dualidad en programación lineal

Dualidad en Programación Lineal


Asociado a cada problema de programación matemática (lineal o no lineal), existe otro problema denominado problema dual, que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema original.

Definición:Dado un problema que llamaremos primal:

Llamaremos problema dual asociado:

b)x(g.A.S)x(FMaximizar


Se verifican, entre otras, las siguientes propiedades entre ellos:

Dx0

0),x(xL.A.S

b)x(g)x(F),x(LMinimizar t


En el caso lineal:

El problema dual resulta:

Y en general, se pueden demostrar las siguientes relaciones:

bAx.A.SxcMaximizar t

0cA.A.S

bMinimizart

t


donde en el lado de la izquierda aparecen el signo de la restricciones primales y la no negatividad de las variables (leyendo por columnas) y en el lado de la derecha aparecen la no negatividad de las variables duales y el signo de sus restricciones.


EjemploDado el siguiente problema:

Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z ≤ 2

x + 2y + 3z = 10 y ≥ 0

Su problema dual resulta:Minimizar 2λ1 +10λ2

Sujeta a: 3λ1 + λ2 = 3 4λ1 + 2λ2 ≥ 6 λ1 + 3λ2 = 2 λ1 ≥ 0




x + 2y + 3z = 10 y ≥ 0


Sujeta a: 3λ1 + λ2 = 3 4λ1 + 2λ2 ≥ 6 λ1 + 3λ2 = 2 λ1 ≥ 0 λ2 cualquiera




x + 2y + 3z = 10 y ≥ 0


Sujeta a: 3λ1 + λ2 = 3 4λ1 + 2λ2 ≥ 6 λ1 + 3λ2 = 2 λ1 ≥ 0




x + 2y + 3z = 10 y ≥ 0 (x,z cualquiera)


Sujeta a: 3λ1 + λ2 = 3 4λ1 + 2λ2 ≥ 6 λ1 + 3λ2 = 2 λ1 ≥ 0


Ejercicio:Obtener el dual del:

Maximizar 3 x + 2 y Sujeta a: x – 4 y = 4

3 x – 2 y ≤ 1 5 x - 8 y ≤ -7 x ≥ 0 (y cualquiera)Solución:

Minimizar 4 λ1 + 1 λ2 – 7 λ3

Sujeta a: λ1 +3 λ2 + 5 λ3 ≥ 3 - 4 λ1 - 2 λ2 - 8 λ3 = 2

λ2, λ3 ≥ 0 (λ1 cualquiera)


Propiedades de la dualidad:Sean ambos problemas:

Se verifican las siguientes propiedades:

1) F(x) ≤ H(λ)

2) Si el interior de X es no vacío y x* es solución del primal, entonces existe λ*, solución del dual con: F(x*) = H(λ*)


3) Si uno de los problemas tiene solución ilimitada, el otro posee un conjunto de oportunidades vacío (carece de puntos admisibles).

4) El problema primal tiene solución finita si y solo si los conjuntos de oportunidades de ambos problemas son no vacíos.

5) Teorema fundamental de dualidad.Sea el problema primal en forma estándar y sea x* su solución. Si el interior de X es no vacío y λ* es la solución del dual, entonces:

1tB

t Bc


EjemploTABLA 1 C1=5 C2=4 C3=0 C4=0

Base Cb P1 P2 P3 P4 Sol.

P3 0 3 3 1 0 10

P4 0 12 6 0 1 24

-5 -4 0 0 Z0=0TABLA 3 C1=5 C2=4 C3=0 C4=0


P1 5 1 0 -1/3 1/6 2/3

P2 4 0 1 2/3 -1/6 8/3

0 0 1 1/6 Z0=14

Luego el teorema fundamental nos dice que la solución del problema dual del dado será el producto:


TABLA 3 C1=5 C2=4 C3=0 C4=0


P1 5 1 0 -1/3 1/6 2/3

P2 4 0 1 2/3 -1/6 8/3

0 0 1 1/6 Z0=14

t t 1B

1/ 3 1/ 6c B 5 4 1 1/ 62/ 3 1/ 6

* *1 21, 1/ 6


que no es más que los Zj asociados a la base canónica inicial:

* *1 3 2 4Z 1, Z 1/ 6

TABLA 3 C1=5 C2=4 C3=0 C4=0


P1 5 1 0 -1/3 1/6 2/3

P2 4 0 1 2/3 -1/6 8/3

0 0 1 1/6 Z0=14

(Nótese que ni hemos obtenido el dual del dado)


Ejemplo

Primal: Dual: Maximizar 4x1+3x2-3x4 Minimizar 12λ1+10λ2+8λ3Sujeta a: 3x1+4x2+x3 =12 Sujeta a: 3λ1+3λ2+4 λ3≥ 4 3x1+3x2 +x4 =10 4λ1+3λ2+2λ3 ≥ 3 4x1+2x2 +x5=8 λ1 ≥0 x1,x2,x3,x4,x5≥0 λ2 ≥-3 λ3≥0

Solución del primal: (x1,x2,x3,x4,x5) = (4/5 , 12/5 , 0 , 2/5 , 0) con:

Z1-C1=0 , Z2-C2=0 , Z3-C3=11/5 , Z4-C4=0 , Z5-C5=8/5


Base canónica inicial: {P3 , P4 , P5}

Luego la solución del problema dual es {Z3 , Z4 , Z5}:

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