g|∂ν Aρ,

∇2φ = ∇µ∂µφ = 1√|g|

∂µ

[√|g|∂µφ

],

(1.12)

donde se ha utilizado la relacion

Γνµν =

1√|g|

∂µ

√|g|. (1.13)

Una expresion muy util para tensores antisimetricos es:

∇µ1 Tµ1,...,µn =1√|g|

∂µ1

[√|g|Tµ1,...,µn

]. (1.14)

9 1 INTRODUCCION

Teorıa de Maxwell en el formalismo lagrangiano.

A continuacion se realiza una descripcion de la teorıa de Maxwell en el formalismo la-grangiano, enmarcada dentro de la relatividad general, siendo gµν la metrica que describela variedad espaciotiempo, y haciendo uso de la notacion tensorial necesaria para escri-bir una teorıa en lenguaje covariante. Ası los campos

−→E y−→B son componentes del tensor

electromagnetico Fµν, un tensor antisimetrico que se define como2:

F0i = −EiFij = −εijkBk

⇔ Fµν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

. (1.15)

La teorıa de Maxwell vista como teorıa variacional presenta distintas ventajas Por un ladoreduce las cuatro ecuaciones de Maxwell (1.1 y 1.2) a dos ecuaciones y es que, mas alla desu compacidad, esta reduccion va a servir para comprender la distinta naturaleza de cadaecuacion.

En el calculo variacional, dado una densidad lagrangiana L, este proporciona las ecuacio-nes de movimiento del campo Xµ a traves de la ecuacion de Euler-Lagrange

∂µ∂L

∂(∂µXν)− ∂L

∂Xν= 0, (1.16)

tal que se minimize la accion S

S =

ˆLdx4. (1.17)

La accion que describe la teorıa de Maxwell en lenguaje covariante enmarcada dentro dela relatividad general es:

SMaxwell = − 14

´ √|g|FµνFµνd4x−

´ √|g|jµ Aµd4x, (1.18)

donde jµ es el cuadrivector cuyas componentes son la densidad de carga electrica ρe y ladensidad de corriente

−→je y Aµ es un cuadrivector definido por los potenciales φ y

−→A .

La accion de Maxwell por sı sola no permite obtener las ecuaciones de la teorıa de Max-well debido a que el tensor Fµν no es el campo dinamico Xµ. La variable dinamica es enrealidad el potencial Aµ y para escribir el lagrangiano en terminos del potencial es nece-sario imponer como ligadura la identidad de Bianchi para Fµν

εµνρλ∂νFρλ = 0, (1.19)

esta ultima expresion se corresponde con las dos ecuaciones de Maxwell (1.2) cuya solu-cion permite escribir Fρλ en funcion de los potenciales como

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ, (1.20)

y ademas, se puede observar que una transformacion del tipo:

2Se han utilizado unidades naturales, donde la velocidad de la luz es 1. c = 1

1 INTRODUCCION 10

Aν 7−→ A′ν = Aν + ∂νΛ, (1.21)

con Λ una funcion arbitraria, es una transformacion gauge, es decir, deja invariante eltensor electromagnetico y el lagrangiano. Como se ha visto anteriormente, que Aµ sea uncampo con una libertad gauge implica que diferentes vectores Aµ describen la misma fısi-ca por tanto no es un observable, es el tensor Fµν el campo fısico. Resulta que la dinamicaesta descrita por mas variables que grados de libertad fısicos.

Para la accion (1.18), escribiendo Fµν en funcion de Aµ con (1.20), la ecuacion de Euler-Lagrange (1.16) proporciona la siguiente ecuacion de movimiento

1√|g|

∂µ

[√|g|Fµν

]= ∇µFµν = jν, (1.22)

que se corresponde con las dos primeras ecuaciones de Maxwell (1.1). Las otras dos se hanconsiderando implıcitamente al imponer la identidad de Bianchi.

En conclusion, la identidad de Bianchi (1.19) junto con la ecuacion de movimiento (1.22) son lasecuaciones de Maxwell expresadas en lenguaje covariante.

11 2 DUALIDAD ELECTROMAGNETICA

2. Dualidad electromagnetica

En esta primera seccion vamos a profundizar en la teorıa de Maxwell desde el puntode vista de las simetrıas que aparecen en sus ecuaciones. Empezando desde el caso massencillo en el que no hay cargas, pasando por la ruptura de la simetrıa al introducir cargaselectricas y acabando por el planteamiento de la existencia de los monopolos magneticos.

Esta seccion combina por un lado informacion bibliografica y por otro los calculos realiza-dos que se han ido desarrollando y se pueden ver a lo largo de las siguientes subsecciones.

2.1. Dualidad Electromagnetica en el vacio

En ausencia de cargas la teorıa de Maxwell presenta una simetrıa por la cual es invariantebajo el intercambio del campo electrico y magnetico. En esta situacion el lagrangiano sesimplifica a

L1 = −14

√|g|FµνFµν, (2.1)

cumpliendose la identidad de Bianchi (1.19), por lo tanto las ecuaciones de Maxwell sereducen a

εµνρλ∂νFρλ = 0, (2.2)

∇µFµν = 0. (2.3)

La invariancia

(−→E ,−→B ) 7−→ (

−→B ,−−→E ) (2.4)

es facilmente visible cuando expresamos las ecuaciones anteriores en terminos de los cam-pos−→E y−→B :

−→∇−→E = 0,−→∇ ×−→B = + 1

c ∂t−→E , (2.5)

−→∇−→B = 0,−→∇ ×−→E = − 1

c ∂t−→B . (2.6)

Se vera que hay una formulacion equivalente para describir la teorıa de Maxwell en au-sencia de fuentes que pone de manifiesto la invariancia entre los campos electricos ymagneticos. Y ademas veremos la utilidad de esta otra formulacion para describir ununiverso con monopolos magneticos pero sin fuentes electricas.

Para poner de manifiesto la equivalencia entre la formulacion anteriormente usada quedescribe la teorıa de Maxwell en el vacıo y una nueva formulacion donde campo electricoy magnetico han intercambiado los papeles vamos a realizar primero un paso intermedioque hace uso de un formalismo distinto.

En este otro formalismo la ecuacion de Bianchi se introduce en el lagrangiano gracias a losmultiplicadores de Lagranage como se puede ver el el segundo termino del lagrangiano(2.7). Este cambio implica que la ecuacion de Bianchi ya no aparece como una ligadura

2 DUALIDAD ELECTROMAGNETICA 12

si no que aparece, a traves del principio variacional, como una ecuacion de movimiento.Imponer la ecuacion de Bianchi era lo que permitıa escribir el tensor electromagnetico enfuncion del potencial, ya que Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ es la solucion de la ecuacion de Bian-chi. Ahora la ecuacion de Bianchi entra formar parte del formalismo lagrangiano y nose impone como una ligadura externa, por ello no hay forma de definir dichos potencia-les, el lagrangiano no se puede escribir en funcion de Aµ, la antigua variable dinamica.Siendo la variable dinamica en esta nueva formulacion el tensor electromagnetico y losmultiplicadores de Lagrange denotados por Aµ. Esta nueva formulacion toma la forma:

L2 = −14

√|g|FµνFµν +

12

Aµεµνρλ∂νFρλ. (2.7)

Tomando Aµ como variable dinamica entonces su ecuacion de movimiento es la ecuacionde Bianchi para Fµν (1.19). La otra ecuacion de movimiento se consigue resolviendo laecuacion de Euler-Lagrnage para Fµν

∂µ∂L

∂(∂µFνρ)− ∂L

∂Fνρ= 0, (2.8)

que da como resultado la expresion que relaciona Fµνcon el multiplicador de LagrangeAµ:

Fρλ =εµνρλ√|g|

∂µ Aν. (2.9)

Para la expresion covariante hay que tener en cuenta la naturaleza no tensorial del sımbo-lo de Levi-Civita, como se explica en el apartado 7:

Fρλ = −εµνρλ

√|g|∂µ Aν. (2.10)

Se construye un lagrangiano equivalente a L3 sustituyendo (2.9 y 2.10) en (2.7)

L3 = + 14

√|g|[

εµνρλ√|g|

∂µ Aν

] [εµνρλ

√|g|∂µ Aν

]− 1

2 Aµεµνρλ∂ν

[εµνρλ

√|g|∂µ Aν

]=

= − 14

√|g|(

∂µ Aν − ∂ν Aµ

) (∂µ Aν − ∂ν Aµ

)=

= − 14

√|g|Fµν Fµν,

(2.11)

con Fµν definida como

Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ, (2.12)

esta definicion de Fµν es el equivalente a imponer la ligadura

εµνρλ∂ν Fρλ = 0, (2.13)

que serıa la ecuacion de Bianchi para L3. A partir de aquı se observa que el multiplica-dor de Lagrange Aµ posee cierta libertad gauge, mas concretamente, la transformacionsiguiente deja invariante el lagrangiano:


Aµ 7−→ A′µ = Aµ + ∂µΛ, (2.14)

con Λ una funcion arbitraria.

La ecuacion de movimiento de la variable dinamica Aµcalculada es

∇µ Fµν = 0. (2.15)

En este caso Fµν sigue siendo la variable que encierra la informacion del sistema.

Por construccionL1es equivalente aL2 yL2 es equivalente aL3. Por tantoL3 es una formaalternativa de describir la teorıa de Maxwell en el vacıo. Cabe destacar el paralelismo entrelos dos formalismos donde en los dos encontramos como ligadura la ecuacion de Bianchi(2.2 y 2.13) y la misma ecuacion de movimiento para Fµν y Fµν (2.3 y 2.15). Si calculamosFµν en funcion de Fµν a partir de las ecuaciones (2.9) y (2.12) se tiene

Fµν =

√|g|

2 εµνρλFρλ,Fµν = − 1

2√|g|

εµνρλFρλ,(2.16)

es decir,

Fµν =√|g|

0 −B1 −B2 −B3

B1 0 −E3 E2

B2 E3 0 −E1

B3 −E2 E1 0

. (2.17)

El hecho de que el tensor Fµν que intercambia los campos−→E y−→B cumpla las mismas leyes

de la teorıa de Maxwell que el original quiere decir que las leyes de Maxwell permaneceninvariantes bajo el intercambio Fµν 7−→ Fµν . A esta simetrıa en las ecuaciones se le llamadualidad electromagnetica.

Como se ha vistoL1 es equivalente aL3 por construccion. Se demuestra usando la relacion(2.16) que la ecuacion de movimiento de Fµν es igual a la ecuacion de Bianchi de Fµν yviceversa:

∇µ Fµν = ∇µ

[− 1

2√|g|

εµνρλFρλ

]= −1

2√|g|

∂µ

[√|g| 1√

|g|εµνρλFρλ

]=

= − 12√|g|

εµνρλ∂νFρλ = 0

1√|g|

εµνρλ∂ν Fρλ = εµνρλ 1√|g|

∂ν

[√|g|

2 εαβρλFαβ

]=

= 2∇Fνµ = 0

(2.18)

Esto quiere decir que la informacion que para Fµν venıa codificada en una ecuacion demovimiento, la informacion que describıa la dinamica del campo Aµ, la interaccion deeste con las cargas y corrientes puede venir dada bajo una naturaleza completamentediferente si formulamos la teorıa de Maxwell a traves de Fµν, siendo igual a la ecuacionde Bianchi que nos proporciona como solucion poder escribir Fµν en funcion de unos


potenciales con cierta libertad gauge.

L1 = − 14

√|g|FµνFµν L3 = − 1

4

√|g|Fµν Fµν L2 = − 1

4

√|g|FµνFµν+

+ 12 Aµεµνρλ∂νFρλ

Ec. Bianchi: ≡ Ec. Movimiento: Ec. Movimiento:εµνρλ∂νFρλ = 0 ∇µ Fµν = 0 Fρλ = εµνρλ√

|g|∂µ Aν

Ec. Movimiento: ≡ Ec. Bianchi: Ec. Movimiento:∇µFµν = 0 εµνρλ∂ν Fρλ = 0 εµνρλ∂νFρλ = 0

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν =

√|g|

2 εµνρλFρλ

Cuadro 1: En esta tabla se presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell y sus ecua-ciones duales correspondientes.

2.2. ¿Dualidad electromagnetica con cargas?

Para ver como se comporta la dualidad anadiendo cargas, primero vamos a probar aanadir cargas electricas. En este caso vamos a tratar a las teorıas dadas por las formu-laciones de L1 y L3 por separado y luego comprobar si son o no equivalentes.

Si se introduce una corriente electrica jeµ en la teorıa, la ecuacion de movimiento de L1

y la ecuacion de ligadura de L2 se modifican. La nueva ecuacion de ligadura no es unaidentidad de Bianchi y por tanto no se puede definir Fµν en funcion de un potencial Aµ

de forma global, aunque si que sea posible hacerlo localmente. Como no podemos definirFµν en funcion de Aµ no podemos encontrar relacion entre las dos formulaciones, es decir,no podemos encontrar una relacion entre Fµν y Fρλ puesto que no tenemos una formapara pasar de A a A. En el vacıo se comprobaba que la ecuacion de movimiento de L1

y la ecuacion de Bianchi de L2 eran la misma por la relacion entre Fµν y Fρλ. En estecaso encontramos que la ecuacion de movimiento de un formalismo no es la ecuacion deligadura del otro y viceversa.

L1 = − 14

√|g|FµνFµν +

√|g|jµ Aµ L3

L2 6= − 14

√|g|FµνFµν+

+√|g|jµ Aµ


Ec. Bianchi Ec. Movimiento-

εµνρλ∂νFρλ = 0 ∇µ Fµν = 0Ec. Movimiento Ec. Ligadura

-∇µFµν = jνe εµνρλ∂ν Fρλ = je

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν 6= ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν = Fρλ

Cuadro 2: Se presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell con cargas electricasexpresadas en terminos de Fµν y Fµν.

Tambien se comprueba que la dualidad solo es compatible en ausencia de fuentes por-que si intentamos realizar el mismo procedimiento que en el apartado anterior, haciendouso de los multiplicadores de Lagrange queda un lagrangiano L2 donde la presencia delpotencial A en L2 sin una ecuacion de Bianchi hace que carezca de sentido.


Del mismo modo anadir fuentes del campo magnetico hace que se rompa la dualidadentre estos dos formalismos. La diferencia principal es que en este caso encontramosen el formalismo de L3 una forma natural de describir el electromagnetismo con cargasmagneticas. La tabla resumen quedarıa en este caso:

L1L3 = − 1

4

√|g|Fµν Fµν

−√|g|jµ Aµ

L2 6= − 14

√|g|FµνFµν+

+√|g|jµ Aµ+


Ec. Bianchi: Ec.Movimiento:-

εµνρλ∂νFρλ = jνm ∇µ Fµν = jν

mEc. Movimiento: Ec. Bianchi:

-∇µFµν = 0 εµνρλ∂ν Fρλ = 0Fµν 6= ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν = Fρλ

Cuadro 3: Se presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell con fuentes hipoteticasde campo magnetico expresadas en terminos de Fµν y Fµν.

Por tanto contarıamos con dos formalismos distintos, uno que sirve para describir un uni-verso con cargas electricas y otro que sirve para describir un hipotetico universo con fuen-tes del campo magnetico. Y ademas encontramos cierta similitud entre ellos, el primerotrata a las fuentes electricas como el segundo trata a las cargas magneticas y viceversa.En los dos casos la presencia de fuentes de campo electrico y magnetico respectivamenterompe la simetrıa de las ecuaciones.

2.3. Dualidad electromagnetica en otras dimensiones

De forma especulativa se supone una teorıa de Maxwell en el vacıo en un espacio con dosdimensiones espaciales y una dimension temporal. Podemos extrapolar la teorıa graciasal lenguage covariante siendo la nueva accion de Maxwell en el vacıo y la ecuacion deBianchi

SA = −14

ˆ √|g|FµνFµνd3x, (2.19)

ενρλ∂ν Fρλ = 0, (2.20)

donde en este caso, para la definicion del tensor de Maxwell, los ındices latinos van a irde 1 a 2:

F0i = −EiF12 = −B

⇔ Fµν =

0 −E1 −E2

E1 0 −BE2 B 0

. (2.21)

Lo curioso de este planteamiento es que el campo magnetico es ahora un escalar y elelecctrico sigue representado por un vector. En cuanto al sımbolo de Levi-Civita, que an-tes era de rango (0, 4) ahora tiene rango (0, 3), de lo contrario todas las componentes


serıan nulas ya que siempre habrıa algun ındice repetido. De esta forma la ecuacion deBianchi pasa a ser un escalar cuando antes era vectorial. Para construir el nuevo terminoque se le anade a L2 hay que tener en cuenta que la densidad langrangiana se comportacomo un escalar invariante bajo cambios generales de coordenadas. En cuatro dimensio-nes el termino anadido tenıa la forma 1

2 Aµεµνρλ∂νFρλ, y si observamos el multiplicador delagrange es un vector covariante porque la identidad de Bianchi es un vector contrava-riante, de esta forma se contraen los ındices. En tres dimensiones, por tanto, el multiplica-dor de Lagrange es un escalar ya que no necesitamos contraer ningun ındice. Siguiendo elmismo procedimiento se obtendrıa para un espacio de 5 dimensiones un tensor covariantede rango 2 como multiplicador de lagrange.

L1 = − 14

√|g|FµνFµν L3 = − 1

2

√|g|Fµ Fµ L2 = − 1

4

√|g|FµνFµν+

+ 12 Aενρλ∂νFρλ

Ec. Bianchi ≡ Ec. Movimiento. Ec. Movimiento.εµνρλ∂νFρλ = 0 ∇µ Fµ = 0 Fρλ = εµρλ√

|g|∂µ A

Ec. Movimiento. ≡ Ec. Ligadura Ec. Movimiento.∇µFµν = 0 ενρ∂ν Fρ = 0 ενρλ∂νFρλ = 0

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµ ≡ ∂µ A Fν =

√|g|

2 ενρλFρλ

Cuadro 4: En esta tabla se presenta un resumen de las ecuaciones de Maxwell y sus ecua-ciones duales correspondientes para el hipotetico caso de un espacio con dos dimensionesespaciales y una dimension temporal.

Calculando las dos ecuaciones de movimiento de L2 encontramos por un lado la expre-sion de Fµν en funcion del multiplicador de Lagrange y por otro lado la ecuacion de Bian-chi.

Se obtiene el Lagrangiano equivalente, L3, haciendo uso de la primera ecuacion de movi-miento y definiendo el vector Fµ ≡ ∂µ A. De nuevo, se puede comprobar que la ecuacionde movimiento de L3 es la ecuacion de Bianchi de L1 y viceversa.

Resulta llamativo en este ejemplo que podemos expresar la misma teorıa con una formu-lacion mas sencilla, donde la informacion que nos daba el tensor electromagnetico ahorase encuentra en un vector de tres componentes. Esto es debido a que el tensor electro-magnetico es un tensor antisimetrico, por tanto el numero de componentes que contienenla informacion es solo tres. De hecho, el tensor dual del tensor electromagnetico siguesiendo un tensor de rango (2, 0) unicamente si tenemos cuatro dimensiones.

2.4. Monopolos de Dirac

Como se ha visto la presencia de fuentes de campo electrico en la teorıa de Maxwell rompela simetrıa de las ecuaciones de vacıo porque las cargas electricas no tienen en que trans-formarse. Una solucion para restaurar dicha simetrıa serıa incluir a su vez fuentes decampo magnetico en ellas:


Formulacion con Fµν Formulacion dual con Fµν

Ec.Ligadura εµνρλ∂νFρλ = jµm Ec. Mov. ∇µ Fµν = jν

mEc. Mov. ∇µFµν = jν

e Ec. Ligadura εµνρλ∂ν Fρλ = jeFµν 6= ∂µ Aν − ∂ν Aµ Fµν 6= ∂µ Aν − ∂ν Aµ

Cuadro 5: Ecuaciones del campo electromagnetico suponiendo fuentes tanto de campoelectrico como de campo magnetico.

Como en ninguna de las dos formulaciones se cumple la identidad de Bianchi, los camposno pueden ser expresados mediante un potencial con el que se cumpla de forma global

Fµν 6= ∂µ Aν − ∂ν Aµ. (2.22)

Es por ello que se requiere de un estudio mas tedioso en cualquiera de las dos formula-ciones. En este caso vamos a usar la formulacion de Fµν donde las ecuaciones de Maxwelllas podemos escribir mas explıcitamente como:

−→∇ · −→E = ρe,−→∇ ×−→B = +∂t

−→E +

−→je , (2.23)

−→∇ · −→B = ρm,−→∇ ×−→E = −∂t

−→B −−→jm . (2.24)

Introducir monopolos magneticos tienen consecuencias relevantes. Para entenderlo mejorsuponemos una carga magnetica en el origen de R3 con carga qm

3. El campo magneticodel monopolo sera, por analogıa con el campo electrico de una carga,

−→B =

qm

4π

er

r2 . (2.25)

De−→∇ · −→B = ρm se tiene que la carga magnetica encerrada en un volumen es

qm =

"δV−→B · d−→s . (2.26)

El hecho de que no se cumpla la ecuacion de Bianchi hace que no podamos escribir−→B

como−→B =

−→∇ ×−→A con un potencial−→A definido en todo el espacio. Si fuese ası

−→∇ · −→B =−→∇ · (−→∇ ×−→A ) = 0 6= ρm. Pero sı podemos encontrar potenciales

−→A tales que

−→B =

−→∇ ×−→Aen un dominio definido. Por ejemplo:

−→A N = qm(1−cosθ)

4πr senθ eϕ,−→A S = − qm(1+cosθ)

4πr senθ eϕ,(2.27)

3Como se tiene simetrıa esferica se ha usado por comodidad coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), en las que elrotacional de un vector cualquiera

−→V es

−→∇ ×−→V = 1rsenθ

(∂θ(senθVϕ)− ∂ϕVθ

)−→er +(

1rsenθ ∂ϕVr − 1

r ∂r(rVφ))−→eθ + 1

r (∂r(rVθ)− ∂θVr)−→eϕ ,

y el gradiente de un escalar Λ es−→∇Λ = ∂rΛ−→er + 1

r ∂θΛ−→eθ + 1rsenθ ∂ϕΛ−→eϕ.


donde−→A N describe

−→B en todo el espacio excepto para θ = π (el eje z negativo) y

−→A S lo

hace en todo el espacio excepto en θ = 0 (el eje z positivo) ya que cada uno de estos po-tenciales diverge en esos casos. A esta singularidad se le llama Cuerda de Dirac, no es unasingularidad fısica y la puedo mover (pero no eliminar) dependiendo del potencial queelija. De hecho, todos estos potenciales estan relacionados mediante una transformaciongauge, que en este caso es

−→A N =

−→A S −−→∇ (− qm

2πϕ). (2.28)

Esta transformacion es valida en todo el espacio salvo el eje z.

Se puede calcular el flujo magnetico total que atraviesa la superficie (2.26) haciendo usode los potenciales evitando la singularidad de la cuerda de Dirac. Para ello se empleala tecnica desarrollada por los fısicos Chien-Shiung Wu y Chen Ning Yang en la que sedivide el espacio en diferentes parches y en cada parche se hace uso de algun potencialcuya cuerda de Dirac no se encuentre en ese parche. Usamos los potenciales de (2.27)dividiendo la esfera en dos semiesferas, para el hemisferio norte N usamos

−→A N y para la

semiesfera sur S se hace uso de−→A Scon lo que calculamos el flujo

!δV−→B · d−→s =

˜N−→∇ ×−→A N · d−→s +

˜S−→∇ ×−→A S · d−→s

=¸ (−→

A N −−→A S)· d−→s =

¸ −→∇ ( qm2π ϕ) · d−→s

= qm2π ϕ

∣∣ϕ=2π

− qm2π ϕ

∣∣ϕ=0 = qm,

(2.29)

donde se ha hecho uso del teorema de Stokes4. En la ultima igualdad obtenemos que laintegral cerrada de un gradiente es distinta de cero porque qm

2π ϕ es una funcion multiva-luada, es decir, en un camino cerrado toma diferentes valores dependiendo del numerode vueltas por su dependencia en ϕ. Finalmente obtenemos que el flujo total del campomagnetico se puede calcular a traves de unos potenciales definidos localmente resultandoigual a la carga encerrada, lo que esperabamos segun (2.26). Clasicamente vemos comonos podemos deshacer de la cuerda de Dirac con transformaciones gauge del potencial.Pero cuanticamente veremos como las distintas transformaciones gauge se traducen encambios de fase de la funcion de onda de un electron, por lo que resulta interesante pre-sentar el tema desde el punto de vista de la mecanica cuantica.

2.4.1. Potenciales electromagneticos en mecanica cuantica.

Hasta ahora se ha presentado los potenciales electromagneticos como una herramientamatematica que permite calcular el tensor electromagnetico pero que no contienen la in-formacion fısica. Es decir, las ecuaciones de movimiento se pueden siempre expresar enterminos de los campos y son invariantes bajo transformaciones gauge en los potenciales.Pero en mecanica cuantica los potenciales electromagneticos juegan un papel importantedentro de la ecuacion de movimiento. Ası, la ecuacion de Schrodinger dependiente deltiempo es

HΨ = ih∂tΨ, (2.30)

4La expresion del teorema de Stokes lo podemos encontrar mas adelante en (3.15) y (3.17).


donde el hamiltoniano cuantico para una partıcula de masa m y carga electrica qe en uncampo electromagnetico externo con potencial Aµ es

H = − h2

2m

(∂i − i

qe

hAi

)2+ qe A0, (2.31)

que como vemos su dependencia explıcita con los potenciales hace que el hamiltonianono sea invariante gauge, esto platea un problema puesto que una transformacion gaugedel potencial no deberıa tener consecuencias fısicas. En 1926 Vladimir Fock (1898-1974)encontro la unica forma de conseguir que la ecuacion de Schrodinger sea invariante, paraello relaciono las transformaciones de los potenciales con cambios de fase en la ecuacionde onda. Teniendo en cuenta que la probabilidad de encontrar la partıcula en una posiciondada es proporcional a la norma al cuadrado de la funcion de onda, un cambio de fase enla funcion de onda no resultarıa en un cambio fısico. Por tanto, como una transformacionen los potenciales solo cambia la fase de la funcion de ondas, la probabilidad sigue siendoinvariante.

Ası, si la solucion de la ecuacion de Schrodinger, la funcion de ondas, toma la forma:

Ψ = Ψ0e−i qeh´

γ Aνdxν

, (2.32)

donde Ψ0 es la solucion del hamiltoniano con potenciales nulos. Bajo una trasnformaciondel tipo A 7−→ A′ (1.21) las funciones de ondas correspondiente Ψ y Ψ′ se diferencian ensus factores de fases por la integral de ∂νΛdxν:

Ψ′ −Ψ = Ψ0e−i qeh´

γ[Aν−Aν−∂µΛ]dxν

Ψ 7−→ Ψ′ = Ψei qeh Λ (2.33)

Lo que Fock querıa decir es que bajo una transformacion gauge de los potenciales A 7−→A′ la funcion de ondas tambien sufre la transformacion gauge Ψ 7−→ Ψ′ que deja la ecua-cion de Schrodinger invariante. Posteriormente, en 1927, este concepto fue declarado co-mo un principio general por el matematico aleman Hermann Weyl (1885-1955).

Si Aµ es un gauge puro, es decir,

Aµ = −∂µΛ, (2.34)

podemos expresar la funcion de onda como

Ψ = Ψ0ei qeh Λ. (2.35)

David Bohm (1917-1992) y su estudiante Yakir Aharonov (1932) [2] en 1959 se plantearonla posible influencia de los potenciales en algunos experimentos teoricos para los cualeslos potenciales parecıan explicar un efecto fısico observable. Aquı veremos como es latopologıa del espacio la que influye sobre los resultados en este tipo de experimentos. Deellos el mas conocido, llamado efecto de Aharonov-Bohm, ilustra muy bien el problema. Setrata de una fuente emitiendo electrones que pasan alrededor de una zona con campomagnetico nulo y vector potencial no nulo, por ejemplo poniendo un solenoide de radiodespreciable con flujo magnetico Φ. Al final se coloca una pantalla que hace las veces dedetector de los electrones, donde se observa el patron de interferencias. Cuanticamente


Figura 1: Experimento de Aharonov-Bohm: Se tiene un solenoide de radio despreciable en el origeny una fuente que emite electrones. Los electrones pasan alrededor del solenoide y llegan a unapantalla que los detecta. En la pantalla se visualiza el patron de interferencias.

la fase adquirida por los electrones debido al vector potencial provoca la aparicion de untermino de interferencia en la probabilidad P de encontrar la partıcula en una posiciondada. De forma que al conectar el flujo el comportamiento de los electrones en la pantallacambia y se observa como el patron de interferencias se desplaza.

Matematicamente la funcion de onda de los electrones tiene respectivamente dos contri-buciones Ψ1 y Ψ2, dependiendo de si recorre γ1 o γ2:

Ψ = Ψ1 + Ψ2 =

= Ψ(0)1 (−→r )e−i qe

h´

γ1

−→A (−→r ′)d−→r ’

+ Ψ(0)2 (−→r )e−i qe

h´

γ2

−→A (−→r ′)d−→r ’

=(2.36)

La probabilidad de encontrar al electron en una posicion dada es proporcional al modulocuadrado de Ψ:

P ∼∣∣∣∣e−i qe

h´

γ1−γ2

−→A (−→r ′)d−→r ’Ψ(0)

1 (−→r ) + Ψ(0)2 (−→r )

∣∣∣∣2 (2.37)

El termino de interferencia sera proporcional a

T.I. = e−i qeh´

γ1−γ2

−→A (−→r ′)d−→r ’

= e−i qeh¸ −→

A (−→r ′)d−→r ’. (2.38)

Como−→B = 0 entonces

−→∇ ×−→A = 0 lo que supone que−→A es un gauge puro,

−→A = −−→∇Λ.

La integral cerrada de un gradiente es nula, pero en este caso el gradiente de la funciondiverge en r=0, dicho de otro modo, el espacio no es simplemente conexo y esto es lo quepermite que no se anule la integral.

De hecho, podemos ver que la integral se corresponde con el valor del flujo magnetico a


traves de la curva:

˛ −→A (−→r ′)d−→r ’ =

ˆ ˆ −→B −→·n d2x = Φ. (2.39)

Aunque matematicamente podemos escribir el termino de interferencia en funcion delcampo magnetico, fısicamente se tiene unos electrones cuya funcion de onda depende delpotencial en una zona donde el campo magnetico es nulo, es como si hubiese un efecto nolocal del campo magnetico sobre los electrones, en realidad el efecto se debe a la topologıadel espacio.

Por ultimo senalar que las predicciones de Aharonov y Bohm sobre la interferencia enla pantalla, como ellos mismos indican en [3], se han visto respaldadas por multiplesconfirmaciones experimentales, como por ejemplo, la mostrada por Werner y Brill.

2.4.2. Cuantizacion de carga

Volviendo al caso del monopolo magnetico, tenıamos que podıamos evitar la singulari-dad de la cuarda de Dirac parcheando el espacio de forma que en cada parche tenıamosun potencial definido localmente y que se relaciona con los otros a traves de una trasnfor-macion gauge. Cuanticamente, esta transformacion gauge tiene como consecuencia quela funcion de onda de un electron de carga qe adquiere una fase

ΨN(r) = ΨS(r)e−i qeqm2πh ϕ. (2.40)

La condicion de cuantizacion de carga de Dirac viene dada de asumir que un electron queda n vueltas alrededor del ecuador ha de tener la misma fase en ϕ = 0 y ϕ = 2π, es decir,se trata de una funcion univaluada lo que se traduce en la condicion:

qeqm

2πh= n. (2.41)

con n ∈ Z.

La condicion de cuantizacion de Dirac viene a decirnos que asumir la existencia de almenos un monopolo condiciona a que la carga este cuantizada, es decir, la carga de cual-quier partıcula del universo vendrıa dada por un numero entero de veces la carga delelectron. Lo curioso es que hasta ahora todos los modelos que explican la cuantizacion decarga asumen tambien la existencia de monopolos. Es el caso del monopolo de ’t Hooft-Polyakov que aparece como un defecto topologico en la teorıa del fısico holandes Gerard’t Hooft y el ruso Alexander Polyakov, estos intentaron cuantizar la carga embebiendoel electromagnetismo en una teoria gauge mas grande. Y aunque no se haya demostradoque la carga esta cuantizada tenemos indicios para pensar que ası sea. Por ejemplo, la cotaexperimental de la diferencia entre la carga de un electron y un proton es practicamentenula, aun siendo estas dos partıculas totalmente diferentes:

h|qe− + qp|

qe−< 1, 0·10−21. (2.42)

En conclusion, no hay confirmaciones experimentales para la cuantizacion de carga nila existencia de monopolos, pero los datos apuntan que la propuesta de su existencia es


suficientemente seria como para tenerlo en cuenta y seguir investigando en ese campo.Por ello muchos experimentos han buscado y la existencia de monopolos. Tan solo unoobtuvo una posible evidencia del monopolo magnetico. Se trata de un experimento de launiversidad de Stanford dirigido por Blas Cabrera Navarro nieto del conocido fısico es-panol Blas Cabrera [6]. El detector de monopolos consistıa en una bobina superconductoraa temperaturas cercanas del cero absoluto que estuvo funcionando durante 382 dıas, y el14 de febrero de 1982 detecto lo que posiblemente sea un monopolo, ya que fue un eventoaislado que no se volvio a repetir no se ha podido confirmar si se trata de un monopolo,un fallo en el experimento u otras opciones. Tras esta observacion muchos experimentoslo han buscado y lo siguen haciendo y no han encontrado ninguna evidencia, algunos deellos son [1], [4] y [11].

23 3 FORMAS DIFERENCIALES

3. Formas diferenciales

Se va a reformular la teorıa de Maxwell en terminos de unos objetos matematicos lla-mados formas diferenciales. Para ello primero sera necesario introducir nuevos conceptosmatematicos, operadores y teoremas que permitan trabajar en esta formulacion. Tambiensera util conocer algunos conceptos de topologıa ya que como veremos las formas dife-renciales estan ıntimamente relacionadas con la geometrıa.

Generalmente una p-forma es un tensor covariante de rango (0, p) antisimetrico bajo cual-quier permutacion de los ındices. El espacio vectorial donde viven las p-formas se denotapor ΛpV, con V algun espacio vectorial. En este apartado se va a definir dichos objetos y severan algunas propiedades que posteriormente resultaran muy utiles. Aunque se puedendefinir las formas sobre cualquier espacio vectorial V, debido a que queremos trabajar enel marco de la relatividad general el espacio vectorial es, en este caso, el espacio tangentea una variedad en un punto. Recordando que en relatividad general el espacio-tiempo esuna variedad lorentziana (con una dimension temporal y 3 espaciales) donde los efectosdel campo gravitatorio vienen dados por la curvatura de la variedad.

Para una definicion mas formal consideramos la variedadM de dimension N donde TqMes el espacio tangente a la variedad en el punto q, es un espacio vectorial. Sea (TqM)⊗p

p copias del espacio tangencial, entonces se define el espacio vectorial ΛpTqM como elproducto p-lineal y antisimetrico de covectores en el espacio cotangente al punto q, dondela p-forma φp mapea (TpM)⊗pen R :

ΛpTqM≡ {φp : (TqM)⊗p → R, p− lineal, antisimetrico}. (3.1)

El producto tensorial de dos formas de rango p y r da un objeto de rango p + q que nonecesariamente es antisimetrico. Por ello es necesario definir un producto de formas quepreserve la antisimetrıa. Este es el llamado producto exterior denotado por ∧ que se definecomo

∧ : ΛpV ⊗ΛrV → Λp+rV. (3.2)

Donde dados dos elementos de la base , {dxj}j, el producto exterior de ambos viene dadopor

dxi ∧ dxj =12(dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi) = φ2. (3.3)

Podemos ver el producto exterior como la herramienta para construir p-formas a partirde formas de orden menor. O dicho de otra forma con 1-formas (que mas adelante vere-mos que son covectores) y el producto exterior se construyen el resto de formas de ordensuperior.

Es claro que el producto exterior de la misma uno-forma es cero por antisimetrıa:

φ1 ∧ φ1 = 0.

El producto exterior cumple las siguientes propiedades:

1. Es lineal: φp ∧ (aφq + bφr) = aφp ∧ φq + bφp ∧ φr.

3 FORMAS DIFERENCIALES 24

2. Asociativa: φp ∧ (φq ∧ φr) = (φp ∧ φq) ∧ φr.

3. Anticonmutativa de grado pq: φp ∧ φq = (−1)pqφq ∧ φp.

Sea {dxi}ibase del espacio cotangente Λ1TqM donde dxi es el diferencial de la coordenadaxi, podemos expresar cualquier p-forma como

φp =1p!

wi1 i2...ip dxi1 ∧ dxi2 ∧ ...∧ dxip . (3.4)

Podemos observar como la antisimetrıa del producto exterior obliga a wi1...ip a ser anti-simetrico bajo intercambio de ındices.

La antisimetrıa dada por el producto exterior indica que la dimension del espacio ΛpVviene dada por

dim(φp) =N!

p!(N − p)!. (3.5)

Como ejemplo ilustrativo vemos las posibles p-formas para una espacio de dimension 3:

φo = w,φ1 = widxi = w1dx1 + w2dx2 + w3dx3,φ2 = 1

2 wijdxi ∧ dxj = w12dx1 ∧ dx2 + w23dx2 ∧ dx3 + w31dx3 ∧ dx1,φ3 = 1

3! wijkdxi ∧ dxj ∧ dxk = w123dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

(3.6)

Una 0-forma es un escalar, las uno-forma tienen dimension N y base {dx1, dx2, dx3} yson covectores, las dos-formas son tensores antisimetricos de rango (0,2) que tienen porbase {dx1 ∧ dx2, dx2 ∧ dx3, dx3 ∧ dx1} y las tres-formas tambien son escalares como lasuno-formas. En general sea una variedad de dimension N se tiene que las p-formas y las(N − p)-formas viven en espacios de igual dimension.

Una propiedad util del producto exterior es que podemos escribir:

dxi1 ∧ ...∧ dxin = εi1...in dx1 ∧ ...∧ dxn. (3.7)

3.1. Derivada Exterior

La derivada exterior de una p-forma es una funcion que se denota por d y devuelve una(p + 1)-forma:

d : ΛpTqM−→ Λp+1TqM. (3.8)

Actua sobre una p-forma cualquiera como:

dφp = 1p! ∂jwi1,i2,...,ip dxj ∧ dxi1 ∧ ...∧ dxip . (3.9)

Cumple las siguientes propiedades:

1. Leibniz d( f g) = gd f + f dg, con f y g funciones.

2. Lineal d(a f + bg) = ad f + bdg, con f y g funciones.


3. d(φp ∧ ψq) = (dφp) ∧ ψq + (−1)pφ ∧ (dψq).

4. Nilpotencia ddφp = 0.

3.2. Operador Estrella de Hodge

El operador Estrella de Hodge denotado por ? actua sobre una p-forma y se obtiene una(N − p)-forma:

? : ΛpTqM−→ ΛN−pTqM, (3.10)

? φp =

√|g|

p!(N − p)!wi1...ip εj1...jpkp+1kn gi1 j1 ...gip jp dxkp+1 ∧ ...∧ dxkn . (3.11)

A ?φp se le llama el dual de φp. Se observa con (3.5) que la dimension de ΛpTqM y deΛN−pTqM es la misma.

Una propiedad muy util surge al aplicar dos veces el operador estrella de Hodge:

? ?φp = (−1)s+p(N−p)φp, (3.12)

con s = 1 en variedades Lorentzianas con det(gij) = g = −1 y s = 0 en variedades deRiemann con g = +1. De aquı en adelante se usara s = 1 ya que el espacio tiempo en larelatividad general es una variedad Lorentziana.

3.3. Teorema de Stoke

El teorema de Stokes establece que dada una variedad de dimension p, M, con contorno∂M se cumple que para cualquier (p− 1) forma diferenciable φp−1:

ˆM

dφp−1 =

ˆ∂M

φp−1. (3.13)

El teorema de Stokes supone una generalizacion de distintos teoremas como el teoremafundamental del calculo, el teorema de Green y el teorema de la divergencia. Vemos algu-nos ejemplos en un espacio de 3 dimensiones.

Sea una cero-forma φ(0) y un camino orientado l de extremos a y b se tiene el teoremafundamental del calculo reescrito como

ˆldφ(0) =

ˆ b

aφ(0) = φ(0)(b)− φ(0)(a). (3.14)

Dado un campo vectorial−→V que escribimos en terminos de formas como V(1) = vidxi, su

derivada exterior dV(1) =12 (∂ivj − ∂jvi) dxi ∧ dxj es el rotacional del vector

−→∇ ×−→V . Por

ello el teorema de Stokes sobre la integral del rotacional del campo vectorial−→V

¨S

−→∇ ×−→V d−→S =

˛δS

−→V d−→r , (3.15)


la podemos escribir como

ˆS

dV(1) =

ˆδS

V(1). (3.16)

Dado−→V tambien lo podemos escribir, haciendo uso de (3.11) como V(2) =

12 viεijkdxj ∧ dxk,

su derivada exterior calculada con (3.9) resulta dV(2) =(∂1v1 + ∂2v2 + ∂3v3) dx1 ∧ dx2 ∧

dx3 lo que recuerda a la divergencia del vector−→∇−→V . Por ello el teorema de Stokes sobre

la integral de la divergencia del campo vectorial−→V

˚V

−→∇−→V dx3 =

"δV

−→V d−→S , (3.17)

la podemos escribir como:

ˆV

dV(2) =

ˆ∂V

V(2). (3.18)

3.4. Producto escalar

Sea φp y ψp dos p−formas, se define su producto escalar como la integral:

(φp, ψp) =

ˆM

φp ∧ ?ψp, (3.19)

donde realizar dicha integral tiene sentido puesto que φp ∧ ?ψp es un invariante de volu-men de la variedad, lo calculamos con las expresiones (3.3), (3.7) y (3.11):

φp ∧ ?ψp =1p!

wi1...ip vi1...ip

√|g|dx1 ∧ ...∧ dxn. (3.20)

De (3.20) se deduce:

(φp, ψp) = (ψp, φp). (3.21)

3.5. Operador adjunto de la derivada exterior

El operador adjunto de la derivada exterior se denota por δ y se define a partir de la derivadaexterior como:

δ : ΛpTqM−→ Λp−1TqM, (3.22)

δ ≡ (−1)n(p+1)+1+s ? d ? . (3.23)

Para variedades Lorentzianas con s = 1 se reduce la expresion a

δ = (−1)n(p+1) ? d ? . (3.24)

Comparando δ y d se observa que actuando sobre una p−forma, d aumenta en uno el


orden de la forma y δ lo disminuye en uno.

En la siguiente expresion vemos como δ actua sobre cualquier forma φp, la cual se puedecalcular usando (3.23), (3.11), (3.9):

δφp = −(∇i1 wi1,i2,...ip)gi2k2 · · · gipkp dxk2 ∧ ...∧ dxkp , (3.25)

donde se han subido los ındices de w con la metrica wk1,k2,...kp = wi1,i2,...ip gi1k1 · · · gipkp .

Tambien se tiene la siguiente relacion entre los operadores en el producto escalar:

(dφp−1, ψp) = (φp−1, δψp). (3.26)

Ademas δ al igual que d es nilpotente, es decir,

δδφp ∝ ?dd ? φp = 0. (3.27)

A partir de los operadores d y δ se construye el laplaciano que denotamos por ∆, como

∆ = (d + δ)2 = dδ + δd. (3.28)

3.6. Clasificacion de formas y Cohomologıa de Rham

Una de las ventajas de trabajar con formas diferenciales es que la estructura diferenciablede una variedad esta relacionada con la topologıa de la misma, lo cual ofrece la posibilidadde interpretar algunos resultados desde el punto de vista de la topologıa de la variedad.Dicha relacion se establece entre la llamada cohomologıa de Rham y la homologıa de lavariedad, que se trata en el siguiente apartado.

Antes de comenzar con la cohomologıa de Rham conviene establecer la siguiente clasifi-cacion de las formas diferenciales:

La p-forma φp es Cerrada si

dφp = 0. (3.29)

Se denota por ZpDR(M) al conjunto de p-formas cerradas deM.

La p-forma φp es Exacta si existe ψp−1 tal que

φp = dψp−1. (3.30)

Se denota por BpDR(M) al conjunto de p-formas exactas deM.

En relacion a la clasificacion anterior tambien se define:

La p-forma φp es Co-Cerrada si

δφp = 0. (3.31)

La p-forma φp es Co-Exacta si existe ψp+1 tal que

φp = δψp+1. (3.32)


La p-forma φp es Armonica si el laplaciano se anula:

∆φp = 0. (3.33)

La nilpotencia de d y δ permite realizar las siguientes implicaciones:

Sea φp exacta =⇒φp es cerrada, ya que φp = ddψp−1 = 0. Es decir, BpDR(M) ⊆

ZpDR(M).

Sea φp co-exacta =⇒ φp es co-cerrada, ya que φp = δδψp+1 = 0.

Ademas φp es armonico⇔ es cerrado y co-cerrado simultaneamente.

Se establece una relacion directa entre estas dos clasificaciones a traves del operador dual:

φp cerrada⇐⇒ ?φp co-cerrada.

φp exacta⇐⇒ ?φp co-exacta.

φp armonico⇐⇒ ?φp armonico.

Al fin y al cabo esta propiedad resalta el hecho de que la derivada exterior actuando sobreuna p-forma es equivalente al operador adjunto actuando sobre su dual y viceversa. Ası,la estrella de Hodge da la posibilidad de tratar cualquier calculo desde dos perspectivasdistintas.

El conjunto BpDR contenido en Zp

DR separa los elementos de ZpDR en distintas clases de

equivalencia. Decimos que dos formas

cp − zp = dϕp−1. (3.34)

Se llama grupo de cohomologıa de De Rham HpDR(M) al conjunto cociente

HpDR(M) = Zp

DR/BpDR, (3.35)

de las clases de equivalencia que son cerradas pero no exactas. Sea una 0-forma φ0 = westa es cerrada (las derivadas parciales de una constante son nulas) pero no exacta ya queno hay (-1)-formas, por ello dim(H0

DR(M)) = 1 para cualquier variedadM conexa.

El lema de Poincare establece que en Rn todas las formas cerradas son a su vez exactas, loque expresamos como dim(Hp

DR(M)) = 0 para p>0. Ası el grupo de Cohomologıa de DeRham necesita de un espacio topologico no trivial para no ser vacıo.

El teorema de Hodge establece que dada una variedad M compacta y sin contorno, cual-quier forma se puede descomponer como suma de una forma exacta, una co-exacta y unaarmonica:

φp = dψp−1 + δϕp+1 + χp. (3.36)

Del teorema de Hodge se deducen distintas conclusiones. Sea cp una forma cerrada, dadoque la derivada exterior de una forma armonica y de una forma exacta es cero por lanilpotencia, se tiene que cualquier forma cerrada se puede escribir como suma de unaforma exacta y otra armonica:


dcp = 0 = dδϕp+1 =⇒cp = dψp−1 + χp.

(3.37)

Por tanto si zp es otra forma cerrada de la clase de equivalencia de cp, sabemos que sediferencian en una forma exacta, y por tanto, tendran la misma forma armonica. Es decir,dos formas cohomologas vienen caracterizadas por la misma forma armonica, esta es laque caracteriza las distintas clases de equivalencia de Hp

DR(M):

[cp] = [zp] = [χp], (3.38)

donde [· ] indica clase de equivalencia.

3.7. Topologıa

En este apartado veremos como la forma de una variedad esta relacionada con las formasdiferenciales que definimos en ella, la rama de las matematicas que estudia el aspecto cua-litativo de los espacios sin tener en cuenta otros aspectos como la metrica, es la topologıa.

Cuando dos espacios son ’iguales’ desde el punto de vista de la topologıa se dice de ellosque son homeomorfos, y las propiedades que se conservan entre espacios homeomorfos sonlos llamados invariantes topologicos. Sabemos que dos espacios son homeomorfos cuandoexiste una funcion inyectiva continua y con derivada continua entre ellos. Pero debidoa la dificultad que presenta encontrar dicha funcion, en la practica se procede de formacontraria, pudiendo afirmar que dos espacios no son homeomorfos si se encuentra alguninvariante topologico distinto entre ambos. De esta forma, la topologıa, mediante los in-variantes topologicos, ofrece una forma de clasificar los espacios.

Dentro de la topologıa, la homologıa surge como la encargada de clasificar los espaciosen funcion de los huecos (ejemplo de invariante topologico) que este tenga. Para ello, seauna variedadM conexa, se considera la suma real de subvariedades

ap = ∑i

ciNi, (3.39)

donde ap es un p-cadena de dimension p, Ni son subvariedades deM y ci son los coefi-cientes. Si ci ∈ R decimos que ap es real, aunque se pueden coger coeficientes de otrosconjuntos.

En homologıa el operador de borde ∂ se encarga de tomar la frontera o contorno orientadode una cadena:

∂ap = ∑i

ci∂Ni. (3.40)

Se considera la siguiente clasificacion de cadenas donde se observa la analogıa con laclasificacion de las formas diferenciales del apartado anterior:

La cadena ap es un Ciclo si no tiene contorno:

∂ap = 0. (3.41)

Se denota por Zp(M) al conjunto de p-ciclos deM.


La cadena ap es un Contorno si existe una cadena de dimension mayor, ap+1, tal quela primera sea el contorno de la segunda:

ap = ∂ap+1. (3.42)

Se denota por Bp(M) al conjunto de p-contornos deM.

Por ejemplo una circunferencia en R2 no tiene frontera, por lo que es un ciclo, tambienpodemos considerar la circunferencia como un contorno, ya que es el borde de un cırculo.Para cualquier cadena que sea un contorno esta es a su vez un ciclo, es decir Bp(M) ⊆Zp(M). Por tanto el operador de borde ∂ es nilpotente:

∂∂ap = 0. (3.43)

Se define el grupo de homologıa como el conjunto cociente Hp(M) con aquellas clases deequivalencia de p-cadenas que son ciclos pero no contornos, a los que llamaremos deahora en adelante contornos vacıos:

Hp(M) = Zp(M)/Bp(M). (3.44)

Ejemplos de contornos vacıos son un punto en cualquier variedad, por eso H0(M) = R

paraM conexa. Otro ejemplo es una circunferencia centrada definida en un cilindro, co-mo en el ejemplo anterior la circunferencia sigue siendo un ciclo por no tener contorno,pero en este caso, debido al hueco del cilindro, no hay una posible cadena cuyo contornosea esa circunferencia. Como en el ejemplo, los contornos vacıos ofrecen informacion so-bre el numero y el tipo de huecos que tiene la variedad. Se dice de dos contornos vacıosap, bp ∈ Zp(M) que son homologos, es decir, pertenecen a la misma clase de equivalencia,cuando se diferencian por una cadena cp ∈ Bp(M):

[ap] = [bp] ⇐⇒ ap − bp = ∂cp+1. (3.45)

3.7.1. Homologıa y Cohomologıa

La homologıa de una variedad y la cohomologıa de las formas diferenciales que en elladefinimos estan ıntimamente relacionadas, para verlo comenzamos por la definicion deun periodo.

Se llama periodo, π, a la integral de un ciclo cp ∈ Zp y una forma cerrada φp ∈ ZpDR definida

como el siguiente producto escalar:

π : Zp ⊗ ZpDR −→ R

π(cp, φp) =´

cpφp. (3.46)

Haciendo uso del teorema de Stokes podemos probar como el periodo no varıa entreelementos de la misma clase de equivalencia:

π([cp], [φp]) =

ˆcp

φp. (3.47)

Lo vemos con el siguiente ejemplo:


´[cp]

[φp] =´

cp+∂cp+1φp + dφp−1 =

=´

cpφp +

´cp

dφp−1 +´

∂cp+1φp +

´∂cp+1

dφp−1 =

=´

cpφp +

´∂cp

φp−1 +´

cp+1dφp +

´∂∂cp+1

φp−1 =

=´

cpφp.

(3.48)

En la tercera igualdad se aplica el teorema de Stokes para las tres ultimas integrales y enla ultima igualdad se tiene en cuenta que dφp = ∂cp = ∂∂cp+1 = 0.

Finalmente el teorema de De Rham es lo que ofrece una conexion entre la topologıa de unavariedad y la cohomologıa de las formas diferenciales.

De Rham establece que sea una base de p-cadenas de Hp(M) (ciclos que no son contor-nos), B1 = {cj}j=1,...,N , con N la dimension de Hp(M), y sea B2 = {φi}i base del espacioHp

DR(M), dada la matriz de periodos πij = π(cj, φi) se tiene que la matriz π es invertible.Esta afirmacion equivale a decir que podemos encontrar una base de Hp(M), B3 = {aj}jtal que la matriz de p-formas sea su dual B2 = B∗3 :

π invertible =⇒ ππ−1 = Iδij = ∑

kπ(ck, φi)π

−1kj = π(∑

kckπ−1

kj , φi) = π(aj, φi). (3.49)

La importancia del teorema de Rham reside en que la informacion sobre como es la es-tructura de las formas diferenciales en una variedad esta codificada en la topologıa de lavariedad, ya que el grupo de cohomologıa es el dual del grupo de homologıa Hp

DR(M) =

H∗p(M) respecto al producto escalar π, y por tanto, la dimension es la misma:

dim(HpDR(M)) = dim(Hp(M)). (3.50)

Como hemos visto, la dimension del grupo de homologıa da idea del tipo y el numero dehuecos de la variedad, por ello la importancia de esta ultima expresion es que la topologıade la variedad, a traves de su numero de huecos muestra tambien las formas que se en-cuentran en ella. Se deduce directamente el lemma de Poincare ya que dada una variedadde topologıa trivial, por ejemplo R2 como la dimension del grupo de homologıa es cero,la dimension de los grupos de cohomologıa Hp

DR(R2) con p > 0 tambien son cero, no se

encuentran formas que sean cerradas pero no exactas.

4 ELECTROMAGNETISMO CON FORMAS DIFERENCIALES 32

4. Electromagnetismo con formas diferenciales

Gracias a la naturaleza antisimetrica del tensor de Maxwell vamos a poder describir lateorıa de Maxwell a partir de formas diferenciales. Donde los coeficientes de las formasdiferenciales van a darme la misma informacion que daban los escalares, vectores y ten-sores covariantes en el capıtulo 1. Siendo ası, en este apartado se desarrollaran los mismospuntos que en el apartado 1 expresado en terminos de formas diferenciales.

Por ejemplo, el vector potencial Aµ vendra dado por la 1-forma

A(1) = Aµdxµ. (4.1)

El tensor electromagnetico viene codificado en la 2-forma

F(2) =12

Fµνdxµ ∧ dxν. (4.2)

La derivada exterior permite escribir F(2) en funcion de los potenciales como

F(2) ≡ dA(1), (4.3)

vemos facilmente como esta expresion es equivalente a la expresion [1.20] :

F(2) =12

Fµνdxµ ∧ dxν =12(∂µ Aν − ∂ν Aµ)dxµ ∧ dxν = dA(1). (4.4)

La ecuacion de Bianchi se deriva directamente de la nilpotencia de la derivada exterior:

dF(2) = ddA(1) = 0, (4.5)

que escrito en componentes es

dF(2) =12

∂ρFµνdxρ ∧ dxµ ∧ dxν =16(∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ)dxρ ∧ dxµ ∧ dxν = 0. (4.6)

De la misma forma, una transformacion gauge del potencial viene dada por

A(1) 7→ A′(1) = A(1) + dΛ(0). (4.7)

Como ddΛ(0) = 0 la transformacion deja invariante a F(2).

Decimos que el potencial es un gauge puro si lo podemos expresar como

A(1) = dΛ(0). (4.8)

En este caso, de nuevo por la nilpotencia de d, tendrıamos que el campo electromagneticoes nulo:

F(2) = dA(1) = ddΛ(0) = 0. (4.9)

Hasta ahora, lo que hemos visto se puede resumir en que F(2) es exacta, lo que permite

33 4 ELECTROMAGNETISMO CON FORMAS DIFERENCIALES

realizar transformaciones gauge de A(1). Y ademas, que sea exacta implica que es cerrada,lo que nos da la identidad de Bianchi. Por otro lado si el potencial es exacto, es un gaugepuro, tambien sera cerrado, es decir, el campo electromagnetico es cero. Ademas, si elpotencial es co-cerrado, δA(1) = 0, diremos que el potencial satisface el gauge Lorenz:

∇µ Aµ = 0. (4.10)

Se escribe la ecuacion de Maxwell como

δF(2) = −J(1), (4.11)

donde J(1) = jµdxµ, con la ecuacion (3.25) lo expresamos en componentes donde observa-mos su similitud con (1.22):

δF(2) = −(∇µFµρ)gρνdxν = −jνdxν = −J(1). (4.12)

En este caso, la ecuacion de Maxwell esta diciendo que J(1) es co-exacta, y como co-exacta implica co-cerrada, obtenemos directamente la ecuacion de conservacion de la car-ga electrica:

δJ(1) = 0 = ∇µ jµ. (4.13)

4.1. Dualidad Electromagnetica

Anteriormente se mostro como podıamos expresar la teorıa de Maxwell en el vacıo conuna formulacion equivalente en la que la transformacion de intercambiar el campo electri-co y el magnetico dejaba la teorıa invariante. Ahora el estudio de la dualidad electro-magnetica se realiza de forma directa gracias al operador estrella de Hodge.

Se observa que haciendo el dual de F(2) con (3.11) obtenemos la misma expresion para eltensor electromagnetico dual que en (2.16):

?F(2) =

( √|g|

2!(4−2)! Fµνερλαβgµρgνλdxα ∧ dxβ

)= 1

2

(√|g|

2 Fρλερλµν

)dxµ ∧ dxν =

= 12

(Fµν

)dxµ ∧ dxν = F(2).

(4.14)

Como hemos visto con (3.5) la dimension de una p-forma y su dual es el mismo, ofrece lamisma informacion. En este caso, como la variedad, el espacio tiempo es cuatridimensio-nal el dual de una 2-forma es otra 2−forma. Pero si estuviesemos en una espacio-tiempocon otra dimension cualquiera, n, el dual de una p-forma es una una (n− p)-forma.

Por ejemplo, en un supuesto espacio de 3 dimensiones es facil ver que el dual del tensorelectromagnetico va a ser un tensor de rango 3− 2 = 1, ya que vendra dado por una 1-forma. Si estoy en un espacio de 5 dimensiones, el dual sera un tensor de rango 5− 2 = 3.De este modo podemos entender porque solo en un espacio tiempo de 4 dimensiones eldual del tensor electromagnetico es del mismo rango que el original.

Si hacemos la transformacion dual del dual haciendo uso de la expresion (3.12) tenemos


un signo negativo debido a la signatura de la metrica, ? ? F(2) = −F(2).

Simetrıa de las ecuaciones en el vacıo

Vemos que la simetrıa que presentan lo campos electricos y magneticos en el vacıo vienendados como una propiedad del tensor electromagnetico expresado como forma diferen-cial.

En el vacıo como J(1) = 0 las ecuaciones de Maxwell implican que F(2) es armonica porser a la vez cerrada y co-cerrada:

F(2) = dA(1) ⇒ dF(2) = 0 ExactaJ(1) = 0 ⇒ δF(2) = 0 Co− Cerrada

(4.15)

Como sabemos, si una forma es exacta su dual es co-exacto y si es co-cerrada, su dual escerrado, por tanto las ecuaciones de Maxwell se expresan a traves de su dual como:

?F(2) = δ ? A(1) ⇒ δ ? F(2) = 0 Co− Exactod ? F(2) = 0 Cerrado

(4.16)

Las formas diferenciales nos han permitido saber de forma directa, a traves de sus pro-piedades, que dF(2) = 0 y δ ? F(2) = 0 son dos maneras equivalentes de expresar lo mismoal igual que ocurre con δF(2) = 0 y d ? F(2) = 0. Y ademas, se observa a primera vista quelas ecuaciones de Maxwell permanecen invariantes bajo la transformacion F(2) 7→ ?F(2), odicho de otro modo, bajo intercambio de las campos electricos y magneticos.

Ademas es facil comprobar con (3.20) que el Lagrangiano de Maxwell en el vacıo es elsiguiente producto escalar:

L2 = −12(F(2), F(2)) = −

12(?F(2), ?F(2)). (4.17)

Dualidad con fuentes de campo electromagnetico

Como hemos visto anteriormente incluir cargas electricas hace que no se encuentre unaformulacion equivalente de la teorıa electromagnetica con el tensor dual, no hay dualidadelectromagnetica en este caso.

Sin embargo, como las formas diferenciales siguen permitiendo encontrar, a traves deloperador Estrella de Hodge (4.14), una expresion para el dual de la dos-forma F(2) dondequedan intercambiados los campos electrico y magnetico, vemos como las ecuaciones deMaxwell no permanecen invariantes al expresarlas con el dual ?F(2).

Pasamos de tener la dos-forma F(2) cumpliendo la ecuacion de Bianchi (4.5) y la ecuacionde Movimiento (4.11):

F(2) = dA(1) ⇒ dF(2) = 0 , F(2) ExactaδF(2) = −J(1) , J(1) Co− Exacta

(4.18)

A tener ?F(2) cumpliendo:


?F(2) = δ ? A(1) ⇒ δ ? F(2) = 0 , ?F(2) Co− Exactod ? F(2) = − ? J(1) , ?J(1) Exacta

(4.19)

Principalmente se observa como se rompe la simetrıa puesto que no se cumple la ecuacionde Bianchi para ?F(2) . Esto tambien implica que no hay posibilidad de que ?F(2) sea exac-ta, es decir, no encontramos un potencial a(1) que de forma global cumpla ?F(2) = da(1).

Cabe mencionar que en esta formulacion, dada la equivalencia entre δF(2) = −J(1) y d ?

F(2) = ?J(1), se suelen encontrar las ecuaciones de Maxwell escritas como:

dF(2) = 0,d ? F(2) = ?J(1),

(4.20)

cuyo Lagrangiano viene dado por:

L = −12(F(2), F(2))− (A(1), J(1)). (4.21)

4.2. Efecto de Aharonov-Bohm

Antes vimos como el efecto de Aharonov-Bohm puede dar lugar a dudar sobre si lospotenciales tienen efecto fısico o no. Haciendo uso de las formas diferenciales podemosver claramente como este efecto se debe a la topologıa del espacio, manteniendo que lospotenciales pueden sufrir transformaciones gauge.

Se generaliza el termino de interferencia (2.38) a su expresion covariante como [7]:

T.I. = e−i qeh¸

Aµdxµ. (4.22)

Que en lenguaje de formas diferenciales, lo escribimos como

T.I. = e−i qeh´

δM A(1) = e−i qeh´M dA(1) = e−i qe

h´M F(2) , (4.23)

dondeM es la variedad en la que integro, y δM su contorno. El contorno δM viene dadorestando los posibles caminos 1 y 2 que siguen los electrones. Recordamos que el campomagnetico es nulo en todo el espacio excepto en el origen, por donde pasa el solenoide,por ello M es topologicamente no trivial ya que F(2) = 0 esta definida en R3 − {0}, dehecho A(1) diverge en el origen. Si en todoM

F(2) = 0, (4.24)

entonces decimos de A(1) que es cerrada:

F(2) = dA(1) = 0A(1) ∈ Z1

DR(M).(4.25)

SiM fuese topologicamente trivial, por ejemplo un cırculo, por el lema de Poincare tendrıamosque A(1) por ser cerrada tambien serıa exacta, es decir, A(1) = dΛ(0). Por lo que tendrıamosun grupo de cohomologıa vacıo, H1

DR(M) = Z1DR/B1

DR = 0. El caso trivial se da cuandoel flujo magnetico en el solenoide es nulo, en ese caso la fase adquirida es nula ya que


´M dA(1) =

´M ddΛ(0) = 0.

Pero comoM es topologicamente no trivial el grupo de cohomologıa de aquellas formasque son cerradas pero no exactas tampoco es trivial. Podemos escribir la forma cerradaA(1) como suma de una forma exacta y una forma armonica (3.37). Esta ultima la podemostomar como representante de la clase de equivalencia de todas las formas cohomologas aA(1):

A(1) = dΛ(0) + χ(1), [A(1)] = [χ(1)]. (4.26)

Observar que la igualdad (4.26) representa la posibilidad de realizar transformacionesgauge del potencial.

Por otro lado, en relacion conM, tenemos que H1(M) es el grupo de homologıa de aque-llos ciclos unidimensionales, c1 ∈ Z1(M), que no son contornos c1 /∈ B1(M). Es decir,H1(M) da idea del numero de huecos que tiene M a traves del numero de lıneas ce-rradas (ciclos) que dan N vueltas alrededor de cada hueco. O mas precisamente, H1(M)

contiene las clases de equivalencia de estos ciclos [c1] (3.45), y cada clase de equivalenciacorresponderıa con el numero de vueltas que da el ciclo. En este caso se tiene H1(M) = Z

ya queM es no trivial por no estar definido en el origen, y el numero de vueltas que pue-den dar los electrones alrededor del origen es entero. El camino que recorren los electronesalrededor del origen es homotopo a alguno de estos ciclos, por lo que puedo escribir laintegral del termino de interferencia como

T.I. = e−i qeh´

δM A(1) = e−i qeh¸

c1A(1) . (4.27)

Escrito de este modo vemos como la integral del exponente no es otra cosa que el productoescalar de c1 y A(1), que la podemos escribir en terminos de las clases de equivalenciacomo

T.I. = e−i qeh¸[c1 ]

[χ(1)] = e−i qeh π([c1],[χ(1)]). (4.28)

Con esta ultima expresion vemos de forma explıcita como el potencial no se puede me-dir en funcion del patron de interferencias obtenido, puesto que todos los potencialescohomologos darıan el mismo patron. Queda clara la naturaleza no fısica de los poten-ciales, los cuales no podemos medir. Ası, es el campo electromagnetico el responsable deltermino de interferencia.

Ademas el teorema de De Rham (3.50) asegura que el numero de clases de equivalenciasposibles del potencial es infinito numerable, correspondiendose con el numero de clasesde equivalencia de H1(M). Es decir, viene dado por el numero de vueltas que dan loselectrones, siendo este numero de vueltas un invariante topologico. Contrastando con elcaso trivial, en el, independientemente del numero de vueltas que diesen los electronesalrededor del origen, siempre se puede contraer los caminos a un punto por ser el espacioconexo.

4.3. El monopolo de Dirac

Se puede tratar el tema del monopolo de Dirac desde el punto de vista de las formasdiferenciales, facilmente y sin muchas diferencias a como se hizo anteriormente. Se trata


de describir el campo magnetico con la dos-forma

B(2) =12

εijkBkdxj ∧ dxk. (4.29)

Si B(2) es exacta, la podemos escribir en terminos de un potencial A(1):

B(2) = dA(1). (4.30)

Pero cuando anadimos el monopolo, estamos diciendo que B(2) no es cerrada,

dB(2) = ∗ρm(1), (4.31)

por tanto no es exacta, y no se puede describir globalmente con un potencial. Pero de lamisma forma que antes, podemos encontrar potenciales tales que B(2) = dAi

(1) en todauna region excepto en la cuerda de Dirac, donde el potencial diverge. Para calcular elflujo del campo magnetico a traves de una esfera (S2) en cuyo origen se encuentra lasupuesta carga magnetica, dividimos la esfera en la semiesfera norte y la semiesfera sur,respectivamente usamos los potenciales AN

(1) (cuerda de Dirac en θ = π) y AS(1)(cuerda de

Dirac en θ = 0). Estos dos potenciales estan relacionados mediante una transformaciongauge, es decir su diferencia es una forma exacta,

AN(1) − AS

(1) = dχ(0), (4.32)

con χ(0)siendo por analogıa con (2.28):

χ(0)(ϕ) =qm

2πϕ. (4.33)

Esto es valido en todo el espacio excepto en el eje z. El flujo magnetico se puede calcularcomo

Φm =

"S2 B(2) =

¨N

dAN(1) +

¨S

dAS(1). (4.34)

Haciendo uso del teorema de Stokes (3.13) con p = 1 tenemos que integramos dando unavuelta alrededor del ecuador de la esfera (ec) :

Φm =

ˆec

AN(1) − AS

(1) =

ˆec

dχ(0)(ϕ). (4.35)

En un espacio trivial, el ciclo descrito alrededor del ecuador es homotopo a un punto, ypor tanto esta ultima integral se anularıa. Sin embargo la singularidad en el eje z haceque el espacio no sea topologicamente trivial. El ciclo descrito alrededor de la carga no sepuede describir como un contorno. Volvemos a aplicar el teorema de Stokes para p = 0:

Φm = χ(0)(2π)− χ(0)(0) = qm. (4.36)

Como resultado tenemos que es la singularidad topologica la que permite tener una cargamagnetica no nula.

5 OTRAS APLICACIONES 38

5. Otras aplicaciones

Hasta ahora hemos visto como podemos realizar una descripcion del electromagnetismoexpresandolo en notacion de formas diferenciales, esto ha sido muy util para entender ladualidad electromagnetica y tambien hemos podido reproducir los calculos para el estu-dio de un posible monopolo y el efecto de Aharonov-Bohm. Estos objetos matematicostambien aparecen en otros ambitos de la fısica como puede ser en relatividad general. Esmas, con un proceso similar al seguido para dualizar el tensor electromagnetico se puedeproceder a dualizar el tensor de curvatura o tensor de Riemann. En este apartado a modode ampliacion veremos en que consiste este proceso de dualizacion del tensor de Riemanny lo escribiremos en notacion de formas diferenciales.

5.1. El tensor de curvatura

Dada una variedadM la derivada covariante a lo largo de la direccion xµ para un tensorarbitrario de rango (1, 1) viene dada por

∇µVλρ = ∂µVν

ρ + ΓνµλVλ

ρ − ΓλµρVν

λ , (5.1)

donde Γρµν , conexion afın que se caracteriza por ser no tensorial y da idea de que definimos

como ’ser paralelo’ en nuestra variedad. La conexion Γρµν junto con la metrica gµν definen

la variedadM sin tener en principio que estar relacionadas.

Realizar el conmutador de las derivadas covariantes es como comparar los vectores trans-portados paralelos a lo largo de un paralelogramo diferencial. El vector coincidirıa consigo mismo en un espacio plano, pero en una variedad el conmutador da informacionsobre la curvatura de la misma:

[∇µ, ∇ν]Vρσ = R ρ

µνλVλρ − R λ

µνσVρσ − Tλ

µν∇λVρσ , (5.2)

con

Tρµν = Γρ

µν − Γρνµ,

R λµνρ = ∂µΓλ

νρ − ∂νΓλµρ + Γλ

µσΓσνρ − Γλ

νσΓσµρ,

(5.3)

que son el tensor de torsion y el tensor de Riemann respectivamente. Este ultimo ofrece unamedida de la curvatura del espacio. Sus contracciones, el tensor de Ricci Rµρ = R ν

µνρ yel escalar de Ricci R = gµνRµν juegan un papel importante en relatividad general puesaparecen en la ecuacion de Einstein junto con Tµν el tensor energıa-momento:

Rµν −12

R = −κTµν. (5.4)

Por como esta definido, el tensor de curvatura es antisimetrico en sus dos primeros ındi-ces. Recordamos que el objetivo es construir una forma diferencial que represente el tensorde Riemann, pero como hemos visto, las formas diferenciales estan relacionadas con ten-sores totalmente antisimetricos y R λ

µνρ solo es antisimetrico bajo intercambio de los dosprimeros ındices. Podemos encontrar otras simetrıas si se elige la conexion de Levi-Civita(1.11). En ese caso el tensor de torision y curvatura cumplen:

39 5 OTRAS APLICACIONES

Rµνρλ = −Rµνλρ, Rµνρλ = Rρλµν,Tρ

µν = Γρµν − Γρ

νµ = 0.(5.5)

donde el ultimo ındice se ha bajado con la metrica. Aun ası el tensor sigue sin ser total-mente antisimetrico.

5.2. Tensor de curvatura desde el espacio tangente

Para construir formas diferenciales del tensor de curvatura de una manera mas coherentese hace uso de una descripcion alternativa de la variedad, propuesta por los matematicositalianos Gregorio Ricci-Cubastro (1853-1925) y Tullio Levi-Civita (1873-1941), donde laspropiedades geometricas de la variedad estan codificadas en las coordenadas de los espa-cios tangentes en cada punto, especialmente en como van variando dichas coordenadasde punto en punto. Este formalismo consiste en considerar dos tipos de bases diferentesen el espacio tangente en un punto TpM:

{|eµ〉} = ∂µ Base de coordenadas definida por las coordenadas generalizadas xµ.{|ea〉} Una base ortonormal arbitraria de TpM.

(5.6)

Los coeficientes que relacionan las bases son los vielbeins eaµ y vielbeins inversos eµ

a llamadoası por ser uno el inverso del otro. Tambien permiten transformar las componentes detensores de una base a otra y relacionar la metrica general gµν con la metrica del planotangente, que tomamos por simplicidad como la metrica de minkowski ηab:

|eµ〉 = eaµ|ea〉, |ea〉 = eµ

a |eµ〉,ea

µeνa = δν

µ, eaµeµ

b = δab ,

Va = eaµVµ, Vµ = eµ

a Va,gµν = ea

µebνηab, ηab = eµ

a eνb gµν.

(5.7)

La clave de este formalismo se encuentra en que la base ortonormal {|ea〉} es arbitra-ria. Por un lado esta libertad indica que para diferentes puntos de la variedad podemoscontar con vielbeins diferentes, es decir, ea

µ = eaµ(p). Por otro lado podemos pensar en

cualquier otra base arbitraria {|e′a〉} y esta tambien sera una base valida. Dadas dos basesortonormales arbitrarias se pueden relacionar mediante una transformacion de Lorentz(los vielbeins quedan relacionados por (5.8)) y, por supuesto, la transformacion Lorentztambien tiene un caracter local para cada punto de la variedad Λa

b = Λab(p)5. Es esta de-

pendencia de punto en punto la que guarda informacion de las propiedades geometricasde la variedad en los vielbeins

e′µa = Λabeb

µ e′bµ = (Λ−1)a

beµa . (5.8)

De forma analoga a lo que hacıamos en el apartado anterior se construye una derivadaa lo largo de la direccion xµ pero esta vez queremos que sea covariante respecto de las

5Decimos que las transformaciones de Lorentz son locales puesto que varıan para cada punto de la varie-dad, pero a su vez, para cada plano tangente esta transformacion es global, tenemos la misma transformacionpara todos los puntos del plano.


trasnformaciones de Lorentz en los espacios tangentes. Para un tensor de rango (1,1) laderivada covariante tiene la forma

DµVba ≡ ∂µVb

a − wcµaVb

c + wbµcV

ca , (5.9)

con wbµa siendo la conexion de espın de caracter no tensorial.

Calculando los conmutadores de las derivadas obtenemos para un tensor de rango (1, 1):

[Dµ, Dν]Vba = R b

µνcVca −R c

µνaVbc ,

R bµνa = ∂µwb

νa − ∂νwbµa − wc

µawbνc + wc

νawbµc.

(5.10)

En este caso el conmutador carece de terminos de torsion y solo contamos con los tensoresde curvatura R b

µνa. Que, de hecho, son tensores por partida doble, podemos decir que setrata de un tensor de rango (0, 2) bajo cambios generales de coordenadas y de un tensorde rango (1, 1) bajo transformaciones locales de Lorentz:

R bµνa =

∂yα

∂xµ∂yβ

∂xν R bαβa, R b

µνa = (Λ−1)cbΛb

dR dµνc. (5.11)

Ademas por su definicionR bµνa es antisimetrico en µ, ν. Si nos fijamos hemos encontrado

en este tensor de curvatura un candidato idoneo para usar la notacion de las formas dife-renciales, ya que es totalmente antisimetrico en todos sus ındices griegos. En la siguientetabla se determina como se hace uso de esta notacion:

ea(1) ≡ ea

µdxµ ea ≡ eµa ∂µ Vielbeins

wba(1) ≡ wb

µadxµ Conexion AfınDV(p) =

1p! DµVν1, ν2...,νp dxµ ∧ dxν1 ∧ ...∧ dxνp Derivada Covariante de una p-forma

DV ba(p) = dV b

a(p) + wbc(1) ∧Vc

a − (−1)pVbc(p) ∧ wc

a en concreto para V ba(p)

R ba (2) ≡

12R b

µνadxµ ∧ dxν = dwba + wc

a ∧ wbc

Tensor de Curvatura de laderivada covariante Dµ

R ba(2) =

12 R b

cda ec(1) ∧ ed

(1)Tensor de Curvatura de laderivada covariante ∇µ

Ta(2) =

12 Ta

µνdxµ ∧ dxν Tensor Torsion de laderivada covariante ∇µ

En algunos casos se ha forzado el uso de coordenadas del plano tangente haciendo usode los vielbeins, como en Ta

µν = eaλTλ

µν.

Postulados del Vielbein

En este apartado veremos la relacion entre los tensores de curvatura R λµνρ y R b

µνa, y vere-mos que trabajar desde el plano tangente es equivalente a hacerlo a traves de las coorde-nadas generalizadas.

Si antes la descripcion de la variedad venıa dada por la metrica gµν y la conexion afın Γρµν

ahora viene dada por los vielbeins eaµ y la conexion de espın wb

µa. En principio se relacionanla metrica y los vielbeins a traves de (5.7) pero las conexiones son independientes entreellas e independientes de gµν y ea

µ. Para relacionar las dos descripciones hay que introducirlos postulados del Vielbeins.


Antes es necesario definir una nueva derivada que respete la covariancia tanto en el planotangente como en los cambios generales de coordenadas. Llamada derivada totalmente co-variante vemos como se construye para un vector del tipo Va

ν :

DµVaν = ∂µVa

ν − ΓρµνVa

ρ + waµcV

cν . (5.12)

El primer postulado del Vielbein impone la siguiente condicion

Dµeaν = 0. (5.13)

Este primer postulado tiene como consecuencia que:

Se relacionan las conexiones afın y de espın como

wbµa = Γρ

µνeνaeb

ρ − eνa∂µeb

ν. (5.14)

Se relacionan los tensores de curvatura R λµνρyR b

µνa a traves de los vielbeins

R λµνρ = R b

µνaeaρeλ

b . (5.15)

el nuevo tensor de curvatura R de la derivada D es equivalente al tensor de cur-vatura R de la derivada ∇, observar que el cambio a ındices planos se realiza conlos vielbeins como para cualquier otro tensor6. Esto esta informando que las propie-dades geometricas de la variedad que dadas por R λ

µνρ son las mismas que las quetenemos enR b

µνa.

Ademas la torsion se expresa en terminos de la derivada Dµ:

Tρµνea

ρ = Dµeaν − Dνea

µ. (5.16)

Estas dos ultimas expresiones escritas en notacion de formas diferenciales son lasllamadas ecuaciones de estructura de Cartan:

R ba (2) = dwb

a + wca ∧ wb

c ,Ta = dea

(1) + wab(1) ∧ eb

(1) = Dea(1).

(5.17)

El segundo postulado del Vielbein es la condicion de compatibilidad de la conexion afın conla metrica:

∇µgµν = 0⇐⇒ ∇µ(eaνeb

ρηab) = 0. (5.18)

Los postulados del Vielbein implican ademas la compatibilidad de la conexion de espıncon ηab:

Dµηab = 0. (5.19)

Esta compatibilidad hace que R abµν y wµab sean antisimetricos en sus ındices planos.

6Aunque en expresiones siguientes se sigan usando las dos notaciones R yR sera solo para resaltar algunaspecto, puesto que en realidad podemos usar los sımbolos indistintamente.


Usualmente se impone una condicion mas, se trata de que la conexion afın sea la de LeviCivita, quedando ası completamente determinada por la metrica y hace que el tensortorsion se anule.

Simetrıas y contracciones del tensor de curvatura

Finalmente lo que sacamos de los postulados del Vielbein es que el tensor R bµνa no es

mas que el tensor R λµνρ cuando cambiamos a la base del plano tangente con los vielbeins.

A partir de ahora al igual que podemos subir y bajar ındices con gµν y ηab para ındicesplanos podemos cambiar de ındices griegos a planos con los vielbeins. Ademas, hemospodido ver como las simetrıas de uno y otro son las mismas por tanto para torsion nulase tiene:

Rµνab = −Rµνba, Rµνab = −Rνµab,Rµνρλ = Rρλµν, Rabcd = Rcdab.

(5.20)

Tomando la derivada exterior de las ecuaciones de estructura (5.17) y teniendo en cuentala definicion de la derivada covariante D es facil obtener las ecuaciones de Bianchi:

DR ba(2) = 0 ⇔ DµR b

νρa + DνR bρµa + DρR b

µνa = 0,R b

a(2) ∧ ea = 0 ⇔ R bµνρ +R b

νρµ +R bρµν = 0.

(5.21)

Donde se ha utilizado queR bµνρ = R b

µνaeaρ.

Se puede obtener el tensor de RicciRµa contrayendo con el vielbein o a partir de Rµν con

Rµa = eνbR b

µνa = eνa Rµν, (5.22)

que tambien podemos expresar como la uno-forma

Ra(1) = Rµadxµ. (5.23)

Del mismo modo, se puede jugar a contraer de distintas formas para obtener el escalar deRicci:

R = ηabeµbRµa = R = gµνRµν. (5.24)

5.3. Dualidad del tensor de curvatura

El dual del tensor de curvatura viene dado por

?R ba(2) =

12 R b

µνadxµ ∧ dxν,

R bµνa =

√|g|

2 εαβµνRαβ ba .

(5.25)

Teniendo en cuenta la antisimetrıa en los ındices planos podemos dualizar tambien sobreellos como

Rab(2) =12

εabcdRmn(2)ηcmηdn, (5.26)


tensorialmente se expresa como:

Rµνab =12

εabcdR cdµν . (5.27)

Podemos expresar la ecuacion de Einstein para un tensor energıa-momento nulo(

Rµν = 0)

con el dual de la curvatura como

R ba(2) ∧ ea = 0. (5.28)

Por ello y teniendo en cuenta la condicion cıclica (5.21) si la curvatura es (anti)-auto-dual,

Rab(2) = ±Rab(2), (5.29)

esta sera solucion de la ecuacion de Einstein en el vacıo.

Un ejemplo de ello es la metrica auto-dual de Taub-NUT que tiene la forma

ds2 =14

r + mr−m

dr2 + 4m2 r−mr + m

σ2z + (r + m)(r−m)(σ2

x + σ2y ), (5.30)

donde m es una constante cualquiera y

σx = 12 (−cos(ψ)dθ − sen(θ)sen(ψ)dφ)),

σy = 12 (sen(ψ)dθ − sen(θ)cos(ψ)dφ),

σz =12 (−dψ− cos(θ)dφ),

dσx = 2σy ∧ σz,

(5.31)

con: θ ∈ [0, π), φ ∈ [0, 2π] y ψ ∈ (0, 4π) .

6 CONCLUSIONES 44

6. Conclusiones

Hemos podido escribir la teorıa de Maxwell en terminos de unos objetos matematicos lla-mados formas diferenciales definidos en (3.4), las cuales se pueden asociar con tensorescovariantes antisimetricos de distintos rangos. El operador derivada exterior (3.9) ha per-mitido clasificar dichas formas diferenciales en cerradas o no cerradas (3.29) y exactas ono exactas (3.30). Perteneciendo al grupo de cohomologıa de De Rham aquellas que soncerradas pero no exactas (3.35). Este grupo cobra especial importancia puesto que esta re-lacionado con la topologıa de la variedad en la que definimos las formas, mas concreta-mente hemos visto como el numero de ”huecos” de una variedad determina la dimensionde los grupos de cohomologıa de de Rham a traves de la expresion (3.50). Por ello usarla notacion de formas diferenciales para describir la teorıa de Maxwell ha permitido te-ner una interpretacion de la misma desde un punto de vista mas topologico. En algunoscasos, el uso de dicha notacion es muy intuitiva y facilita en gran medida los calculos arealizar.

Este es el caso de la dualidad electromagnetica, que hace referencia a la simetrıaentre los campos electrico y magnetico que tenemos en ausencia de cargas. Ha-ciendo uso del metodo de los multiplicadores de Lagrange y tras varios calculosse mostro que una formulacion de la teorıa de Maxwell donde los campos electricosy magneticos son intercambiados en el tensor Fµν (2.17), es equivalente a la usadausualmente. Sin embargo, usando la notacion de las formas diferenciales, encontrarla relacion entre las dos formulaciones se simplifica al uso del operador Estrella deHodge (3.11) y la equivalencia entre ellas en ausencia de cargas se deducen directa-mente de las propiedades que de dicho operador (ver apartado 3.6 ) como podemosver en (4.15) y (4.16).

Del mismo modo, al incluir fuentes de campo electrico hemos visto en (4.19) que lados-forma ?F(2) no obedece las leyes de Maxwell, es decir, los campos electricos ymagneticos no son intercambiables, se rompe la simetrıa.

Como curiosidad veıamos en el apartado 2.2 que dado el tensor electromagnetico, eltensor dual solamente es del mismo rango que el anterior si formulamos la teorıa deMaxwell en un espacio de tres dimensiones espaciales y una dimension temporal.Con la formulacion de las formas diferenciales este hecho se deriva directamente delas propiedades del operador ?, visto en el apartado 4.1 .

Tras esto se ha estudiado el llamado efecto de Aharonov-Bhom. Se trata de simularun campo magnetico que es cero en todo el espacio salvo en el eje z, para lo quesuponemos que tenemos un solenoide suficientemente fino en dicho eje. Perpendi-cularmente al solenoide se lanzan electrones que van a finalizar su trayectoria enuna pantalla. Aunque clasicamente los electrones no se desvıan de su trayectoria,cuanticamente hay que tener en cuenta el fenomeno de interferencia en la funcionde onda del electron, esto hace que obtengamos un patron de interferencias en lapantalla. Debido a la fase de la funcion de ondas aparece un termino de interferen-cia (4.23), expresar este termino con formas diferenciales hemos deducido que lafısica que domina este fenomeno no esta codificada en el potencial electromagneti-co como puede parecer en un principio. El parametro fısico sigue siendo el campoelectromagnetico y el efecto se explica por la topologıa no trivial del espacio en el

45 6 CONCLUSIONES

cual tenemos campo magnetico nulo. Es mas, tratar el tema desde una perspectivamas geometrica hace que gracias al teorema de De Rham relacionemos el numerode vueltas que puede dar un electron alrededor del solenoide (infinito numerable)con la libertad gauge del potencial que viene dada en (4.26).

Finalmente, se estudia la posibilidad de incluir fuentes de campo magnetico en lateorıa (4.31) . Desde el punto de vista topologico incluir una carga magnetica impli-ca que el espacio donde puedo describir el campo magnetico a partir del potenciales no trivial. Ademas, la singularidad del potencial, llamada cuerda de Dirac, puedemoverse haciendo usos de transformaciones gauge del potencial. El flujo magneticoque atraviesa una superficie cerrada es nulo en el caso sin monopolos, si incluimosun monopolo lo que permite que no se anule es justamente la topologıa del espaciocomo hemos comprobado en (4.34), (4.35) y (4.36). A nivel cuantico incluir monopo-los tiene ademas la consecuencia de que las cargas electricas quedan cuantizadas,siendo la carga mınima la del electron. Lo cual resulta bastante interesante ya queno se han explorado modelos fısicos que expliquen la posible cuantizacion de cargasin hacer uso de los monopolos magneticos.

La notacion de formas diferenciales tambien se utiliza en otras areas de la fısica.Hemos visto parcialmente como se aplica a la relatividad general a traves de la dua-lizacion del tensor de curvatura. Tambien se dejan ver algunas propiedades intere-santes como puede ser el hecho de que cuando en una metrica el tensor de curvaturacoincide con su dual se tiene que la ecuacion de Einstein en el vacıo se cumple.

7 APENDICE : SIMBOLO DE LEVI-CIVITA 46

7. Apendice : Sımbolo de Levi-Civita

Durante el trabajo se ha hecho uso del sımbolo de Levi Civita, en este apendice se expresalos convenios usados y algunas expresiones utiles a la hora de realizar los calculos.

El sımbolo de Levi Civita en cuatro dimensiones se expresa como

εµνρλ =

1

−1

0

Si es una permutacion par de (µνρλ)

Si es una permutacion impar de (µνρλ)

En otro caso

, (7.1)

con los ındices µνρλ corriendo de 0 a 3 se tiene que: ε0123 = 1.

La generalizacion a N dimensiones es

εµ1...µN =

1

−1

0

Si es una permutacion par de (µ1µ2...µN)

Si es una permutacion impar de (µ1µ2...µN)

En otro caso

. (7.2)

Por su definicion se puede ver como el sımbolo de Levi-Civita es antisimetrico en todossus ındices. Hay que tener en cuenta que εµ1...µN es una densidad pseudo-tensorial depeso 1. Es un pseudo tensor porque transforma con el signo del determinate de la trans-formacion y es una densidad tensorial puesto que transforma con el valor absoluto deldeterminante de la transformacion a la primera potencia. Es decir, sea la transformacionMµ

ν , ε transforma como:

ε′µ1...µN = sgn(detM−1)|detM−1|Mµ1

ν1 ...MµNνN εν1...νN . (7.3)

Como no es un tensor no podemos subir y bajar ındices con la metrica de la forma usual,habra que realizar algunos cambios.

Teniendo en cuenta la definicion del sımbolo de Levi-Civita y el convenio de sumacion deEinstein se puede definir de forma general el determinante de una matriz de dimensionNxN como

det(Aij) =1

N!εα1...αN εβ1...βN Aα1β1 · · · AαN βN . (7.4)

Por tanto el determinante de la metrica se puede expresar como

g = det(gij) =1

N!εα1...αN εβ1...βN gα1β1 · · · gαN βN , (7.5)

escogiendo la definicion del sımbolo de Levi-Civita covariante como

εµ1...µN =

1

−1

0

Si es una permutacion par de (µ1µ2...µN)

Si es una permutacion impar de (µ1µ2...µN)

En otro caso

, (7.6)

47 7 APENDICE : SIMBOLO DE LEVI-CIVITA

donde se tiene ε0123...N = ε0123...N = 1. Se puede calcular que para N dimensiones:

εα1...αN εα1...αN = N!. (7.7)

Despejando N! de la ecuacion (7.5) e igualando con la expresion (7.7) se tiene que

εα1...αN εα1...αN g = εα1...αN εβ1...βN gα1β1 · · · gαN βN , (7.8)

de esta forma se obtiene la regla para subir y bajar ındices en el sımbolo de Levi-Civita

εα1...αN

√| g | = sgn(g)

εβ1...βN√| g |

gα1β1 · · · gαN βN , (7.9)

donde sgn(g) es el signo del determinante de la metrica y | g |es el modulo del deter-minante. Para cuatro dimensiones haciendo uso de la metrica de Minkowski se puedeescribir

εµνρλ = −εαβγσηµαηνβηργηλσ. (7.10)

Observar que Eα1...αN y Eα1...αN definidos como

Eα1...αN = εα1...αN

√| g |

Eα1...αN = sgn(g) εβ1...βN√|g|

,, (7.11)

nos permiten trabajar el sımbolo de Levi-Civita como tensores.

Una de las ventajas de escoger ε0123...N = 1 es que se puede hacer uso de las propiedadesdel sımbolo de Levi-Civita ya conocidas para el espacio euclıdeo. Alguna de las propieda-des usadas en este documento que se pueden calcular facilmente a partir de la definicionson:

εα1...αkαk+1...αN εα1...αk βk+1...βN = K!δαk+1...αNβk+1...βN

, (7.12)

εµνρλεµναβTαβ = 2(Tρλ − Tλρ), (7.13)

donde δα1...αNβ1...βN

es la delta de Kronecker generalizada que se define como

δα1...αNβ1...βN

=

1

−1

0

Si (α1...αN) es una permutacion par de (β1...βN)

Si (α1...αN)es una permutacion impar de (β1...βN)

En otro caso

(7.14)

REFERENCIAS 48

Referencias

[1] Acharya B.; Alexandre J.; Baines S. et al.Search for magnetic monopoles with the MoEDAL forwrd trapping detector in 13 TeVproton-proton collisions at the LHC,Physical Review Letters, 2017, vol. 118, no 6, p. 061801.

[2] Aharonov, Y. and Bohm, D.Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory,Physical Review, 1959, vol. 115, no 3, p. 485.

[3] Aharonov, Y. and Bohm, D.Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory,Physical Review, 1961, vol. 123, no 4, p. 1511.

[4] Albert A.; Andre M.; Anghinolfi M. et al.for relativistic magnetic monopoles with five years of the ANTARES detector data ,arXiv preprint arXiv:1703.00424, 2017.

[5] Bert JanssenTeorıa de la relatividad General,http://www.ugr.es/∼bjanssen/text/BertJanssenRelatividadGeneral.pdf

[6] Blas CabreraFirst results from a superconductive detector for moving magnetic monopoles. ,Physical Review Letters, 1982, vol. 48, no 20, p. 1378.

[7] Douglas, S. and Elias, V.C.The covariant, time-dependent AharonovBohm Effect,Physics Letters B, 2013, vol. 723, no 1, p. 241-244.

[8] Figueroa-O’Farrill, J. M.Electromagnetic Duality for Children,University of Edinburgh, 1998.,http://www.maths.ed.ac.uk/∼jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

[9] John David J. and Lev O. B.Historical roots of gauge invariance,Reviews of Modern Physics, 2001, vol. 73, no 3, p. 663

[10] Matthew B. R.; Tibra Ali and Gerald B. C.A Simple Introduction to Particle Physic Part II - Geometric Foundations and Relativity,Department of Physics, Baylor University, 2009.

[11] Thron J. L.; Allison W. W.; Alner G. J.; et al..Search for the magnetic monopole with the Soudan 2 detector,Physical Review D, 1992, vol. 46, no 11, p. 4846.

[12] Tohru E.; Peter B. G. and Andrew J. H.Gravitation, Gauge theories and Diferential Geometry,Physics reports, 1980, vol. 66, no 6, p. 213-393.

http://www.ugr.es/~bjanssen/text/BertJanssenRelatividadGeneral.pdf

http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf

49 REFERENCIAS

[13] Tomas OrtınGravity and Strings,Cambridge University Press, 2004.

dualidad electromagnetica´bjanssen/text/belencoronado-tfm.pdf · a que llamamos campo magn´...

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