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Unidad Educativa “Caranavi Bolivia”

MODULO I

ALGEBRA (Tercer Bimestre)

Caranavi, La Paz, Bolivia

2016

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1. DATOS INFORMATIVOS: 2. NOMBRE DE LA U. E. : Caranavi Bolivia 3. DIRECTOR : Lic. Juan Edwin Uño Ariviri 4. GRADO : Quinto de Secundaria 5. ÁREA : Matemática 6. DOCENTE : Prof. Elior Choque Quispe

: Prof. J. Magdalena Laura F. 7. NOTA APROBATORIA : 51 8. BIMESTRE : Tercero

2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO: “Comunicación y educación sobre el uso y disposición

final de residuos sólidos”. 3. CONTENIDOS: EL ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y SU VALOR EN LA DIVERSIDAD CULTURAL.

Cocientes notables. División sintética. Teorema del resto. Factorización

4. PLAN DE DESARROLLO CURRICULAR

TEMÁTICA ORIENTADORA: Reconstrucción de los fenómenos tecnológicos, naturales, sociales, culturales y su aplicación. OBJETIVO HOLÍSTICO: Desarrollamos un ambiente comunitario mediante el reconocimiento de procesos abreviados de nuestra cultura, para determinar y registrar reglas de los cocientes notables, proponiendo procesos educativos que ayuden y simplifiquen las tareas en el cuidado del medio ambiente.

CONTENIDOS Y EJES ARTICULADORES: Los Cocientes Notables desde nuestra cultura y comunidad.

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

RECURSOS MATERIALE

S

EVALUACIÓN EN EL (Ser-Saber-Hacer-Decidir)

¿Conoces alguna aplicación o herramienta que haya simplificado la vida de las personas? PRÁCTICA: Visita y entrevista a una de las familias chocolateras de nuestra región, sobre la obtención de chocolate, enfatizando los procesos empleados hace años con los actuales. Plenaria y dialogo sobre procesos desarrollados para obtención de productos en las familias chocolateras. Recolección y escritura de frases aymaras identificados en la entrevista. TEORÍA: Presentación y análisis de ciertos cocientes que se obtienen por simple inspección, sin que realizar la división.

Cuaderno de apuntes. Cámaras fotográficas. Grabadoras de voz. Material audiovisual. Computador. Proyectora. Texto de

Actitud de respeto y tolerancia en los trabajos comunitarios. Participación, solidaridad y trabajo grupal, durante lecturas y diálogos en lengua materna. Identificación de cada caso de cocientes notables, indicando la regla practica de aplicación. Clasificación y reconocimiento de los casos de cocientes notables.

MÓDULO: ALGEBRA

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Identificación de las reglas y rutinas que permiten abreviar procesos. Reconocimiento de los casos que implican cocientes notables. Desarrollamos y sintetizamos tres casos de cocientes notables. VALORACIÓN: Aplicación y buen uso de las reglas de cocientes notables, según cada caso.

Proposición de materiales audiovisuales que orienten y simplifiquen las problemáticas de contaminación con residuos sólidos.

matemática. Diapositivas didácticas. Software para editar videos. Fotografías y vídeos.

Elaboración de diapositivas didácticas en Power Point y material audiovisual educativo sobre el uso y disposición final de residuos sólidos. Disposición al cambio de conducta para cuidar el medio ambiente, a partir de conjeturas, argumentos y propuestas.

PRODUCTO: Diapositivas didácticas en Power Point y material audiovisual educativo para televisión. Bibliografía: Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima.

Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz. Chungara Vìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo.

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COCIENTES NOTABLES

Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen ciertas reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección. Los principales cocientes notables, verificables por simple inspección son: 1er caso: COCIENTE DE LA SUMA DE POTENCIAS IGUALES IMPARES ENTRE LA SUMA DE SUS BASES.

La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases.

Su estructura es:

Cuyas características son:

El primer término inicia con un grado menor, descendentemente hasta llegar al grado cero. El segundo término del binomio inicia en el segundo término del cociente, ascendentemente hasta llegar a un grado menor que su potencia.

El primer factor del resultado será positivo el segundo negativo y de esta manera seguirán alternándose hasta terminar el polinomio.

El exponente “n” siempre impar.

Ejemplo 2.

2do caso: COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES PARES O IMPARES ENTRE LA DIFERENCIA DE SUS BASES.

La diferencia de dos potencias de exponentes iguales, ya sea pares o impares, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases.

Ejemplo 1

Ejemplo 2. Expresando como potencias las cantidades grandes, de modo que logremos potencias iguales.

=

Cociente

Exponente par o impar

Potencias iguales

Expresando como potencia

Recuerde que:

5

Ejemplo 3. Aplicando la regla de la estructura:

3er caso: COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES PARES ENTRE LA SUMA DE SUS BASES. La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases. Se estructura exactamente igual que en los casos anteriores, sin diferencias.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2. La estructura del cociente es igual que en los casos anteriores.

Ejemplo 3. Complete la estructura del cociente resultante.

En síntesis los tres casos presentados son:

Tabla

Ahora te toca a ti. Encuentra el cociente por simple inspección.

1)

2)

3)

322344

yxyyxxyxyx

1er caso:

2do caso:

3er caso:

6

4) =

5)

=

6)

=

7)

=

8)

=

9)

=

10)

=

HOJA DE EVALUACIÓN COCIENTES NOTABLES

APELLIDOS Y NOMBRES:……………………………………………………………………………………………PROMEDIO: CURSO:…………………………………………………………………………FECHA: ……………………………………… Escribir el cociente sin efectuar la división: 1er caso:

11) =

12) =

13) =

14) =

15) =

2do. Caso:

16) =

17) =

7

18) =

19) =

20) =

3er caso:

21) =

22) =

23) = HOJA DE AUTOEVALUACIÓN

SER 100 PTS

DECIDIR 100 PTS FECHA AUTO OBSERVACIÓN AUTO OBSERVACIÓN

SABER 100 PTS

HACER 100 PTS FECHA AUTO OBSERVACIÓN AUTO OBSERVACIÓN

COCIENTES NOTABLES

CONSTRUCCIÓN

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TEOREMA DEL RESTO Y DIVISIÓN SINTÉTICA.

TEOREMA DEL RESTO

Se lo conoce también como Teorema del Residuo o Teorema de Horner, y tiene como propósito determinar el Residuo de una división Algebraica, sin realizar la División.

El teorema expresa que: “El Residuo de dividir el polinomio: P(x) entre un Binomio de la forma: − , o incluso ± es igual al valor numérico que asume el polinomio P(x) al remplazar en él,

por el valor de: o ± .“

Ejemplo 1. Vamos a hallar el residuo de la división de − 7 + 17 − 6 entre − 3.

− 7 + 17 − 6 − 3 − + 3 − + −4 + 17 4 − 12 5 − 6 −5 + 15

La división no es exacta y el residuo es 9.

Si ahora, en el Dividendo − 7 + 17 − 6 remplazamos la por 3 , tendremos:

( ) = 3 − 7(3) + 17(3) − 6 = 27 − 63 + 51 − 6 =

También es posible aplicar en las divisiones donde el divisor sea de la forma ± .

Ejemplo 2. Hallar el resto de la división de 6 − 5 + 8 entre 2 − 3.

Solución: Remplazando = 32 en ( ) = 6 − 5 + 8, tendremos:

= ( ) = = 6 − 5 ∙ + 8 =

Este método será muy útil para calcular el resto de una división en situaciones como el que sigue.

Ejemplo 3. Vamos a hallar el resto de la división de + 1 entre − 1.

= ( ) = 1 + 1 = 2. El resto de la división vale 2.

Del divisor − 3 = 0 Despejamos como = Entonces tendremos: = 3

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DIVISIÓN SINTÉTICA Sin efectuar la división, no solamente es posible hallar el residuo, sino también el cociente siguiendo una regla práctica llamada división sintética. Ejemplo 1. Dividamos − 5 + 3 + 14 entre − 3 por la forma clásica. − 5 + 3 + 14 − 3 − + 3 − − −2 + 3 2 − 6 −3 + 14 3 − 9 Ahora veamos cómo es posible, hallarlos directamente: 1 − 5 + 3 + 14 +3 + 3 − 6 − 9 − − +

ACTIVIDADES 1) Sin realizar la división, calcular el resto de las siguientes divisiones algebraicas.

) − 5 + + 2 entre − 3

) 8 + 2 + 3 − 13 + 8 entre − 1

2) ¿Cuál es el resto de la división de 5 − 3 + 6 − 1 entre − 1?

3) Sin realizar la división decir si la división es o no, exacta. ( + 64) ÷ ( − 2)

El Cociente será un polinomio en x de 2° grado, uno menos que el Dividendo de 3° grado. El cociente de la división es: − − y el residuo 5. Estos son el cociente y el residuo que se obtuvieron efectuando la división anterior.

(Segundo término del divisor con el signo cambiado)

Coeficientes del Dividendo

Coeficientes del cociente Resto

La regla es: El primer coeficiente del dividendo es el

primer coeficiente del cociente. Por lo

tanto se copia, en este caso el 1. El siguiente coeficiente (− ) se obtiene

multiplicando el anterior coeficiente (1) por (+3), y sumando este producto con el coeficiente −5 que ocupa la segunda columna.

El coeficiente (-3) se obtiene multiplicando el anterior coeficiente -2 por +3 y sumando este producto con el coeficiente -6, de la tercera columna.

El residuo es el término sobrante (+ ), que no llevará variable alguno.

El Cociente es − − y el Residuo 5

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4) Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

a) 2 − 5 + 6 − 4 − 105 entre + 2 b) 3 + 5 + 4 entre − 2 c) − 7 + 5 entre − 3 d) − 5 + 4 − 48 entre + 2 e) 3 + − 5 + 4 entre + 1

HOJA DE TRABAJO TEOREMA DEL RESTO. DIVISIÓN SINTÉTICA

Apellidos y nombres:………………………………………………………………….Nota:……………. Curso:…………………………………………………………...…Fecha:………………..…………….. Hallar el teorema del resto, hallar los residuos sin efectuar las divisiones: 1. El residuo de dividir 7 − 6 + 8 entre − 3 es:

a) 62 b) 63 c) 60 d) -63 e) 0

2. ¿Cuál es el residuo de dividir 8 − 4 − 9 entre 2 − 5? a) -31 b) 31 d) 0 e) 30 d) -30

3. Hallar por simple inspección, el residuo de − 5 + − 1 entre + 5

a) 5 b) 6 c) -6 d) 0 e) -5 d) 7

Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

5. El cociente y residuo de la división − 5 + 4 − 48 entre + 2 es: a) Cociente + 7 + 14 − 20 resto 0 b) Cociente − 7 + 14 − 24 resto 0 c) Cociente − 3 + 14 − 24 resto -5

6. El cociente y residuo de la división de − 3 + 5 entre − 1

a) Cociente + + − 5 y resto 3 b) Cociente + 5 + − 2 y resto -3 c) Cociente + + − 2 y resto 3

7. Indicar si son exactas o no, las divisiones siguientes: a) − − 6 entre − 3 exacta no exacta b) 2 − 2 − 4 + 16 entre + 2 exacta no exacta

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FACTORIZACIÓN Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores primos. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entres sí dan como producto la primera expresión. En la multiplicación algebraica se tiene: ( + 2)( + 3) = + 5 + 6 ∙ =

Ahora estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos o más factores distintos de 1. I. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN

Factor Común Monomio Ejemplo 1. Descomponer en factores + 3 . Los dos términos y 3 tienen en común . Anotamos el factor común delante de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada término entre el factor común.

+ 3 = ( + ) = y = Ejemplo 2. Descomponer en factores 10 − 30 Los coeficientes 10 y 30 tienen como máximo común divisor a 10. De las letras el único factor

común es b, porque está en los dos términos de la expresión dada. Consideramos con su menor exponente.

10 − 30 = ( − ) = = −

Factor común polinomio Ejemplo 3. Descomponer en factores 2 ( + 1)− ( + 1) El factor común es ( + 1), dividiendo los dos términos entre el factor común ( + 1) tendremos:

( ) = 2 ( ) = 2 ( + 1) − ( + 1) = − . Ejemplo 4. Descomponer en factores ( + )( + 1) − 3( + 1) El factor común es ( + 1), por lo que se divide cada termino entre ésta.

( )( ) = ( + ) ( ) = 3

Por tanto: ( + )( + 1) − 3( + 1) = ( + 1)[( + )− 3] = ( + )[ + − ] R.

Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) − 2) − 3) + + 4) 8 − 12

5) + 6) 2 + 2 − 3 7) + 6 8) 8 − 24

Factores Producto Factores Producto

12

9) + + − 10) 10 − 2 11) 2( − 1) + ( − 1) 12) 3 ( − 2) − 2 ( − 2)

13) ( + 1)− − 1 14) ( − 3)( − 4) + ( − 3)( + 4) 15) ( + 1)− ( + 1)− − 1

II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se aplica sobre trinomios que son exactamente el desarrollo del Cuadrado de un Binomio.

+ + = ( + ) Para verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, se debe buscar que el primer y último tenga para extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y parte literal. Luego verificar que el doble producto de ellos corresponda al segundo término del trinomio. Ejemplo 1. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto.

a − 10a + 25 = ( − 5) Las raíces del primer y último término son exactas,

√ √ √ = y √ = 5 El doble producto de estas raíces es el segundo tér-

2 ∙ ∙ 5 mino del trinomio. Se verifica que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto, entonces sus factores serán el cuadrado de estos últimos términos. Ejemplo 2. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto. 9 + 30 + 25 = (3 + 5 ) . El signo del binomio depende del signo del segundo término del trinomio. En éste caso es (+) 3 5 2 ∙ 3 ∙ 5

Ahora te toca a ti 1) 4 − 20 + 25 2) − 2 + 3) − 2 + 1 4) 9 − 6 + 5) − 2 + 25 6) − 2 + 1

7) 4 − 12 + 9 8) 9 − 30 + 25 9) + 6 + 9 10) − 2 + 1

III. MÉTODO DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Se aplica a binomios que contengan una diferencia entre sus términos cuadráticos. Es una aplicación de productos notables de la Diferencia de Cuadrados.

− = ( + )( − ) si se presenta un caso de Diferencia de Cuadrados, se extrae la raíz de ambos términos y se expresa como el producto de una Suma por la Diferencia de las raíces.

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Ejemplo 1. Factorizar − 25. Las raíces cuadradas de ambos términos es a y 5. − 25 = ( + )( − ) El producto de la suma por la diferencia de estas

Raíces es la factorización. 5

Ejemplo 2. Factorizar 100− 100− = ( + )( − ) √ √

10

Ahora te toca ti Factorizar o descomponer en dos factores

1) − 81 = 2) − = 3) − 9 4) − 4 5) 1 − 4

6) 4 − 9 7) 16− 8) 25 − 1 9) − 49 10) −

IV. MÉTODO DE TRINOMIOS DE LA FORMA + + Se descompone como producto de factores que serán de la forma ( )( ). Los signos de

operación en el primer factor corresponden del coeficiente b, y del segundo factor del producto de signos de los coeficientes b y c.

Luego se buscan dos números m y n tal que su producto sea c y la suma b. Ejemplo 1. Factorizar por el método de trinomios + 5 + 6 = ( + 3)( + 2) Los signos en ambos factores resultan positivos. Los números multiplicados que resulten en 6 son 3 y 2. ( + 3)( + 2 ) Ejemplo 2. Factorizar por el método de trinomios de la forma + + + 4 − 32 = ( + 8)( − 4) El signo del primer factor ( + 8) es positivo, como el coeficiente +4 del trinomio. ( + 8)( − 4 ) El segundo factor ( − 4 )lleva el signo negativo, como el producto de los signos de los coeficientes +4 − 32. Es decir(+) ∙ (−) = (−) . El producto (+8)(−4) = −32 y la resta son +8 − 4 = +4. Por lo tanto los factores buscados son ( + 8)( − 4). Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores:

1) + +7 + 10 2) + 5 − 14

3) − − 20 4) + 10 + 21

14

5) − 2 − 35 6) − 13 − 14 7) + 7 − 60

8) + +7 + 10 9) 20 + − 21 10) + 4 + 3

V. MÉTODO DE RUFFINI

Se emplea para factorizar polinomios de grado superior. Se trata de la división sintética de un polinomio entre el binomio de la forma − , donde es un divisor del término independiente del polinomio. Ejemplo 1. Factorizar por la regla de Ruffini. + 2 − 11 − El polinomio es de tercer grado.

El término independiente −12 tiene como divisores a 1,2,3,4,6,12, -1,-2,-3.-4,-6,-12;

1 + 2 − 11 − 12 valores que puede asumir a. Se considera el divisor = 2. Sin embargo

2 +2 8 6 el residuo no es cero, tiene resto – . Por 1 + 4 − 3 − tanto no es posible factorizar por − 2. Entonces se considera el divisor = 3. El

1 + 2 − 11 − 12 residuo es cero, entonces uno de los factores 3 +3 15 12 será ( − 3), ademas del cociente 1 + 5 4 0 (1 + 5 + 4) ( − )(1 + 5 + 4) luego factorizamos el ultimo trinomio por ( − )( + 5 + 4) métodos conocidos, quedando asi: ( − )( + )( + )

Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores:

1) − 6 + 5 + 2) − 3 − 2 3) 2 + 9 + 4 − 21 − 4) − 10 + 31 − 5) + 10 + 35 + 50 + 24

VI. MÉTODO DEL ASPA Este método del aspa permite factorizar trinomios de la forma + + ; + + ; a + + y otros. Por su versatilidad, permite mayor aplicación y sustitución de algunos casos estudiados.

Ejemplo 1. Factorizar o descomponer en dos factores:

10 + + 36 = ( + )( + )

5 4 =

2 9 =

Se disponen el primer término y 10 y tercer término 36 en dos factores: 5 ∙ 2 = 10 y 4 ∙ 9 =36 Verificar que la suma de los productos de diagonales

+ sea exactamente el segundo término del trinomio: , si no se cumple, buscar otros factores para 10 y 36 . Los factores de la primera fila (5 + 4 ) y segunda fila (2 + 9 ) son los factores requeridos.

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Ejemplo 2. Factorizar o descomponer en dos factores:

8 − + 15 = ( + )( + )

4 −5 = −

2 −3 = − − Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores

1) 15 + 7 − 4 2) 3 + 13 + 4 3) 8 + 43 + 15 4) 14 − 19 − 3 5) 4 + 18 + 8

6) 6 + 14 + 4 7) + 9 + 18 8) 5 + 4 − 1 9) + − 56 10) 9 + 30 + 25

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EVALUACIÓN FACTORIZACION

Apellidos y nombres:………………………………………………………………….Nota:……………. Curso:…………………………………………………………...…Fecha:………………..…………….. Descomponer o factorizar en dos factores: 1) Los factores de 8 − 12 son: (Factor Común Monomio)

a) 4 (2 − 3 ) b) 4 (2 + 3 ) c) 4 (2 − 3 )

2) Los factores de 3 ( − 2)− 2 ( − 2) son: (Factor Común Polinomio)

a) (3 − 2)( − 2) b) (3 − 2 )( − 2) c) (3 − 2 )( + 2)

3) La descomposición en factores de − 2 + 25 es: (Trinomio Cuadrado Perfecto)

a. ( − 5)( − 5) b. ( − 5)( − 5) c. ( + 5)( + 5)

4) Los factores de 4 − 9 son: (Diferencia de Cuadrados) a) (2 − 3)(2 − 3) b) (2 − 3)(2 + 3) c) (4 − 3)(4 + 3)

5) Los factores de la expresión de − 13 − 14 son: (Trinomios de la forma + + )

a) ( − 1)( − 14) b) ( + 14)( − 1) c) ( − 14)( + 1)

6) Los factores de − 10 + 31 − son: (Método por Ruffini) a) ( − 2)( − 3)( − 5) b) ( − 1)( − 3)( − 4) c) ( + 2)( − 3)( − 5)

7) Los factores de 4 + 18 + 8 son: (Método del Aspa)

a) (2 − 4)(2 − 2) b) (2 − 8)(2 − 1) d) (2 + 1)(2 + 8)

BIBLIOGRAFÍA:

Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima. Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz. Chungara Vìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo.

Columba R. y Cascos F. (2000) Matemática práctica. Santa Cruz.

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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES MATEMÁTICA MODULAR – NIVEL SECUNDARIO

Curso: Tercero de Secundaria Tercer Bimestre (25 De Junio al 18 de Septiembre)

FECHA ACTIVIDAD MODULO HORA LUGAR

RESPONSABLE

28 al 31 – 08 – 16 Socializacion de la pagina web y

del módulo educativo.

ALGEBRA

Horario de clases

Salon de

clases.

Docentes del area de

matemática

31 – 08 –16 Descarga e inicio del módulo

13:30 – 18:00

Plataforma

virtual

Tutores del área.

1 – 09 –16 Primera sesion presencial

Salón de

clases. 5 – 09 - 16

Asistencia a trabajos de

grupo individual y colectivo.

12 – 09 –16 Tercera sesion tutorial

15 – 09 –16 Evaluacion presencial /

virtual Todos los módulos Horario de

clases.

Salón de

clases