modulo de razonamiento logico matematico 2011.pdf

Razonamiento Lgico Matemtico

UTILIZANDO LA LGICA SIMBLICA EN

SITUACIONES DE NUESTRO CONTEXTO

Un

ida

d I

El hombre que hace algo puede

equivocarse pero aquel que no hace

nada ya est equivocado. E. Rtterdam

Capacidades

- Identifica y elabora proposiciones lgicas. - Demuestra la validez de una inferencia empleando leyes

de equivalencia o tablas de verdad. - Usa el cuantificador lgico, universal y existencial en la

simbolizacin de proposiciones. - Simboliza y disea circuitos lgicos.


Tema: 1

PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LGICO, SIMBOLIZACIN Y VALORACIN DE PROPOSICIONES

http://xtianlb.blogspot.com/2009/03/adivinanza-alemana.html

1. K 1.1 Resea histrica de la lgica

La lgica se inicia con Aristteles (384-322 A.C.)Quien fue el primero en

desarrollar el anlisis formal de los razonamientos. Los escritos lgicos de Aristteles

estn reunidos en un libro llamado Organon (significa instrumento, propedutica,

metodologa) que contiene cinco tratados como son: Las categoras, Sobre las

proposiciones, Los analticos (primeros y segundos), Los tpicos y Las refutaciones

sofsticas. De estos cinco tratados Los analticos es el documento que contiene la

naturaleza de la lgica y el silogismo.

Posteriormente se inicia la lgica moderna con Leibniz (1646-1716) quien

desarroll el clculo de la lgica proposicional (Mathesis universalis); Euler (1707-

1783), introdujo los diagramas que lleven su nombre para ilustrar geomtricamente los

silogismos. En 1854, el matemtico ingls George Boole public su obra An

investigation of the laws of thought (una investigacin de las leyes del pensamiento)

dando origen a la lgica matemtica, interpretando de esta manera la afinidad de la lgica

de clases y la lgica proposicional.

El estudio de la lgica es fundamental en

la vida del ser humano, ya que mediante

ella es posible disciplinar y ordenar el

conocimiento. Slo mediante el

conocimiento, el hombre es capaz de

realizar su propia esencia, perfeccionando

su vida: cuando la razn es el faro que

gua las acciones del hombre, ste tiene

que llegar necesariamente a la verdad

Daniel Mrquez Muro.


Russell (1848-1925) junto con Whitehead (1861-1947) escribe Principia

matemtica, obra que gener investigaciones sobre la inferencia y sus aplicaciones.

Actualmente la lgica moderna tiene mltiples aplicaciones en todos los campos.

No olvides que: Francisco Mir Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla

la lgica matemtica en Latinoamrica.

1.2 Lgica

Es la ciencia que estudia los mtodos o procedimientos formales para aplicar las

leyes o reglas lgicas en el anlisis de validez de las inferencias. Esta Disciplina tiene

aplicacin en todos los campos del saber; en la filosofa para determinar si un

razonamiento es vlido o no. Los matemticos usan la lgica para demostrar teoremas e

inferir resultados. En computacin, para revisar programas y crear algoritmos. Existen

circuitos integrados que realizan operaciones lgicas como los bits, gracias a ello se ha

logrado el desarrollo de la tecnologa.

1.3 Definiciones bsicas de lgica

1.1.1. Lgica Proposicional

Es una parte de la lgica que estudia las proposiciones y su relacin entre ellas, as

como las funciones que tienen las variables proposicionales y los conectivos lgicos.

1.1.2. Enunciado

Es toda frase u oracin que seala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos,

interrogaciones o expresiones de emocin; otros en cambio son afirmaciones o

negaciones que tienen la caracterstica de ser verdaderos o falsos.

Ejemplos:

Cmo ests?

Esas flores son hermosas.

El cuadrado y el crculo son polgonos.

Maana ser viernes.

( a + b)2 = 625

Juan es profesor de la USS.

X + 3 < 14

5 es divisor de 130.

Chiclayo es la ciudad de la amistad

Suker y Ronaldo juegan muy bien.

Eres un campen!


1.1.3. Enunciado Abierto

Llamada tambin funcin proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o

ms variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposicin lgica

cuando la variable asume un valor determinado.

Ejemplos:

El es un escritor peruano.

3662 xx

m + n 3

Ella es una psicloga.

N es un nmero impar.

1.1.4. Proposicin

Llamado tambin enunciado cerrado, es toda expresin coherente que se caracteriza

por poseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigedad, en un determinado

contexto. Por lo general se denotan con letras minsculas como: p, q, r, s, etc., las

cuales son llamadas variables proposicionales y se analizan en una tabla de verdad.

Ejemplos:

La luna es un satlite. (V)

132 es un nmero divisible por 2 y por 3. (V)

Ciro Alegra no fue literato. (F)

La velocidad es una magnitud vectorial. (V)

( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (V)

Los Moches se caracterizaron por sus huacos retrato. (V)

16 es mltiplo de 7. (F)

1250 20*102 + 5. (F)

Los enunciados abiertos usan las palabras

el, ella y los smbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se

reemplazan estas palabras o smbolos por

un determinado objeto o valor resultan ser

proposiciones.

p V

F

Tabla de

verdad Valores veritativos


1.1.5. Proposiciones Simples y Compuestas

PROPOSICIN SIMPLE PROPOSICIN COMPUESTA

Llamada tambin atmica o elemental,

mondicas o monarias. Expresa una sola

idea y se representa por una sola variable

(tienen un solo sujeto y un solo predicado),

no tienen conjunciones gramaticales ni

adverbio de negacin.

Ejemplos:

El bosque de Pomac se encuentra en

Ayacucho.

1771 es un nmero capica.

El Seor de Sipn fue encontrado en el

departamento de Lambayeque.

3 es un nmero par.

Llamada tambin molecular o coligativa, esta

formadas por dos o ms proposiciones simples

unidas por conjunciones gramaticales

(conectivos) o afectados por el adverbio de

negacin NO.

Ejemplos:

15 es divisible por 3 y mltiplo de 5.

Arequipa no es llamada la ciudad blanca.

Si maana sale el sol entonces iremos de

paseo.

Lus es abogado o ingeniero.

O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo.

2 + 3 + 5 + 1 >11 y 2 + 3 > 5 + 1

1.1.6. Conectivos Lgicos

Los conectivos lgicos son palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar

el valor veritativo de una proposicin. Sean las proposiciones p y q. Tenemos:

SMBOLO OPERACIN ASOCIADA ESQUEMA SIGNIFICADO O

INTERPRETACIN

Negacin simple, interna o ligada. p No, no es cierto que

Conjuncin producto lgico pq Y ,pero, sin embargo , no

obstante, aunque, etc.

Disyuncin inclusiva o Incluyente

Disyuncin Dbil suma lgica pq O, salvo, a menos que, excepto

Implicacin Condicional,

condicional simple implicacin

material

pq

Si entonces; implica; por lo

tanto; de ah que; de modo que;

luego; en consecuencia; por

consiguiente, etc.

Doble implicacin Bicondicional,

equivalencia, etc.

pq

Si y solo si; siempre y solo

cuando; solamente si; entonces y

solo entonces es idntico;

cuando y solo cuando, etc.

Diferencia simtrica O Disyuncin

Exclusiva Excluyente Disyuncin

fuerte

pq

O O ; A no ser que


1.1.7. Operaciones con Proposiciones

De la misma forma como en la aritmtica y en el algebra se estudian operaciones

entre nmeros, en lgica se estudian operaciones entre proposiciones donde se

determina su valor de verdad de la proposicin resultante.

A) Negacin:

Es una proposicin cuyo valor es opuesto al de la proposicin original.

Ejemplo: Sea: p: Augustus de Morgan fue matemtico.

p: Augustus de Morgan no fue matemtico.

Su tabla de verdad es:

B) La Conjuncin:

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico y.

Ejemplo: 8

57 8

Su tabla de verdad es la siguiente

Nota: Las palabras pero; sin embargo; adems; aunque; no

obstante, equivalen al conectivo de la conjuncin.

p p

V F

F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Una tabla de verdad de una proposicin da los valores verdaderos (que pueden ser V o F) de la proposicin para todas las asignaciones posibles. El nmero de valores que se asigna a cada variable proposicional est dada por la frmula:

2n Donde: n es el nmero de proposiciones simples.

Las palabras: no, no es cierto que, no es verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc.

Equivale al conectivo

La conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa.


C) Disyuncin inclusiva o incluyente o disyuncin dbil:

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo O.

Ejemplo:

Su tabla de verdad es la siguiente:

D) Implicacin o condicional

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjuncin

condicional: Sientonces o sus equivalentes. La proposicin condicional

consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente.

Ejemplo: 15 3

5 15

Su tabla de verdad es:

Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: p de ah que q; p implica q; p

de modo que q; p por lo tanto q; p deviene q; p conclusin q; dado p por eso q; p luego q;

cuando p as pues q; p por consiguiente q; de p derivamos q; p cada vez que q, etc.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

La disyuncin slo es falsa cuando sus componentes son falsas en otros casos es verdadera.

La condicional tiene un valor falso cuando su antecedente p es verdadero y su consecuente q es falsa, en los dems casos ser verdadero.


E) Bicondicional o doble implicacin

Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico: .si y slo si.

Ejemplo:

La tabla de valores de verdad es:

Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y slo cuando; entonces y

slo entonces; es idntico; cada vez que y slo si; p es condicin necesaria y suficiente

para q; etc.

F) Diferencia simtrica o disyuncin exclusiva

Cuando slo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda invlido.

Sus formas gramaticales son: oo; o (en sentido excluyente).

Ejemplo:

La tabla de valores de verdad es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

P q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

La doble implicacin o bicondicional slo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario es falso.

La disyuncin exclusiva es verdadera slo si sus componentes tienen valores diferentes; caso contrario ser falso.


Orientaciones: 1. A continuacin se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados,

proposiciones y no proposiciones, as mismo su validez. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con

ejemplos (5). La presentacin depende de tu creatividad. 01. Los siguientes enunciados son

proposiciones lgicas

1. Silencio por favor!

2. Sintate ahora!

3. Regresar pronto

4. Ojala apruebe matemtica

5. Ay!

Son correctas :

a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5

d) todas e) n.a.

02. Son proposiciones simples:

1. Si llegas temprano, haremos fiesta.

2. Trabajas o juegas.

3. O tienes sed o tienes hambre.

4. La lluvia moja la pista.

5. La uva es cereal.

Son incorrectas:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5

d) 1, 3,5 e) n.a

03. Son proposiciones los siguientes

enunciados:

1) Cinco es un nmero par.

2) Dios mo, aydame.

3) Ojala ingrese a la U

4) Toledo es presidente del Per.

5) 8 + 5 = 12

Son correctas:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5

d) 1,3,4 e) 1,4,5

04. Son proposiciones moleculares:

1) No solamente ro, sino tambin lloro.

2) Al llover, por lo tanto la cosecha ser

muy buena.

3) Si hay oro, seremos millonarios.

4) Siempre que haya produccin, habr

empleo.

5) O bien postulo a la U o bien trabajo.

Son correctas:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5

d) todas e) n.a

05. Son proposiciones atmicas:

1) El Nilo es ro americano.

2) El Amazonas es ro africano tambin

americano.

3) El Misti es un nevado incluso un volcn.

4) La Universidad Nacional de Trujillo es

institucin pblica.

5) El Instituto Nacional de Cultura es

institucin privada.

Es absurdamente falso:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 1, 4,5

d) 1, 3,5 e) 3, 4,5

06. Son proposiciones moleculares:

1) 2 es un nmero y representa dos

unidades.

2) La palabra lima tiene varios

significados.

3) 5 es un nmero primo e impar.

4) Al ser hoy da jueves, el viernes ser

maana.

5) Los institutos son instituciones de

educacin superior.

No son correctas, excepto:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5

d) 1, 3,4 e) 2, 4,5

07. Son proposiciones conjuntivas.

1) Los alumnos del colegio Integral clases

son muy estudiosos y dedicados.

2) Los peruanos son ciudadanos civilizados.

ACTIVIDAD N 1


3) Los animales vertebrados son carnvoros

y ovparos.

4) Es falso que los estudiantes de la UNT

son negligentes.

5) No solamente el mercurio es un metal

sino tambin el bromo.

Son ciertas:

a) 1, 3 y 5 b) slo 1 y 3 c) 3, 4 y 5

d) 1, 2 y 3 e) todas

08. De las siguientes proposiciones son

compuestas:

1. Melissa, Blanca y Carol son estudiantes

2. Todo tomo no puede ser divisible

3. Per y Bolivia son pases vecinos

4. Ayer trabaje. Hoy descanso

5. Te amo en cuerpo y alma

Son innegablemente inciertas:

a) 1, 2,4 b) 2,5 c) 2, 3,5

d) 3,5 e) n.a

09. Son proposiciones disyuntivas:

1. "Llueve a menos que el suelo est

mojado"

2. "Viene Vctor excepto que venga Ral"

3. "Canta a menos que tambin baile"

4. "El ramo son de flores blancas del mismo

modo que de flores rojas"

5. "Apruebo el curso solamente y cuando

estudie"

Son ciertas, solamente:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5

d) Todas e) Ninguna

10. Son proposiciones conjuntivas:

1. "La tierra es un planeta tanto como el sol

es una estrella"

2. "Marie Curie descubri el polonio incluso

el radio"

3. "Los rayos catdicos tienen carga

negativa del mismo modo los rayos

andicos tienen carga positiva"

4. "Ya bien el sartorio es un msculo ya

bien un hueso"

5. "O bien la Luna es un planeta o bien un

satlite"

Son ciertas, solamente:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5

d) todas e) ninguna

11. Son proposiciones conjuntivas:

1. No slo los peces viven en el mar,

tambin los moluscos.

2. Es falso que Arequipa sea un pas y

Yanaguara su capital.

3. Somalia no es pas sudamericano pero

es tercermundista.

4. Espaa est entre Portugal y Francia.

5. Los nmeros 12 y 35 son primos entre s.

No son ciertas:

a) 2, 3 y 5 b) 2, 4 y 5 c) 1, 2 y 3

d) 1, 2 y 4 e) ninguna

12. De los enunciados siguientes:

1. Qu terror!

2. Todos los mamferos nacen por huevos.

3. 632 xx

4. 233223

5. Maana es martes.

Cul de las siguientes alternativas es la

correcta?

a) Tres son proposiciones.

b) Dos son proposiciones.

c) Dos son enunciados.

d) Todas son proposiciones.

e) ninguna de las anteriores.

13. De los siguientes enunciados, Cules son

enunciados abiertos?

1. 7 es un nmero real.

2. 126 x

3. El cero es un nmero par.

4. El es un escritor peruano.

5. 8 es divisible por 2 y por 3.


Son ciertas

a) 2, 5 b) 2,4 c) 2, 3, 4

d) 1, 4,5 e) Todos.

14. Cules de los siguientes enunciados son

proposiciones?

1. Qu hora es?

2. Federico Villareal fue un matemtico

nacido en Tcume.

3. x +

4. Las mariposas pertenecen al orden de los

lepidpteros.

5. La amistad no es verdadera.

a) 1, 2,5 b) 2, 3,4 c) 2, 4

d) 1, 3,5 e) Todos.

15. De las siguientes oraciones son

proposiciones lgicas:

1. Leibniz es el fundador de la lgica

matemtica.

2. El arte de vencer se aprende en las

derrotas.

3. Entre dos nmeros racionales diferentes

de cero, existen infinitos nmeros

racionales.

4. Deseo tanto sacarme la tinka.

5. Un parexgono es un hexgono en el cual

un lado es a la vez igual en longitud y

paralelo al lado opuesto.

Son ciertas:

a) 1, 3,5 b) 1, 2,4 c) 2, 4

d) 3,5 e) Todas.

16. Cuantas son proposiciones atmicas:

1. El volcn Misti se encuentra en el

departamento de Arequipa.

2. 9 no es divisible por 2.

3. El 12 de octubre Coln descubri

Amrica.

4. Dos pares ordenados son iguales si y

solo si sus elementos son iguales.

5. El sol es la estrella es una estrella que

tiene luz propia.

a) 1 b) 4 c) 2

d) 3 e) Todas

17. Corresponden a proposiciones compuestas:

1. Chiclayo y Tarma corresponden a

ciudades del norte peruano.

2. La Universidad Seor de Sipn s e ubica

en Pimentel.

3. Diego de Almagro o Hernando de Luque

fueron los conquistadores de Amrica.

4. La epistemologa es la ciencia que

investiga el conocimiento cientfico.

5. Los ngulos de 43 y 65 no son

complementarios.

Son ciertas:

a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una

d) Solo cuatro e) Todas

18. De las siguientes proposiciones. Cuntas

proposiciones conjuntivas existen?

1. Claudia trabaja a la vez que estudia.

2. La ostra y la lapa son moluscos.

3. Lima es capital del Per as como

Managua es de Nicaragua.

4. Maana iremos a la playa siempre que

salga el sol.

5. Jorge estudia lgebra no obstante que le

gusta geometra.

a) 3 b) 2 c) 4

d) 1 e) Todas

19. La expresin Subi la gasolina por

consiguiente subir el pan es una

proposicin:

a) Disyuntiva dbil.

b) Implicativa.

c) Disyuntiva fuerte.

d) Conjuntiva.

e) ninguna.

20. Cuntas de las expresiones son

proposiciones:

1. Andahuaylas, pradera de los celajes.

2. 623

3. Arriba Per!

4. 351528

5. T puedes, no desistas!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


21. Indique cuantas de las siguientes

expresiones no son proposiciones:

1. Arequipa, la blanca ciudad.

2. 624

3. 532

4. 1332 22

5. Has ganado una computadora!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

22. Indicar el valor de verdad de cada una de

las proposiciones compuestas:

1. 2653

2. 14 + 2 33 = 11 + 3 2 + 2 = 4

3. 5072042 222 4. 632953

a) VVVV b) VVVF c) VVFV

d) VVFF e) VFVF

23. Cuntas de las siguientes expresiones no

son proposiciones lgicas:

I. Lima, la tres veces coronada.

II. El cuadrado es un cuadriltero.

III. No todo nmero primo es impar.

IV. Algn da necesitars de m.

a) Solo I b) Solo II c) I y II

d) I y IV e) III y IV

24. Cuntas de las expresiones son

proposiciones lgicas:

1. Juventud, divino tesoro.

2. Los polgonos son poligonales cerradas.

3. Mara, por qu has llegado tarde.

4. 954

5. Un nmero impar no es divisible por 2.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

25. Debes recordar que las proposiciones

pueden ser simples o compuestas, segn

esto indica cuantas de las que se presentan

son simples:

1. Si 8 es par entonces 9 es impar.

2. No es cierto que el da tiene 24 horas.

3. La capital del Per es Lima.

4. Existen nicamente 20 polgonos

regulares.

5. 150 es mltiplo de 5 y 49 mltiplo de 6.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

26. De las siguientes proposiciones. En cules

se utiliza la disyuncin?

I. Si voy al cine, no voy al teatro.

II. Me voy al cine a al teatro.

III. Si no voy el lunes, voy el martes.

IV. 32 32

a) II y IV b) I y III c) I y II

d) II y III e) n.a

27. Indicar en cuales de las siguientes

proposiciones se utiliza la condicional:

I. Si voy al cine, no me quedo en casa.

II. Hoy es lunes, luego tengo que trabajar.

III. Que salga el Sol implica que se sienta

calor.

IV. Gan el juego entonces estoy contento.

a) I; III y IV b) II y III c) I; II y III

d) n.a e) Todas


1.4 Nociones previas de esquemas moleculares 1.4.1 Formalizacin de Proposiciones

Es la representacin de las proposiciones simples mediante variables proposicionales

(p; q, r;..) y de los conectivos lgicos por sus respectivos smbolos.

Ejemplo:

Si encuentro trabajo y ahorro, viajar a Miami.

p: Encuentro trabajo

q: ahorro

r: viajar a Miami

1.4.2 Jerarqua de Conectores y de Signos De Puntuacin

1.4.3 Signos de Agrupacin

1.4.4 Reglas de formalizacin de Esquemas moleculares

Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas:

1. Se adjudica una variable proposicional a cada proposicin simple. Si la

proposicin se presenta ms de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a

emplear la misma variable.

2. Cada contenido proposicional debe ser reemplazado por su respectivo conectivo

lgico.

3. Cada contenido lgico debe tener un alcance, dominio o jerarqua especfico.

Formalizacin:

rqp

1. Bicondicional. 2. Disyuncin fuerte

3. Condicional.... 4. Conjuncin y disyuncin.., 5. Negacin..~

1. Dos signos ____. Pero,____ 2. Punto y seguido ____. Pero ____ 3. Punto y coma ____; pero ____ 4. Coma ____, pero ____ 5. Ningn signo ____ pero ____

JERARQUA DE CONECTORES JERARQUA SIGNOS DE PUNTUACIN

Son los smbolos auxiliares Que permiten establecer la jerarqua de los conectivos lgicos y as evitar ambigedades.

Parntesis ( ) Llaves { }

Corchetes [ ] Barras |

El conectivo lgico de mayor jerarqua es aquel que no est afectado por ningn signo de coleccin. rqp srqp tpsrqp

Conectivos

de mayor jerarqua


Ejemplo:

Roxana viaj a Espaa, pero regres pronto o no viaj a tal lugar.

Solucin:

Adjudicamos una variable a cada proposicin:

p: Roxana viaj a Espaa

q: regres pronto

p: viaj a tal lugar

Reemplazamos el contenido proposicional por su conectivo lgico:

Pero.

O..

no ~

Teniendo en cuenta la jerarqua, su esquema sera:

1.5 Esquema molecular Es la combinacin de variables y conectivos lgicos debidamente jerarquizados,

se simbolizan mediante meta variables que son las letras maysculas a partir de A, B,

C,

Ejemplos:

A = p (q r)

B = (p q) [ r (q s)]

C = ~(p ~ q) [ (p r) (q s)]

1.6 Evaluacin de los esquemas moleculares por la tabla de verdad

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales y se realiza mediante las denominadas Tablas de verdad creadas por Wittgenstein. Los valores obtenidos se denominan Matriz principal y corresponden al conectivo de mayor jerarqua.

Ejemplo:

Evala [~ (p q) p] (p q)

p q [ ~(p q) p] (p q)

VV VF FV FF

F V V V

V F F F

VV VV VF FF

V F F V

V F F V

Matriz principal

p (q ~ p)

Conectivo de mayor jerarqua


1.7 Tipos de esquemas moleculares

1.7.1 Tautologa. Una proposicin es una tautologa si y slo si es verdadera para

todas las asignaciones posibles.

Ejemplo: Consideremos la proposicin compuesta: [(pq) p] q

p q [( p q) p] q

V

V

F

F

V

F

V

F

V V V

F F V

V F F

V F F

V

V

V

V

V

F

V

F

Desarrollando su tabla tenemos que la proposicin compuesta resulta todas

verdadera, entonces decimos que la proposicin es una tautologa o una ley lgica.

Ejemplo: Si analizamos la proposicin t: (pq) (~ p q) realizando su tabla de

verdad:

1.7.2 Contradiccin. Una proposicin es una contradiccin si y slo si es falsa para

todas las asignaciones posibles.

Ejemplo: Consideremos la proposicin compuesta: ~ [(p q) (q p)]

p q ~ [( p q) (q p)]

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V V V

V V V

V V V

F V V

Desarrollando su tabla tenemos: que la proposicin compuesta resulta toda falsa

entonces decimos que la proposicin expresa una contradiccin.

1.7.3 Contingencia.- Una proposicin que no sea una ni una tautologa ni una

contradiccin se denomina contingencia (casualidad, eventualidad).

Ejemplo: Sea el enunciado: p ~ q

p q p ~ q

V

V

F

V

F

V

V

V

F

p q (p q) ( ~ p q )

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V F

F F V V V V F


F F V

1.8 Valor de verdad por el mtodo directo

Parte de las tablas de verdad se puede utilizar el mtodo de directo para

encontrar el valor de verdad de una frmula lgica o esquema molecular.

Ejemplos:

1. Dadas las proposiciones: p: 11 es un nmero primo. q: 19 es un nmero par.

r: es un cuadrado perfecto.

Hallar el valor de verdad de:

Solucin

Definimos el valor de verdad real de las proposiciones. Entonces: p V; q F; r V

Reemplazamos dichos valores en la frmula dada y aplicamos la regla de los

conectores segn la jerarqua. As:

2. Si la proposicin: srqp ~ es falsa. Hallar el valor de verdad de p, q, r y s.

Solucin

prqrqp

Es importante tener en cuenta que: Un esquema tautolgico se representa por T Un esquema contradictorio se representa por Un esquema consistente se representa por Q

prqrqp

V F F V

F V V V

V V

V

La frmula lgica es: V (Tautologa)

srqp ~

V V V F

V F

F

p V; q V; r F, s F


Orientaciones: 1. Demostrar que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares

son tautolgicos, contradictorios o contingentes. 2. Evaluar mediante tablas de verdad aquellos ejercicios en el cual se les propone

realizar. 3. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de esquemas moleculares.

01. La proposicin: la lima, naranja, limn no

es cierto que sean ctricos, se simboliza:

a) (p q r) b) (p q - r)

c) (- p - q - r) d) [(- p - q) v r]

e) n.a

02. Jams en invierno hace calor, an cuando

en verano llueve al igual que hay eclipse

asimismo hay evaporacin de agua tal

como no hay granizo, se simboliza:

a) (- p - q - r - s - t)

b) (- p q r - s - t)

c) (- p q r - s)

d) (- p q r s - t)

e) n.a

03. En modo alguno sucede que, no haya

aumentado la produccin armamentista

excepto que tambin sea absurdo que los

pases latinos hayan empobrecido ms, se

formaliza:

a) (- p v q) b) (- p v q)

c) (p v q) d) (- p v q)

e) n.a

04. La frmula: - (- p - q r) ; se traduce:

a) Es falso que, ni la pulga ni el chinche

ni los piojos sean insectos.

b) No es veraz que, la pulga tambin el

chinche no sean insectos pero tambin

lo son los piojos.

c) Es innegable que, ni la pulga ni el

chinche son insectos pero s lo es el

piojo.

d) Todas

e) b y c

05. La traduccin CORRECTA de la frmula

proposicional : (A B) C es:

a) Estudio y trabajo, salvo que tambin soy

responsable

b) Estudio y trabajo, vemos que tambin

soy responsable

c) Estudio y trabajo, o incluso soy

responsable

d) Estudiar y trabajar, excepto que incluso

sea responsable.

e) Estudiar y trabajar, a no ser que

adems sea responsable.

a) (A B) C b) (A B) C

c) (A B) C d) (A B) C

e) (A B) C

06. Hallar la tabla de verdad de:

(p q) (p q)

a) VFVF b) VVVV c) FFFF

d) VFFV e) FFFV

07. La proposicin: p ( q r) es falsa la

proposicin s es verdadera. Cuntas de

las siguientes proposiciones son

verdaderas?

I) (P q) II) s (p r)

III) (p q) r IV) (p q) r

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) n.a

08. Formalizar: Si luchas por triunfar,

entonces triunfars, sin embargo no luchas

por triunfar.

a) p (q r)

b) p (q r)

c) (p q) p

d) (p q) (p q)

e) (p q) q

09. Si: (p q) r es falsa,

Determinar el valor de p, q y r

a) VVV b) FFF c) VFF

d) VFF e) FVF

10. Seale la alternativa que muestra una

proposicin:

a) Te deseo lo mejor.

b) Cuntos aos tienes?

c) Si a = 8 y b = -3, (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

d) El lapicero est cansado.

e) Responde correctamente.

11. [(q p). (p q)] p

Hallar si el resultado y/o matriz es:

ACTIVIDAD N 2


a) Tautolgico b) Contradictorio

c) Consistente d) Contingente

e) c y d

12. (p r) (q p)




e) c y d

13. [p (q p)] [(p q) v q]




e) c y d

14. [( r p) q] [ p (q r)]




e) c y d

15. Si la proposicin: srqp es falsa. Determinar el valor de las siguientes

proposiciones:

I) ~ r

II) p q

III) p q

a) VVV b) VFF c) FVF

d) FFV e) FFF

16. La frmula: [-(q v -p) -(-q -p)]; es:

a) Tautolgica b) contingente

c) contradictoria d) imprecisa

e) n.a

17. Si la estructura lgica es falsa :

[ (A -B) (-C -D)]

Los valores de verdad de:

I. (A -B) [(A B) -B]

II. -(A B) -(C D)

III. (A B) (C -D)

Son los siguientes:

a) 101 b) 010 c) 100

d) 111 e) n.a

18. La frmula: [(q v p) (q p)]; es :

a) Tautolgica b) contingente

c) contradictoria d) imprecisa

e) n.a

19. Si la estructura lgica:

[(p - q)] (- r - s) es falsa.

Los valores de verdad de p, q, r y s;

Son respectivamente:

a) 1101 b) 1010 c) 1100

d) 1111 e) n.a

20. Si: p=V; q=F; r= - V; - s=F; el valor de la verdad de la frmula:

)rp()]sr()qp[( es:

a) Verdadera b) Falsa

c) Indeterminada d) Inconsistente

e) N.A.

21. Cules de los siguientes esquemas

moleculares son tautolgicos?

I) pqqp ) (

II) pqqp ) )(

III) qqp )p )(

a) Solo I b) I y II c) II y III

d) I y III e) Todos

22. Se tiene el siguiente esquema:

qpqp ~~, se afirma que:

a) Es contingencia b) Es tautologa

c) Es contradiccin d) No se puede afirmar

nada e) No es un esquema molecular

23. En relacin a la proposicin compuesta:

rqprqpS ~~:

Indique cul de los enunciados es la

correcta:

a) S es contradiccin b) S es una

tautologa

c) S es contingencia d) Ninguna anterior

e) Todas

24. Determina cuantas verdades tiene la matriz

principal de:

pqrrqp ~~~

a)2 b)5 c) 6 d) 7 e) n.a

25. Cules de las siguientes proposiciones

son tautolgicas?

I. pqqp ~~

II. ppqp

III. pqpqp

IV. qpqp ~~~

V. qpqp ~~

a) Solo I, IV y V b) Solo I y II

c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V

e) Solo III y V

26. Cul de las siguientes proposiciones son

contradicciones?

I. pppq ~~


II. rrqqpq ~~~

III. qpqp ~

a) Solo I b) Solo I y II c) I y III

d) II y III e) Todas

27. Si es

falso. Determine los valores de verdad de

p, q, r y s a) FVFV b) VVFF c) VVVF

d)VVVV e) VFVF

28. Si la proposicin:

ssrqp ~ , es falsa, hallar los valores de verdad de p, q y r

a) VFF b) FFF c) VVV

d) VFV e) FVV

29. Si el esquema molecular:

es verdadero, determine los valores de

verdad de ,

a) VFV b) FFF c) FVF

d) VVF e) FVV

30. Construir una tabla de verdad para una de

las siguientes proposiciones:

a) qpqp

b) rqprqp

c) qppqp

d) pqqpqp

Cuntas son tautolgicas?

a) 1 b) 2 c) 3

d) Todas e) n.a

31. Si el esquema prpq es falso, hallar el valor de verdad de cada una

de las siguientes proposiciones:

a) ymxp

b) qrrqp c) qspr

d) srmq

e) pqpr

)() qsrqp

)()() ( sqqrqp

"" qp

srysr """


Tema: 2

IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LGICAS

http://a7.idata.over-blog.com/2/63/94/20/Balanza2-1-.gif

Sean los esquemas moleculares o frmulas proposicionales (o simplemente

proposiciones compuestas)

rpA

rqpB rqpC

Debemos distinguir los conceptos de implicacin y equivalencia de los conceptos

condicional y bicondicional respectivamente. La implicacin y la equivalencia son

relaciones entre frmulas proposicionales, mientras que la condicional y la

bicondicional son relaciones entre proposiciones. As tendremos las siguientes

definiciones:

2. G 2.1 Implicacin lgica. Una frmula A implica a B, cuando unidos por el condicional , siendo A

antecedente y B consecuente, el resultado es una Tautologa.

2.2 Equivalencia lgica Dos frmulas B y C son equivalentes cuando unidos por el bicondicional el

resultado es una Tautologa.

Existen varias equivalencias de la lgica

proposicional, las cuales se conocen

como leyes de equivalencia o leyes

lgicas que son formas proposicionales

tautolgicas con carcter general que

permiten transformar y simplificar

frmulas lgicas.


2.3 Equivalencias notables. Existen varias equivalencias de la lgica proposicional, las cuales se conocen

como leyes de equivalencia o leyes lgicas que son formas proposicionales tautolgicas

con carcter general que permiten transformar y simplificar frmulas lgicas.

Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 F2 resulta ser una tautologa. Y

se denota F1 F2

Un ejemplo de equivalencia es: qp qp . Basta revisar las tablas de

verdad

La siguiente tabla muestra estas leyes.

Las leyes lgicas nos ayudan a simplificar expresiones simblicas, las cuales representan

enunciados. Tambin nos sirve para demostrar la equivalencia entre esquemas

moleculares.

Ley de equivalencia

Frmula Ley de equivalencia

Frmula

Conmutacin

pq = q p

p q = qp

p q = q p

Distribucin p (q r) = (p q) (p r)

p(q r) = (p q) ( p r)

Asociacin

(p q) r = p(q r)

(p q) r = p (q r)

(p q)r = p

(qr)

Complemento

p p = F

p p = V

(p) = p

V = F

F = V

Idempotencia

p p = p

pp = p Identidad

p F = p

p V = p

p V = V

p F = F

Involucin

( p) = p

Absorcin

p(p q) = p

p (pq) = p

p( pq) = pq

qpqpp Implicacin

p q = p q

Doble Implicacin

pq = (p q) (q p)

qpqpqp

qp qp

De Morgan

( p q) = p q

(p q) = p q


Ejemplos:

a) Se tiene el siguiente esquema: qsrqp ~~~ , simplificar utilizando las

leyes lgicas.

Solucin:

qsrqp ~~~

qsrqp ~~~~ ..condicional

qsrqp ~~~ ..De Morgan

qqpsr ~~~ conmutativa

qqpsr ~~~ Asociativa

psrqq ~~ ..conmutativa

q~ ..absorcin

b) Simplificar {[(p q) p] p}

Solucin: {[(p q) p] p} {[ p (p q)] p} ley conmutativa

{[ p(p q)] p} ley implicacin

{[ p (p q)] p} ley absorcin

{( p) p} ley absorcin

(F) ley complementacin

V

c) Demostrar que: qppqqp ~~~ Solucin:

pqqp ~~~

qp

qpp

ppq

ppqq

pqqp

pqqp

pqqp

~

~

~~

~~

~

~~Condicional

De Morgan

Conmutativa

Absorcin

Conmutativa

Absorcin


Orientaciones: 1. Simplificar cada una de las proposiciones propuestas que se te presentan, utilizando

las leyes de equivalencia. 2. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de cada una de las leyes de

equivalencia.

01. Por D.M. No obstante que existe la

tristeza as tambin existe la alegra,

equivale a:

1. No sucede que, exista tristeza salvo que

nunca haya alegra

2. No acontece que, nunca haya tristeza

excepto que a la vez tampoco exista

alegra.

3. Es obviamente negable que, salvo que

haya tristeza; no hay alegra.

4. No es lcito decir que, excepto que no

haya tristeza; tampoco exista alegra.

5. A menos que no haya tristeza, no existe

alegra.

Son absolutamente no absurdas:

a) Todas b) 4 y 2 c) Slo 5

d) 3 y 1 e) N.A.

02. La contra recproca de Los nios son

innegablemente desnutridos cuando no

ingieran protenas, es:

1. Porque los nios son nutridos por tanto

ingieren protenas.

2. Si los nios no ingieren protenas, son

desnutridos.

3. Los nios son nutridos puesto que

protenas ingieren.

4. Los nios ingieren protenas ya que no

son desnutridos.

5. Puesto que los nios nunca son

desnutridos por ende los nios ingieren

protenas.

Son indudablemente no falsas, excepto:

a) Todas b) 3 y 2 c) 1, 2, 3, 4

d) 1, 5,4 e) N.A.

03. Simplifica la siguiente proposicin:

qpqp ~~~

a) p ~ q b) ~ p q

c) p q d) p q

e) p ~ q

04. Despus de simplificar la proposicin,

lgica: prpqp ~~~

se obtiene:

a) ~ q b) ~ p c) p q

d) p e) q

05. Simplificar a su mnima expresin:

a) p q b) p c) q

d) p q e) ~p ~ q

06. Negar la proposicin siguiente: Todos los

mdicos son estudiosos

a) Existen mdicos que son estudiosos

b) No Existen mdicos que no son

estudiosos

c) Todos los mdicos no son estudiosos

d) Existen mdicos que no son estudiosos

e) No es cierto que existen mdicos que no

son estudiosos

07. Formalizar:

Si luchas por triunfar, entonces triunfars;

sin embargo no luchas por triunfar

a) rqp

b) rqp ~

c) pqp ~

d) qpqp

e) pqp ~

08. La frmula proposicional: (p q)

Equivale a:

1) (p q) 2) p q

3) p q 4) p q 5) p

q

Son ciertas:

a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5

d) 1, 2 y 5 e) 1, 4 y 5

09. La proposicin: Jugar equivale a recrear,

salvo que, recrear no sea lo mismo que

jugar. Equivale formalmente a:

a) 0 b) 1 c) p

d) p e) p q

10. La frmula: (p p) (q q).

Equivale a:

ACTIVIDAD N 3


qtqpspsr ~)~(~

a) p b) q c) p

d) q e) 1

11. La frmula: (pF)(pF) Equivale a:

a) p b) V c) F

d) p e) p p

12. La frmula proposicional: ( p q )

Equivale a:

a) (p q) b) p q

c) p q d) (p q)

e) (p q)

13. La proposicin: Hace calor si y slo si

estamos en verano. Equivale a:

a) No estamos en verano porque hace

calor, o, no hace calor porque estamos en

verano

b) Si hace calor, estamos en verano; o

tambin; si estamos en verano, hace calor

c) Si hace calor, estamos en verano; pero;

si estamos en verano, hace calor

d) Estamos en verano y hace calor,

adems, hace calor o estamos en verano

e) Estamos en verano y hace calor, o slo,

ni estamos en verano ni hace calor.

14. No hay fantasmas a menos que no hay

brujeras, negado totalmente es igual a:

1. Existen brujeras asimismo fantasmas,

negablemente.

2. Existen fantasmas al igual que brujeras.

3. Es refutable que, al haber brujeras se

derive que no hay fantasmas.

4. Es incierto que, no hay brujeras

mientras que hay fantasmas.

5. Es inobjetable que, dado que hay

brujeras por ende nunca existen

fantasmas.

Es obviamente no inciertas:

a) 4 y 5 b) 1, 2,3 c) 2, 3,4

d) 1 y 5 e) N.A.

15. Simplificar:

(D S) [ S ( D D) ]

a) D b) S c) S D

d) F e) S D

16. Cules de los siguientes enunciados que

se pueden considerar como proposiciones

equivalentes?

I. Si tengo plata entonces voy al cine.

II. Si no tengo plata entonces no voy al

cine.

III. No tengo plata o voy al cine.

a) I y II b) I y III c) II y III

d) I, II y III e) Ninguna

17. Sabiendo que la proposicin p es

verdadera. En cul de los siguientes

casos es suficiente dicha informacin para

determinar el valor de las proposiciones.

I. qpqp ~~ II. rpq ~ III. rqp ~ IV. prqp ~ a) Slo I b) Slo II c) Slo III

d) I y II e) III y IV

18. Si t es falsa y la proposicin:

es verdadera:

Hallar los valores de la verdad de p, q y

r

a) VVV b) VFF c) FVV

d) FFF e) VVF

19. Al simplificar: (p q) (p q) se

tiene:

a) q b) q c) p

d) p e) p q

20. La negacin de: Ni eres artista de cine ni

estrella de ftbol, es:

a. No es cierto que seas artista de cine y

estrella de ftbol

b. Eres artista de cine y estrella de ftbol

c. No eres artista de cine o no eres

estrella de ftbol

d. Eres artista de cine o estrella del ftbol

e. Eres artista de cine o no eres estrella

del ftbol

21. Determine cul es la proposicin

equivalente a:

"Juan no mejorar, si slo toma agua

a) Si Juan no toma agua mejorar

b) Juan toma agua y no mejorar

c) Juan toma agua y mejora

d) No es el caso que Juan tome agua y

mejore

e) No es el caso que Juan tome agua o

mejore

22. Si la negacin del esquema

rsqp es verdadera: hallar el valor de verdad de los siguientes

esquemas moleculares.

a) srpqqr b) qpqqp

23. Dados los esquemas moleculares:

qpqpA

qpB

qpC


Cul de las siguientes relaciones es

correcta?

a) A es equivalente a B

b) C es equivalente a B

24. Dados los esquemas moleculares:

qpA

rpB

)( rqC

Determinar si la conjuncin de A y C

implican a B.

25. Si la proposicin: qrqp es falsa, cual es el valor de verdad de :

qpqp

a) V b) F c) F o V

d) Tautologa e) n.a

26. Dados los siguientes esquemas

moleculares:

qqpA

pqB

Verificar si:

a) A implica en B.

b) A es equivalente a B.

27. Si:

pqqpqrqp

es verdadera. Hallar el valor de verdad de

p, q y r, respectivamente.

a) VVV b) FFF c) FFV

d) VFV e) FVF

28. De la falsedad de:

srqp , hallar el valor de verdad de los siguientes

esquemas moleculares:

psqA

qpsrB

rsqpC

a) VVV b) FFF c) FFV

d) VFV e) FVF


Tema: 3

INFERENCIAS LGICAS Y CIRCUITOS LGICOS

http://4.bp.blogspot.com/_5R-pOXY8b6c/TEPjq_ljr-I/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jpg

3.1 Inferencias lgicas.

Es el conjunto de proposiciones en donde a partir de una o ms proposiciones

llamadas premisas extraemos otra conocida como conclusin.

Ejemplo: P1: Todos los peruanos son americanos. P1: Juan es peruano

Entonces: C: Juan es americano.

3.1.1 Mtodos de demostracin

Las inferencias se denotan de dos formas, as:

Mientras existan los pensamientos existirn las

palabras, mientras existan las

palabras existirn los

hechos y mientras existan

los hechos existirn las

reflexiones. Kung FuTse, Confucio

b) Forma Horizontal: Cuando la conjuncin de premisas que implican a la conclusin se escribe horizontalmente en forma

explcita usando los conectores

,

P1 P2 P3 . Pn C Premisas Conclusin

a) Forma vertical: La conjuncin de premisas que implican a la conclusin se escriben verticalmente uno despus del otro y al trmino de la ltima premisa se escribe una raya y tres puntos para luego escribir la conclusin.

P1 P2 P3 . . . Pn

C

Premisas

Conclusin


3.1.2 Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente

correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las proposiciones

involucradas y no de los valores especificos de cada variable. Estas reglas se

relacionan para precisar una demostracion.

Ejemplo:

Es vlido el siguiente argumento?

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se har rico.

Si se hace usted rico, entonces ser feliz.

________________________________________________

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces ser feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se har rico. r: Ser feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar

con notacin lgica de la siguiente manera:

p q

q r ______

p r

Ejemplo:

Es vlido el siguiente argumento?

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

Los impuestos bajan

Solucin:

Sea: p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva.

Tenemos:

p q

q

_____

p


Las reglas de inferencia al relacionarse entre las proposiciones que participan en un

proceso de razonamiento permiten determinar otras nuevas lneas validas y para esto

se debe tener especial cuidado al aplicar la regla correcta. Existen varias reglas de

inferencia que se pueden aplicadar en una demostracion entre ellas tenemos:

1. Adicin 4. Conjuncin

p p

_______ q

pq _________

p q

2. Simplificacin 5. Modus ponens

p q p

_________ p q

p _________

q

3. Silogismo disyuntivo 6. Modus tollens

pq p q

~ p ~ q

_________ ___________

q ~ p

7.- Silogismo hipottico

p q

q r

________

p r

3.1.3 Validez de una inferencia

La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias pueden ser

vlidas (correctas) o invlidas (incorrectas). Una inferencia es vlida cuando la

conclusin se ha derivado lgica y necesariamente de las premisas.

En la validez no interesa el contenido de las proposiciones (sean verdaderas

o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumpla

con las reglas, mtodos y procedimientos de la lgica. Ejemplo:

Todo universitario es estudiante (V) Algn tacneo es universitario (V)

Algn tacneo es estudiante (V)

Inferencia vlida


3.1.4 Mtodo para determinar la validez de una inferencia

Existen diversos mtodos, entre los ms utilizados tenemos:

Mtodo de las tablas de verdad.

Mtodo de las leyes lgicas.

Mtodo de las inferencias notables.

Aqu solo veremos los mtodos de tablas de verdad y el mtodo abreviado.

3.1.5 Prueba de la validez por tablas de verdad

Como una inferencia es vlida si y slo si (P1 P2 P3 . Pn) Q, es una

tautologa. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente razonamiento: Manuel es contador o administrador, pero Manuel

es administrador por tanto Manuel no es contador.

Determinar si es vlido o no.

Adems P1: Manuel es contador o administrador: (p q)

p q

P2: Manuel es administrador: q

Q: Manuel no es contador: p

Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma:

(p q) q p . Analizamos la tabla de verdad:

En conclusin el razonamiento no es vlido, puesto que debe ser una

tautologa.

3.1.6 Prueba de la validez por mtodo abreviado

Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto

se trabaja con ms de dos proposiciones simples.

Consiste en suponer la conjuncin de premisas Verdadera y la conclusin Falsa, como

nica posibilidad que invalida la implicacin (inferencia):

(P1 P2 P3 . Pn) Q ( V V V . V ) F

V

p q ( p q ) q p

V V V V V F F

V F V F F V V

F V V V V V F

F F F F F V V

Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador ( P1 P2 ) Q


Ejemplo:

Si el clima est seco entonces el enfermo se mejora

Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero

Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero.

Solucin:

p: El clima es seco

q: El enfermo se mejora

r: La familia gasta menos dinero

Forma lgica ser: p q

q r

p r

La inferencia se simboliza de la siguiente manera:

rprqqp

Utilizando el mtodo abreviado tenemos:

V V F

Se tiene:

(i) p r F

V F p V y r F

(ii) (p q) (q r) V

(V q) (q F)

V V

Donde:

V q V y q F V

Se observa que: q puede tomar el valor de verdad (V o F) y as se llega

a una contradiccin al reemplazar el valor de verdad en el esquema

molecular.

rprqqp

La argumentacin es correcta


3.2 . Circuitos.

http://2.bp.blogspot.com/_BuaRahAIcHM/Slk-

zyNviLI/AAAAAAAAAL0/l2ZzdSfPTgg/s320/circuitoelemental.gif

3.2.1 Circuitos conmutadores

Un circuito conmutador es un circuito elctrico que contiene interruptores para el paso

o interrupcin de la corriente.

Para el diseo de estos circuitos designemos por p y q dos interruptores elctricos

que dejan pasar corriente y por ~p y ~q los que no dejan pasar corriente estos se

pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo.

Grficamente tenemos:

Figura (1) Figura (2)

En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por:

En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por:

Observacin: Su evaluacin en tablas de verdad es:

Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F)

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Vamos a ejemplificar la

materializacin del clculo

proposicional, empleando el ms

antiguo de los dispositivos que ya fue

utilizado para fines lgicos por

nuestro sabio ingeniero Leonardo

Torres Quevedo, a finales del siglo

XIX, al construir sus mquinas aritmticas y su jugador de ajedrez.


Ejemplo1: Describe simblicamente el siguiente circuito:

Solucin: Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos:

p y q estn en paralelo es decir: p v q

p, (p v q) y q estn en serie, es decir: p (p v q) q

r y q estn en paralelo es decir: r v q

r , (r v q) y p estn n serie, es decir: r (r v q) p

Luego: la representacin de todo el circuito es:

[p (p v q) q] v [r (r v q) p]

3.2.2 Simplificacin de circuitos

Para la simplificacin de circuitos se debe tener en consideracin las leyes de

equivalencia.

Ejemplo 2: Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la

siguiente manera:

[p (p v q) q] v [r (r v q) p]

{[p (p v q)] q} v {[r (r v q)] p}

(p q) v (r p)

[(p q) v r] [(p q) v p]

[(p q) v r] p

[(p v r) (q v r)] p

[(p v r) p] (q v r)

p (q v r)

Luego: se obtiene el circuito:

Ejemplo 3: Simplificar el siguiente circuito

p

r

p

p

q

r

q

q

q p

q

p

p

q

p

q

p p

q

p q

r


Solucin: Tenemos:

{[p (p v q) q] v [q (q v p) p]} p (p v q)

{(p q) v [(q p) p]} ( p q)

{(p q) v [(q (p p)]} ( p q)

{(p q) v (q F)} ( p q)

{(p q) v F} ( p q)

{(p q)} ( p q)

(p p) (q q)

F F

F

Orientaciones: 1. Aplicando las leyes de la implicacin determinar la conclusin de las afirmaciones propuestas. 2. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son vlidos o no. 3. Simplificar y representar los circuitos propuestos.

Se tiene los siguientes argumentos:

01. Si ha llovido, entonces la tierra est

hmeda; ha llovido. Por tanto

02. Si ha venido, entonces ha llegado; ha

venido. En consecuencia

03. Si ha vendido, entonces tiene dinero; ha

vendido. En conclusin

04. Si ha llovido, entonces la tierra est

hmeda; la tierra no est hmeda. Por tanto

05. Si ha venido, entonces ha llegad; no ha

llegado. En consecuencia

06. Si ha vendido, entonces tiene dinero, no

tiene dinero. Entonces

07. Ha llovido o la tierra est seca; la tierra no

est seca. Por tanto

08. Ha venidos ha ido; no ha ido. En

consecuencia

09. Ha vendido o ha comprado, no ha

comprado. Entonces

10. .Si Edilberto es senil, es cascarrabias. Al

ser cascarrabias es obvio que siempre est

refunfuando. En consecuencia:

1. En el caso que Edilberto sea viejo estar

refunfuando.

2. Edilberto es senil adems refunfua.

3. No es senil salvo que refunfue Edilberto.

4. Es falso que, si Edilberto no es senil por

ello refunfue.

5. Es imposible que, Edilberto sea viejo mas

no refunfue.

Son ciertas:

a) 1, 2,3 b) 1, 3,5 c) 3, 4,5

d) 2, 4,5 e) 2 y 4

11. Ya que existi el Racionalismo por ende

surgi el Empirismo. Sin embargo, es

innegable que el culto a la razn tuvo gran

vigencia en la Filosofa. Por ello:

1. No tuvo vigencia el culto a la experiencia.

2. Tambin tuvo vigencia el Empirismo.

3. Apareci el Eclecticismo.

ACTIVIDAD N 4


4. Es indefectible que el culto a la experiencia

tuvo vigencia.

5. Existi el Racionalismo.

Son anti incorrectas:

a) Slo 5 b) 1 y 5 c) 2 y 4

d) 2, 5 y 4 e) 1, 3 y 5

12. Salvo que no diga la verdad, soy honesto.

Ms si fuese el caso que dej de ser

honesto, concluiramos en:

1. Siempre digo la verdad.

2. Dej de decir la verdad.

3. Nunca digo la verdad.

4. Hablo mentiras.

5. Es porque a veces miento y a veces digo la

verdad.

Son correctas:

a) 1, 3,5 b) 1, 3 c) 2, 4,3

d) 3, 5 e) n.a

13. No hay aprendizaje a menos que a la vez

haya enseanza. Empero no hay

enseanza excepto que incluso haya

instruccin, por tanto:

1. Si hay aprendizaje, hay instruccin.

2. Al no haber instruccin tampoco hay

aprendizaje.

3. Jams hay aprendizaje salvo que a la vez

haya instruccin.

4. Es mentira que, hay aprendizaje sin

embargo no hay instruccin.

5. Hay instruccin salvo que tambin no haya

aprendizaje.

Son inciertas:

a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5

d) Todas e) 1, 3,5

14. No hay ascetas a menos que haya

estoicos. Si hay estoicos por ende existen

castos, en consecuencia:

1. Dado que hay castos se deduce que hay

ascetas.

2. Hay castos salvo que inexistan ascetas.

3. Puesto que no hay ascetas se infiere que

inexistan castos.

4. Es objetable que, existan ascetas sin

embargo no existen castos.

5. Jams habr castos salvo que hayan

ascetas.

Son falsas:

a) 1, 3,5 b) 2, 4,5 c) 2 y 4

d) 1 y 3 e) N.A.

15. Dadas las siguientes premisas: Siempre

que el genoma emite informacin, es obvio

que ser un receptor, sin embargo El

genoma no es un receptor. Por lo tanto, el

genoma:

a) Emite informacin

b) No emite informacin

c) Emite genes d) Emite rudos

e) n.a

16. "La tenia es un parsito que vive en el

intestino del buey y bien, o tambin en el

intestino de la vaca; al igual que la tenia no

vive en el intestino de la vaca". Luego:

a) Es objetable que la tenia es un parsito

que vive en el intestino del buey.

b) La tenia es un parsito que vive en el

intestino de la vaca.

c) La tenia vive en el intestino de la vaca o el

buey.

d) Es inobjetable que la tenia vive en el

intestino del buey.

e) N.A

17. El circuito adjunto:

Se formaliza:

a) (p q) (p q)

b) ( p q) (p q)

c) (p q) (p q)

d) ( p q) (p q)

e) ( p q) (p q)


p q

p q

p p p

q q q


Se formaliza:

a) (p q) (p q) (p q)

b) (p q) (p q) (p q)

c) (p q) (p q) (p q)

d) (p q) (p q) (p q)

e) (p q) (p q) (p q)


Se formaliza:

a) (p q) (r s) B) (p q) (r s)

c) (p q) (r s) D) (p q) (r s)

e) (p q) (r s)


Se formaliza:

a) [(p q) r] s b) (p q) (r s)

c) p [q (r s)] d) [(p q) r] s

e) p [(q r) s]


Se formaliza:

a) [(p q) p] (p q)

b) [(p q) p] (p q)

c) [(p q) p] (p q)

d) [(p q) p] (p q)

e) [(p q) p] (p q)


Se formaliza:

a) [A (A B)] [(A B) A]

b) [A (A B)] [(A B) A]

c) [A (A B)] [(A B) A]

d) [A (A B)] [(A B) A]

e) [A (A B)] [(A B) A]

23. Simplificar los siguientes circuitos:

a)

b)

A A B

A B

A

p q r s

p q r

s

p q

p

p q

q

~q

p

~p

~p

~p

q

q

p p


Tema: 4

CUANTIFICADORES

http://ayura.udea.edu.co/logicamatematica/imagenes/Image249.gif

4.1 Funcin proposicional.

Una funcin proposicional es un enunciado abierto que contiene una o ms

variables que aceptan cualquier valor, sea numrico u otro. Estos valores hacen del

enunciado abierto una proposicin verdadera o falsa. Por ejemplo si el enunciado abierto

fuera x es un individuo de cabello rubio, la variable x aceptara como valores los

nombres de los individuos. Si Jorge fuera un individuo de cabello rubio, el enunciado

abierto se convertira en proposicin verdadera, caso contrario en proposicin falsa.

Ejemplos. Las siguientes son funciones proposicionales:

p(x): x es un planeta del sistema planetario solar. Es funcin de la variable.

q(x, y): x es mltiplo de y. Es funcin de dos variables.

r(x, y, z): x2 + y2 + z2 = 4. Es funcin de tres variables.

s(x, y): x es hermano de y. Es funcin de dos variables.

4.2 Dominio de una funcin proposicional.

El dominio de una funcin proposicional es el conjunto de todos los valores que se

pueden reemplazar en la variable o variables, de tal manera que la convierten en

una proposicin verdadera o falsa.

Ejemplos. Si la funcin proposicional fuera:

p(x): x es un individuo de cabello rubio, su dominio tendra que ser todos

los individuos. Es decir; Dp = {individuos}.

Si consideramos la funcin proposicional:

q(x, y): x es un hermano de y, su dominio ser todas las parejas de personas. Es

decir; Dq = {pareja de personas}.

Siendo la funcin proposicional:

Vamos a ejemplificar a los

enunciados, ayudndonos de

los cuantificadores universal

y existencial.


R(x, y, z): x2 + y2 + z = 4, su dominio estar constituido por todas las ternas

de nmeros, pudiendo ser estos desde naturales hasta complejos; Dr = {ternas de

nmeros}.

4.3 Solucin de una funcin proposicional.

Un elemento del dominio se dice que es una solucin de una funcin

proposicional, si al reemplazarlo en la variable la convierte en una proposicin

verdadera

Ejemplos. 1 es solucin de la funcin proposicional p(x): x2 + 5 = 6.

Marte es solucin de la funcin proposicional x es un planeta del sistema planetario

solar

4.4 Cuantificador universal.

La palabra para todo, antepuesta a una funcin proposicional se llama

cuantificador universal. Se denota de las dos siguientes maneras:

)(: xpDx p )(/ xpDx p

Se lee: Para todo x en el dominio se cumple p(x).

Observacin: Una funcin proposicional cuantificada universalmente es verdadera, si son

verdaderas todas las proposiciones particulares obtenidas al sustituir los elementos de su

dominio en ella; caso contrario es falso.

4.5 Cuantificador existencial.

La palabra existe algn, antepuesta a una funcin proposicional, se llama

cuantificador existencial. Se denota de la siguiente manera:

)(/ xpDx p

Se lee: Existe un x en el dominio, tal que p(x).

Observacin: Una funcin proposicional cuantificada existencialmente, es verdadera si al

menos una de las proposiciones particulares obtenida al sustituir los elementos del

dominio en la variable es verdadera.

Ejemplos. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) 43/ 2 xxRx Proposicin verdadera.

b) 32: 2 xxRx Proposicin falsa.

Observacin: De los ejemplos anteriores se deduce, que tanto el cuantificador universal,

como el existencial convierten a la funcin proposicional en una proposicin.


4.6 Negacin de proposiciones que contienen cuantificadores.

Las proposiciones con cuantificadores al ser negadas cambian en su estructura, si

tiene cuantificador universal se cambia en existencial y si tiene cuantificador existencial

en universal. Este proceso se resumen en:

a) ~ :() /~()

b) ~ :() : ~()

4.7 Simbolizacin de las proposiciones categricas clsicas.

La lgica funcional permite analizar las proposiciones categricas clsicas y las

inferencias en que sus trminos juegan un papel significativo. Segn la teora de la

cuantificacin, las proposiciones categricas tpicas se simbolizan de la siguiente manera:

ANLISIS CLSICO ANLISIS DE LA LGICA FUNCIONAL

UNIVERSAL AFIRMATIVA Todo S es P )()(: xPxSx

UNIVERSAL NEGATIVA Ningn S es P )()(: xPxSx

PARTICULAR AFIRMATIVA Algn S es P )(: xPxSx PARTICULAR NEGATIVA Algn S no es P )()(: xPxSx

Ejemplo 1. Simbolizar las siguientes proposiciones.

a. Todo nio es activo. b. Todo nio sano es activo. c. Algn nio enfermo no es activo.

Solucin

a. Simblicamente: )()(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio y xxP :)( es activo

b. Simblicamente: )()(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio sano y xxP :)( es activo

c. Simblicamente: )(: xPxSx ; donde xxS :)( es un nio enfermo y xxP :)( es

activo.

Ejemplo 2. Negar las siguientes proposiciones:

a. BxAxx : b. BxAxx / c. 164:2 xxx

Solucin

a. BxAxxBxAxx /: BxAxx /

BxAxx /

b. BxAxxBxAxx :/ BxAxx :

BxAxx :

c. 164/164: 22 xxxxxx 164/ 2 xxx 164/ 2 xxx


Orientaciones: 1. A continuacin se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar los cuantificadores universales y existenciales. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con ejemplos (5). La presentacin depende de tu creatividad.

01. Escribe utilizando los cuantificadores cada

una de las siguientes proposiciones:

a) Algunos cuadrilteros son cncavos.

b) Todos los crculos son simtricos.

c) Ciertos nmeros son pares.

d) Todo nmero mixto es decimal.

e) Todas las parbolas son semejantes.

f) x es la suma de dos primos.

g) Todo nmero par es la suma de dos

primos.

h) x = m.n, donde m y n son primos.

i) Todos los cuadrilteros son convexos.

j) Todos los crculos del mismo radio son

iguales.

02. Determinar el valor de verdad de los

siguientes enunciados, considerando

como universo el conjunto de los nmeros

reales.

a) xxx 3:

b) xxx 2:

c) 023: 2 xxx

d) xxx 3:

e) 052: 2 xxx

f) xxxx 532:

g) 63: xx

h) 63: xx

i) 810: 2 xx

j) 152: 2 xxx

03. Niega los enunciados del ejercicio anterior.

04. Niega los siguientes enunciados.

a) Todos los estudiantes de Ingeniera

estudian Matemticas.

b) Algunos estudiantes de Ingeniera

estudian Msica.

c) Es falso que algunos nmeros no son

compuestos.

d) Ningn hombre es deshonesto.

e) 11 es un nmero primo.

f) Existe un ciudadano que no elige a sus

gobernantes.

05. Niega los siguientes enunciados.

a) )()(: xqxpx

b) )()(: xqxpx

c) 0:; xyyx

d) )(:)(: xqxxpx

e) )(:)(: xqxypy

f) )(:)(: xqxxpx

g) )(:, yqxpyx h) )(),(:, yqyxpyx i) )()(:, yqxpyx j) zyxpzyx ,,:,,

06. Formaliza los siguientes enunciados.

a) Existe x, donde x es un cuadriltero y

x es cncavo.

b) Para toda x, para toda y, si x e y

son crculos entonces x es simtrico a

y.

c) Existe x, donde x es nmero y x es

par.

d) Para toda x y toda y, si x e y son

parbolas, entonces x es semejante a y.

e) Existen m y n, donde m y n son

primos y x = m.n

f) Para toda m y toda n, si m y n son

crculos del mismo radio, entonces son

iguales.

g) Para todo x, si x es un nmero par,

existe m y n donde m y n son primos

y m = m + n.

ACTIVIDAD N 5


RESOLVEMOS PROBLEMAS DE TEORA DE CONJUNTOS Y

PROPORCIONALIDAD NUMRICA

Se alcanza el xito convirtiendo cada paso una meta y cada meta en

un paso.

C. Cortez Fuente:

http://edu.jccm.es/ies/labesana/index.php?option=com_content&task

=view&id=218&Itemid=0

Capacidades

- Aplica operaciones con conjuntos en la solucin de problemas.

- Identifica magnitudes directa e inversamente proporcionales.

- Infiere procedimientos para resolver problemas con proporcionalidad.

- Resuelve problemas de regla de tres simple y compuesta. - Comprende el concepto de tanto por ciento como una

forma de comparacin.

Un

ida

d II


Tema: 5

DEFINICIONES BSICAS Y OPERACIONES CON

CONJUNTOS

http://www.ehu.es/ehusfera/mathvideos/files/2010/05/conjuntos.gif

5.1 Nocin de conjunto

El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemtica.

Intuitivamente un conjunto es una lista, coleccin o clase de objetos bien definidos,

objetos que como se ver en los ejemplos, pueden ser cualquiera: nmeros, personas,

letras, ros, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los

conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemplos particulares de

conjuntos.

Ejemplos:

1) Los nmeros 2,4, 6 y 8. Es decir: A = {2, 4, 6, 8}

2) Las soluciones de la ecuacin y2 - 3y 2 = 0.

3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o}

4) Las personas que habitan la tierra.

5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick}

6) Los pases: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia}

7) Las ciudades capitales de Europa.

8) Los nmeros: 2, 4, 6, 8, Es decir: E = {2, 4, 6, 8,.}

9) Los ros de Per.

La teora de conjuntos es una

divisin de las matemticas que

estudia los conjuntos. El primer

estudio formal sobre el tema fue

realizado por el matemtico

alemn Georg Cantor en el Siglo

XIX y ms tarde reformulada por

Zermelo.


5.2 Notacin

Es usual denotar los conjuntos con las letras maysculas: A, B, X, Y,Los

elementos de los conjuntos se representan por letras minsculas a, b, c, x, y, al definir un

conjunto con la efectiva enumeracin de sus elementos, por ejemplo, al A que consiste

en los nmeros 2, 4, 6 y 8, se escribe A = {2, 4, 6, 8}. Separando a los elementos por

comas y encerrndolos entre llaves { }. Esto es la llamada forma tabular de un conjunto.

Pero si se define un conjunto; enunciando propiedades que deben tener sus elementos,

como, por ejemplo, el H, conjunto de todos los nmeros pares, entonces se emplea una

letra por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe H = {x|x es

par} lo que se lee H es el conjunto de los nmeros x tal que x es par. Se dice que esta

es la forma de definicin por comprensin o constructiva de un conjunto. Tngase en

cuenta que la barra vertical | se lee tales que.

Para aclarar el empleo de la anterior notacin, se escriben de nuevo los conjuntos de los

ejemplos anteriores, designando los conjuntos respectivamente.

Ejemplos:

1) A = {2,4,6,8}

2) F={y | y2 - 3y 2 = 0}

3) B={a, e, i, o, u}

4) G={x|x es una persona que habita la tierra}

5) C={Fernando, Carlos, Erick}

6) D={Alemania, Francia, Finlandia}

7) I={x|x es una ciudad capital y x est en Europa}

8) E= {2, 4, 6, 8,}

9) J={x|x es un ro y x esta en Per {

Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno

de sus elementos se escribe xA, que se puede leer x pertenece a A x est en A. Si

por el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre

sus elementos, se escribe xA, que se lee x no est en A o x no pertenece a A

Es costumbre en los escritos matemticos poner una lnea vertical | u oblicua /

tachando un smbolo para indicar lo opuesto o la negacin del significado del smbolo,

ejemplo: B = {a, e, i, o, u}, aB; bB; eB; f B.

G= {x|x es par}, 3G; 2G; 11G; 12G.


5.3 Cardinal de un conjunto

Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se denota mediante la letra

"n" as:

n(A): se lee El cardinal del conjunto A o

la cantidad de elementos que tiene el conjunto A

Ejemplo:

Dado el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} n(A) = 6

5.4 Relacin de pertenencia

Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho

conjunto. Un elemento no pertenece () a un conjunto si no cumple con la condicin

anterior. Esta relacin vincula un elemento con un conjunto, ms no vincula elementos o

conjuntos entre s. Es decir el smbolo representa la relacin que existe entre un

elemento y un conjunto, cualquier elemento "x" pertenece o es elemento del conjunto A (x

A) o no es elemento del conjunto A ( x A)

Ejemplo 1:

Dado el conjunto:

A = {14; 23; 17; 29}

Entonces:

14 A (14 pertenece a A)

29 A (29 pertenece a A)

15 A (15 no pertenece a A)

Ejemplo 2:

Dados los conjuntos: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} y B = {a, e, o} Se tiene que:

8 A

0 B

11 A

g B

{0; 2} A

Nota en esta ltima expresin {0; 2} A que para usar la relacin de pertenencia se

relaciona un solo elemento con el respectivo conjunto.


5.5 Determinacin de un conjunto

5.5.1 Por Comprensin o de forma constructiva:

Es cuando se define al conjunto se enuncia una propiedad comn que caracterizan a

todos los elementos de dicho conjunto.

Ejemplo:

A = {x / x es un nmero natural par menor que 15} B = {x / x es una vocal abierta}

C = x/x N 4 x 7

5.5.2 Por extensin o de forma tabular:

Es cuando se nombran explcitamente a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo: Desarrollando los conjuntos que estn escritos arriba por comprensin sern

escritos por extensin as:

A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} B = {a, e, o}

C = 5, 6, 7

Ejemplo:

Denotar por comprensin el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999}

Solucin:

99 = 100 1 = 102 1

999 = 1000 1 = 103 1

9999 = 10000 1 = 104 1

99999 = 100000 1 = 105 1

Luego entonces, si llamamos x al exponente de 10 podremos decir que este x

N, donde 2 x < 6

As, el conjunto denotado por comprensin sera:

B = {10x 1 / 2 x < 6; x N}

5.6 Clases de conjunto

5.6.1 Por el nmero de elementos:

A) Vaco o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos.

Se denota as:

Ejemplo 1:

A = x N/ 5 x 6

Desarrollando por extensin ser:

A = o A =


Ejemplo 2:

B = x R/ x x


B = o B =

B) Unitario o Singletn: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento; es decir

su cardinal es 1:

Ejemplo:

G = x Z / -4 x -2


G = -3

n(G) = 1

C) Universal: (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situacin

particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trate.

Tambin se puede definir como un conjunto referencial que se tiene

convenientemente para el estudio de otros conjuntos incluidos en el.

Ejemplo:

Donde:

U = -7; -3 ;2

1;

7

3 ; 1; 2 ; 5 ; 3,25 (Conjunto Universal)

N = 1; 2

Z = -7; -3; 1; 2

Q = -7; -3; 2

1;

7

3 ; 1; 2

Q* = 5

D) Finito: Aquel que tiene un limitado nmero de elementos. Su cardinal se

puede determinar:

U

N

.1 .2

Z

Q*

5

R

3,25

C

.-3

.-7

Q

-3/7


Ejemplo:

M = x/x es una ciudad del Per

E) Infinito: Aquel que posee una cantidad ilimitada de elementos:

Ejemplo:

K = x/x es un nmero natural

5.6.2 Por la relacin entre los conjuntos

A) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningn elemento

comn. Su grfica es:

A B =

Ejemplo 1: Consideremos los siguientes conjuntos:

A = 1; 2; 4; 6

B = 5; 8; 16; 3

Entonces: A B =

Ejemplo 2: Consideremos los siguientes conjuntos:

A = x, g, t, d

B = m, n, u, r

Entonces: A B =

B) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un

elemento comn (pero no todos). Su grfica es:

A B

Ejemplo 1: Sean los conjuntos:

A = 1; 2; 5; 4; 6

B = 5; 8; 16; 3

Entonces: A B = 5


A = x, g, t, d

B = m, n, x, u, r

Entonces:

A B = x

A B

A B


AA

B

B

C) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B B

A. Su grfica es:

BA AB


A = 1; 2; 3

B = 1; 2; 3; 5; 8

Entonces:

A B


A = x, g, t, d

B = x, g

Entonces: B A

D) Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede

establecerse una correspondencia biunvoca. (tienen el mismo nmero de

elementos)

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = 1, 2, 3, 4

B = a, b, c, d

Se tiene: n(A) = n(B) = 4

Luego: Se dice que: A y B son Conjuntos equivalentes

5.6.3 Conjunto especiales:

A) Conjunto de Conjuntos: Tambin se le denomina "Familia de Conjuntos" y es

aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos:

Ejemplo: As tenemos:

A = 3, 1, 4, 6, 7

B) Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de

A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Se le

modulo de razonamiento logico matematico 2011.pdf

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