Modulo

Olimpiadas Regionales de

MatematicasEscuela de Matematicas

Universidad Industrial de Santander

C A R P

A A AıM

2009-2010

Universidad

Industrial de

Santander

2

Presentacion

Desde sus inicios, la Escuela de Matematicas de la Universidad Industrial de

Santander ha liderado en forma positiva la actividad matem´atica del Nororiente del

Paıs, no solo por la calidad reconocida a nivel nacional e internacional de los egre-

sados de su programa academico de pregrado sino tambien por su participacion en

la formacion basica de los estudiantes de la Universidad.Como parte de su res-

ponsabilidad academica y su proyeccion social frente a las diversas dificultades en

los procesos de ensenanza-aprendizaje y desarrollo de lashabilidades matematicas

en la region, la Escuela de Matematica ha definido un proyecto macro de fortaleci-

miento de las habilidades matematicas de la comunidad estudiantil de la region,

utilizando para este fin, diferentes actividades academicas entre las que se encuen-

tran el proyecto de semilleros, la creacion de diplomados yespecializaciones para

actualizacion y/o formacion docente, y ahora el proyecto de Olimpiadas Regionales

de Matematicas de la Universidad Industrial de Santander que pretende contribuir

al mejoramiento de la calidad de la educacion secundaria enla region de incidencia

de la UIS, a traves del desarrollo de las habilidades matem´aticas de los estudiantes

y la capacitacion docente. Para lo cual se hace necesario crear un espacio per-

manente con actividades programadas a lo largo del ano que puedan estimular el

estudio de las matematicas, ayudando a la formacion de un pensamiento crıtico

y de un espıritu cientıfico en los jovenes, ası como al desarrollo de habilidades y

destrezas que les permitiran un mejor desempeno en los ambitos social, academico

y laboral.

En la actualidad, los nuevos planteamientos de la filosofıade las matematicas,

el desarrollo de la educacion matematica y los estudios sobre sociologıa del conoci-

miento, entre otros factores, han originado cambios complejos en las concepciones

acerca de las matematicas escolares, basadas en considerar que el conocimiento

matematico constituye una herramienta potente, para el desarrollo de habilidades

de pensamiento.

Las Olimpiadas en Matematicas hoy dıa, son conocidas a nivel nacional e in-

ternacional por la influencia en la transformacion del pensamiento matematico, el

crecimiento en las expectativas y el interes en aprender matematicas por parte de

los estudiantes.

Generalmente las situaciones problematicas de las pruebas exponen al estudi-

ante, a temas que no se estudian en la escuela, y estos incluyen matematica que

puede ser motivadora y sorprendente. Ası las competenciasno solamente prueban

de manera directa el conocimiento o las destrezas matematicas sino tambien la

habilidad que tiene el estudiante de manejar situaciones m´as alla de experiencias

reales.

Este modulo sera pieza clave en la capacitacion y/o actualizacion docente, dado

que presenta algunos temas del currıculo matematico con la rigurosidad matematica

que se desea alcancen los estudiantes de educacion media; el modulo contiene topi-

cos de geometrıa, teorıa de numeros, teorıa de conteo y problemas tipo olimpiadas,

estas tematicas fueron escogidas debido a falencias encontradas en las respuestas

presentadas por los estudiantes en la primera version de las olimpiadas.

Indice general

Presentacion

1. Nociones Basicas de Teorıa de Numeros 1

1.1. Numeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. El Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4. Mınimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5. La Ecuacion Diofanticaax+ by= c . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Numeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Nociones Basicas de Combinatoria 17

2.1. Principios elementales de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.1. Regla de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2. Regla del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Permutaciones y Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Conceptos Fundamentales en Geometrıa 29

3.1. Paralelismo, angulos rectos y perpendicularidad . . .. . . . . . . 29

3.1.1. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1. Algunas aplicaciones de triangulos congruentes . .. . . . 37

3.3. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5. Areas de regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1. Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6. El cırculo y la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.6.1. Area de un cırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6.2. La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7. Desigualdades entre medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Capıtulo 1

Nociones Basicas de Teorıa de

Numeros

Los problemas propuestos en las Olimpiadas Matematicas plantean cuestiones

que normalmente no se ven en los temarios escolares. El siguiente capıtulo consta

de algunos de los temas mas frecuentes en Teorıa de Numeros, area en la cual se

pueden plantear diversos problemas tipo olimpıada.

1.1. Numeros Enteros

En esta seccion se establece algunas de las propiedades fundamentales, refer-

entes a la suma y la multiplicacion, para el conjunto de enteros{· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · },el cual se simboliza porZ. Como es usual se denota la suma y el producto dea y b

cona+ b y a · b, respectivamente. Por simplicidad, tambien se escribeab en lugar

dea · b.

1. Leyes Clausurativas:a+ b y a · b son enteros sia y b son enteros.

2. Leyes Conmutativas:a+ b = b+ a y a · b = b · a para todo par de enterosa y

b.

1

2

3. Leyes Asociativas:(a+ b) + c = a+ (b+ c) y (a · b) · c = a · (b · c) para todos

los enterosa, b y c.

4. Leyes Distributivas: (a+ b) · c = a · c+ b · c, paraa, b, c ∈ Z.

5. Elementos Neutros:a+ 0 = a y a · 1 = a, paraa ∈ Z

6. Inverso Aditivo: Para todo enteroa existe una solucion x a la ecuacion

a+ x = 0; este entero se denomina el inverso aditivo dea y se denota con−a.

Conb− a se denotab+ (−a).

7. Ley Cancelativa: Si a, b y c son enteros cona ·c = b ·c y c , 0 entoncesa = b.

El orden en los enteros se define usando el conjunto de los enteros positivos

Z+ = {1, 2, 3, . . .}.

Definicion 1.1. Si a y b son enteros, entonces a< b si y solo si b− a es un

entero positivo. Si a< b, tambien se escribe b> a.

El orden en los enteros tiene unas propiedades fundamentales:

8. Clausura para enteros positivos:Seana, b enteros positivos. Luegoa + b y

a · b son enteros positivos.

9. Ley de la Tricotomıa: Para todo enteroa se tiene quea > 0, a = 0 oa < 0.

Se dice entonces que el conjunto de los enteros es unconjunto ordenadoporque

tiene un conjunto que es cerrado bajo suma y multiplicaciony que ademas satis-

face la ley de tricotomıa.

El conjunto de enteros puede ser particionado en dos subconjuntos, el conjunto

de los enteros impares y el conjunto de los enteros pares:

{±1,±3,±5, . . .} y {0,±2,±4, . . .}

respectivamente. Aunque los conceptos de par e impar parecen sencillos, apare-

cen en diversos problemas de teorıa de numeros. Algunas ideas basicas son las

siguientes:

3

• Un numero impar es de la forma 2k+ 1 para algun enterok.

• Un numero par es de la forma 2k para algun enterok.

• La suma de dos numeros impares es un numero par.

• La suma de dos numeros pares es un numero par.

• La suma de un numero par con uno impar es un numero impar.

• El producto de dos numeros impares es un numero impar.

• El producto de dos numeros pares es un numero par.

• El producto de enteros es par si y solo si uno de los factores es par.

Ejemplo 1. Sean un entero mayor que 1, pruebe que:

a) 2n es la suma de dos enteros consecutivos impares.

b) 3n es la suma de tres enteros consecutivos.

Solucion: a) La relacion 2n = (2k − 1) + (2k + 1) implica quek = 2n−2 y

ası obtenemos que 2n = (2n−1 − 1)+ (2n−1 + 1).

Solucion: b) La relacion 3n = (k − 1) + k + (k + 1) implica quek = 3n−1 y

ası obtenemos que 3n = (3n−1 − 1)+ 3n−1 + (3n−1 + 1).

Ejemplo 2. Seak un numero par. ¿Es posible escribir 1 como la suma de los

recıprocos dek enteros impares?.

Solucion:La respuesta es negativa. Supongamos que

1 =1n1+

1n2+ · · · +

1nk

paran1, n2, · · · , nk enteros impares. compensando los denominadores tenemos

n1 · n2 · · · nk = s1 + s2 + · · · sk

donde lossi son todos impares. Pero esto es imposible pues el lado izquierdo de la

igualdad es impar, mientras que el lado derecho es par.

4

1.2. Divisibilidad

Definicion 1.2. Se dice que un entero a, 0 divide a un entero b, denotado por a|bsi existe un entero c tal que

b = ac

Por a ∤ b se nota que b no es divisible por a.

Ademas, para decir quea divide ab, tambien se puede decir que

b es divisible pora;

a es un factor deb;

b es un multiplo dea.

Cuando se emplee la notaciona|b, se sobrentendera quea es diferente de cero.

Si a es un divisor deb, entoncesb es tambien divisible por−a, es decir los

divisores de un entero vienen por pares. Para encontrar todos los divisores de un

entero dado es suficiente con obtener los divisores positivos y entonces unirlos a los

divisores negativos correspondientes. Por esta razon enlo que sigue los resultados

de limitaran a divisores positivos.

Teorema 1.3.Sean a, b y c enteros, entonces

1. a|0 , 1|a, a|a.

2. Si a|b y c|d, entonces ac|bd.

3. Si a|b y b|c, entonces a|c.

4. Si a|b y b, 0, entonces|a| ≤ |b|.

5. Si a|b y a|c, entonces a|(bx+ cy), para x, y ∈ Z.

6. Si a|b y a|b± c, entonces a|c.

7. Si a|b y b|a, entonces|a| = |b|.

8. Si a|b y b, 0, entonces(

ba

)|b.

5

9. Si a|b y c, 0, entonces ac|bc.

Un enteron se denomina uncuadrado perfectosi n = m2 para algun enterom.

En general, sin = ms para enterosmy scon s≥ 2, entoncesn se denominapoten-

cia perfecta. Dado un enteron distinto de cero, existe un numero par de divisores

den a menos quen sea un cuadrado perfecto; esto se tiene desde la propiedad 8 ya

que sib no es un cuadrado perfecto, los divisores deb aparecen en paresa y ba.

1.2.1. Algoritmo de la Division

El siguiente resultado, denominado algoritmo de la divisi´on, juega un papel

importante en la teorıa de numeros.

Teorema 1.4. Dados enteros a y b, con b> 0, existen enteros unicos q y r tales

que

a = bq+ r 0 ≤ r < b

Los enteros q y r se llaman, respectivamente, el cociente y elresiduo en la division

de a por b.

1.2.2. Maximo Comun Divisor

Si un enterod divide a dos enterosa y b, se dice qued es undivisor comunde

a y b. Ası pues 1 es un divisor comun de todo par de enterosa y b. Ademas, como

todo entero diferente de cero divide a 0, entonces sia = b = 0 todo entero es un

divisor comun dea y b. Sin embargo, cuando al menos uno de los dos es diferente

de cero, unicamente existe un numero finito de divisores comunes. Entre estos, hay

uno que es mayor que todos, que se denomina elmaximo comun divisordea y b.

Definicion 1.5. Dados dos enteros a y b (con al menos uno de los dos diferentes

de cero), el mayor entero que divide a y b se denomina el maximo comun divisor

de a y b, denotado porgcd(a, b).

Es decir, sigcd(a, b) = d entonces:

1. d|a y d|b;

6

2. Si c|a y c|b, entonces c|d.

Observemos que la anterior definicion da un metodo para calcular el maximo

comun divisor de dos enteros. Sia y b son iguales a cero, el gcd(a, b) no existe. Si

a = 0 y b , 0, el gcd(a, b) es |b|. Si a y b son diferentes de cero, con|a| ≤ |b|, se

listan los divisores dea, entonces el mayor de estos que divida ab es el gcd(a, b).

Esta forma de calcular el gcd(a, b) en general no es muy eficiente, el siguiente

teorema presenta una caracterizacion util para determinar el maximo comun divisor

dea y b en terminos de sus combinaciones lineales, esto es como sumas de la forma

sa+ tb, dondesy t son enteros.

Teorema 1.6.Sean a y b enteros (con al menos uno de los dos diferente de cero),

y sea d= gcd(a, b). Entonces d es el menor entero positivo que se puede expresar

como una combinacion lineal de a y b.

Definicion 1.7. Dos enteros a y b se dice que son primos relativos sigcd(a, b) = 1.

Teorema 1.8.Sean a y b enteros, no ambos cero. Entonces

1. gcd(a, b) = 1 si y solo si existen enteros x y y tales que1 = ax+ by.

2. (Lema de Euclides) Si a|bc ygcd(a, b) = 1, entonces a|c.

3. Si d= gcd(a, b), entoncesgcd(a/d, b/d) = 1

1.2.3. El Algoritmo de Euclides

Otro metodo para calcular el maximo comun divisor, basado en el algoritmo

de la division, se conoce como el algoritmo de Euclides. Antes de estudiar este

metodo probaremos un resultado fundamental dentro del algoritmo.

Lema 1. Sean a y b enteros. Si a= bq+ r, entoncesgcd(a, b) = gcd(b, r)

Demostracion.Si d|a y d|b entoncesd|(a − qb) = r. Ası d es un divisor comun de

b y r; es decir,

d|b y d|r

7

Por otra parte, seac un divisor comun deb y r, entoncesc|(bq+ r), de aquıc|a.

Esto implica quec es un divisor comun dea y b, entoncesc ≤ d. Y entonces

d = gcd(b, r). �

Descripcion del algoritmo: Seana y b enteros, como gcd(|a|, |b|) = gcd(a, b)

se puede suponer quea ≥ b > 0. El primer paso consiste en aplicar el Algoritmo

de la Division paraa y b, entonces existen enterosq1 y r1 tales que

a = q1b+ r1; 0 ≤ r1 < b

Si r1 = 0 entoncesb|a y ası gcd(a, b) = b. Cuandor1 , 0 se divideb por r1

para obtener enterosq2 y r2 tales que

b = q2r1 + r2; 0 ≤ r2 < r1

Si r2 = 0 entonces el algoritmo se detiene pues gcd(a, b) = gcd(b, r1) =

gcd(r1, 0) = r1. De otra manera, se procede como antes para obtener enterosq3

y r3 tales que

r1 = q3r2 + r3; 0 ≤ r3 < r2

Este proceso continua hasta que algun residuo dentro del algoritmo sea cero, por

ejemplo en el (n+1)-esimo paso cuandorn−1, sea divisible porrn (un residuos igual

a cero debe aparecer dado que la sucesionb > r1 > r2 > · · · ≥ 0 no puede contener

mas deb enteros).

El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones

a = q1b+ r1; 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2; 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3; 0 < r3 < r2

...

rn−2 = qnrn−1 + rn; 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + 0; 0< rn < rn−1

Entonces por el lema 1 se tiene que

8

gcd(a, b) = gcd(b, r1) = · · · = gcd(rn−1, rn) = gcd(rn, 0) = rn.

Por otro lado el algoritmo de Euclides nos permite hallar losenterosx y y tales

que gcd(a, b) = ax + by. Para esto, dado quern = rn−2 − qnrn−1, sustituyendo

rn−1 = rn−2 − qn−1rn−2 en la anterior ecuacion se tiene

rn =rn−2 − qn(rn−3 − qn−1rn−2)

=rn−2 − qnrn−3 + qnqn−1rn−2

=(1+ qn−1qn)rn−2 + (−qn)rn−3

donde esta ultima ecuacion presenta arn como una combinacion lineal dern−2

y rn−3. Si se continua sustituyendo cada una de las ecuaciones encontradas, se

podra representar arn como una combinacion lineal dea y b.

1.2.4. Mınimo Comun Multiplo

Se dice que un enteroc es un multiplo comun de dos enteros (diferentes de

cero)a y b si a|c y b|c.

Definicion 1.9. El mınimo comun multiplo de dos enteros a y b, denotado por

lcm(a, b), es el entero positivo m tal que:

1. a|m y b|m.

2. Si a|c y b|c, con c> 0, entonces m≤ c.

Algunas propiedades que relacionan el maximo comun divisor y el mınimo

comun multiplo son las siguientes:

• Si a y b son enteros distintos de cero, entonceslcm(a, b) existe y es≤ |ab|.

• Si lcm(a, b) = m y m= at = bs, entonces gcd(a, b) = 1.

• Si a|c y b|c, conc = at = bsy gcd(t, s) = 1, entonceslcm(a, b) = c.

9

• Si a|c y b|c, entoncesm | c.

• Si n es un entero, entoncesnlcm(a, b) = lcm(na, nb)

Teorema 1.10.Dados los enteros positivos a y b, tenemos que

gcd(a, b)lcm(a, b) = ab.

1.2.5. La Ecuacion Diofantica ax+ by= c

El termino Ecuacion Diofanticafrecuentemente se utiliza para referirnos a

cualquier ecuacion en una o mas variables que se resuelve en los numeros enteros.

El tipo mas simple de ecuacion diofantica es laEcuacion Lineal Diofantica en dos

variables

ax+ by= c

dondea, b, c son enteros dados cona y b distintos de cero. Una solucion de esta

ecuacion es una pareja de enterosx0, y0 tales que satisfacen la ecuacion dada, esto

esax0 + by0 = c.

Una ecuacion lineal diofantica puede tener varias soluciones, por ejemplo la

ecuacion

3x+ 6y = 18

tiene las siguientes soluciones

18= 3 · 4+ 6 · 1 = 3 · (−6)+ 6 · 6 = 3 · 10+ 6 · (−2)

Por el contrario, no existe una solucion para la ecuacion 2x+ 10y = 17. Puesto que

el lado izquierdo de la ecuacion es un entero par, cualquiera que sea la escogencia

de x y y, mientras que el lado derecho no es par. De acuerdo a esto, es razonable

preguntar por las circunstancias bajo las que una soluciones posible, y cuando una

solucion existe y cuando se pueden determinar todas las soluciones explıcitamente.

La condicion de solucion es facil de establecer: La ecuacion diofanticaax+

by = c tiene solucion si y solo sid|c, donded = gcd(a, b). En efecto, se sabe que

10

existen enterosr y stales quea = dr y b = ds. Si existe una solucion deax+by= c,

entonces

c = ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d(rx0 + sy0)

lo que implica qued|c. Inversamente, suponga qued|c, asıc = dt. Ademas existen

enterosx0 y y0 tales qued = ax0 + by0, luego multiplicando esta ultima ecuacion

por t se tiene que

c = dt = t(ax0 + by0) = a(tx0) + b(ty0)

De aquı la ecuacion diofanticaax+ by = c tiene ax = tx0 y y = ty0 como una

solucion particular.

Teorema 1.11.La ecuacion lineal diofantica ax+ by = c tiene una solucion si y

solo si d|c, donde d= gcd(a, b). Si x0, y0 es una solucion de esta ecuacion, entonces

todas las otras soluciones estan dadas por:

x = x0 + (b/d)t; y = y0 − (a/d)t

para cualquier t∈ Z.

Es util tener en cuenta la version que tiene el teorema anterior cuando los coe-

ficientes son primos relativos.

Corolario 1. Si gcd(a, b) = 1 y si x0, y0 es una solucion particular de la ecuacion

lineal diofantica ax+ by= c, entonces todas las soluciones estan dadas por

x = x0 + bt; y = y0 − at

para t ∈ Z.

Ejemplo 3. Calcular el gcd(314, 159) y expresarlo en la forma 314x+ 159y.

11

Solucion:Aplicando el algoritmo de Euclides tenemos

314=1 · 159+ 155

159=1 · 155+ 4

155=38 · 4+ 3

4 =1 · 3+ 1

3 =3 · 1+ 0.

luego

gcd(314, 159)= gcd(159, 155)= gcd(155, 4) = gcd(4, 3) gcd= (3, 1) = 1.

Ahora, expresemos 1 como combinacion lineal de 314 y 159.

1 =4− 1 · 3

=4− 1(155− 38 · 4) = −155+ 39 · 4

= − 155+ 39(159− 1 · 155)= 39 · 159− 40 · 155

=39 · 159− 40(314− 1 · 159)= 314(−40)+ 159(79).

Ası, 1= 314(−40)+ 159(79).

Ejemplo 4. Un hombre compro doce piezas de fruta (manzanas y naranjas)por 99

centimos. Si una manzana cuesta 3 centimos mas que una naranja, y compro mas

manzanas que naranjas, ¿cuantas de cada compro?

Solucion:Llamamosx, y al numero de manzanas y naranjas, respectivamente,

y p al precio de una naranja. Entonces

x+ y = 12

(p+ 3)x+ py= 99⇒

x+ y = 12

3x+ p(x+ y) = 99

sustituyendo la primera ecuacion en la segunda, tenemos que 3x + 12p = 99

y dividiendo por tres obtenemosx + 4p = 33. Como gcd(1, 4) = 1 y 1 | 33,

entonces la ecuacion tiene solucion. Usemos el algoritmode Euclides para resolver

esta ecuacion. Dado que 1= 4 − 3, entonces 33= −99+ 4(33), ası una solucion

particular es:x0 = −99 y p0 = 33, luego las soluciones son de la forma:

12

x = −99+ 4t

p = 33− t

Dado que hay mas manzanas que naranjas,x ≥ 7⇒ −99+ 4t ≥ 7⇒ t ≥ 26,5.

Por otro ladox ≤ 12⇒ −99+ 4t ≤ 12⇒ t ≤ 27,75. Comot es un numero entero,

entoncest = 27 y por lo tantox = 9 y y = 3.

1.3. Numeros Primos

Un enterop > 1 se llama unnumero primo (primo), si sus unicos divisores

positivos son 1 yp. Todo enteron > 1 tiene al menos un divisor primo. Un entero

n > 1 que no es primo se denominacompuesto.

Si n es compuesto, tiene un divisor primop que no excede a√

n. Eratostenes

utilizo este hecho como la base de una tecnica, llamadala Criba de Eratostenes,

para encontrar todos los primos menores o iguales que un entero n. El metodo

consiste en escribir todos los enteros desde 2 hastan en su orden natural y eliminar

sistematicamente todos los multiplos de los primos menores o iguales que√

n. Es

decir, para cada primop ≤√

n se eliminan los enteros 2p, 3p, 4p, 5p, . . ..

Todos los pares mayores que 2 son compuestos, es decir, el unico primo par

es el numero 2 y ası todos los otros primos son impares. Ademas que 2 y 3 son

los unicos primos consecutivos. Sip y p + 2 son primos, se denominanprimos

gemelos, por ejemplo: 3 y 5, 11 y 13, 41 y 43.

Teorema 1.12.Si p es un primo y p|ab, entonces p|a o p|b.

Demostracion.Si p|a el resultado ya esta. Sip ∤ a, entonces gcd(a, p) = 1. Ası (del

lema de Euclides)p|b. �

Este resultado se extiende facilmente a productos de mas de dos terminos.

Corolario 2. Si p es un primo y p|a1a2 · · · an, entonces p|ak para algun1 ≤ k ≤ n.

Corolario 3. Si p, q1, q2, . . . , qn son primos y p|q1q2 · · · qn, entonces p= qk para

algun1 ≤ k ≤ n.

13

El resultado fundamental en aritmetica (ei, teorıa de numeros) hace referencia

a la factorizacion prima de enteros.

Teorema 1.13(Teorema Fundamental de la Aritmetica). Todo entero positivo n>

1 se puede expresar como un producto de primos, esta representacion es unica,

salvo por el orden en el que aparecen los factores.

Demostracion.Probaremos la existencia solamente. Sean > 1, entoncesn es pri-

mo o compuesto. Sin es primo no hay nada que probar. Sin es compuesto entonces

existe un enterod tal qued|n y 1 < d < n. Entre estos enterosd se escoge el menor

enterop1. Se puede ver quep1 debe ser un numero primo. Puesto que si se tuviera

un divisorq tal que 1< q < p1, conq|p1y p1|n implica queq|n lo que contradice

que el mınimo esp1. Ası entonces se puede escribirn = p1n1, dondep1 es primo

y 1 < n1 < n. Si n1 es primo entonces se tiene la representacion buscada. En caso

contrario, el argumento anterior se repite para obtener un segundo numero primo

p2 tal quen1 = p2n2, y asın = p1p2n2 con 1< n2 < n1. Sin2 es primo, entonces ya

se tiene el resultado del teorema. De otra forma,n2 = p3n3 con p3 un numero pri-

mo y asın = p1p2p3n3 donde 1< n3 < n2. de continuar ası se obtiene la sucesion

decreciente

n > n1 > n2 > n3 > · · · > 1

que no puede continuar indefinidamente; esto es,luego de un numero finito de pasos

nk es un primo. Este procedimiento genera la factorizacion prima den

n = p1p2 · · · pr

�

Dado que los primos que aparecen en la factorizacion de un entero se pueden

repetir, se sigue del teorema anterior que:

Corolario 4. Cualquier entero n mayor que1, se puede representar en una forma

unica

n = pk11 pk2

2 · · · pkrr

14

donde cada ki es un entero positivo y cada pi es un primo, tal que p1 < p2 < · · · <pr .

El teorema fundamental proporciona una forma de encontrar el maximo comun

divisor y el mınimo comun multiplo de dos enteros. Si es necesario se toman al-

gunos de los exponentes iguales a cero para utilizar los mismos primos en la factori-

zacion de los dos enteros, como en el siguiente resultado.

Teorema 1.14.Sea a= pa11 pa2

2 · · · parr y b = pb1

1 pb22 · · · p

brr , donde los exponentes

ai , bi son no negativos. Para i= 1, 2, . . . , r, sean mi = mın{ai , bi} y Mi = max{ai , bi}.Entonces

gcd(a, b) = pm11 pm2

2 · · · pmrr

lcm(a, b) = pM11 pM2

2 · · · pMrr

Ejemplo 5. Encuentre todos los enteros positivosn para los cuales 3n− 4, 4n− 5

y 5n− 3 son todos numeros primos.

Solucion: la suma de los tres numeros es par, ası que al menos uno de ellos

es par. El unico par es 2. Solo 3n − 4 y 5n − 3 pueden ser pares. Resolviendo las

ecuaciones 3n− 4 = 2 y 5n − 3 = 2, tenemos quen = 2 y n = 1 respectivamente.

Facilmente se verifica quen = 2 para que los tres numeros dados sean primos.

Ejemplo 6. Si p y q son primos yx2 + px+ q = 0 tiene raıces positivas enteras

distintas, encontrarp y q.

Solucion:Seanx1 y x2, con x1 < x2, las dos raıces. Entoncesx2 + px+ q =

(x − x1)(x − x2), implica quep = x1 + x2 y q = x1x2. Comoq es primo,x1 = 1.

Ası, q = x2 y p = x2 + 1 son dos primos consecutivos; es decir,q = 2 y p = 3.

Ejemplo 7. Demostrar que sin es compuesto, entonces 2n − 1 es compuesto.

Solucion:Supongamos quen = pq. Sustituyendob = 2p y a = 1 en la formula

bq − aq = (b− a)(bq−1 + abq−2 + · · · + aq−2b+ aq−1)

15

obtenemos

2n − 1 = (2p − 1)(2p(q−1) + 2p(q−2) + · · · + 2p + 1);

por lo que 2n − 1 es compuesto.

¿Es cierto que si 2n − 1 es compuesto, entoncesn es compuesto? No es cierto,

puesto que 211− 1 = 2047= 23 · 89 es compuesto, mientras que 11 es primo.

1.4. Ejercicios propuestos

1. Demostrar que 32n+ 1 es divisible por 2 pero no por 4.

2. Encontrar un numero de 4 cifras de la formaaabbque sea cuadrado perfecto.

3. Si (x, y) es una pareja de enteros no negativos tales que 3x+4y = 96, ¿cuantas

de tales parejas (x, y) hay en total?

4. Supongamos que 2001= (n − 2)n(n+ 1)n−1 + 1, ¿Cual es el valor den, si n

es un numero entero?

5. Un hombre cobra un cheque pord dolares yc centavos en un banco. El

cajero, por error, le dac dolares yd centavos. El hombre no se da cuenta

hasta que gasta 23 centavos y ademas observa que en ese momento tiene 2d

dolares y 2c centavos. ¿Cual era el valor del cheque?

6. Calcular el numero de ternas (a, b, c) de numeros naturales tales que el mıni-

mo comun multiplo dea, b y c sea 720.

7. ¿Cual es el mayor numero por el que la expresionn3 − n es divisible para

todos los divisores den?

8. Sea 1, a2, a3, a4, . . . una sucesion numerica que satisface lo siguiente:

1 · a2 · · · an = n2

paran ≥ 2. Encuentre la suma de los miembros tercero y quinto de la suce-

sion.

16

9. En un edificio hay cierto numero de pisos. En cada piso hay 10 departa-

mentos numerados de la siguiente manera: en el primer piso del 1 al 10, en

el segundo piso del 11 al 20 y ası sucesivamente. El departamento de Juan

esta en el piso cuyo numero coincide con el numero del departamento de

Marıa y la suma de los numeros de los dos departamentos es igual a 239

¿Cual es el numero del departamento de Juan?

10. Observe que

32 + 42 = 52

32 + 42 + 122 = 132

32 + 42 + 122 + 842 = 852

Cual es el menor valor posible para la sumax+ y con x, y enteros positivos

tales que

32 + 42 + 122 + 842 + x2 = y2.

Capıtulo 2

Nociones Basicas de

Combinatoria

El estudio sistematico de la combinatoria comenzo en el siglo XVII, cuando

se plantearon problemas combinatorios en el estudio de juegos de azar (loterıa,

solitario, otros); en su estudio teorico aparecen ligadosentre otros nombres, los de

cientıficos como: Pascal, Fermat, Bernoulli, Leibnitz y Euler.

La combinatoria, el estudio de las posibles agrupaciones deobjetos, ha entrado

en un periodo de intenso desarrollo. Contar el numero de objetos que cumplen

ciertas propiedades es una parte importante de la combinatoria, pues se necesita

para resolver diferentes problemas.

2.1. Principios elementales de conteo

Muchos problemas combinatorios pueden resolverse utilizando dos principios

fundamentales llamados “regla de la suma ” y “regla del producto ”.

2.1.1. Regla de la suma

Si hayn1 formas de realizar una primer tarea,n2 formas de realizar una segunda

tarea,. . . , ynr formas de realizar lar-esima tarea; y si lasr tareas son incompatibles,

17

18

entonces hayn1 + n2 + · · · + nr formas de realizar una de lasr tareas.

Ejemplo 8. Supongamos que para elegir un representante de la facultad de inge-

nierıa en una comision se puede escoger bien un profesor obien un estudiante de

doctorado. ¿De cuantas formas se puede escoger el representante si hay 37 profe-

sores y 83 estudiantes?.

Solucion:Hay 37 formas de elegir un profesor como representante y 83 formas

de elegir un estudiante, por lo tanto hay 37+ 83 = 120 formas de elegir como

representante un estudiante o un profesor.

Ejemplo 9. Un comite universitario formado por tres medicos, dos fisiologos y

cuatro psicologos, estudia los efectos perjudiciales de las drogas. Si en un momen-

to dado la universidad imparte una conferencia al respecto ¿De cuantos maneras

puede el comite mandar un representante a dicho evento?.

Solucion:Dado que hay 3 formas de escoger un medico, 2 formas de escoger

un fisiologo y 4 formas de escoger un psicologo, entonces hay 2+3+4 = 9 formas

de elegir al conferencista.

2.1.2. Regla del producto

Supongamos que una tarea se puede dividir enr tareas consecutivas. Si hay

n1 formas de realizar la primer tarea,n2 formas de realizar la segunda tarea, y

ası sucesivamente,nr formas de realizar lar-esima tarea, entonces hayn1 · n2 · · · nr

formas de completar la tarea.

Ejemplo 10. Se quiere etiquetar las sillas de un auditorio con una letra del alfabeto

(27 letras) y un numero entero positivo menor o igual a 100.¿Cual es el maximo

numero de sillas a las que se les puede asignar una etiqueta?

Solucion:El proceso de etiquetar una silla consiste de dos tareas; asignar una

letra del alfabeto y asignar un entero positivo menor que 100. Por lo tanto de la

regla del producto el maximo numero de sillas que se puedenetiquetar son: 27·100= 2700.

19

Ejemplo 11. Al viajar de Bucaramanga a Cali el senor Gomez desea parar en

Ibague. Si el viaje de Bucaramanga a Ibague lo puede realizar en carro, moto

o avioneta y el viaje de Ibague a Cali puede hacerlo en carroo moto. ¿De cuantas

maneras puede realizar su viaje el senor Gomez?

Solucion:El viaje consiste de dos tareas: Viajar de Bucaramanga a Ibague y

luego de Ibague a Cali. El viaje de Bucaramanga a Ibague lo puede realizar de 3

maneras y el de Ibague a Cali lo puede realizar de 2 maneras. Por lo tanto, el viaje

de Bucaramanga a Cali lo puede hacer de 3· 2 = 6 formas.

Ejemplo 12. ¿Cuantas placas (matrıculas) estan disponibles si cada una contiene

una serie de tres letras (de un alfabeto con 27 letras) seguidas de tres dıgitos?

Solucion:Hay 27 posibilidades por cada letra y 10 por cada dıgito, de ahı que

tenemos 273 · 103 placas disponibles.

Ejemplo 13. ¿Cuantas funciones se pueden definir de un conjunto conmelementos

en otro conjunto conn elementos?

Solucion:Una funcion corresponde con la eleccion de lasn imagenes para cada

uno de losm elementos del dominio. Luego, el numero de funciones definidas de

un conjunto conm elementos en un conjunto conn elementos es:n · n · · · n︸ ︷︷ ︸m−veces

= nm.

En muchas ocasiones la solucion de un problema de conteo requiere de la apli-

cacion simultanea de los dos principios fundamentales. Elsiguiente ejemplo ilustra

esto.

Ejemplo 14. Se lanzan dos dados, uno rojo y uno verde.

a) ¿Cuantos posibles resultados hay?.

Para cada dado hay 6 resultados, luego de la regla del producto tenemos

6× 6 = 36 posibles resultados.

b) ¿Cuantos posibles resultados si no se consideran los dobles?.

El primer dado que se tira tiene 6 posibilidades, luego el segundo dado ten-

dra 5 opciones. Por lo tanto, tenemos 6× 5 = 30 resultados sin dobles.

20

c) ¿De cuantas maneras se puede obtener como suma 6 o 9?.

• Determinemos de cuantas maneras se puede obtener como suma 6. El

primer dado tiene 5 posibilidades(eliminamos la cara con 6 puntos) y

luego el segundo dado tendra 1 sola posibilidad(el valor que complete

la suma). Por lo tanto del principio del producto tenemos 5×1 = 5 formas

de obtener como suma 6.

• Determinemos de cuantas maneras se puede obtener como suma 9. El

primer dado tiene 4 posibilidades(eliminamos las caras con1 y 2 puntos)

y luego el segundo dado tendra 1 sola posibilidad (el valor que complete

la suma). Por lo tanto del principio del producto tenemos 4×1 = 4 formas

de obtener como suma 9.

Ası por el principio de la suma, las maneras de obtener como suma 6 o 9

son: 5+ 4 = 9.

d) ¿De cuantas maneras se puede obtener una suma impar?.

La manera en que la suma de dos numeros sea impar es que uno seapar y el

otro impar. de ahı tenemos dos opciones.

• Que el primer dado sea impar, lo cual se tiene de 3 formas y el segundo sea

par, lo cual se tiene de tres formas. Por tanto por principio del producto

tenemos 3× 3 = 9 maneras de obtener un numero impar.

• Que el primer dado sea par, lo cual se tiene de 3 formas y el segundo sea

impar, lo cual se tiene de tres formas. Por tanto por principio del producto

tenemos 3× 3 = 9 maneras de obtener un numero impar.

Luego de la regla de la suma tenemos 9+ 9 = 18 maneras de obtener como

suma un numero impar.

21

2.2. Permutaciones y Combinaciones

Dado un conjuntoX con n elementos (|X| = n), queremos contar de cuan-

tas maneras diferentes podemos seleccionark elementos del conjuntoX, para ello

debemos fijar los criterios con los cuales se diferencia una seleccion de otra. Ten-

dremos en cuenta dos criterios: El orden de los elementos y elnumero de veces que

aparece cada elemento. El siguiente diagrama nos indica como deben ser nuestras

selecciones.

Selecciones

Ordenadas

No ordenadas

Con repeticion

Sin repeticion

Con repeticion

Sin repeticion

Hablaremos depermutacionessi diferenciamos dos selecciones que tienen ele-

mentos diferentes o si los elementos aparecen en orden diferente (selecciones or-

denadas). Por otro lado, si no distinguimos dos seleccionesque solo se diferencian

por su ordenacion se hablara decombinaciones(Selecciones no ordenadas).

2.2.1. Permutaciones

SeaX = {1, 2, · · · , n}. Notaremos porPRkn al numero de selecciones ordenadas

con repeticion dek elementos del conjuntoX, se lee “Permutaciones con repeticion

de n elementos tomados de k en k”. Es decir,

PRkn = |{(a1, a2, · · · , ak) : ai ∈ X; para i = 1, 2, · · · , k}|.

22

Teorema 2.1.El numero de permutaciones con repeticion de n elementos tomados

de k en k es nk. Osea,

PRkn = nk.

Demostracion.Tenemosn elecciones para el primer elemento de la seleccion, y

para cada eleccion podemos formar todas las permutacionesden elementos pero

ahora tomados dek− 1 enk− 1, esto es:

PRkn = n · PRk−1

n .

Dado quePR1n = n, la aplicacion sucesiva de la formula anterior nos lleva ala

expresion buscada, es decir:

PRkn = n · PRk−1

n = n2 · PRk−2n = nk−1 · PR1

n = nk.

Lo cual concluye la prueba. �

Ahora, notaremos porPkn al numero de selecciones ordenadas sin repeticion

de k elementos del conjuntoX, lo cual se lee “Permutaciones sin repeticion den

elementos tomados dek enk ”. Esto es,

Pkn = |{(a1, a2, · · · , ak) : ai ∈ X; y ai , a j}|.

Teorema 2.2.El numero de permutaciones sin repeticion de n elementos tomados

de k en k es n(n− 1) · · · (n− k+ 1). Es decir,

Pkn = n(n− 1) · · · (n− k+ 1).

Notemos que como cada elemento puede aparecer a lo sumo una vez en la

seleccion, entoncesk ≤ n. En particular, cuandon = k tenemos las permutaciones

de n elementos, el numero de estas esPn = n(n − 1) · · · 2 · 1. Este numero se

representa porn! y permite escribirPkn ası,

Pkn =

n!(n− k)!

.

Ejemplo 15. ¿Cuantas “palabras” de 3 letras se pueden formar con las 27 letras

del alfabeto espanol?

23

Solucion:Si se permite repetir letras, el problema consiste en contarlas selec-

ciones ordenadas con 3 elementos de un conjunto de 27 elementos, es decir en-

contrarPR327 = 273. Si no se permite repetir letras, el problema consiste en hallar

P327 = 27 · 26 · 25.

Ejemplo 16. ¿De cuantas maneras podemos colocar 4 monedas (de 500, 200, 100,

50) en fila?

Solucion:El problema consiste en contar el numero de selecciones ordenadas

de 4 elementos tomados de 4 en 4, es decir queremos hallarp4 = 4! = 24.

Caso especial

Se puede considerar un caso intermedio entre las permutaciones sin repeticion

y con repeticion. Consiste en fijar de entrada el numero de veces que cada elemento

debe aparecer en la seleccion.

Supongamos que el elementoi apareceki veces en la seleccion y formemos un

nuevo conjunto (en realidad un multiconjunto) a partir dex = {1, 2, . . . , n} en el

cual se distingan laski apariciones dei, digamos

Y = {11, 12, . . . 1k1, 21, 22, . . . 2k2, . . . , n1, n2, . . .nkn}

donde|Y| = k1 + k2 + · · · kn = k. Formemos lask! permutaciones de los elementos

de Y y agrupemos aquellas que difieren solo en la permutacion de los elementos

del mismo tipo; en general, cada grupo tienek1!k2! · · · kn! elementos que represen-

tan de hecho la misma permutacion (seleccion) cuando dejamos de distinguir los

subındices. Por lo tanto,el numero de permutaciones de n elementos en los cuales

el elemento i aparece ki veces, que se denota porPk1,k2,...,knn , es:

Pk1,k2,...,knn =

k!k1!k2! · · · kn!

.

Ejemplo 17. Determinar el numero de selecciones distinguibles (permutaciones)

cuando se usan todas las letras de la palabra “REFERENDO”.

24

Solucion:Queremos contar el numero de permutaciones de 5 elementos (R, E,

F, N, O), dondeR aparece 2 veces,E aparece 2 veces, yF,N,O aparecen 1 vez.

Esto es;

P2,3,1,1,15 =

(2+ 3+ 1+ 1+ 1)!2!3!1!1!1!

=8!

2!3!= 3360

Ejemplo 18. Determinar el numero de formas distintas en que se pueden colocar

15 pelotas en una fila, si 4 son rojas, 3 son amarillas, 6 son negras y 2 azules.

Solucion:Queremos contar el numero de permutaciones de 4 elementos (pelotas

azules, rojas, amarillas y negras), tales que las azules son4, las rojas 3, las amarillas

6 y las negras 2. Por lo tanto tenemos:

P4,3,6,24 =

(4+ 3+ 6+ 2)!4!3!6!2!

= 3× 7× 10× 11× 13× 14× 15.

2.2.2. Combinaciones

Consideremos ahora selecciones no ordenadas o combinaciones. Dos seleccio-

nes seran diferentes si y solo si tienen elementos diferentes.

SeaX = {1, 2, · · · , n}. Notaremos porCkn al numero de selecciones no orde-

nadas sin repeticion dek elementos del conjuntoX (dondek ≤ n), se lee “Combi-

naciones con repeticion de n elementos tomados de k en k,”. Es decir,

Ckn = |{{a1, a2, · · · , ak} : ai ∈ X; y ai , a j}|.

Para contar cuantos elementos tiene el conjunto

{{a1, a2, · · · , ak} : ai ∈ X; y ai , a j},

consideremos por el momento todas las permutaciones sin repeticion, o sea,Pkn =

n!(n−k)! , y agrupemos aquellas que solo se diferencian por el orden delos elementos;

cada grupo contienek! permutaciones que representan la misma combinacion, por

lo tanto;

Ckn =

Pkn

k!luego

Ckn =

n!(n− k)!k!

.

25

Observacion:Este numero aparece de manera frecuentemente en combinato-

ria, se simboliza por (nk

)=

n!(n− k)!k!

.

y se denominacoeficiente binomial.

El coeficiente binomial(nk

)coincide con el numero de permutaciones de dos

elementos en el que uno se repitek veces y el otro se repiten− k veces. En efecto

Pk,n−k2 =

(k + (n− k))!k!(n− k)!

=n!

k!(n− k)!=

(nk

)

Teorema 2.3.El numero de combinaciones (selecciones no ordenadas) sinrepeti-

cion de n elementos tomados de k en k esn!(n−k)!k! . Es decir,

Ckn =

n!(n− k)!k!

con 0 ≤ k ≤ n.

Ejemplo 19. Un joven tiene monedas de 50, 100, 200, 500 pesos, una de cada

una, y desea dejar una propina exactamente con dos monedas. ¿cuantas propinas

distintas es posible dejar?

Solucion:El problema consiste en seleccionar subconjuntos con dos elemen-

tos del conjunto{50, 100, 200, 500} de 4 elementos, es decir queremos calcular el

numero de combinaciones sin repeticion de 4 elementos tomados de 2 en 2, esto es

C24 =

(42

)=

4!2!2!

= 6.

Ejemplo 20. En una clase hay 10 hombres y 15 mujeres. ¿cuantos comites de 5

integrantes se pueden elegir si cada comite debe estar formado por dos hombres y

tres mujeres?

Solucion:En este caso no importa el orden y debemos determinar las maneras

de elegir los dos hombres y posteriormente la manera de elegir las tres mujeres.

Las formas de elegir los dos hombres son(102

)= 45 y las formas de elegir las tres

mujeres son(153

)= 455.

Por lo tanto, por el principio del producto hay 45× 455 = 20475 formas de

elegir el comite.

26

Ejemplo 21. Una heladerıa anuncia que se pueden elegir 5 diferentes confites para

agregar a su helado, el cliente puede escoger no agregar confites o agregar uno

o dos o tres o cuatro o cinco confites. ¿cuantas elecciones posibles tiene para su

helado?

Solucion:El numero de formas de escogeri confites de las 5 opciones es(5i

)

parai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, luego el numero de selecciones corresponde a las formas de

escoger cero o uno o dos o tres o cuatro o cinco confites, esto es(50

)+

(51

)+

(52

)+

(53

)+

(54

)+

(55

)

lo cual es igual a 25 = 32.

Ahora consideremos lascombinaciones con repeticion, que se simbolizan por

CRkn.

Teorema 2.4.El numero de combinaciones (selecciones no ordenadas) conrepeti-

cion de n elementos tomados de k en k es(n+k−1)!(n−1)!k! . Es decir,

CRkn =

(n+ k − 1)!(n− 1)!k!

2.3. Ejercicios propuestos

1. En una heladerıa se ofrecen 3 tipos de barquillo y heladosde 31 sabores.

¿Cuantos helados distintos se pueden comprar?.

2. Con los dıgitos 1, 2, 3 y 5 se pueden formar 24 numeros de 4 dıgitos. ¿Cuantos

de estos 24 numeros son pares?.

3. Una caja fuerte tiene tres ruedas y cada rueda se puede colocar en los numeros

0, 1, 2, 3, 4, · · · , 9. Si la caja se abre cuando las tres ruedas estan colocadas

en numeros distintos. ¿Con cuantas combinaciones se puede abrir?.

4. Un club colegial tiene 18 miembros, de los cuales 10 son hombres y 8 mu-

jeres. El administrador del club es uno de los hombres. Se va aformar un

27

comite de 5 miembros, donde debe estar el administrador. ¿Cuantos comites

que se pueden formar de tal manera que tengan 2 mujeres y 3 hombres?.

5. ¿De cuantas formas se puede expresar 5 como la suma de 4 enteros no nega-

tivos?.

6. Consideremos el numero natural formado por los primeros2007 numeros

naturales, es decir: 1234567891011· · · 200520062007. ¿Cuantos dıgitos tiene

ese numero?.

7. ¿Cuantos caminos distintos hay para pasar del verticeA al verticeB sobre

las aristas del cubo en el siguiente dibujo, si no se vale pasar dos veces por

el mismo vertice?

A

B

8. Se deben seleccionar dos subconjuntos del conjuntoS = {a, b, c, d, e} de

tal manera que su union seaS y su interseccion contenga exactamente dos

elementos ¿de cuantas maneras se puede realizar, asumiendoque el orden en

que los subconjuntos sean elegidos no importe?

28

Capıtulo 3

Conceptos Fundamentales en

Geometrıa

3.1. Paralelismo,angulos rectos y perpendicularidad

3.1.1. Rectas paralelas

Las rectas paralelas son algo comun en las experiencias cotidianas del hombre.

Ilustraciones de rectas paralelas son las marcas de las distancias en un campo de

futbol americano, los bordes superior e inferior de esta p´agina, una serie de postes

verticales de una recta y los rieles sobre las cuales corre eltren. Las rectas para-

lelas se encuentran en un gran numero de figuras geometricas; estas rectas tienen

ciertas propiedades que producen consecuencias en estas figuras y conocer estas

consecuencias es util para el artesano, el arquitecto y el ingeniero, entre otros.

Definicion 3.1. Dos rectas son paralelas si y solo si, son coplanares y no se inter-

secan.

El sımbolo para denotar “es paralela a” es “‖”. Por conveniencia establece-

remos que dos segmentos son paralelos si las rectas que los contienen lo son. Dos

rectas en el mismo plano deben intersecarse o ser paralelas;no obstante, es posible

que dos rectas no se intersequen y no sean paralelas, si no se encuentran en el

29

30

mismo plano.

Definicion 3.2. Decimos que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse

forman cuatro angulos iguales.

En el caso en que dos rectas sean perpendiculares cada uno de los angulos

formados es un angulo recto. El sımbolo para denotar “es perpendicular a ” es

“⊥”. Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice queson oblicuas.

Propiedades de las rectas perpendiculares

1. Si una recta es perpendicular a otra, esta es perpendicular a la primera.

2. Por un punto fuera de una recta en un plano, pasa una unica recta perpendicular

a dicha recta .

Propiedades de las rectas paralelas y perpendiculares

1. Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, ellas sonparalelas.

2. Quinto postulado de Euclides:“Por un punto exterior a una recta se puede

trazar una y solo una recta paralela a la recta dada”.

El quinto postulado es una de las piedras angulares sobre la cual descansa la

grandeza de los Elementos de Euclides.

Consideremos la siguiente construccion geometrica que verifica el postulado.

• Dibuje una recta↔r y un puntoP, exterior a ella.

• Trace con su escuadra la perpendicular a la recta↔r por el puntoP. Sea

↔l

esta recta. ¿Cuantas perpendiculares podra trazar?.

• Dibuje la perpendicular a↔l por el puntoP y denote esta recta por

↔t .

¿Cuantas perpendiculares podra trazar?. Las rectas↔r y

↔t son ambas per-

pendiculares a↔l y por tanto son paralelas. Ası la recta

↔l es la paralela a la

recta↔r por el punto exteriorP.

31

3. Si dos rectas son paralelas a la misma recta son paralelas entre sı, esto es, si↔r ‖

↔l y

↔r ‖

↔t entonces

↔t ‖

↔l .

4. Sean←→l1 y

←→l2 dos rectas paralelas y seanP y Q puntos cualesquiera sobre

←→l1 .

La distancia desdeP a←→l2 es igual a la distancia desdeQ a

←→l2 .

Rectas secantes yangulos especiales

Una secante es una recta que corta a dos o mas rectas coplanarias en puntos

distintos. Observemos la figura siguiente:

En esta, la recta↔t corta a las rectas

↔m y

↔l . Decimos que la recta

↔t es una

secante de las rectas↔my

↔l .

En la misma figura vemos que cuando dos rectas son cortadas poruna secante,

se forman ocho angulos. Estos angulos se clasifican de la siguiente forma:

• Angulos colaterales: Son los angulos que estan a un mismo lado de la secante.

32

En la figura anterior son colaterales:1, 4, 5 y 8 por un lado.

• Angulos internos: Son los angulos3, 4, 5 y 6.

• Angulos externos: Son los angulos1, 2, 7 y 8.

• Angulos alternos internos: Son parejas de angulos que cumplen las siguientes

condiciones:

⋄ No son colaterales.

⋄ Son internos.

⋄ No son adyacentes (no comparten un lado).

En la figura, son alternos internos3 y 5; 4 y 6.

• Angulos alternos externos: Son parejas de angulos que cumplen las siguientes

condiciones:

⋄ No son colaterales.

⋄ Son externos.

⋄ No son adyacentes (no comparten un lado).

En la figura, son alternos externos2 y 8; 1 y 7.

• Angulos correspondientes: Son parejas de angulos que cumplen las siguientes

condiciones:

⋄ Son colaterales.

⋄ Uno es interno y el otro es externo.

⋄ No son adyacentes (no comparten un lado).

En la figura, son correspondientes1 y 5; 4 y 8; 2 y 6; 3 y 7.

33

Rectas paralelas yangulos especiales

1. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces cada pareja de

angulos correspondientes es congruente.

2. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces cada pareja de

angulos alternos internos es congruente.

3. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces cada pareja de

angulos alternos externos es congruente.

Las tres propiedades anteriores son validas tambien en sentido inverso.

4. Si dos rectas cortadas por una secante forman angulos correspondientes congru-

entes entonces las rectas son paralelas.

5. Si dos rectas cortadas por una secante forman angulos alternos internos congru-

entes entonces las rectas son paralelas.

6. Si dos rectas cortadas por una secante forman angulos alternos externos congru-

entes entonces las rectas son paralelas.

Ejemplo 22. En la figura siguiente↔r ‖

↔s y

↔t es una secante. Sim(b) = 5x+ 60◦

y m(e) = 7x, dondem(α) representa la medida del anguloα. Hallar la medida de

cada angulo, en grados.

Solucion:

• m(b) +m(a) = 180◦ (angulos adyacentes).

34

• m(a) = 180◦ − (5x+ 60◦) = 120◦ − 5x.

• m(e) = 7x = m(c) (angulos alternos internos).

• m(c) = m(a) (angulos opuestos por el vertice).

• 7x = 120◦ − 5x⇒ x = 10◦.

• m(a) = m(c) = m(e) = m(g) = 70o

(angulos opuestos por el vertice y alternos

internos).

• m(b) = m(d) = m( f ) = m(h) = 110o

(angulos opuestos por el vertice y alternos

internos).

Ejemplo 23. En la figura siguiente→r ‖

→s,m(B) = 60◦ y m(C) = 80◦. Hallarm(D).

Solucion:

• Prolongamos el segmentoBC hasta la semirrecta→s en el puntoF.

• m( ˆDCF) = 100o

(angulos adyacente conC).

• m( ˆCFD) = m(B) = 60o

(angulos alternos internos).

• m(D) = 180o− (m( ˆCFD)+m( ˆDCF)) (Propiedad fundamental de los triangulos).

• m(D) = 180o − 160

o= 20

o.

35

3.2. Congruencia de triangulos

Definicion 3.3. Si existe alguna correspondencia ABC↔ DEF de los vertices de

∆ABC con los de∆DEF tal que cada pareja de lados y angulos correspondientes

son congruentes, la correspondencia ABC↔ DEF se llama congruencia entre

triangulos y se simboliza∆ABC� ∆DEF.

Ası, si∆ABC � ∆DEF, se conocen seis relaciones de congruencia entre los

lados y los angulos de los dos triangulos, a saber:

1. m(AB) = m(DF)⇔ AB� DF

2. m(BC) = m(EF)⇔ BC� EF

3. m(AC) = m(DE)⇔ AC � DE

4. m(A) = m(D)⇔ A � D

5. m(B) = m(E)⇔ B � E

6. m(C) = m(F)⇔ C � F

Definicion 3.4. La correspondencia ABC↔ DEF se denomina:

a) Correspondencia ALA cuando dos angulos y el lado comprendido entre ellos

de un triangulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo.

b) Correspondencia LAL cuando dos lados y el angulo comprendido entre ellos

36

del primer triangulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo

triangulo.

c) Correspondencia LLL cuando los tres lados del primer triangulo son congruen-

tes a los tres lados correspondientes del segundo triangulo.

Axioma 1. (Axioma ALA) Toda correspondencia ALA es una congruencia.

Si A � D, B � E,AB� DE, entonces∆ABC� ∆DEF.

Teorema 3.5.Toda correspondencia LAL es una congruencia.

Si AB� ED,AC � DF y A � D, entonces∆ABC� ∆DEF.

Teorema 3.6.Toda correspondencia LLL es una congruencia.

37

Teorema 3.7(Triangulo isosceles). Si dos lados de un triangulo son congruentes,

entonces los angulos opuestos a estos lados tambien son congruentes.

Demostracion.• BA� AC (hipotesis).

• AC � BA (propiedad simetrica).

• A � A (propiedad reflexiva).

• ∆BAC� ∆CAB (congruencia LAL).

• B � C (congruencia de triangulos).

�

3.2.1. Algunas aplicaciones de triangulos congruentes

En algunas ocasiones se puede usar triangulos congruentespara establecer

propiedades de figuras mas complejas, el siguiente teoremaes un ejemplo:

38

Teorema 3.8.Los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Demostracion.Dado el paralelogramoABCD.

• Dibujamos la diagonalAC y senalamos los angulos como se indica.

• m(1) = m(4) y m(2) = m(3) (dado queAB||DC).

• ∆ACD� ∆CAB(AC es un lado comun y por caso de congruencia entre triangu-

los ALA).

• m(AB) = m(DC) y m(AD) = m(BD) (congruencia de triangulos).

�

Teorema 3.9. En un triangulo∆ABC, si suponemos que m(B) = m(C) entonces

los lados opuestos de los vertices B y C tienen la misma longitud.

Demostracion.Consideremos la correspondenciaABC↔ ACBentre los triangu-

los∆ABCy ∆ACB.

• m(ABC) = m(ACB) (hipotesis).

39

• m(BC) = m(CB) (propiedad reflexiva).

• m(BCA) = m(CBA) (hipotesis).

• ∆ABC� ∆ACB(correspondencia ALA).

• m(AB) = m(AC).

�

Ejemplo 24. En la figuraAB� AC, el angulo ˆBAD= 30◦ y AE � AD, el valor de

x es:

x◦

30◦

b

B

b

A

b

Cb

D

bE

Solucion:

Sea ˆDAE = y. Dado que el triangulo ABC es isosceles por hipotesis entonces

se tiene que ˆBCA= 12(180◦ − 30◦ − y) = 75◦ − y

2, y por hipotesis el trianguloADE

es isosceles entonces se tiene queˆDEA= 12(180◦ −y) = 90◦ − y

2 =ˆADE, ahora por

la propiedad fundamental de los triangulos (La suma de los ´angulos internos de un

triangulo es 180o), tenemos que para el trianguloADC:

180◦ = y+ ˆADE+ x◦ + ˆBCA= y+ 90◦ −y2+ x◦ + 75−

y2,

de ahı quex = 15◦.

Ejemplo 25. En el triangulo∆ABC, AC � AB, CH⊥AB y m(y) = 38◦. Hallar

m(x).

40

Solucion:Sabemos quem(BAC) = m(y) + m(H), de dondem(BAC) = 90o +

38o = 128o. Como AC � AB, entoncesACB � ABC, de ahı quem(ACB) =

m(ABC). De la propiedad fundamental de los triangulos 180o = m(BAC)+m(ACB)+

m(ABC), luego 180o = 128o + 2m(ABC), asım(ABC) = 26o. Por tanto,m(x) =

180o −m(ABC) = 154o.

Ejemplo 26. En la siguiente figuraAC � BC,M es el punto medio deAB,AD �

AM y m(x) = 30◦. Muestre quem(y) = 90◦.

Solucion:Como AD � AM, entoncesm(AMD) = m(x) = 30o, luego de la

propiedad fundamental de los triangulos 180o = m(DAM) + m(x) + m(AMD), de

donde 180o = m(DAM)+30o+30o, asım(DAM) = 120o. ComoAC � CBentonces

m(CAB) = m(ABC). De la propiedad fundamental 180o = m(C) + m(CAB) +

m(ABC), de donde

180o = m(C) + 2m(ABC) (1)

Por otro lado,m(DAM) = m(C) +m(ABC), esto es

120o = m(C) +m(ABC) (2)

41

comparando (1) y (2) tenemos quem(ABC) = 60o, sustituyendo en (2) tenemos que

m(C) = 60o. De la propiedad fundamental 180o = m(C)+m(x)+m(y), luego180o =

60o + 30o +m(y) y por lo tantom(y) = 90o.

3.3. Semejanza

Una fotografıa de una persona o de una estructura muestra una imagen con-

siderablemente menor que el objeto fotografiado, pero la forma de la imagen es

precisamente la del objeto. Y cuando se amplıa una fotografıa, se mantiene esta

forma, es decir, todas las partes de la fotografıa se amplıan en el mismo factor.

En terminos matematicos, se dice que las imagenes en las dos fotografıas son se-

mejantes. Los ingenieros, disenadores y arquitectos trabajan continuamente sobre

figuras semejantes. Una estructura que se acaba de disenar,primero se traza a es-

cala sobre un papel. El diseno es menor que la propia estructura, pero todas las

partes tienen la forma del producto terminado. Se hacen copias heliograficas de

estos dibujos. La copia heliografica puede ser leıda por elfabricante. En la indus-

tria automotrız y de construccion de aviones, generalmente primero se construyen

modelos pequenos de los automoviles y aviones nuevos.

Definicion 3.10. Dos polıgonos son semejantes si existe una correspondencia de

sus vertices para la cual los angulos correspondientes son congruentes y los lados

correspondientes son proporcionales. El sımbolo para “essemejante a” es∼.

42

En la figura anterior el triangulo∆ABCes semejante a el triangulo∆PQRsi:

1. A � P, B � Q y C � R.

2.m(AB)

m(PQ)=

m(AC)

m(PR)=

m(CB)

m(RQ).

Inversamente, si dos triangulos son semejantes, sus angulos correspondientes

son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. La razon de dos

lados correspondientes cualesquiera de dos triangulos semejantes se llamarazon

de semejanza.

Observemos que dos triangulos son semejantes, si los angulos correspondi-

entes son congruentes y ademas los lados correspondientesson proporcionales.

Para polıgonos en general cuando se satisface completamente una de estas condi-

ciones, no necesariamente, se concluye que la segunda condicion se satisface com-

pletamente; sin embargo se demostrara que en el caso de los triangulos, los angulos

de uno de los triangulos no pueden ser congruentes a los angulos de un segundo

triangulo sin que los lados correspondientes no esten en proporcion. Inversamente

se probara que dos triangulos no pueden tener sus lados correspondientes propor-

cionales sin que los angulos correspondientes sean congruentes.

Teorema 3.11.Si dos triangulos tienen los tres angulos de uno respectivamente

congruentes a los tres angulos del otro, los triangulos son semejantes.

43

Demostracion.• A � R, B � S, C � T (hipotesis).

• SeanD y E puntos deCAy CB tales queDC � RT y EC � S T.

• TrazarDE.

• ∆CDE � ∆RS T(caso de congruencia LAL).

• ˆCDE � R.

• ˆCDE � A.

• DE||AB.

•m(AC)

m(DC)=

m(BC)

m(EC)(Teorema de Tales1).

• m(AC)

m(RT)=

m(BC)

m(S T).

• De modo semejante, tomando los puntosF y G sobreAB y BC tales queBF �

S Ry BG� S T, puede probarse que∆ABC∼ ∆RS T.

�

Corolario 5. Si dos triangulos tienen dos angulos de uno congruentes a dos angu-

los del otro, entonces los triangulos son semejantes.

Corolario 6. Si dos triangulos rectangulos tienen un angulo agudo de uno con-

gruente a un angulo agudo del otro, entonces son semejantes.

Corolario 7. Dos triangulos que son semejantes al mismo triangulo o a triangulos

semejantes son mutuamente semejantes.

Corolario 8. Las alturas correspondientes de dos triangulos semejantes tienen la

misma razon que la de dos de los lados correspondientes cualesquiera.

1 Tales era un hombre esencialmente practico: comerciante,habil en ingenierıa, astronomo,

geometra, estadista. Se le incluye por tradicion entre los siete sabios. Se dice que desvio el curso

del rıo Halis mediante la construccion de diques.

44

Teorema 3.12(Semejanza LAL). Si dos triangulos tienen un angulo de uno con-

gruente a un angulo del otro y los lados que incluyen estos angulos son propor-

cionales, los triangulos son semejantes.

Demostracion. • C � H (hipotesis).

• SeanD y E puntos deCA y CB tales queDC � FH y EC � GH.

• TrazarDE.

• ∆CDE � ∆FGH (caso LAL de congruencia de triangulos).

• ˆCDE � F.

• m(AC)

m(FH)=

m(BC)

m(GH)(hipotesis).

• m(AC)

m(DC)=

m(BC)

m(EC).

• DE ||AB (recıproco del teorema de Tales).

• A � ˆCDE (angulos correspondientes entre paralelas).

• A � F.

• ∆ABC∼ ∆FGH (semejanzaAAA).

�

45

Ejemplo 27. Sea∆ABCconDE ||AB. Demostrar que∆DEC ∼ ∆ABC.

Solucion:Tenemos queBAC� EDC por ser correspondientes entre paralelas,

de igual formaABC � DEC. Ademas el anguloC es comun a ambos triangulos.

Por lo tanto,∆DEC ∼ ∆ABC, por semejanzaAAA.

3.4. Areas de figuras planas

Desde los tiempos mas antiguos, la medicion de las areas de las superficies ha

sido una practica importante y necesaria. A los antiguos egipcios sus gobernantes

les asignaban parcelas, las dimensiones de estas parcelas tenıan que determinarse

de alguna manera. Frecuentemente, el rıo Nilo se desbordaba y barrıa con los

lımites de estas parcelas; para reestablecerlos, los egipcios desarrollaron un rudi-

mentario sistema para medir la tierra, en la actualidad, lostopografos han desarrol-

lado el arte de medir la tierra hasta convertirla en una ciencia precisa; de otro lado

la historia del crecimiento y la expansion de los Estados Unidos esta relacionada

con la determinacion de areas, conforme esta nacion se extendio hacia el oeste, se

abrieron nuevas fronteras que eventualmente tuvieron que medirse ası como deter-

minar las areas que delimitaban.

3.5. Areas de regiones poligonales

La unidad de area esta ıntimamente relacionada con la unidad de distancia y

puede considerarse como la region formada por un cuadrado de longitud unitaria

y sus puntos interiores. Por tanto, siABCD es un cuadrado cuyo lado tiene un

46

centımetro de largo, la medida de la region encerrada se llama centımetro cuadrado.

Otras unidades de areas comunes son el metro cuadrado, el kilometro cuadrado, la

pulgada cuadrada y el pie cuadrado.

El area de una region poligonal es el numero que expresa cuantas veces una

unidad de area dada esta contenida en la region poligonal. Por lo tanto, si en la

siguiente figura,AEFGes una unidad cuadrada, puede contarse el numero de tales

unidades en el area total deABCD. Entonces se establece que el area deABCDes

de 12 de esas unidades. Si el area deAEFG es 1 centımetro cuadrado, el area de

ABCDes de 12 centımetros cuadrados.

Ası puede hallarse el area de regiones poligonales, trazando pequenos cuadra-

dos unitarios en la region encerrada y contando el numero de esas unidades, pero

esto serıa tedioso y en la mayorıa de los casos, inexacto. En muchas figuras es

difıcil, si no imposible, contar el numero de unidades cuadradas. Por ejemplo en

la siguiente figura serıa difıcil contar los cuadrados y las fracciones de cuadrados

en el paralelogramoABCDy en el cırculoO.

Afortunadamente, podremos deducir las formulas mediantelas cuales puedan

47

calcularse las areas cuando se conocen ciertas medidas lineales. Debe hacerse

notar que la longitud de un segmento rectilıneo puede medirse directamente us-

ando una regla o una cinta metrica, pero el area de una regi´on se calcula gen-

eralmente mediante una formula. Se han desarrollado formulas para las areas del

triangulo, paralelogramo, trapecio y cırculo entre otras figuras. Con frecuencia las

areas de otras figuras pueden encontrarse dividiendolas en triangulos, rectangulos

y trapecios y a continuacion sumando las areas de estas figuras.

Postulado 1. (Postulado del area) Dada una unidad de area, a cada region le

corresponde un numero unico, llamado area de la region.

Postulado 2. El area de una region poligonal es la suma de las medidas de las

areas de cualquier conjunto de regiones componentes en el cual puede dividirse.

Postulado 3.Si dos polıgonos son congruentes, entonces las regiones poligonales

correspondientes tienen la misma area.

Postulado 4. El area (A) de una region rectangular es igual al producto de la

longitud de su base (b) y la longitud de su altura (h). Es decir, A = bh.

3.5.1. Regiones poligonales

Una “region” triangular es un conjunto de puntos, union deun triangulo y su

interior. Una region poligonal es un conjunto de puntos, union de un numero fini-

to de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, y tales que, si se

intersecan dos cualesquiera de ellos, la interseccion es un segmento o un punto.

Una region poligonal puede “dividirse” en regiones triangulares en muchas for-

mas diferentes. Las regiones triangulares de cualquier descomposicion, se llaman

regiones triangulares componentes de la region poligonal.

48

Ejemplo 28. Calcular el area de la viga en L de la figura.

6cm

4cm

1,5cm

1,5cm

A

B C

DE

F

Solucion:SeaG el punto de corte entre la prolongacion deFE y BC. Luego la

viga se descompone en los rectangulosABGF y GCDE, cuyas areas son respec-

tivamente:A(ABGF) = (4cm) × (1,5cm) = 6cm2 y A(GCDE) = (6 − 1,5cm) ×(1,5cm) = 6,75cm2, luego el area de la viga es 6cm2 + 6,75cm2 = 12,75cm2.

Teorema 3.13.El area de un triangulo rectangulo es la mitad del producto de las

longitudes de sus lados de menor longitud (catetos).Area= 12m(AB) ·m(BC).

A B

C

b b

b

49

Demostracion.Dado el triangulo∆ABCconstruimos un rectanguloPQRS, donde

los lados tienen las mismas longitudes queABy BC, y trazamos la diagonalQS.

RS

P Qb b

bb

Los triangulos∆QPS, ∆S RQy ∆ABC tienen la misma area, pues son congruentes

(por congruencia LAL). Sabemos que el area del rectanguloPQRS es igual a

m(PQ)m(RS) = m(AB)m(BC).

El area de uno de los triangulos anteriores es la mitad del ´area del rectangulo,

esto es12m(AB) ·m(BC). �

Teorema 3.14.El area de un triangulo es la mitad del producto de las longitudes

de la base y su correspondiente altura. A= 12b · h.

Algunas formas comunes en que podemos aplicar el teorema anterior son las

siguientes:

Caso 1 Caso 2

Corolario 9. Triangulos con bases y alturas iguales tiene areas iguales.

Corolario 10. El area de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diago-

nales.

Teorema 3.15.El area de un trapecio es igual a la mitad del producto de su altura

y la suma de sus bases.

50

Demostracion.Descomponemos el trapecio en dos triangulos y un rectangulo de

tal forma que el area del trapecio (AT) es igual a la suma de las areas de los triangu-

los y del rectangulo, esto esAT = A1 + A2 + A3, dondeA1 y A3 denotan el area de

cada triangulo respectivamente yA2 denota el area del rectangulo.

Dado queA1 =b1 · h

2, A3 =

b3 · h2

, y A2 = B1 · h, tenemos que el area del

trapecio esta dada por:

AT =b1 × h

2+ (B1 · h) +

b3 · h2

= (b1 + 2B1 + b3)12

h

= (b1 + (B1 + B1) + b3)12

h

= ((b1 + B1 + b3) + B1)12

h

= (B2 + B1)12

h

Por lo tanto,AT = (B2 + B1) 12h. �

Teorema 3.16.El area de un paralelogramo es igual al producto de su base y su

altura.

Demostracion.Trazamos una de las diagonales sobre el paralelogramo como se ve

en la figura.

51

Cada triangulo tiene baseb y alturah, por lo tanto cada triangulo tiene area12bh. El area del paralelogramo es igual a la suma de las areas delos dos triangulos

es decir:

A =12

bh+12

bh= bh.

�

Corolario 11. Paralelogramos con bases y alturas congruentes tienen areas iguales.

Corolario 12. Las areas de dos paralelogramos que tienen bases iguales, estan

en la misma razon que sus alturas; las areas de dos paralelogramos que tienen

alturas iguales, estan en la misma razon que sus bases.

Ejemplo 29. Los lados paralelos de un trapecio miden 3 cm y 9 cm; los lados no

paralelos miden 4 cm y 6 cm . Una recta paralela a la base divideel trapecio en dos

trapecios de igual perımetro.¿Cual es la razon en que quedan divididos los lados

no paralelos del trapecio?

Solucion:

x y

9

3b b

bb

b b

Seanx y y las medidas de los segmentos superiores de los lados no paralelos,

entonces 3+ x + y = 9 + (6 − y) + (4 − x) implica quex + y = 8. Dado que

x : y = 4 : 6= 2 : 3 entonces 2y = 3x. Ahora al solucionar el sistema

x+ y = 8

2y = 3x

obtenemosy = 245 y y : (6− y) = 24

5 : 65 entonces 24 : 6= 4 : 1.

52

Ejemplo 30. SeaABCDun rectangulo. SeaE el punto medio del segmentoBD, F

el punto medio del segmentoEBy G el punto medio del segmentoBC. ¿Que frac-

cion del area del rectanguloABCDes el area del trianguloBGF?

b

Db

C

b

Bb

A

b

E

b

FbG

Solucion:ComoE es el punto de interseccion de las diagonales del rectangulo

ABCD, la altura del trianguloECD es precisamente12BC. Su area es por lo tanto14(BC)(CD). Ası el area del trianguloBCEes igual a1

2(BC)(CD) − 14(BC)(CD) =

14(BC)(CD). Dado queF y G son los puntos medios de los ladosBE y BC respec-

tivamente se tiene que los triangulosBCE y BGF son semejantes, la longitud de

la altura del trianguloBCE, H y la longitud del segmentoFG es la mitad de la

longitud del segmentoCE, por lo tanto el area del trianguloBCEes:

12

(CE) · H = 2(FG)12

H = 4(12

(FG) · h) =116

(BC)(CD) =12

(FG) · h.

Ejemplo 31. Si en la figura, el cuadradoABCD tiene de lado 4 cm.¿Cual es la

superficie del cuadradoIJKM?

b

A

b

Bb

C

b

D

bE

b

F

bG

b

H

b

b

Jb

K

b

Ib

M

53

Solucion:Al prolongar los segmentosCE,AG, BF y DH. Podemos observar

que el area cuadradoIJKM es15

del area del cuadradoABCDy dado que area del

cuadradoABCDes 16cm2, entonces el area del cuadradoIJKM es

A(IJKM) =165

cm2.

3.6. El cırculo y la circunferencia

La invencion y el uso de la rueda circular data de hace muchısimos anos. Nadie

sabe cuando se invento la rueda o quien la invento. Algunas autoridades creen que

la rueda fue inventada en alguna parte de Asia hace unos 10000anos. La rueda mas

antigua que existe se descubrio en Mesopotamia en 1927 cuando los arqueologos

desenterraron un carro con cuatro ruedas que se sabe existi´o hace unos 5 500 anos.

El cırculo tuvo un atractivo estetico para los griegos. Para ellos fue la mas

perfecta de todas las figuras planas. Tales, Pitagoras, Euclides y Arquımedes, cada

uno contribuyo en gran parte al desarrollo de la geometrıadel cırculo.

Probablemente sea Tales el mas conocido, por el caracter deductivo de sus

proposiciones geometricas. Uno de sus logros geometricos mas notable fue probar

que todo angulo inscrito en un semicırculo debe ser angulo recto.

Hallar la longitud y el area de un cırculo han sido dos de losgrandes problemas

historicos en las matematicas.

La circunferencia de un cırculo es su longitud, que tambien recibe el nombre

de perımetro.

Puede demostrarse que la razon de la circunferencia de un c´ırculo a su diametro

es constante. Esta constante se representa mediante la letra griegaπ (pi). “Tal vez

la primera noticia acerca de un intento para evaluarπ se le acredite a un egipcio lla-

mado Ahmes, alrededor de 1600 a.C., su evaluacion deπ fue 3, 1605. Arquımides

(287 a.C-212 a.C) estimo el valor deπ inscribiendo y circunscribiendo alrededor

de un cırculo, polıgonos de 96 lados, luego calculo los perımetros de los polıgonos

regulares y razono que la circunferencia del cırculo estarıa entre los dos valores

calculados. A partir de estos resultados demostro queπ se encuentra entre 3· 17

54

y 3 · 1071, esto colocarıa aπ entre 3, 1429 y 3, 1408. Tolomeo (100 d.C-168 d.C)

evaluoπ como 3, 14166. Vieta (1540-1603) dio 3, 141592653 como el valor deπ.

En la actualidad con el uso de computadores se ha encontrado el valor deπ hasta

una exactitud de mas de 51000 millones de dıgitos, pero este es un grado de exac-

titud que no tiene valor practico. El valor deπ exacto hasta diez cifras decimales

es 3, 1415926536.”

Por lo anterior,

C1

D1=

C2

D2= π.

Puesto queCD = π, ahora puede deducirse una formula para la circunferencia.

Si se multiplica cada miembro de la ecuacion porD, se obtieneC = π · D. Dado

que el diametroD es igual a dos veces el radio, puede sustituirse en la ecuaci´on y

obtenerC = 2πR. Por lo tanto, la circunferencia se expresa mediante la formula

C = πD o bienC = 2πR.

Ejemplo 32. Hallar la circunferencia de un cırculo con un diametro de 5, 7cm.

Solucion: C= πD = 3, 14(5, 7) = 17, 898≈ 17, 9cm.

Ejemplo 33. Hallar el diametro de un cırculo que tiene una circunferencia de 8, 25

m.

Solucion: C= 2πR⇒ R = C2π ≈

8,252(3,14) ≈ 1, 313. Puesto queD = 2R entonces

D = 2(1, 313)≈ 2, 626cm.

3.6.1. Area de un cırculo.

Puede demostrarse que la razon del area de un cırculo al cuadrado de su radio

es una constante. Esta es la misma constanteπ, la razon de la circunferencia y el

diametro de un cırculo.

55

Por lo tanto el area de un cırculo esta dada por la formulaA = πR2. Como

R= D2 , puede sustituirse en la formula y obtenerA = πD

2

4 .

Ejemplo 34. Los diametros de dos cırculos son 8 y 12 centımetros respectiva-

mente. ¿Cual es la razon entre el area del cırculo menor yla del mayor?

Solucion:Dado que el area del cırculo esta dada porA = πr2, tenemos que para

el cırculo de diametro 8 cm el area esA1 = π(4cm)2 = 16πcm2, y para el cırculo de

diametro 12 cm el area esA2 = π(6cm)2 = 36πcm2, entonces la razon entre el area

del cırculo menor y la del mayor es

A1

A2=

16π36π=

49.

3.6.2. La circunferencia

Sea O un punto en el plano yr un numero positivo. Circunferencia es el con-

junto de todos los puntos del planoP que estan a la misma distanciar del punto O,

es decir,C = {P : OP= r} denota una circunferencia con radior y centro enO.

r

O

P

b

b

Si un puntoM no pertenece a una circunferencia de centroO y radior, es decir,

OM , r, entonces tenemos dos posibilidades:

1. OM < r

56

r

O

PM

b

b

b

CuandoOM < r, M es un punto interior de la circunferencia ; luego el conjunto

de todos los puntos del plano que cuyas distancias del centroson menores que

el radio, constituyen el interior (I ) de la circunferencia y se denotaI = {M :

OM < r}.

2. OM > r

r

O

PM

b

b

b

CuandoOM > r, M es un punto exterior de la circunferencia, luego el conjunto

de todos los puntos del plano cuya distancia es mayor que el radio, constituyen

el exterior (E) de la circunferencia y se denotaI = {M : OM > r}.

L ıneas notables en la Circunferencia

En la circunferencia pueden trazarse las siguientes lıneas notables:

57

O

T

D’ D

A

r

dM

T’ P

SS’

b

b

b

b

b

b

b

1. Radio: Es el segmento cuyos extremos son el centro y un punto cualquiera de

la circunferencia tal comoOA

2. Cuerda: Es el segmento cuyos extremos son dos puntos cualesquiera de la cir-

cunferencia, tal comoMd

3. Diametro: Es la cuerda que contiene al centro, tal comoDD′

4. Secante: Es la recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia, tal

comoS S′.

5. Tangente: Es la recta que tiene un solo punto en comun con la circunferencia,

tal comoTT′.

Definicion 3.17. En una circunferencia el angulo cuyo vertice es el centro de la

circunferencia se llamaangulo central, tal como∢AOB

58

O A

B

b b

b

Definicion 3.18. Dos puntos A y B separan a una circunferencia en dos conjuntos

de puntos llamadosarcos, ası en la figura siguiente la interseccion de la circun-

ferencia con cada semiplano determinado por la rectaAB, forman los arcosAB y

ADB, tal que:

AB= C ∩ AB/ ∼ D.

O BAb bb

Db

ADB= C ∩ AB/D

O

A

B

b

b

b

Db

Cuando los puntosA y Bson los extremos de un diametro se obtienen dos arcos

congruentes y cada uno de ellos de llama semicircunferencia.

59

Definicion 3.19. El angulo∢ABC de la figura se llamaangulo inscritoen un arco

de una circunferencia dado que los lados del angulo pasan por los puntos extremos

del arco y el vertice es un punto de la circunferencia pero noun extremo del arco.

O

A

B

Cb

b

b

b

Teoremas relacionados con circunferencias

Algunos teoremas relacionados con circunferencias son lossiguientes:

Teorema 3.20.Todo diametro perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda

y a los arcos respectivos. El recıproco tambien es verdadero.

AM ≃ MB ∧ AD ≃ DB.

OA

B

C

D

Mb

b

b

b

b

b

Teorema 3.21.En una circunferencia, a arcos congruentes corresponden cuerdas

congruentes.

∢1 ≃ ∢2⇒ AC ≃ DB.

60

1 2

A

B

C

D

b

b

b

b

b

Teorema 3.22.En una circunferencia, las cuerdas congruentes equidistandel cen-

tro.

OQ≃ OP.

OB

A

QP

C

Db

b

b

b

b

b b

Teorema 3.23.Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en

su extremo.

APb b

Teorema 3.24.La medida de un angulo central es la medida del arco intersecado.

61

m∢AOB= mAB.

A

O

B

b

b

b

Teorema 3.25.La medida de un angulo inscrito es la mitad de la medida del arco

intersecado.

m∢ACB=12

mAB.

A

O

B

Cb

b

b

b

Teorema 3.26.La medida de un angulo cuyo vertice esta en el interior de la cir-

cunferencia (pero no en el centro) es igual a la semisuma de las medidas de los

arcos intersecados por los lados del angulo dado y el de su opuesto por el vertice.

m∢ABC=m(AC) +m(PQ)

2.

62

A

OB

C

Q

P

bb

b

b

b

b

Teorema 3.27. La medida de un angulo cuyo vertice esta en el exterior de la

circunferencia, es igual a la semicircunferencia de las medidas de los arcos inter-

secados por sus lados.

m∢ABC=m(AC) −m((PQ

2.

A

O

BQ

P

Cb

b

b

b

b

b

Teorema 3.28.Todo angulo inscrito en12 circunferencia es un angulo recto.

Definicion 3.29. Una region circular o cırculo es la reunion de la circunferencia

y su interior. Esta region es el conjunto de todos los puntoscuyas distancias al

centro O es igual o menor que el radio de la circunferencia.

De aquı en adelante llamaremos al area de una region circular area de un

cırculo.

63

A

O

B

Pb

b

b

b

Definicion 3.30. Se denominasector circulara la region limitada por dos radios

no colineales y el arco correspondiente. OAPB Es un sector circular.

A

O

B

Qb

b

b

b

La region circular limitada por una cuerda y su arco correspondiente se denomi-

nasegmento circular, tal comoABQ. El areaA de un sector circular esta dada por:

A =πr2n◦

360.

Donden◦ es la medida en grados del arco o angulo central. Y el areaAsc de un

segmento circular es la diferencia entre el area del sectorcircular y el area del

triangulo correspondiente que tiene por lados los radios del sector y la cuerda del

arco

A = Asc− At =πr2n◦

360− A△ AOB

64

Ejemplo 35. Se tienen dos circunferencias tangentes entre sı, de radiodos y una

lınea tangente a las dos, ademas hay una tercera circunferencia tangente a las dos

primeras y a la recta como se muestra en el dibujo. ¿Cual es elradio de la tercera

circunferencia?

Solucion:Denotemos porO1 y O3 a los centros de las circunferencias de radio 2

y porO2 al centro de la circunferencia tangente a ellas. Seap el punto de tangencia

de las circunferenciasO1 y O3. Por propiedad de la tangente a una circunferencia

se tiene queO2 ⊥ O1P y ası el trianguloO1PO2 es rectangulo.

De otro ladoO1Q = 2,O1P = 2 y O1Q ‖ PO2, entoncesPO2 = 2 − r y

O1O2 = 2+ r, donder es el radio de la circunferencia 2. Finalmente, aplicando el

teorema de Pitagoras tenemos que (2+ r)2 = 22+ (2− r)2, de donde se deduce que

r = 12.

3.7. Desigualdades entre medias

Las desigualdades juegan un papel importante en la matematica. Existen li-

bros completos dedicados a su estudio, y en las competenciascon problemas de

matematicas aparecen con frecuencia.

La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier numero real, y de la cual

en cierto sentido se derivan todas las demas, es sencillamente x2 ≥ 0, con igualdad

si y solo six = 0. Mas general,x21 + x2

2 + · · · + x2n ≥ 0, con igualdad si y solo si

x1 = x2 = ·· = xn.

1. Las medias basicas

Dadosn numeros no negativosx1, x2, ..., xn consideremos cuatro maneras de

calcular un valor promedio entre todos ellos:

65

a) La media armonica:H =n

1x1+ 1

x2+ · · · + 1

xn

. (Suponemos en este caso

que los numeros son todos positivos).

b) La media geometrica:G = n√

x1x2 · · · xn.

c) La media aritmetica:M =x1 + x2 + · · · + xn

n.

d) La raız cuadrada de la media aritmetica de los cuadrados:

R=

√x2

1 + x22 + · · · + x2

n

n.

Ejemplo: Consideremosn = 3 y los numerosx = 1, y = 2, z = 4. Es facil

comprobar queH = 127 ,G = 2,A = 7

3,R =√

7 y ademas se puede verificar

queH ≤ G ≤ M ≤ R.

2. Desigualdad entre las medias artimetica y geometrica

Si x1, x2, ..., xn son numeros reales no negativos entonces

x1 + x2 + · · · + xn

n≤ n√

x1x2 · · · xn

y la igualdad se da solamente six1 = x2 · ·· = xn.

Una de las demostraciones de esta desigualdad es:

SeaA la media artimetica yG la media geometrica dex1, x2, ..., xn. Es claro

que six1 = x2 = · · · = xn entoncesA = G. De lo contrario deben existir

xi , x j tales quexi < A < x j . Si sustituimosx j por A y xi por xi + x j − A

es claro que la media aritmetica no cambia. En cambio la media geometrica

aumenta estrictamente ya queA(xi + x j − A) − xi x j = (A − xi)(x j − A) >

0. Repitiendo este proceso suficientes veces llegaremos a unconjunto den

numeros iguales, cuya media aritmeticaA sera igual a su media geometrica

y esta estrictamente mayor queG.

Las siguientes desigualdades:

a) xn1 + xn

2 + · · · + xnn ≥ n · x1 · x2 · · · xn

66

b)x1

x2+

x2

x3+ · · · +

xn−1

xn+

xn

x1≥ 1

c)n

1x1+ 1

x2+ · · · + 1

xn

≤ n√

x1x2 · · · xn

Observe que la ultima es la desigualdadH ≤ G entre las medias armonica y

aritmetica.

3. Desigualdad entre las medias aritmetica y la raız de la media aritmetica

de los cuadrados

Dadosn numeros no negativosx1, x2, ..., xn,

( x1 + x2 + · · · + xn

n

)2≤

x21 + x2

2 + · · · + x2n

n.

La igualdad se cumple si y solo si los numerosx1, x2, .., xn son todos iguales.

Demostremos otra desigualdad de la cual esta es un caso particular. De-

mostremos que sit1, t2, ...tn son numeros de (0, 1) tales quet1+t2+· · ·+tn = 1,

se cumple que

(t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn)2 ≤ t1x21 + t2x2

2 + · · · + tnx2n.

y la igualdad es cierta si y solo si todos losxi son iguales.

La demostracion es por induccion.

Paran = 2, la desigualdad toma la forma:

(tx+ (1− t)y)2 ≤ tx2 + (1− t)y2;

con x, y ∈ R y t ∈ [0, 1]).

Observando que

tx2 + (1− t)y2 − (tx+ (1− t)y)2 = t(1− t)x2 + t(1− t)y2 − 2t(1− t)xy

= t(1− t)(x− y)2

≥ 0,

67

vemos que la desigualdad es cierta y que la igualdad se cumplesi y solo si

x = y.

Ahora supongamos que la desigualdad es cierta paran− 1 y veamos que es

cierta paran.

(t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn)2 =

(t1x1 + (1− t1)

t2x2 + · · · + tnxn

1− t1

)2

=

(t1x1 + (1− t1)

(t2

1− t1x2 + · · · +

tn1− t1

xn

))2

≤(1)

t1x21 + (1− t1)

(t2

1− t1x2 + · · · +

tn1− t1

xn

)2

≤(2)

t1x21 + (1− t1)

(t2

1− t1x2

2 + · · · +tn

1− t1x2

n

)2

= t1x21 + t2x2 + · · · + tnx2

n.

La desigualdad (1) se ha obtenido usando el cason = 2 y la desigualdad

(2) se ha obtenido usando la hipotesis de induccion, quedando claro que la

igualdad solo se cumplira cuando todos losxi sean iguales.

4. Desigualdad del reordenamiento

Dados 2n numeros reales positivosa1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an y b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn,

seaσ una permutacion de{1, 2, . . . , n}. Entonces

a1bn+a2bn−2+ · · ·+a1bσ(1)+a2bσ(2)+ · · ·+anbσ(n) ≤ a1b1+a2b2+ · · ·+anbn.

Esta desigualdad tiene una interpretacion fısica: si se tiene una barraOP y

se coloca un pesoai a una distanciabσ(i) del extremoO, entoncesa1bσ(1) +

a2bσ(2) + · · · + anbσ(n) es el momento resultante respecto al punto O. La

desigualdad dice que el momento es maximo cuando los pesos mayores se

colocan mas lejos y los menores mas cerca deO, y es mınimo cuando se

procede a la inversa. Esta desigualdad es facil probar, para ello supongamos

queck = bσ(k), parak = 1, 2, ..., n seai < j y consideremos las sumas:

68

S = a1c1 + · · · + aici + · · · + a jc j + · · ·ancn,

S′ = a1c1 + · · · + aic j + · · · + a jci + · · ·ancn,

que difieren solamente en que se han transpuestoci conc j . Entonces

S′ = S = aic j + a jci − aici − a jc j = (a j − ai)(ci − c j)

y se observa que sici > c j entoncesS′ ≥ S. De aquı se sigue que el valor

maximo de la suma se obtiene cuandoc1 ≤ c2 ≤ ·· · ≤ cn y el mınimo cuando

c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ cn.

Ejemplo 36. Si se sabe que la ecuacionx3 + mx2 + x + n = 0 tiene raıces reales

positivas cuyos cuadrados suman 1, ¿cuanto calenmy n y las raıces?.

Solucion:Si las raıces sonα, β, γ entoncesα2+β2+γ2 = 1 yαβ+βγ+γα = 1,

entonces por la desigualdad anteriorα = β = γ, de ahı que 3α2 = 1, de donde

α =√

3/3,m= −3α = −√

3 y n = −α3 = −√

3/9.

Ejemplo 37. Seana, b y c los lados de un triangulo y∆ su area. Probar quea2 +

b2 + c2 ≥ 4√

3∆.

Solucion:Para este problema hay numerosas soluciones, pero veamos que se

pueden resolver con los recursos mas elementales. Si el triangulo fuese equilatero

entonces su altura serıaa√

3/2 y su areaa2√

3/4, por lo tanto se cumplirıa la

igualdad. Para un triangulo cualquiera supongamos quea sea el lado mayor y sea

P el pie de la altura trazada desde el verticeA. Seax = BP− a/2 (por lo tanto

BP= a/2+ x y PC = a/2− x). Seay = ha − a√

3/2 (de dondeha = y+ a√

3/2).

La idea de introducirx e y es que estas cantidades representan la desviacion del

triangulo respecto a uno equilatero. Entonces, por el teorema de Pitagoras aplicado

a los triangulosABPy APCse tiene que

69

a2 + b2 + c2 − 4∆√

3 = a2 +

(a2+ x

)2+

(a2− x

)2+ 2h2

a − 2a√

3ha

=32

a2 + 2x2 + 2ha(ha − a√

3)

=32

a2 + 2x2 + 2(a√

3/2+ y)(−a√

3/2+ y)

=32

a2 + 2x2 + 2y2 −32

a2 = 2(x2 + y2)

≥ 0.

Esto prueba la desigualdad y de paso muestra que hay igualdadsi y solo si

x = y = 0, lo que equivale a que el triangulo sea equilatero.

Ejemplo 38. Seana, b, c los lados de un triangulo. Pruebe que

a2(−a+ b+ c) + b2(a− b+ c) + c2(a+ b− c) ≤ 3abc. (1)

Solucion:Puesto que

(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c) = (−a+b+c)(a2−(b−c)2) = a2(−a+b+c)+

a(b−c)2−(b2−c2)(b−c) = a2(−a+b+c)+b2(a−b+c)+c2(a+b−c)−2abc.

la desigualdad propuesta es equivalente a

(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c) ≤ abc. (2)

Pero como los tres factores del miembro izquierdo son positivos (por la de-

sigualdad triangular), aplicando la desigualdad aritmetico-geometrica se tiene que

(−a+ b+ c)(a− b+ c) ≤(−a+ b+ c+ a− b+ c

2

)2

= c2,

analogamente

(a− b+ c)(a+ b− c) ≤ a2,

(−a+ b− c)(a+ b− c) ≤ b2.

70

Multiplicando estas tres desigualdades y extrayendo la ra´ız cuadrada queda proba-

da (2). La igualdad se da si y solo si−a + b + c = a − b + c = a + b − c, lo que

equivale a quea = b = c.

Es interesante senalar que en realidad (1) y (2) valen para reales no negativos

cualesquiera. En efecto, si dos de los factores del miembro izquierdo de (2) fuesen

negativos, sumandolos se llega a quea, b o c es negativo, lo cual es absurdo, por

lo tanto a lo sumo uno de los tres factores puede ser negativo.Acabamos de probar

que si ninguno de los tres factores es negativo, la desigualdad es cierta, pero si uno

es negativo y los otros dos no negativos, el miembros izquierdo es no positivo y el

derecho no negativo, por lo cual tambien se cumple la desigualdad.

Ejemplo 39. Probar que en cualquier trianguloR≥ 2r.

Solucion:Si ∆ es el area del triangulo entonces∆2 = 116(a + b + c)(−a + b +

c)(a+ b− c) = (pr)2 = 14(a+ b+ c)2r2.

Esta desigualdad es tambien un corolario del teorema de Euler segun el cual

OI2 = R2 − 2Rr.

3.8. Ejercicios propuestos

1. En la figura siguiente↔l ‖

↔m y

↔r ‖

↔s. Si m(α) = 60◦, hallarm(β).

2. Si↔l ‖

↔m. Demostrar quem(1)+m(2)+m(3) = 180◦.

71

3. AB� BC y AD � DC. Demostrar que ˆx � y.

4. En la figuraB � D,AB� DE y C es el punto medio deBD. Demostrar que

∆ABC� ∆EDC.

5. Sea∆RS TconS T⊥RS; MN⊥RT. Demostrar que∆RMN∼ ∆RS T.

6. Hallar el area de un paralelogramoABCDsi m(AD) = 12cm, m(AB) = 18cm

72

y m(A) = 60◦.

7. Determinar el area del paralelogramoABCDde la figura. DondeAD � DB,

m(AB) = 10cmy m(A) = 45◦.

8. Hallar el lado del cuadrado cuya diagonal es 16cm.

9. El area de un trapecio es de 76cm2. Las bases son 11cm y 8cm respectiva-

mente. Determinar la altura del trapecio.

10. En la figura se tiene queGF ||AE, CF ||AG, CG ||EF, m(GF) = 14cm,

m(BG) = 12cmy m(AB) = m(DE) = 7cm. Hallar el area del paralelogramo

ACFG, el area del triangulo∆GCF y el area del rectanguloBDFG.

11. Si los radios de dos cırculos son 2 y 3 cm. respectivamente, ¿Cual es la razon

de sus areas?.

12. Se senala tres puntos a lo largo de un cırculo y se asignan numeros enteros

positivos distintos a cada uno de los tres puntos. Luego en forma simultanea

cada numero se reemplaza por el mınimo comun multiplo delos dos numeros

vecinos a el. Resulta entonces que el mismo numeron corresponde a cada

uno de los tres puntos.

73

Hallar el menor valor que puede tenern.

13. En el trianguloABC, A = 60◦, B = 45◦ y AC = 30cm. D es un punto de lado

BC, tal queAD es la bisectrız del anguloA. Sib es la longitud en centımetros

deAD. ¿Cual es el valor deb?

14. Se inscribe una circunferencia en un triangulo rectangulo. El punto de tan-

gencia de la circunferencia y la hipotenusa divide la hipotenusa en dos seg-

mentos de longitud 7 y 8 respectivamente. El area del triangulo es:

15. Seana, b, c reales positivos. Pruebe que

(1+

ab

) (1+

bc

) (1+

ca

)≥ 2

(1+

a+ b+ c3√abc

).

16. Halle las raıcesr1, r2, r3 yr4 de la ecuacion: 4x4 − ax3 + bx2 − cx+ 5 = 0,

sabiendo que son reales positivos y quer12 +

r24 +

r35 +

r48 = 1.

17. Demostrar que sia, b, c > 0, entonces (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abcy determinar

cuando se cumple la igualdad.

74

Bibliograf ıa

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