modulo de elasticidad (2)

7/22/2019 Modulo de Elasticidad (2)

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WORKING ADULT Facultad De Ingeniera

UNIDAD 1: ELASTICIDAD Y MO DULOS

DE ELASTICIDAD

LOGRO DE LA UNIDAD:

Al terminar la unidad, el estudiante resolver problemas

relacionados a la deformacin de cuerpos identificando

claramente los tipos de esfuerzos y haciendo uso adecuado de

los mdulos de elasticidad lineal, de corte y volumtrico.

INTRODUCCIN:uando un bate de beisbol golpea una pelota y esta

cambia momentneamente su forma; cuando una pesa

se coloca en el extremo de un resorte y este se estira

cuando se retira regresa a su forma; cuando se estira la cuerda

de un arco antes de lanzar una flecha; estos son ejemplos de

objetos elsticos (GIANCOLI, 2009).

La elasticidad es una propiedad de cambiar la forma cuando acta una fuerza de deformacin

sobre un objeto, y ste regresa a su forma original cuando cesa la deformacin. Estos cambios

dependen del arreglo de los tomos y su enlace en el material (TIPPENS, 2011).

El cuerpo rgido es un modelo idealizado til, pero en muchos casos: los estiramientos,

aplastamientos y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado

imponentes para despreciarse. La figura 2 muestra tres ejemplos. Nos interesa estudiar la relacin

entre las fuerzas y los cambios de forma en cada caso (SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN,

2009).

En esta unidad se estudiar la elasticidad, las fuerzas elsticas y los mdulos de deformacin, as

mismo la energa que almacena un slido1 (cristalino2 o amorfo3) cuando este se deforma por la

accin de una fuerza (LEYVA NAVEROS, 2006).

1Slido: se llama as a los objetos que tienen forma y volumen definidos. Luego para deformarlos, se puede

cambiar su forma y su volumen.2

Slido Cristalino, tiene sus tomos situados en forma regular y que se repiten en forma peridica en el

espacio. Una de las caractersticas es su propiedad, la anisotropa (todo cuerpo homogneo tiene diferentes

propiedades en diferentes direcciones). As tenemos las propiedades mecnicas, pticas y elctricas; son

diferentes segn las distintas direcciones (por ejemplo la dilatacin trmica).

CFigura 1


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Figura 2

PROPIEDADES ELSTICAS DE LA MATERIA:Definimos como cuerpo elstico aquel que recobra su tamao y su forma originales cuando deja

de actuar sobre l una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines,

las camas elsticas, las pelotas de ftbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elsticos.

La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelsticos. Para todos los cuerpos

elsticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformacin y las fuerzas

deformantes.

Considere el resorte de longitud L en la figura 2. Podemos estudiar su elasticidad aadiendo pesas

sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Una pesa de 20 N alarga el resorte en 1

cm, una pesa de 40 N alarga el resorte 2 cm, y una pesa de 60 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente

que existe una relacin directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.

Robert Hooke fue el primero en establecer esta relacin por medio de la invencin de un volante

de resorte para reloj. En trminos generales, Hooke descubri que cuando una fuerza F acta

sobre un resorte (figura 3) produce en l un alargamiento s que es directamente proporcional a la

magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como:

La constante de proporcionalidad k vara mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el

nombre de constante elstica. Para el ejemplo ilustrado en la figura 2, la constante elstica es:

3Slidos amorfos, son cuerpos istropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones). Estos

slidos tienen superficies irregulares de ruptura (por ejemplo el vidrio, si se rompe, los trozos tienen forma

irregular).


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La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformacin

de todos los cuerpos elsticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo ms general, es

conveniente definir los trminos esfuerzo y deformacin. El esfuerzo se refiere a la causa de una

deformacin elstica, mientras que la deformacin se refiere a su efecto, en otras palabras, a laalteracin de la forma en s misma (TIPPENS, 2011).

Figura 3

ELASTICIDAD:

Se llama as a la propiedad que tiene los cuerpos de recuperar su forma y sus dimensiones

originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. Las deformaciones que se producen son

reversibles y el trabajo realizado por la fuerza se transforma en energa potencial de deformacin.

La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historiaprevia del material (el tratamiento que se le haya dado y las condiciones de conservacin).

ESFUEZO:

Es la relacin entre la fuerza que genera la deformacin y el rea de seccin transversal del objeto

a deformar. Podemos hablar de tres tipos de esfuerzo principalmente (figura 4); Un esfuerzo de

tensin se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre s. En un esfuerzo de

compresin las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre s. Un esfuerzo cortante ocurre

cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma lnea de accin.

Un patrn general para formular puede ser:


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Figura 4

Las unidades del esfuerzo estn dadas por Pascales (Newton/metro cuadrado) en el sistema

internacional de unidades; libras por pulgada cuadrada; libras por pie cuadrado; bar; atmosfera o

milmetro de mercurio si lo trabajamos en otros sistemas4.

DEFORMACIN:

Es el cambio relativo de dimensiones o de la forma de un cuerpo por la accin de un esfuerzo;

estas deformaciones pueden ser en longitud, rea o volumen. En el caso de una deformacin

longitudinal la relacin sera:

Donde L es la longitud final, es la longitud inicial del objeto.En el caso de un esfuerzo de tensin o de compresin, la deformacin puede considerarse como

un cambio en la longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede

alterar nicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo

cortante se mide en funcin de un desplazamiento angular.

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El lmite elstico es el esfuerzo mximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformacin sea

permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya rea en seccin transversal es de 1 in2se

deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensin mayor de 19000 lb. Esto no

significa que la varilla de aluminio se romper en ese punto, sino nicamente que el cable norecuperar su tamao original. En realidad, se puede incrementar la tensin hasta casi 21 000 lb

antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en

alambres de secciones transversales ms pequeas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un

alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia lmite.

Si no se excede el lmite elstico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier

deformacin elstica. Dentro de los lmites para un material dado, se ha comprobado

experimentalmente que la relacin de un esfuerzo determinado entre la deformacin que produce

es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin.

(TIPPENS, 2011)

Si llamamos a la constante de proporcionalidad el mdulo de elasticidad, podemos escribir la ley

de Hooke en su forma ms general:

MDULO DE YOUNG:

Tambin se le puede llamar mdulo de

elasticidad longitudinal; se da cuando losesfuerzos y las deformaciones se dan de forma

longitudinal o en una nica direccin. El efecto

de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre,

o sea, un incremento en su longitud. Por

tanto" la deformacin longitudinal puede

representarse mediante el cambio de longitud

por unidad de longitud.

Por lo que podemos escribir la ecuacin del mdulo de Young como:

Figura 5


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Las unidades del mdulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo: libras por pulgada

cuadrada o pascales. Esto es lgico, ya que la deformacin longitudinal es una cantidad que carece

de unidades (adimensional). Los valores representativos correspondientes de algunos de los

materiales ms comunes se muestran en la tabla:

MODULO DE CORTE:

Los esfuerzos de compresin y de tensin producen un ligero cambio en las dimensiones lineales.

Como se mencion antes, un esfuerzo cortante altera nicamente la forma del cuerpo, sin que

cambie su volumen. Por ejemplo, considere las fuerzas paralelas no concurrentes que actan

sobre el cubo que se ilustra en la figura 6. La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva detomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a lo que les ocurre a las pginas de un libro

bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatmicas restituyen al cubo su forma original cuando

cesa dicho esfuerzo.

Figura 6


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El esfuerzo cortante se define como la relacin de la fuerza tangencial Fentre el rea A sobre la

que se aplica. La deformacin cortante se define como el ngulo (en radianes), que se conoce

como ngulo de corte (consulte la figura 6 b). Si se aplica la ley de Hooke, podemos ahora definir el

S en la siguiente forma:

El ngulo por lo general es tan pequeo que es aproximadamente igual a tan . Aprovechandoeste hecho, podemos volver a escribir la ecuacin anterior de la siguiente forma:

Debido a que el valor de S nos da informacin sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce

como Mdulo de Rigidez.

MDULO VOLUMTRICO:

Hasta ahora hemos considerado los esfuerzos que causan un cambio en la forma de un objeto o

que dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimensin. En esta seccin nos

ocuparemos de los cambios en el volumen. Por ejemplo, considere el cubo de la figura 13.7 en el

cual las fuerzas se aplican uniformemente sobre la superficie. El volumen inicial del cubo se indica

como V y el rea de cada cara se representa por A. La fuerza resultante F que se aplica

normalmente a cada una de las caras provoca un cambio en el volumen

El signo menos indica

que el cambio representa una reduccin de volumen. El esfuerzo de volumen FIA es la fuerza

normal por unidad de rea, mientras que la deformacin de volumen es el cambio devolumen por unidad de volumen. Al aplicar la ley de Hooke, definimos el mdulo de elasticidad de

volumen, o mdulo volumtrico, de la manera siguiente:

Este tipo de deformacin se aplica tanto a lquidos como a slidos. La tabla muestra los mdulos

de volumen para algunos de los lquidos ms comunes. Cuando se trabaja con lquidos a veces es

ms conveniente representar el esfuerzo como la presin P, que se define como la fuerza por

unidad de rea FIA. Con esta definicin podemos escribir la ecuacin como:

Donde V es el volumen inicial y P es la presin.


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Figura 7: el volumen del cubo se reduce por accin de la compresin que est actuando sobre cada una de sus caras.

Al valor recproco del mdulo volumtrico se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene

estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por

definicin:

()

La ecuacin indica la compresibilidad, es el cambio fraccional en el volumen por unidad de

incremento en la presin.

OTRAS PROPIEDADES FSICAS DE LOS METALES:

Adems de la elasticidad, el esfuerzo de tensin y el esfuerzo cortante, los materiales presentan

otras propiedades importantes. Un slido consiste en un conjunto de molculas tan cercanas unas

a otras que se atraen fuertemente entre s. Esta atraccin, llamada cohesin, le imparte a un slido

una forma y un tamao definidos. Tambin afecta su utilidad para la industria como material de

trabajo. Es preciso comprender propiedades como la dureza, la ductilidad, la maleabilidad y la

conductividad antes de elegir metales para aplicaciones especficas.


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Tres de estas propiedades se ilustran en la figura 8. Dureza es un trmino industrial utilizado para

describir la capacidad de los metales para resistir a fuerzas que tienden a penetrados. Los

materiales duros resisten rayaduras, desgastes, penetracin o cualquier otro dao fsico. Algunos

metales, como el sodio y el potasio son blandos, mientras que el hierro y el acero son dos de losmateriales ms duros. La dureza de los metales se prueba con mquinas que presionan una punta

de diamante cnica contra los materiales que se van a probar. La penetracin se mide y la dureza

se lee directamente en una cartula graduada.

Las otras dos propiedades especiales de los materiales son la ductilidad y la maleabilidad. El

significado de cada uno de estos trminos se puede apreciar en la figura 8. La ductilidad se define

como la capacidad de un metal de ser convertido en alambre. El tungsteno y el cobre son

sumamente dctiles. La maleabilidad es la propiedad que nos permite martillar o doblar los

metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La mayora de los

metales son maleables y el oro es el ms maleable de todos.

La conductividadse refiere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la electricidad a

travs de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden.

Se examinar con mayor detalle esta propiedad en captulos posteriores.

Figura 8

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:

GIANCOLI, D. C. (2009). FSICA 1: PRINCIPIOS Y APLICACIONES (SEXTA EDICION ed.). MEXICO:PEARSON EDUCATION.

LEYVA NAVEROS, H. (2006). FISICA II: TEORA Y PROBLEMAS RESUELTOS. LIMA: MOSHERA. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN. (2009). FSICA UNIVERSITARIA (12 ed., Vol. 1). (R. F.

Rivera, Ed.) MEXICO, MEXICO: PEARSON EDUCATION.

TIPPENS, P. E. (2011). FSICA, CONCEPTOS Y APLICACIONES. MEXICO: Mc GRAW HILL EDUCATION.


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SEMINARIO DE PROBLEMAS DE ELASTICIDAD

1.-Un alambre de acero vertical de 1.0 mm de dimetro tiene 2.00 m de longitud. Qu masa debecolgarse para que deforme 1.0 mm?

2.- Un columpio cuelga de dos cuerdas nylon de la rama de un rbol. Las cuerdas tienen undimetro de 1.0 cm y una longitud de 8.0 m. Un nio de 25 kg se sube al columpio, y las

cuerdas se estiran 1.0 cm. Con esta informacin determine el mdulo de Young de las cuerdas

de nylon.

3.- Un pequeo mero de 2.5 kg de masa pende de un sedal de 1.50 m, que se alarga 1.2 cm. Eldimetro del cordel es de 0.50 mm. cul es el mdulo de Young del sedal?

4.- Una cuerda de bungee de 2.00 m de longitud y 8.00 mm de dimetro se alarga 250 cm cuandoun estudiante universitario de 80 kg cuelga de un gancho en uno de los extremos de la cuerda.determine el mdulo de Young de la cuerda.

5.- Un bceps relajado requiere una fuerza de 25.0N para alargarse 3.00 cm; el mismo msculosometido a mxima tensin requiere de una fuerza de 500N para el mismo alargamiento.

Calcule el mdulo de Young para el tejido muscular en ambas condiciones, si lo consideramos

como un cilindro uniforme de 0.200 m de longitud y seccin transversal de 50.0 cm2.

6.- Un alambre circular de acero de 2.00 m de longitud no debe estirarse ms de 0.25 cm, cuandose aplica una tensin de 400 N a cada extremo. Qu dimetro mnimo dimetro debe tener?

7.- Dos varillas redondas, una de acero y otra de cobre, se unen por los extremos. Cada una tiene0.750 m de longitud y 1.50 cm de dimetro. La combinacin se somete a una tensin conmagnitud de 4000N. Para cada varilla, determine la deformacin.

8.- Una varilla metlica de 4.00 m de longitud y rea transversal de 0.50cm 2 se estira 0.20 cm alsometerse a una tensin de 5000 N. Qu mdulo de Young tiene el metal?

9.- Una cuerda de nylon se alarga 1.10 m sometida al peso de una alpinista de 65.0 kg. Si lacuerda tiene 45.0m de longitud y 7.0 mm de dimetro, Qu mdulo de Young tiene el

material?

10.-Un poste vertical de acero slido de 25 cm de dimetro y 2.50 m de longitud debe soportar unacarga de 8000 kg. Puede despreciarse el peso del poste a) A qu esfuerzo se somete el poste?

b)Qu deformacin sufre? c) Cmo cambia su longitud al aplicarse la carga?

11.-En un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metlico hecho conuna nueva aleacin se rompe cuando se aplica una fuerza de tensin de 90.8N perpendiculares

a cada extremo. Si el dimetro del alambre es de 1.84 mm, Cul es el esfuerzo de rotura de la

aleacin?

12.-Un alambre de latn debe resistir una fuerza de tensin de 350 N sin romperse. Qu dimetromnimo deber tener para no romperse? (esfuerzo de ruptura es ).


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13.-Para construir un mvil grande, un artista cuelga una esfera de aluminio con masa de 6.0 kgde un alambre vertical de acero de 0.50 m de longitud y rea transversal de

3 22.5 10

cm . En

la base inferior de la esfera, el artista sujeta un alambre de acero similar del que cuelga un cubo

de latn de 10.0 kg. Para cada alambre, calcule: a)la deformacin por tensin y b)el

alargamiento.

14.-Un alambre de acero de 4.00 m de largo tiene un rea transversal de 0.050 m 2, y un lmiteproporcional igual a 0.0016 veces su mdulo de Young (). El esfuerzo de roturatiene un valor igual a 0.0065 veces su mdulo de Young. El alambre est sujeto por arriba y

cuelga verticalmente. (a) Qu peso puede colgarse del alambre sin exceder el lmite

proporcional (elstico)? (b) Cunto se estira el alambre con esta carga? (c) Qu peso mximo

puede soportar?

15.-El limite elstico de un cable de acero es de y su rea transversal es de 3.00 cm2.Calcule la aceleracin mxima hacia arriba que puede darse a un elevador de 1200 Kgsostenido por el cable sin que el esfuerzo exceda el tercio del lmite elstico.

16.-Una muestra de aceite con un volumen inicial de 600 cm3 se somete a un aumento de presinde , y el volumen disminuye 0,45 cm3. Qu mdulo de volumen tiene elmaterial? qu compresibilidad tiene?

17.-Se somete a una muestra de cobre de forma cbica con 10 cm de arista a una compresinuniforme, aplicando una tensin equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de

sus caras. La variacin relativa de volumen que se observa es de 67.25 10 oV V .

Determinar el mdulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el

mdulo de Young del cobre es 120109 Pa.

18.-Cunto se estira un alambre de acero de longitud de 0.5 m y 2 mm de dimetro cuando se leaplica una tensin de 450 N? El mdulo de Young del acero es 20010 9 Pa.

19.-Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cadatacn tiene 0.750 cm

2de rea. a )Qu presin ejerce cada tacn sobre el suelo? y b)Con la

misma presin, cunto peso podran soportar 2 sandalias planas cada una con un rea de 200

cm2?

20.-Se tiene una barra cilndrica de aluminio de 1 metro de longitud. Si se le somete a una traccinlongitudinal, calcular el periodo de las oscilaciones elsticas que experimentar al cesar la

traccin. (Considere la densidad del aluminio 32.7AL g cm y el mdulo de Young del

aluminio10 2

7 10 E N m )

21.-El anclaje de la parte superior y el bloque de 300 kg de la figura son perfectamente rgidos,soportando al bloque tres cables verticales de la misma seccin, siendo los laterales de acero y

el central de hierro fundido. Determinar las fuerzas que ejercen cada uno de los cables sobre el


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bloque. (Considere mdulo de Young del acero10 2

20 10 E N m y el mdulo de Young

del hierro fundido10 2

8.7 10 E N m )

22.-Sobre un tubo vertical de acero, de 20 m de largo y 16 cm de dimetro exterior y 1 cm deespesor, se pone un bloque de granito de 14 toneladas. Si el mdulo de Young del acero es de

10 220 10 E N m , determinar el acortamiento experimentado por el tubo.

23.-Se cuelga una viga de 8 metros de longitud de 4 000 kg de dos cables de la misma longitud yseccin, uno de aluminio situado a un metro de uno de sus extremos y otro de acero. Al

suspenderla, ambos cables se estiran lo mismo. (a) Calcular la tensin que soporta cada uno.

(b)Calcular la distancia entre los cables. Sabiendo que los mdulos de Young: del acero es:

200 GPA y del aluminio es 70 GPa.

24.-La presin hidrosttica en las profundidades ocenicas de una sima es de 8 210 N m .Determinar la densidad de un trozo de hierro en tal lugar. (Considere la densidad del hierro

3

7890Fe kg m y el mdulo Volumtrico del hierro10 2

9.6 10 B N m ).

25.-Se somete a un cuerpo de cobre de forma cubica y de 1 dm de arista a una fuerza de unatonelada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Averiguar el ngulo de

deslizamiento. (Considere el mdulo de Corte del cobre10 2

4.2 10G N m )

26.-Un pndulo de torsin est formado por una esfera de 10 cm de radio y 10 kgde masa quecuelga de un alambre cilndrico de 2 mm de radio y 1 m de longitud; si el periodo de oscilacin

es 2 segundos, calclese el mdulo de torsin del alambre.

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