MANUAL MATEMTICAS

MANUAL MATEMTICASlgebra, Geometra y Clculo

NDICE

1I.NMEROS REALES

2A.Propiedades de los nmeros reales

3B.Propiedades de los negativos

3C.Sustraccin y divisin

5D.Mayor o menor que

7E.Valor absoluto

8II.EXPONENTES Y RADICALES

8A.Ley de los exponentes

9B.Ley de radicales

9C.Definicin de exponentes racionales

10D.SIMPLIFICAR

12III.EXPRESIN ALGEBRAICA

13IV.Polinomios

13A.Suma y resta de polinomios

14B.Multiplicacin de polinomios

14C.Divisin de un polinomio entre un monomio

16V.Binomios

16A.Multiplication de binomios

17VI.FACTORIZACIN

17A.Frmulas de factorizacin

17B.Factorizacin a prueba y error

18C.Facturacin por agrupacin.

20VII.EXPRESIONES FRACCIONARIAS

20A.Racionalizacin

21VIII.ECUACIONES

21A.Ecuaciones Lineales

26B.Ecuaciones Cuadrticas o de segundo grado

261.Teorema del factor cero.-

272.Completar el cuadrado.-

293.Frmula cuadrtica.-

31C.Otros tipos de ecuaciones

34IX.DESIGUALDADES

34A.-Propiedades de las desigualdades

37B.Propiedades de los valores absolutos

38X.SISTEMAS DE ECUACIONES

39A.Mtodo de sustitucin

40B.Solucin de un sistema de tres ecuaciones

43C.RECTAS

43a)Forma punto-pendiente para la ecuacin de una recta

43b)Forma pendiente-interseccin para la ecuacin de una recta

44c)Forma general para la ecuacin de una recta

44d)Teorema sobre pendientes de rectas paralelas

45e)Teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares

47XI.LEY DE LOS SENOS

50XII.LEY DE LOS COSENOS

57GEOMETRA

57I.CIRCUNFERENCIA

59II.PARBOLA

61A.Vrtice de una parbola

63III.ELIPSE

63A.Elipse con centro en (0,0)

64B.Vrtices y focos

65C.Trazado de una elipse dado su centro

67CLCULO

67I.FUNCIONES

67A.Imagen y Dominio de una funcin

68B.Funciones Crecientes y Decrecientes

71II.LMITES

71A.POR DEFINICION

72B.Lmites laterales.

73C.Leyes de los Lmites

74D.Sustitucin Directa

76E.Lmites al infinito

80III.Derivadas

82A.Reglas de derivacin

84IV.Sucesiones aritmticas

86i.Determinacin de una suma de enteros pares

88V.Sucesiones geomtricas

88i.Bsqueda de trminos de una sucesin geomtrica

89ii.Bsqueda de un trmino especfico de una sucesin geomtrica

I. NMEROS REALESLos nmeros reales se usan en toda la matemtica y el estudiante debe estar familiarizado con los smbolos que los representan, por ejemplo:

-55, 3, , , 0.3333, 846.9374, etc.

Los enteros positivos, o nmeros naturales, son 1,2,3,4,5,

Los nmeros enteros son los nmeros naturales combinados con el nmero 0. Los enteros se escriben como sigue . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Un nmero racional es un nmero real que se puede expresar en la forma a/b, donde a y b son enteros y b 0. Note que todo entero a es un nmero racional, dado que se puede expresar en la forma a/1. Todo nmero real se puede expresar como decimal, y las representaciones decimales para nmeros racionales son finitas o no finitas y peridicas. Por ejemplo, podemos demostrar, con el uso del proceso aritmtico de la divisin, que

donde los dgitos 1 y 8 se repiten indefinidamente

Los nmeros reales que no son racionales son nmeros irracionales. Las representaciones decimales para nmeros irracionales son siempre no finitas y no peridicas. Un nmero irracional comn, denotado por , es la razn entre la circunferencia de un crculo y su dimetro. A veces usamos la notacin 3.1416 para indicar que p es aproximadamente igual a 3.1416.

El sistema de nmeros reales est formado por todos los nmeros racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de nmeros empleados en lgebra estn ilustradas en el siguiente diagrama, donde una lnea que enlaza dos rectngulos significa que los nmeros mencionados en el rectngulo ms alto incluyen los del rectngulo ms bajo. Los nmeros complejos contienen a todos los nmeros reales.

A. Propiedades de los nmeros reales

Terminologa Significado Caso General

La suma es conmutativaEl orden es indiferente cuando se suman dos nmeros.

La adicin es asociativaLa agrupacin es indiferente cuando se suman tres nmeros.

0 es el neutro aditivoLa suma de 0 con cualquier nmero da el mismo nmero.

a es inverso aditivoLa suma de un nmero y su negativo da 0

La multiplicacin es conmutativaEl orden es indiferente cuando se multiplican dos nmeros

La multiplicacin es asociativaLa agrupacin es indiferente cuando se multiplican tres nmeros.

1 es el neutro multiplicativoLa multiplicacin de cualquier nmero por 1 da el mismo nmero.

Si a 0, 1/a es el inverso multiplicativoLa multiplicacin de un nmero diferente de cero por su recproco da 1.

La multiplicacin es distributiva sobre la adicin La multiplicacin de un nmero y una suma de dos nmeros es equivalente a multiplicar cada uno de los dos nmeros por el nmero y luego sumar los productos

B. Propiedades de los negativos

Propiedad Ejemplo

C. Sustraccin y divisin

DEFINICIN FIGNIFICADO EJEMPLO

Para restar un nmero de otro, se suma el negativo

Para dividir un numero entre otro diferente de cero, se multiplica por el recproco

Usamos o por y nos referimos a como el cociente de a y b o la fraccin a sobre b. Los nmeros a y b son el numerador y denominador, respectivamente, de . Como 0 no tiene inverso Multiplicativo, no est definido si b = 0; esto es, la divisin entre cero no est definida. Es por esta razn que los nmeros reales no son cerrados con respecto a la divisin. Note que

Se puede establecer las siguientes propiedades de los cocientes, siempre que todos los denominadores sean nmeros reales diferentes de cero.

(+5) + (2) = +7 Suman a la derecha positivos

( ( ( ( ( ( ( ( ( (0 1 2 3 4 5 6 7

(-6) + (-3) = -9 Negativos se suman a la izquierda

( ( ( ( ( ( ( ( ( (-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

(+7) + (-4) = +3

( ( ( ( ( ( ( ( ( (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(-5 )+ (+2 ) = -3

( ( ( ( ( ( ( ( ( (-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Resuelve las siguientes operaciones

1. 15 - { 4 + [ - 5 - 4 + ( 2 - 3 ) ] - 16 }=2. 4 {5 [(7 + 8) (5 - 2)]} =3. 1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - [ 23 + 45 - 66 + 23 - ( 3 + 5 + 7 ) - 67 ] + 8 } =

4. 2 - {2 - (2 - 3 + 1) + [2 + 3] - 2 } =

5. - 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 [ 2 + ( 5 - 6) - 3 - 5 ] } =D. Mayor o menor que

En la tabla siguiente definimos las nociones de mayor que y menor que para nmeros reales a y b. Los smbolos > y < son signos de desigualdad, y las expresiones a > b y a< b se llaman desigualdades (estrictas).Notacin Definicin Terminologa

es positivo es mayor que b

es negativo es menor que b

La siguiente ley hace posible comparar, u ordenar, dos nmeros reales cualesquiera.

Ley de la tricotoma

Si a y b son nmeros reales, entonces exactamente uno de los siguientes es

verdadero:

Nos referimos al signo de un nmero real como positivo si el nmero es positivo, o negativo si el nmero es negativo. Dos nmeros reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los nmeros tienen signos contrarios si uno es positivo y el otro es negativo. Se pueden probar los siguientes resultados acerca de los signos de productos y cocientes de dos nmeros reales a y b, usando propiedades de negativos y cocientes.Ley de los signos

Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y son positivos.

Si a y b tienen signos contrarios, entonces ab y son negativos

Los recprocos de las leyes de signos tambin son verdaderos. Por ejemplo, si un cociente es negativo, entonces el numerador y el denominador tienen signos opuestos.

La notacin se lee a es mayor o igual a b, significa que a > b o que a = b (pero no ambos). Por ejemplo, para todo nmero real a. El smbolo , que se lee a es menor o igual a b, significa que o que . Expresiones de la forma y se denominan desigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b. Al igual que con el smbolo de igualdad, podemos negar cualquier smbolo de desigualdad al poner una raya diagonal sobre ella, es decir, significa no mayor que.

Una expresin de la forma se denomina desigualdad continua y significa que y ; decimos b est entre a y c. Del mismo modo, la expresin significa que y .

Cunto es x+3, si sabes que x es mayor que 1?

Six > 1 ,entoncesx+3 > 4

Ejercicios a re

Si x0 determine el signo del resultado.

1. xy

2. x2y

3. + x

4. y x

5. 6. xy27. 8. y(y-x)

Expresar como desigualdad

1. x es negativo

2. y es no negativo

3. q es menor o igual que

4. d esta entre 4 y 2

5. t no es menor que 5

6. el negativo de z no es mayor que 3

7. el cociente de p y q es mayor que 3 al sumarle 7 8. el reciproco de w es al menos 9

9. el valor absoluto de x es mayor que 7

E. Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero real a, denotado por |a| se define como sigue:

1. Si , entonces 2. Si , entoncesEn general para todo nmero real

Swokowski& Cole, lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Editorial International Thomson, onceavaedicin. Captulo 1.

Como a es negativo en la parte (2) de la definicin, representa un nmero real positivo. Algunos casos especiales de esta definicin se dan en la siguiente ilustracin.

i. Notacin de valor absoluto Notacin Porque

Ilustrar el valor absoluto de 6

El valor absoluto no es ms qu la distanciaque hay de un nmero a cero.

Las operaciones con valor absoluto se realizan de la siguiente forma:

|8-3| es lo mismo que tener

Por lo que

Resuelva las siguientes operaciones de valor absoluto

1. I-3-2 I

2. I-5 I I 2 I

3. I7I + I-4I

4. I-11 + 1I

5. 6- I-3I

6. I8I + I-9I

7. I-5I I3-6I8. I-6I/ 3II. EXPONENTES Y RADICALES

Si n es un entero positivo, la notacin exponencial que se define en la tabla adjunta representa el producto del nmero real a multiplicando n veces por s mismo. La expresin se lee a a la ensima potencia o, simplemente a a la n. El entero positivo n se llama exponente y el nmero real a, base.

Ejemplos

A. Ley de los exponentes

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse para obtener reglas como y

d

Teorema de exponentes negativos

Definicin de Sean n un entero positivo mayor de 1 y a, un nmero real

1. Si , entonces =0

2. Si , entonces es el nmero real positivo b tal que 3. Si a