modulo 9. trigonometria

7/22/2019 Modulo 9. Trigonometria

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Estudios Matemticos rgenteraLas matemticas pueden ser definidas como aquello de lo que no

sabemos de qu hablamos, ni si lo que decimos es verdadero.

Bertrand Russel (1872-1972) filosofo y matemtico ingls.

Hiparco de Nicea: Astrnomo, gegrafo y matemticogriego. (190 a. C. - 120 a. C.). Entre sus aportaciones cabe

destacar: el primer catlogo de estrellas, el descubrimiento

de la precesin de los equinoccios, distincin entre ao

sidreo y ao trpico, mayor precisin en la medida de la

distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclptica,

invencin de la trigonometra y de los conceptos de longitud y

latitud geogrficas. Clasific las estrellas segn su intensidad

de brillo. Dividi el crculo en 360 grados de 60 minutos cada

uno. Compil una tabla trigonomtrica que necesit para

computar la excentricidad de las rbitas de la Luna y el Sol yque sirvi para calcular cualquier tringulo, hacer modelos

astronmicos cualitativos y realizar predicciones.LOS NUMEROS ORDINALES

1 primero 11 undcimo 10 dcimo 100 centsimo

2 segundo 12duodcimo 20vigsimo 200 ducentsimo

3tercero 13decimotercero 30trigsimo 300tricentsimo

4cuarto 14decimocuarto 40cuadragsimo 400cuadrigentsimo

5quinto 15 decimoquinto 50quincuagsimo 500quingentsimo

6 sexto 16 decimosexto 60sexagsimo 600sexcentsimo

7sptimo 17decimosptimo 70septuagsimo 700septingentsimo

8octavo 18decimoctavo 80octogsimo 800octingentsimo

9 noveno 19decimonoveno 90 nonagsimo 900 noningentsimo

1000 milsimo 10,000 diezmilsimo

100,000 cienmilsimo 1000,000 millonsimo
http://es.wikipedia.org/wiki/190_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/120_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Precesi%C3%B3n_de_los_equinoccioshttp://es.wikipedia.org/wiki/Precesi%C3%B3n_de_los_equinoccioshttp://es.wikipedia.org/wiki/120_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/190_a._C.


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1

Historia e importancia

La Trigonometraes la rama de las matemticas que estudia las relacionesentre los lados y los ngulos de los tringulos. Los babilonios y los egipcios

(hace ms de 3000 aos) fueron los primeros en utilizar los ngulos de untringulo y las razones trigonomtricas para efectuar medidas en agriculturay para la construccin de pirmides. Tambin se desarroll a partir de losprimeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomamediante la prediccin de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes ypara mejorar la exactitud en la navegacin y en el clculo del tiempo y loscalendarios.

El estudio de la trigonometra pas despus a Grecia, en donde se destaca

el matemtico y astrnomo Griego Hiparco. Desde Grecia, la trigonometrapas a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronoma. Y desde Arabiase difundi por Europa, donde finalmente se separa de la Astronoma paraconvertirse en una rama independiente que la hace parte de la matemtica.

En nuestros tiempos de avances tecnolgicos es necesario y casiprioritario el uso de clculos y funciones que nos suministren informacionesy material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, dando as respuestaa fenmenos y hechos de la historia humana.

La trigonometra se aplica en todos aquellos mbitos donde se requierenmedidas de precisin. Sirve de soporte para el buen funcionamiento de otrasmatemticas.

Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de lanavegacin, la geodesia y la astronoma, en las que el principal problema eradeterminar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y laLuna, o una distancia que no poda ser medida de forma directa. Otrasaplicaciones de la trigonometra se pueden encontrar en la fsica, qumica y

en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio defenmenos peridicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

Un ejemplo claro de aplicacin suministrado por wikipedia lo es ElCanadarm 2, un brazo manipulador robtico gigantesco de la EstacinEspacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ngulos


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2

de sus articulaciones. Calcular la posicin final del astronauta en el extremodel brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonomtricas de esosngulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Sus dos ramas principales son la trigonometra plana, que se ocupa defiguras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa detringulos que forman parte de la superficie d de una esfera. Se usa sobretodo en navegacin y astronoma en la superficie.

El Teorema de Pitgoras.

Establece que en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los dos catetos, es decir que 2 2 2h c c

Ejemplo1: Dado un tringulo abc, hallar la hipotenusa. Sabiendo que b=8cm, c= 6cm. a=?.

2 2 2 2 2a b c a b c Sustituyendo y operando 2 28 6 100 10a cm

Aplicaciones del Teorema:

Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre un rbol. La distanciadel tronco al pie de la escalera es de 6m. Cul es la altura (b) del tronco delrbol?

2 2 100 36 64 8b a c cm


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3

Ejemplo 2. Una cancha de voleibol olmpica es un rectngulo de 90 metrosde largo y 80 metros de ancho. Qu longitud tiene la diagonal de lacancha?

Solucin La diagonal es la hipotenusa de un tringulo rectngulo, con

catetos de longitudes 80 m y 90 m. Puedes usar el Teorema de Pitgoraspara encontrar su longitud.

2 280 90 6400 8100 14500 120.4159h m

Razones trigonomtricas:

Es el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dosde los lados de un tringulo rectngulo con respecto a un ngulo agudo.Debemos empezar estableciendo los parmetros para poder definir lasfunciones trigonomtricas.

Hipotenusa:Es el lado mayor de un tringulo rectngulo.

Cateto adyacente:Es aquel lado que forma parte del ngulo agudo sobre el cualvamos a definir las funciones trigonomtricas.

Cateto Opuesto:Es aquel lado que no forma parte del ngulo agudo sino que seopone a l.

Definiciones de las funciones trigonomtricas.

c

b

hipotenusa

gulo esto al ancateto opusen

ca

hipotenusa

ngulo acente alcateto ady cos

a

b

ngulo acente alcateto ady

gulo esto al ncateto oputg

ba

gulo esto al ncateto opu

ngulo cente al catetoadyactg


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4

a

c

ngulo acene al cateto ady

hipotenusa sec

bc

gulo esto al ncateto opu

hipotenusa csc

Ejemplo 1:Calcule los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo

agudo

, sabiendo que

4

7Sen

.

Aplicando el teorema de Pitgoras para encontrarel otro cateto y as encontrar las otras 5 funcionesfaltantes.

2 24, 7, ? 49 16 33a c b b c a ,

4

7Sen

7sec

4Co

337

Cos 7 7 333333

Sec Sec

4 4 33

3333Tan Tan

33

4Cotan


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5

Analice este ejemplo proporcionado por el matemtico cubano AurelioBaldor.


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6

Unidades angulares y conversiones.

ngulo: Es la abertura comprendida entre dossemirrectas (rayos) que secortan en un punto llamado vrtice. Este ser positivosi gira en sentidocontrario al movimiento de las agujas del reloj.

Hay tres unidades:

1) Grado sexagesimal:unidad angular que divide una circunferencia en360. Es la ms utilizada en la vida cotidiana.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2)Radin:Es la medida del ngulo central de una circunferencia cuya

longitud de arco coincide con la longitud de su radio. Divide la circunferenciaen 2radianes. Es el ms utilizado en matemtica.

3) Grado centesimal:unidad angular que divide la circunferencia en 400grados centesimales. Se desarroll como la unidad ms prxima al sistemadecimal, se usa en topografa, arquitectura y en construccin.


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7

Conversiones:Como es bien sabido que la vuelta completa de una circunferencia es 360equivalente a 2 rad entonces tenemos que

1802 . 360 1

180rad Rad Sgc

A la hora de hacer conversiones de radianes a grado debemos multiplicar

por180

y si es de grado sexagesimal a radin debe ser por

180

.

Ejemplos:

a) Convertir 45 a radianes. Resolviendo tenemos que45

45 ( )180 180 4

b) Convertir 32

a grados sexagesimales. Resolviendo tenemos que

3 180 540( )( ) 270

2 2

ngulos notables:

Son aquellos que tienen valores fijos. Cualquier ngulo que sea mltiplo de 5es posible expresarlo a travs de funciones fijas. Pero siempre hemostrabajado ms con 30, 45 y 60.

Demostracin de las funciones trigonomtricas de de 30 y 60

Para esta demostracin partiremos de un tringulo equiltero de ladosiguales a 2, luego trazamos una altura que dividir altringulo equiltero endos tringulos rectngulos iguales cuyos ngulos miden 90, 60 y 30.

Ahora las funciones trigonomtricas de 30 y 60 las podemos buscarpartiendo del tringulo rectngulo de la derecha. En este caso buscaremos


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8

por la definicin la de 30 y por la comunin y racionalizacin la de 60.Tomando en cuenta que nos falta el cateto c por lo que hay que aplicarle elteorema de Pitgoras visto anteriormente. , como vimos anteriormente

2 22 1 3c c

1

6 2

3

6 2

3

6 3

36

2 3

6 3

sec 26

Sen

Cos

Tan

Cotan

Sec

Co

3

3 2

1

3 2

33

3

3 3

23

2 3sec

3 3

Sen

Cos

Tan

Cotan

Sec

Co

Demostracin de las funciones trigonomtricas de 45.

Para esta demostracin partiremos de la construccin de un cuadrado delados iguales a la unidad. Luego trazaremos una diagonal que dividir al

cuadrado en dos tringulos rectngulos iguales cuyos ngulos miden 90,45 y 45.

Buscando la hipotenusa tendremos que 2 21 1 2h h ahora empezamos

a buscar las funciones trigonomtricas de 454

.


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9

3

4 2

3

4 2

14

Sen

Cos

Tan

14

24

sec 24

Cotan

Sec

Co

Tabla de Valores de las funciones trigonomtricas de 30, 45 y 60en el sistema sexagesimal.

. 30 . . 45 . . 60 .

Seno21

22 23

Coseno23

22 2

1

Tangente33 1 3

Cotangente

3 133

Secante3

2 3 2 2

Cosecante

2 2 3

2 3


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10

Valor Numrico de expresiones trigonomtricas:

En trigonomtrica existen ngulos notables, tales como 30, 45 y 60. Se le

llaman notables porque sus funciones tienen reglas fijas. Para determinar elvalor de una expresin trigonomtrica basta con sustituir cada una de las

funciones por su valor y luego las operaciones indicadas.

Ejemplos: Encontrar el valor numrico de:

1) Tan 45 . cota 1n 45 1 1

Sen 30 Cotan 45 co

1 1

(1) 02 2=s 602) = =01

5 1

4Tan

Sen . Tan 5cos2 63)

3

3 1 3(1) 5( 1) 5

3 153 2 3= = =3(1) 0 3 9

24

Tan sen

Funciones trigonomtricas inversasEn trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes, se le llama arcoa cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversasse denominan con el prefijo arco, as si:

1)

2) cos cos

3) ta nn ta

x Arcsey sen x

y x

y

n y

x Arc y

Ar yx x c

Desde hace aos para obtener el valor de las funciones trigonomtricas eraa travs de una tabla desarrollada por Johann Muller 1467, esta consista enque conocido un ngulo podamos encontrar el valor de la funcintrigonomtrica. Hoy en da este mtodo est obsoleto debido al uso de lasmaquinas calculadoras electrnicas.


12/33

11

Representacin grfica de las funciones trigonomtricas.

x

yy = sin(x)

y = cos(x)

y = tan(x)

Resolucin de tringulos rectngulo

Resolver un tringulo es hallar sus lados, ngulos y rea. Es necesarioconocer dos lados del tringulo, o bien un lado y un ngulo distinto del recto.Partiremos en primer plano de resolucin de tringulo rectngulo y luegocontinuaremos con tringulo obtusngulo y oblicungulo.

Resolucin de tringulos rectngulos.

1.Se conocen la hipotenusa y un catetoResolver un tringulo rectngulo donde la hipotenusa a= 47cm y uno de loscateto es c= 24cm.

B=? , C=?,b=?

*Buscando el lado faltante por Pitgoras:

C


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12

2 2

2 2

40.

2

4

47 4

b

b cm

a c

b

b=? a=47cm

*Buscando ngulo C A c=24cm B

'

* ( )

24( ) 30.70635584

30 23"

7

42o

c cSenC C Arcs

C

ena a

C Arcsen C

*Buscando ngulo B por medio de conjugados.

0

'

'90 30 42 23"

59 17 37"

o

o

B C A B A C

B

B

2. Se conocen los Dos ngulos y un lado cualquiera.

2

4.6

A=90 , 60 , 8 , ?, ?, ?

90 60

8 8* 9.2376

60 0.866025

8

60

2

9

.24

30

:

o

O

o

a

B b cm C c a

B C A C A B

C

b b cm cmSenB a cm

a SenB Sen

b b cmTanB c

c TanB Tan

Tambin los podemos realizar por p

cm

itgoras

a

C

m

c

c

b

c

2 2 2(9.24) ( 4 628) .c cc m


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13

Aplicacin de tringulos rectngulo.

3. Una Torre de 105 de altura proyecta una sombra de 83.86 pies.Calcule el ngulo de elevacin del sol

4. Desde la cspide de un Faro de 145 pies de altura sobre el nivel delmar, se observa que el ngulo de depresin a una Boya es de 45grado. Hallase la distancia horizontal desde el Faro a la boya.


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14

Resolucin tringulos oblicungulos y obtusngulos

La ley o teorema de los Senos es una relacin de tres igualdades que

siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, yque es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos

Ley de los senos:

En todo tringulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

a b c

senA senB senC

Resolver un tringulo conociendo un lado y dos ngulos.

: a 10 m, B

1. Si en un

30 ,C 11

tri ngulo : a 10 m,

5 , ?, ?

B 30 y C 115 . Calcul

, ?

180 180 30 115

( ) 6 3

a los restantes elementos.

3

0

5OO O O O

Datos A c b

A

B C A

a b a SenB Senb bSenA SenB Se

A

nA Se

1

35

( ) 15.

0 115

3

5 2

5

. 3

8

n

a c a SenC Senc c

SenA SenC SenA S

b cm

cen

cm

Leyes de los cosenos:

En todo tringulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros doslados menos el doble del producto de ellos, por el coseno del ngulo que forman.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 .cos

2 .cos

2 .cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab


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15

2 2 2 2 2

2 2

Ejemplo. Si tenemos un tri ngulo donde : a 15m, c 10 y B 120 .

la ley del coseno consig

2 .cos 2 .cos

(15) (10) 2(15)(10)cos12

a el valor del otro lado.

0 325 150o

b a c ac b a

m

Aplic

c c

a

a

b b

ndo

21.79b m

ngulos mltiplos y submltiplos

Los ngulos mltiplos y submltiplos son de mucha importancia pues atravs de ellos podemos expresar las funciones de un ngulo a travs deotros. Estos indican cuantas veces podemos repetirlo, mientras que lossubmltiplos indican cuantas veces podemos dividirlo; Para demostrar lasfunciones del ngulo duplo, mitad, etc; partiremos de las funcionestrigonomtricas de las suma de dos ngulos, desarrollando estas por ladefinicin no por demostracin pues es un poco rigurosa.

Funciones trigonomtricas a travs de la suma de dos ngulos.

1) ( ) sen cos cos sen

2) sen( ) sen cos cos sen

3) cos( ) cos cos sen sen

4) cos( ) cos cos sen sen

tan tan5) tan( )

1 tan tan

tan tan6 ) tan

( )

( )1 tan

sen x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x

Si x y Sen Se

y

x yx y

y

x

n x

tany

Nota: Para encontrar el valor de la cotangente, secante, cosecante, basta con buscar las funciones inversas.


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16

1

E

0

je

5=

mplo

60+4

1 : Hal

51)Sen(6

lar las funcione

0+45)=sen60 cos4

s trigonomtricas de 105

a trav

5 +sen45 cos 60

3 2 1 2

s de la suma de do

= ( ) ( )2 2 2

s ngulos notab

2

2)

le

C

s.

os

6

(60+

2

4

45)

=cos 60 cos45 -sen45sen60

1 2 3 2 = ( )- ( )

2 2 2 2

60 45

3) (60+45)= 1 an 60. 45

3 1 =

1 3(1)

4) (60+45)=

5) (60+45)

6) (60

2 6

4

3 1

1 3

1 3

3 1

4

2 6

+45)

Tan Tan

Tan T Tan

Cot

Sec

Cosec

42 6

Funciones trigonomtrica a travs del ngulo duplo.

Para demostrar las funciones trigonomtricas del ngulo duplo partiremos dela suma de dos ngulos, donde un ngulo es igual al otro x=y.

Como ya sabemos que yxyxyx sencoscossen)sen( , pero como x=y

entonces tendremos

( ) sen cos cos sen

(2 ) 2sen cos

sen x x x x x x

por lo qu sen xe x x

Aplicando este mismo procedimiento con todas las dems funcionestrigonomtricas tendremos que:


18/33

17

2 2 2

2

cos(2 ) cos 2cos 1

2tanan(2 )

1 tan

2)

3)

x x sen x x

xT x

x

2

Ejemplo : Hallar el seno, tangente y la cosecante

de 120 a travs del angulo duplo.

Sen

120=2(60)

* = 2sen60 cos60

3 1 3 =2( )( )

2 2 2

2 60* =

1 an

2(

60

60

)

2(6

0)Tan Tan

T

2

2( 3) = 3

1 ( 3)2

* 2 (603

)Cosec

Funciones trigonomtricas a travs del ngulo Triplo.

Si hacemos la evaluacin de (x+y) donde sustituiremos a x por 2x ^ y por x,

desarrollando por ejemplo el seno tendremos que Sen(x+y)

Sen(2x+x)=Sen2x.Cosx+Senx.Cos2x, haciendo

ese desarrollo obtendremos

3

3

3

3

3

2

Ejemplo: Calcular el

las siguientes reglas:

135 3(

33) 3

1 3 tan

45 ) 3 45 4 45

2 2 3 23

2) 3 4 c

seno

4 22 2 2

1) 3 3 4

2

de 135 .

o 3

2

s cos

Se

Sen Sen sen sen

Co

Tanx Tan x

n x senx s

Tan xx

e x

s

n

x x x


19/33

18

Funciones trigonomtricas a travs del ngulo mitad.Para el desarrollo de las funciones trigonomtricas del ngulo mitadparatiremos del ngulo duplo tal como veremos a continucin.

22

2

Despejando sen ,

1 cos 2 1 cos 2 . sen sen

2 2

Cambiando1 cos

sen ( ) :2

cos 2 1 2 n

2 2

se x

x xluego aplicamos radicacin x

x

x xxx p r

x

x

o

2

2

2) Para el coseno aplicamos cos2 2cos 1 obteniendo

1 cos 2cos Cambiando ( 1 coscos2 2

) :2 2

x x

x xx x por x x

3) La frmula de la tangente del ngulo mitad se obtiene dividiendomiembro a miembro las identidades de seno y coseno del ngulo mitad:

Ejemplo: Busca las funciones trigonomtricas seno,

coseno, y tangente de 15 en funcin del an

1 cos1) sen

gulo mitad.

30

31

30 1 cos30 2 32( ) =

2

2

15 (

2

2

2

)

2 2S

x x

en


20/33

19

31

30 1 cos 30 2 32( )

1 cos2)co

2

2 2

s

2

2

2C

x x

os

2 3

30 2 32a

1 cos3) an

2

n( )2 2 3 2

1 os

3

c

2

x xT

T

x

Identidades trigonomtricas de producto a suma o resta.:

) ( ) sen cos cos sen

) sen( ) sen cos cos sen

) cos( ) cos cos sen sen


Tomando encuenta que

I sen x y x y x y

II x y x y x y

III x y x y x y

IV x y x y x y

Ahora para encontrar productos debemos hace

.

1. Restando ^ :

( ) sen cos cos sen

sen( ) sen cos cos sen

( ) sen1

os [ (

( ) 2cos sen

) ( )]2

SenyC x sen x y sen x

r sumas y resta

del dessarrollo de mas arriba

I II

sen x y x y x y

x y x y x y

sen x y x y x y

y


21/33

20

2. umando ^ :

( ) sen cos cos sen

sen( ) sen cos cos sen

( ) sen( ) 2

1os [ ( ) ( )]

.

2

S I II

sen x y x y x y

x y x y x y

sen x y x y Se

SenxC y sen x y sen x y

nxCosy

3. umando ^ :

( ) cos cos sen

cos( ) cos cos sen sen

( ) cos( ) 2cos .cos

1cos .cos [ ( ) cos( )]

2

S III IV

cos x y x y senx y

x y x y x y

cos x y x

x y cos

y

x

y

x y y

x

4. Restando IIIÎV IV ÎII en este caso los haremos con IVÎII

por asuntos de signos de operaciones, es mas sencillo, veamos!:



( )

x y x y x y

x y x y x y

cos x y

1. [ ( )

cos( )

cos( )]

2

2 .

senx seny cos x

x y sen

y

x

x

sen

y

y

Por lo tanto podemos ya ordenarla y entrar en ejercicios:


22/33

21

Concluiremos diciendo que sumando y restando

el seno y el coseno de la suma de dos angulos llegaremos a producto

los cuales son de mucha importancia tanto en este curso como en clculo

in

NO

t

TA :

egral, es decir:

) ( ) sen cos cos sen) sen( ) sen cos cos sen


) cos( ) cos cos sen se

11) . [ ( ) cos( )

1os

]2

n

:

22

)

I sen x y x y x yII x y x y x y

III x y x y x y

IV x y x y x y

Obte

Senx Seny cos x y

ndremos

SenxC

y

y

x

13)

14) os . os [ ( ) cos( )

[ ( ) (

]

os [ ( ) ( )]2

]

2

)

SenyC x sen x y s

C x C y cos

sen x y s

x y

e

x y

n y

en x

x

y

( ) ( )5) Tan x .Tan y=

Anexas a estas vamos a agregar la de producto de tangente y cotangen

( ) ( )6) ot .Cot y =

(

( ) (

t

(

e

)

) )

T

Cot x C

an x Tan y

Co

ot yC x

Ta

t x C

n x

y

n y

ot

Ta


23/33

22

Resuelva los siguientes ejemplos:

a) Dado 12 5 Expresar como suma de ngulos.

) Si 6 2 Exprsalo como

1os . os [ ( ) cos( )]

2

1 [ (17 ) cos(7 )]2

1. [ ( )

2

suma :

C x C y cos x

Cos x Cos

y x y

cos x x

Senx Seny

b Sen x

cos x

S n x

y

e

) siguiente producto 5 * os 13 exprsarlo

en suma de funciones trigonmetricas

cos( )]

1[ (4 ) cos(10 )]

2

1os [ ( ) ( )]

2

15 * os13 [ (18 ) (8 )]

2

.

x y

cos x x

SenyC x sen x y sen x y

Sen x C x s

c El S

en x

en x C x

sen x


24/33

23

12que : Sen os en( ) en( )

Ahora asumiendo que A=x+y ^ B=x-y, operamos a traves de suma y resta

para obte

IDE

ner

NTIDADES DE SUMA A PRODUCT

valores de x^ y, por lo que obtendremos

Suma:

O

Sabiendo xC y S x y S x y

x + y Resta: x + y= A( )

+

x =

-2 2

Ahora esc

2y =

2

Ax y B x y B

x A B

BB

y A

A

B

A

12

ribimos la identidad inicial en t rminos de y :

sen cos sen sen , S en en2 2

Obtendremos sen sen 2sen cos2 2

Este mismo prosceso de demostracion lo deb

A B

A B A BA B despejamos A S B

A B A B

A B

emos emplear para las otras,

por tal razn a continuacion la ponemos y la dejamos a opcin del lector.

1) sen sen 2sen cos2 2

2) sen sen 2 cos se

3) cos cos 2 cos

n2 2

2

A B A BA B

A B A BA B

A BA B

( )5)

4)cos

( )6)

.

c

.

os 2sen sen2 2

cos2

Sen A BT

Sen A BCotA Co

anA TanB

tBSenA Sen

A B A BA B

CosAC

B

o B

A

s

B

Esta expresion es la que corresponde a la 4, osea,

cos cos 2sen sen ,Desarrollando tenemos que2 2

90 40 90 40Cos90 40 2 sen

2 2

Ejemplo : Transformar Cos90 0

2

4

A B A BA B

Cos sen

Cos

65 sen 25sen


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24

Identidades trigonomtricas

Es una igualdad que se satisface para cualesquiera que sean los valores delas variables que en ella intervienen. Hay varios tipos de identidades, por talrazn aqu en este nivel vamos a poner las que consideramos msnecesaria, aunque es bueno recordarle al lector que debe saber despejarformula (consultar modulo 1 de este manual) para encontrar otras queestarn inmersas aqu.

2

2

1 1- Cos2x1) 10)Sen x =

cosc 2

1 1 cos 22) Cos x= 11

Identidades fundamentales e i

)Cos xx 2

1 x3) Tan x

nvers

=x

a

Cos x

s:

senxx

x

Sec

Sen

Cot

2

2 2

2

2 2

12)

1 Cos x4) Cot x= = 13) Sec x 1 +Tan

x Sen x

15) Sec x= 14) Tan Sec x 1Cos x

16) Cosc x=

Sec x-Ta

e x

n 1

xTan

x

S n

x

2 2

2

2 2

2 2 2

2

2

Cosc 1

Sen x + Cos x

15)

Identidades Pitagricas. 16) Cosc 1 +

7)

8) Sen x =1- Cos x 17)

1

c x 1

=

x Cot x

Cot x Cos

x Cot x

2

2 2

2

Identidades para c

alculo inte

1- Cos2x 1+ Cos2xa) Sen x

9)Cos x 1 x

=

gral:

b) Cos x =

2 2

Sen


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25

Aqu tenemos otra tabla de identidades aun ms general.

Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x

Sen x

21 cos x

2

Tan x

1 Tan x

21 Cot x

1

Sec 1

x

2x

Sec

x

1

Csc

Cos x

21 Sen x

21 Tan x

1

Cot x

21 Cot x

x

1

Sec Csc 1

x

2x

Csc

Tan x

Sen x

21 Sen x

1-Cos

x

2x

Cos x

1

Cot

2Sec x-1

2Csc x

1

-1

Cot x

1-Sen

x

2x

Sen

Cos x

21 - Cos x

x

1

Tan

2Sec x

1

-1

2

Csc x-1

Sec x2

1- Sen x

1

x

1

Cos

21 Tan x 1 Cot

x

2x

Cot

Csc x

2Csc x 1

Csc xSen x

1

21 - Cos x

1 1

x

2Tan x

Tan

21 Cot x

2

Sec x

Sec x 1

Demostracion de una identidad trigonomtricaEn la demostracin de identidades trigonomtricas no hay procedimientos matemticos

especficos, por lo que en la mayora de los casos va a depender de nuestra destreza, habilidad

mental y conocimientos matemticos.

Recomendamos que debemos trabajar desde adentro hacia fuera tratando siempre de convertir las

expresiones en funcin de senos y cosenos.


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26

1Si aplicamos la prop.1 tendremos que

Ejemplos :Demostrar las siguientes identidades trigonom tricas.

1) . 1

2) . 1

3) . 1-

1

1 1

CoscxCoscx

CosxSenx Cosx

S

Senx Coscx

Senx Cotx

Senx

enx

Senx

2 2 2 2

2

1- Cos x

Se elige uno de los miembros cualquiera o ambos y se

trata de llegar a una igualdada comn. En este casovamos a trabajar en el miembro izqui

Cos x

4) 1- TanxSenx

Sen x Sen x Se

Coscx Sec

x

x

n

erdo para llegar

al derecho (1- Tanx).

. . 1- Tanx

1 11- Tanx

1- 1- Tanx 1- Tanx

Tanx

Senx Coscx Senx Secx

Senx SenxSenx Cosx

Senx Senx

Senx Cosx

Ecuaciones trigonomtricas:

Son expresiones que contienen funciones trigonomtricas de un ngulo desconocido. Suelen

tener infinitas soluciones.

Pasos para resolver una ecuacin trigonomtrica:

1. Si hay ngulos diferentes, reescribirla en funcin de un solo ngulo.

2. Si tenemos varias razones trigonomtricas ponerla como una sola.

3. Aplicar funciones arco para conseguir el valor de la incgnita.


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27

1 1

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas

1) 2

1 1Cos = arccos

2 2 3

2 0 2 2 0

2 1 0 ^ 2 1 0

1

cos -1=0

2)

^0

2

)

2 6

3

^2

Sen C

Sen Cos Sen Cos Cos

Cos Sen Cos o Sen

Cos Sen

os

2 2

2 2

2

2

1 1

2

cos 1 0 2(1 cos ) cos 1 02 cos cos 1 0 2 cos cos 1 0

cambio de base tenemos que cos

2 1 0

21 1 8

14

1

1 3 1 1 w

4 2 2

1 3

2 1 co

s

sen x x x x

x x x x

haciendo w x

w w

a

sen x

b

x

w

c

w

w

21 14

1 1) arccos

2 2

) x=-1 x=arccos (

3

- =1 x)

x

w

Sustituyendo

a Cos x x

b Cos

Cuando me preguntaron sobre algn arma capaz de contrarrestar elpoder de la bomba atmica yo suger la mejor de todas La paz

Albert Einstein (1879-1955) Cientfico alemn.


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ACTIVIDADES:

1. Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitgoras

a- Una parcela es un cuadrado con catetos de longitudes de 60 cm. Usar elTeorema de Pitgoras para determinar la longitud de la parcela.

b- Un joven de 5.6 pies de alturas se encuentra a una distancia de 14 pies de una

pelota. Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente,

quedndose en posicin firme.

2. Convertir los siguientes ngulos de grados a radianes

a- 45

b- 75

3. Convertir los siguientes ngulos de radianes a grados

a-7

b- 32

4. Calcular los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo agudo

sabiendo que:

a-2

5Cos

b-

2

7Cot


30/33


31/33

30

9. Hallar las funciones trigonomtricas de los siguientes ngulos a travs de la suma de dos

ngulos notables

a-100

b-15

10.Hallar el seno, tangente y la cosecante de los siguientes ngulos a travs del ngulo duplo

a-60

b-1300

11.Buscar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente de los siguientes ngulos enfuncin del ngulo mitad

a-30

b-120

12.Hacer uso de las identidades producto suma para resolver los siguientes ejercicios.

a- 9 * 5Cos x Cos x

b- 50 * 20Sen x Cos x

13.Hacer uso de las identidades suma-Producto para resolver los siguientes

ejercicios

a- 45 25Cos Cos

b- 120 80Sen Sen

14.Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas

a- 2 * 0Cosx Senx Cosx

b- 2os 0C Sen


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Bibliografa

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemtica Superior I. Santo

Domingo Rep. Dom: Universidad Catlica de santo Domingo.Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Preclculo. 6ta edicin, Mxico:editora Pearson Educacin.

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Santillana I. serie umbral, (educacin media).(2001), 1ra edicin, Rep.Dom: Editora Santillana

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modulo 9. trigonometria

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