módulo 1 - enfermería - ord
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CUALQUIERATRANSCRIPT
CICLO PRE UNIVERSITARIO
MDULODE RAZONAMIENTO MATEMTICO
CENTRO PRE-ORD-UPB
FECHA DE INICIO: 18-05-2015
FECHA DE TRMINO:12-06-2015
BAGUA GRANDE PER 2015
2CAPTULO I: SUCESIONES Y SERIES
I. SUCESINUna sucesin es un conjunto ordenado de elementos (nmero, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido, de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y as sucesivamente; acorde con una ley de formacin, criterio de orden o frmula de recurrencia. A los elementos de este conjunto se les denominan trminos de la sucesin.
CLASIFICACIN DE SUCESINES
1. Sucesiones Numricas2. Sucesiones Literales
1. Sucesin numricaEs un conjunto ordenado de nmeros en el que cada uno de ellos tiene un orden designado; es decir que a cada uno de los trminos de la sucesin le corresponde un nmero ordinal. As
Sucesiones numricas importantes
1.1. Sucesin aritmtica (Sucesin Lineal o de Primer Orden)La diferencia entre dos trminos consecutivos(tambin llamada razn aritmtica) es siempre constante.Su trmino ensimo est dado por:
tn = (n-1)r + t0; t0=t1rtn: Trmino ensimo
t0 : Trmino anterior al primero t0 = t1-rr : Razn aritmtica ; r = t2 - t1 n: Lugar del trmino ensimo
Ejercicio 1Hallar el trmino ensimo en cada caso: a) 7; 12; 17; 22; .......Resolucin:
71217 22....+5+5 +5
r = 5;
To = 7-5 = 2
tn = 5n + 2
b) 45, 39, 33, 27,.....Resolucin:
45393327-6-6-6
r = -6 ;
to = 45 (-6) = 51
tn = -6n + 51 tn = 51 6n c)4, 12, 20, 28,...Resolucin:
............................................
............................................
Sucesin polinomial de segundo orden o cuadrtica.
En toda sucesin cuadrtica el trmino ensimo es de la forma:
tn = a.n2 + b.n + c
donde a, b y c son valores constantes que se hallan de la siguiente manera:
t0 ; t1 ;t2 ;t3 ;t4 ; t5 ; .....+m0 +m1 +m2 +m3 +m4+r+r+r+r
a = rb = m0c = t0
Donde:
r : m2 m1 mo = m1 - r to = t1 mo
Ejercicio 2:
Hallar el trmino ensimo en cada caso: a) 5; 11; 19; 29; 41; ......
Resolucin:
r = 2
mo = 6-2 m0 = 4
n1 011 21 34to = 5-4 t0 = 1 Clculo de a, b y c:
a = r 4 a = 222
b = mo a = -8 2 b = -10 c = to c = 3tn = 2n - 10n + 3
Sucesin polinomial de orden superior
Veamos por ejemplo una sucesin de cuarto orden. 12345 6........nt1,t2 ,t3 ,t4 ,t5 , t6,.......,tnabcdep1p2p3 p4 q1q2q3rr
Su trmino ensimo viene dado por:
Clculo de a; b y c
t t C n1
aC n1
p C n1
q C n1
rC n1
ra =a =2
2 12
a = 1
Dnde:
Cn n(n 1)( n 2)...
b = mo amo = 4-1 = 3 c = toc = 1tn = n + 3n + 1
k
k factores
Ejercicio 3:
k(k 1)(k 2)...(1)
0 K n; K ; n
b) -5;-9; -9;-5;3
-5-9-9-53-40+4+3Resolucin:
+4+4+4r = 4mo = -4 4 = -8
to = -5 (-8) = 3
Calcular el trmino ensimo en: a) 4; 6; 11; 21; 38;....Resolucin:46112138+2+5+10+17+3+5+7+2+2
t1 = 4;a = 2;
p1 = 3;r = 2;
El trmino ensimo tendr la forma:
Sucesin geomtrica
n1 0t t C n1
1aC n1
1 2p C n1
3r C n1
En general:
Dada la sucesin geomtrica:
t 4 2 n 13 n 1n 22 n 1n 2n 3
t ;t ;t ;t ;t ; .......
n 2.1
3.2.1
12345
t 4 2 n 13 n 1n 2n 1n 2n 3n23
Ejercicio 4:
Hallar el trmino que sigue en: a) 1; 3; 6; 10;..........
Resolucin:1361015
+2+3+4+5+1+1+1
t5 = 15
xqxqxqxq
q: razn geomtrica Entonces:tn = t1 x qn-1 Observacin:t1 = 2
t2 = 2 x 3
t3 = 2 x 32
t4 = 2 x 33
tn = 2 x 3n-1
Ejercicio 5:
b) 1;
5 ; 5 ; 17 ; ............
3 25
Resolucin:
Encontrando fracciones equivalentes para t2 y t4, tenemos:
2 ; 5 ; 10 ; 172 345
Analizando numerador y denominador:
*25101726+3+5+7+9+2+2+2
*2345 6
+ 1+1 +1
Hallar el trmino ensimo en:
Resolucin:
261854 162x3x3x3x3razn(q)
q = 3
Ejercicio 6
Encontrar el trmino que sigue a) 2;6;18;54; 162;..Resolucin:
t5 =
26 1363
b)3; 12; 48; 192;....
t5 =
52255 16
Resolucin:
Los trminos de la sucesin son:
1 4 9 16 25
c)40;10;
5 ; 5 ;....
c) t
;;;;2 3 45
= n2
;.... 6
2 8
Resolucin:
Ejercicio 7
Hallar los 5 primeros trminos en cada caso, teniendo en cuenta las siguientes frmulas de recurrencia:
a)tn = 2n3 +1
Resolucin:
Aplicando el principio de valor numrico, tenemos: t1 = 2 x 13 + 1 = 2 + 1 = 3t2 = 2 x 23 + 1 = 16 + 1 = 17
t3 = 2 x 33 + 1 = 54 + 1 = 55
t4 = 2 x 43 + 1 = 128 + 1 = 129
t5 = 2 x 53 + 1 = 250 + 1 = 251Los trminos de la sucesin son: 3, 17, 55, 129, 251, .....n2
n+ 4
..................
d) tn = 3n +1 + (n-1) (n-2)
..................
e) tn = n +2 (n-1)(n-2)(n-3)
..................
Ejercicio 8Hallar el trmino ensimo en cada caso. a) 4; 9; 16; 25; .......Resolucin:Analizando cada uno de los trminos. t1 t2 t3 t4 ...... tn 4916252 3 4 5 (n/1)tn = (n/1) b) 2; 6; 12; 20 ..........
b) tn
n 1
Analizando cada uno de los trminos
Resolucin:
t1t2t3t4...... tn
t1 =t3 =
1211 12
3293 14
t2 =
t4 =
2 22 1
4 24 1
43
165
261220
1x22x33x44x5 n(n+1)
tn = n(n+1)
c) 1, , 1, 4, 25, 216,..
tn = ....................
d) 3; 6; 11; 18; ........
tn = ....................
e) 3 ; 3 ; 9 ; 6 ;.....5 4 11 7
tn = ....................
Resolucin:
Observamos que la letra E se repite, por lo que podemos suponer que se trata de dos sucesiones alternadas, las cuales las individualizamos, de modo que tenemos:
IGEC HFD E F G H
t7 = C
d) 1; 4; 27; 256; ........
Resolucin:
Analizando cada uno de los trminos: t1 =1= 11t2 = 4 = 2
t3 = 27 = 33
t4 = 256 = 44
t5 = 55 = 3125
e)2; 12; 30; 56;
Resolucin:
Analizando cada uno de los trminos: t1 = 2 = 1 x 2t2 = 12 = 3 x 4
t3 = 30 = 5 x 6
t4 = 56 = 7 x 8
t5 = 9 x 10 = 90
Ejercicio 9:
Calcular el trmino ensimo de cada una de las sucesiones siguientes:
a)4; 9; 14; 19; ........
Resolucin:
3 71124
+4+4+13
0+9
De acuerdo al anlisis no se puede determinar que orden es; por lo tanto asumimos que se trata de primer orden, cuya razn es:
r = 4;de donde: to = 3-4 = -1
tn = 4n 1 De donde:t1 = 4(1)-1 = 3
t2 = 4(2)-1 = 7
t3 = 4(3)-1 = 11
t4 = 4(4)-1 = 15 (no cumple)
Como a cumplido para tres trminos, entonces concluiremos que el trmino general ser de tercer orden y tendr la forma:
05. Hallar x en:
2; 6; 24; 120; x
An = tn + k (n-1) (n-2) (n-3) Es decir:An = 4n 1 + k (n-1) (n-2)(n-3) (..I)
-Debemos calcular K, para la cual tenemos de la sucesin principal tenemos que A4 = 24
En (I) tenemos:
24 = 4(4) 1 + k(4-1)(4-2)(4-3)
24 = 15 + k (3)(2)(1)
3de donde k =2
3
a) 720b) 700 c) 800d) 780 e) N.a
06 . Hallar ? en:
4; 1; 1; 1; 64?
a) 5076 b) 5046c) 7046 d) 9604e) 4096
7. Hallar el siguiente trmino en:
3; 15; 4; 16; 5; 17;
a) 1b) 2c) 3d) 6e) 5
8. Qu letra falta en : D; I; N;?
a) Rb) Sc) Td) Ue) W
9. Halla la letra que falta en:
C; E; H; J; M;.
An = 4n 1 +2
(n-1) (n-2) (n-2)
a) b) L c) Od) Pe) Q
Problemas para desarrollar en clase
1. Qu nmero contina en: 2, 5, 8, 11?
a) 11b) 12c) 14d) 13e) N.a.
2. Hallar el nmero que continua en:
5; 10; 16; 23;..
a) 28b) 29c) 30d) 31e) 32
3. Hallar el nmero que sigue: 4; 14; 25; 37; .
a) 70b) 80c) 30d) 40e) 50
4. Hallar el nmero que contina:
1; 2; 7; 20; 45;
a) 46b) 56c) 76d) 86e) 9610. Hallar los dos siguientes, trminos en:
3; A; 6; B; 12; C; 24; D; ?; ?
a) 40,Mb) 70, Jc) 48,Ed) 32,Z e) N.a.
11. Completar la sucesin mostrada, con el nmero ms adecuado:
80, 80, 40; 120; 30; ?
a) 100b) 75c) 55d) 150 e) N.a.
12.Qu nmero contina en la siguiente sucesin numrica?
2; 6; 8; 9; 9,5; ?
a) 9,75b) 7,85 c) 6,75 d) 8,85e) 5,58
13. En la siguiente sucesin, hallar x + y.
x; 0; 2; 10; 30; 68; 130; y
a) 190b) 220c) 320 d) 170 e) 202
7
1014. Dar el trmino ensimo en:
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIN
1 4 27; ;;2 6 9
256 12
; ..I. Hallar lo que se le solicita:
1. nCalcular el nmero de trminos de:
a) 1b)
nc) nd) ne) n
n 1
23 nn 2
n 23 3
12, 8, 4, 0, - 4, ........, - 240
15. Hallar el trmino que ocupa el lugar 18 de la siguiente P.A:
20; 16; 12;
a) 48b) -52 c) -48d) 52e) -44
16. Hallar el vigsimo trmino en:
1; 5; 19; 49; 101; ..
a) 7600 b) 8001 c) 7601 d) 4421e) 7281
17. Si la sucesin {Sn}n1 est definido por: S1 = 1; S2 = 2; Sn=Sn-1 + Sn-2; n3Hallar S7
a) 8b) 10c) 12d) 13e) 21
18. Hallar n en:
a) 60b) 62c) 64d) 72e) 70
2. Calcular el nmero de trminos de:
6, 15, 28, 45, .........., 3321
a) 39b) 40c) 41d) 42e) 45
3. Calcular el nmero de trminos de:
2, 3, 6, 11, ........, 2403
a) 29b) 42c) 40d) 30e) 50
4. Calcular el nmero de trminos de:
4, 15, 39, 85, ..........., 12954
a) 17b) 10c) 21d) 30e) 22
5. Hallar el trmino que continua en:
- 4, 11, 36, 71, ...........
Si: an = 2930
195;;2 12 6
14;; ...... 16
a) 110b) 80c) 109d) 116e) 99
6. Hallar el trmino de lugar 30 en:
17; 15; 13; 11, 9; ....
a) 10b) 16c) 15d) 14e) 12
19. Hallar a8 si
an+1 = an+2 + an ;n 1 a11 = -11a) 8b) -8c) 11d) -1e) 64
20. El trmino 21avo de la sucesin:
2; 5; 10; 17; 26; . es:
a) 484b) 487c) 485 d) 488e) 486
a) 41b) - 36c) 30d) 48e) 41
7. Hallar la ley de formacin de:
10; 13; 16; 19; 22; ....
a) 2n+8b) n+9c) 4n+6d) 3n+7 e) N.a.
8. Hallar la ley de formacin de:
27; 25; 23; 21;....
a) 2n+29b) 29 - 2nc)30 - 3n d) 3n- 30 e) 4n + 24
9. Hallar la ley de formacin de:
12; 13; 15; 18; 22; ...
15.Halle ab para que:
a) 1 (n2 +n - 24)b)2d) 1 (n2 - n)e) N.a.2
1 (n2 - 24) c)2
1 (n2 - n + 24)2
{(n + 1)2(n + 2)2; (n + a)2 + b} sea una sucesin aritmtica para cualquier valor de n
a) -1b) -3c) -2d) -4e) -6
10. Si:
4 2 ; 12 2 ; 22 2 ; 36 2 ; 56 2 ; ....16. El sexto nmero de la serie siguiente : 2, 5, 11, 23, 47,? es:
a) 88b) 90c) 92d) 70e) 95
Hallar: T20
17. a) 36242b) 24362c) 2346 2d) 43262e) 12452Hallar el trmino que continua en: 1; 2; 3; 4; 29; ...
a) 30b) 36c) 126d) 32e) 119
11. Hallar:
T15 T20 en: 3; 5; 8; 12; ...
18.Hallar el trmino que ocupe 127, en la sucesin: 13, 21,29, 37, 45,......
a) 1021b) 1011 c) 1023d) 1151e) 1015
a) 128b) 243c) 334d) 405 e) 501
12. Hallar T37 en la sucesin: 12, 27, 48: .
a)4563 b)4332 c)388 d)4365 e) 4233
13. Los coeficientes del 2do, 3er. , 4to. Trminos del desarrollo de: (1+x)n toman una progresin aritmtica. La suma de los 10 primeros trminos de esa progresin es:
a) 720 b) 640 c) 560 d) 600 e) 700
14. En la sucesin sgte. faltan el primero y el ltimo trmino: 125, 64, 27, 8, estos son respectivamente :
a) 625 y 1 b) 216 y 2 c) 216 y 1
d) 375 y 2 2/3 e) 250 y 419. Se tiene una sucesin en la que: a12=140, a8=96 Hallar el trmino que ocupa el lugar 120.
a) 1228b) 1320 c) 1328d) 1008e) 1428
20. En la sucesin sgte. faltan el primero y el ltimo trmino: 125, 64, 27, 8, estos son respectivamente :
a) 625 y 1b) 216 y 2c) 216 y 1d) 375 y 2 2/3e) 250 y 4
Series numricas
Se denomina serie numrica a la adicin indicada de los trminos de una sucesin numrica y al resultado de la adicin se le llama valor de la serie
Que la diferencia entre dos trminos consecutivos es 3; por lo tanto:
r = 3
EJEMPLO:
61 4 61 1
65 60
S =
9; 18; 27; 36;.... sucesin numrica
23
2 3
9 + 18 + 27 + 36=90
Serie numricaValor de la serie
Serie aritmtica
t1 + t2 + t3 + t4 +.... + tn-1 + tn
+r+r+r+r
S = 650 PROBLEMAS DE CLASE1. Hallar el nmero de trminos de 18; 24; 30; 36; .;282a) 45b)35c) 25d) 15e) 5
2. Dada la progresin:
40; 44; 48; 52; .
S tn
t1 n
Hallarelvigsimotrmino.
2
n tn t0r
n = Nmero de trminos S = Suma de trminos tn = ltimo trminot1 = Primer trmino
t0 = Trmino anterior al primero
a) 50 b) 40 c)10 d) 30 e)20
3. Calcular: S=85+90+95+100++2360
a) 450 b) 456 c) 400 d) 463 e) 430
4. En la P.A., hallar el nmero de trminos si la suma de trminos es 570 y el nmero de trminos entre 3 y 30 es igual al nmero de trminos que hay entre 30 y x. a) 16 b)18 c) 27 d) 17 e)19
r = Razn de la serie
r = t2
t1
5. Z+.Hallareldcimotrmino.a) 43 b) 44c) 41d) 40e)34La suma de los n trminos de una P.A. es (5n+2n2); n
Ejercicio 10:Halar el valor de la siguiente serie S = 4 + 7 + 10 + 13 +.......+ 58+ 61Resolucin:
6. Las edades de tres hermanos estn en P.A. creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395. Hallar sus edades. a) 15, 21, 27 b) 15, 21, 26 c) 14, 21, 27
d) 15, 20, 27 e) 15, 21, 25
7. importedelltimopago?a) 14b) 15c) 16d) 17e) 18Timote no pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950, le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguientes S/.50 ms que el anterior. Cul ser el
8. La suma de los 7 trminos de una P.A. es 28 y la diferencia entre el ltimo y el primero es 12. Cul es el ltimo trmino? a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 10
9. La suma de los 3 primeros trminos de una P.A. es 65 la suma de los 3 ltimos es 307 y la suma de todos los trminos es 3 100. Cuntos trminos tiene la P.A.?a) 40 b) 45 c) 50 d) 60 e) 55
10.Cuntos trminos deben tomarse de la P.A para que la suma sea 66?
-9;-6;-3;.
a) 11b) 13c) 14d) 15e) 16
11.Calcular la suma de los 20 primeros trminos de la P.A.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
14. Un pen debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 rboles que estn al lado de una calzada; los rboles estn a 8m de distancia y el montn de arena estn a 20m antes del primer rbol. Cunto habr recorrido despus de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montn de arena?
12330
1088
a) 7560 b) 7561 c) 7562 d) 7563 e) 7564
15. Dada la sucesin de 1er orden (P.A.) a 7; 6; a + 3; .Hallar el trmino vigsimo
a) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 100
16. Hallar el trmino ensimo de la sucesin
7; 12; 17; 22; 27; ..
a) 4n + 2 b) 4n 3 c) 5n +2
a; (a +a ); 2a; a) 360b) 460 c) 560 d) 455 e) 56512. Pepe lleva ahorrando durante el presente mes S/.598 y tiene con esto S/. 11 350 ahorrados en el banco. Habiendo economizado cada mes S/. 12 ms que el anterior, Cuntos meses lleva ahorrando?
a)25 b) 26 c) 27 d) 28 e)29
13. Desde los puntos A y B, distantes entre si 510m; se mueven simultneamente dos cuerpos, uno al encuentro del otro. El primero de ellos recorre en el primer minuto 50m y en cada minuto siguientes 2m ms que en el precedente. El segundo cuerpo recorre en el primer minuto 40m y en cada minuto siguiente 4m ms que en el precedente. Despus de cuntos minutos se encuentran estos dos cuerpos?
d) 5n 3e) 6n + 2
17. Calcular cuntas cifras tiene el trmino de lugar 77 de la siguiente progresin aritmtica:
42(6); 45(6); 52(6); ..
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
18. Hallar el trmino de lugar ba de la siguiente progresin aritmtica:
a8b; a93; b04; ba5;.....
a) 406b) 408 c) 412d) 402 e) 400
11
1219.Cuntos trminos tiene la siguiente sucesin:? 8(60); 9(59); (58); (57); Donde =10; =11
a) 17b) 18c) 19d) 26e) 25
20.En la sucesin:
a7 + 8; a12 + 15; a17 + 22; .; ax + y Si: x + y = 303Cuntos trminos tiene dicha sucesin? a) 18b) 20c) 25 d) 30e) 32
AUTOEVALUCIN DE CLASE
2501.La suma del tercer y octavo trmino de una P.A. es
5. Si la suma de n trminos de una P.A. es 5n 2n 2 , para todos los valores de n. Hallar el trmino de lugar 10.
a) 38 b) 40 c) 30 d) 43 e) 32
6. La suma de los n primeros trminos de una P.A. es (4 n 2 2n ), para todos los valores de n. El valor del quinto trmino es:
a) 30 b) 32 c) 36 d) 38 e) 46
7. Si los nmeros 144, x4, 2x2, tomados en la sucesin indicada forman una P.A. los valores reales de x con:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3
8. En una P.A. de un nmero impar de trminos, la suma de los de lugar impar es 155 y la de los de lugar par 124. El valor de la suma del trmino central ms el nmero de trmino es:
41 y la relacin del quinto al sptimoes segundo trmino es:
a) 7b) 9c) 10d) 13e) 15
19. El
a) 30 b) 31 c) 35 d) 41 e) 40
9. Una P.A. tiene un nmero impar de trminos. El central vale 22 y el producto de los extremos es 259. La diferencia del mayor menos el menor es:
2. Hallar la razn de la P.A., si la suma de n trminos es (5n - 3)n .
a) 4 b) 12c) 10d) 15e) 8
3. En una P.A. , el primer trmino es 12, el nmero de
a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50
10. La suma de los cinco trminos de una P.A., creciente es 40 y el producto de ellos es 12 320. El quinto trmino es:
trminos es 9 y la suma 252. En otra P.A. el
t1 2 , r
a) 14b) 15c) 11d) 8e) 2
= 6 . Dos trminos del mismo lugar de estas progresiones son iguales Cul es su valor?
a) 32 b) 30 c) 48 d) 40 e) 31
04.Se tiene una P.A. de 3 trminos cuya suma es 24 y la suma de sus cuadrados es 210. Hallar el producto de los nmeros, e indicar la cifra de las decenas.
a) 8 b) 2 c) 0 d) 6 e) 4
11. El nmero de medios aritmticos que es necesario interpolar entre 1 y 19 para que el segundo medio est con el ltimo en la relacin de 1/6, es:
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
12. Hallar el trmino que ocupa el lugar 21en una P.A., cuyos trminos de lugar 46 y 6 son 25 y 425 respectivamente.
a) 325 b) 375 c) 275 d) 175 e) 185
13. Se tiene una P.A. de 3 trminos cuya suma es 2418. En una sucesin de 5 nmeros enteros consecutivos y positivos, la suma de los cuadrados de los 3 primeros es igual a la suma de los cuadrados de los 2 ltimos; entonces el segundo trmino de la sucesin es:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
19. Hallar el valor de S:
y la suma de sus cuadrados es 210. Hallar el producto86
de los nmeros, e indicar la cifra de las decenas.
S (3i 3) 2(i 1)
a) 8b) 2c) 0d) 6e) 4
i2
i0
a) 28b) 27c) 26d) 29e) 24
14. Cuntos trminos tienen las siguientes series, si se
20. Si an
4 n 2 32
sabe que tienen el mismo valor.
n 5n
E1 10 12 14 16 . . . . .
Hallar:
Lim a nn
E2 1 4 7 10 . . . . . . . , ,
a) 10b) 12c) 20d) 19 e) N.a.
15. Hallar la razn de la P.A., si la suma de n trminos es (5n - 3)n .
a) 4b) 12c) 10d) 15e) 8
16. En una P.A. , el primer trmino es 12, el nmero de
a) 4 b) 2 c)1d) 0e) 3
SERIE GEOMETRICA
t1 + t2 + t3 + t4 +.... + tn-1 + tn xqxqxqxqS = tn .q t1q 1
trminos es 9 y la suma 252. En otra P.A. el
t1 2 , r
= 6 . Dos trminos del mismo lugar de estas
qn 1
progresiones son iguales Cul es su valor?
a) 32b) 30c) 48d) 40e) 31
S = t1
q 1
tn = t1 qn-1
17. El producto del primer y quinto trmino de una progresin aritmtica de trminos positivos es 55. Cul es el tercer trmino si la razn es 1,5?
a) 16 b) 8 c) 10 d) 12 e) N.a.
S = Suma de trminos t1 = Primer trminotn= Ensimo trmino
n = Nmeros de trminos q = Razn de la serie
Ejercicio 11:
Calcular el valor de la siguiente serie S = 3 + 6 + 12 + 24 +.......+ 1536
Resolucin:
Observamos que cada trmino de la serie es el doble
Resolucin:
Observamos que cada trmino de la serie es la mitad del trmino anterior; por lo tanto:
1q =2
3232
del anterior, entonces:
S =1 1 / 2
641 / 2
q = 2
S =
1536x2 3 3069
CAPITULO 2: SUMATORIA:
n
2 1
2n 1
aiik
ak
ak 1 ... an
S = 3 x
Calculo de n:
2 1
Se lee: sumatoria de los ai desde i= k hasta i = n; donde k y n son los lmites inferior y superior de la , e i se llama ndice de la sumatoria
1536= 3 x 2n-1
2n-1= 512 = 29
n -1= 9
n = 10
S= 3 (210-1) = (1024-1)
S= 3069
Propiedades
1. N de trminos de una sumatoria
nx i x k x k 1 ... x nik
N trminos = n k + 1 Ejemplo:
Serie geomtrica decreciente e infinita: (0 15, x Rh) x + y 15, x , y R i) 2x + 5 > 11, x Rj) 3x + 7 = 11, xNk) x es un animal
3. Verifica que tipo de proposiciones son los siguientes enunciados:
a. Hoy es lunes.b. Hablo y no hablo.c. Viene o no viene.d. Carlos Fuentes es un escritor.e. Sen(x) no es un nmero mayor que 1.f. El 14 y el 7 son factores del 42.g. l 2 o el 3 son divisores de 48.h. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.i. Si x es nmero primo, entonces x impar.j. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.
4. Cules de los enunciados siguientes pueden considerarse como proposiciones?a) Si llueve es porque estamos en invierno.b) Un tringulo es una figura plana con tres lados.c) Un tringulo es un polgono de tres ngulos.d) La filosofa es triangular e) 52 = 21f) Un cuadrado es una figura plana de cuatro lados.g) Un cuadrado es un polgono de cuatro ngulos rectosh) Un rectngulo es un polgono de cuatro ngulos rectos.i) Medelln es ciudad de eterna primavera.j) Un rectngulo es una figura verde. k) x2 + 3x-4 = 0
5. Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p la comida es buena; con q el servicio es bueno y con r es de tres estrellas. Escribir simblicamente las siguientes proposiciones :a) La comida es buena oel servicio es bueno, o ambas cosasb) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.c) La comida es buena y el servicio no.d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellase) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellasf) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio.
6. Sea p(x) la funcin proposicional x2 = 2x, donde el universo comprende todos los enteros. Determine si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa.a) p(0)b) p(1)c) p(2)d) p(2)e) xp(x)f ) xp(x)Para el universo de los enteros, sean p(x), q(x), r(x),s(x) y t(x) las siguientes funciones proposicionales. p(x) : x > 0q(x) : x es parr(x) : x es un cuadrado perfecto s(x) : x es divisible por 4t(x) : x es divisible por 57. Escriba las siguientes proposiciones en forma simblica1) Al menos un entero es par2) Existe al menos un entero positivo que es par3) Si x es par, entonces x no es divisible entre 54) Ningn entero par es divisible entre 55) Existe al menos un entero par divisible entre 56) Si x es par y un cuadrado perfecto, entonces x es divisible entre 4
8. Determine si cada una de las seis proposiciones del apartado anterior es verdadera o falsa. Para cada proposicin falsa, de un contraejemplo.
9. Escriba la negacin de cada una de las siguientes proposiciones verdaderas. (Para las partes a), b) y c), el universo es el de los enteros y para los apartados d) y e), el universo es el de los reales.)
a) Para todo entero n, si n no es divisible entre 2, entonces n es impar.b) Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar.c) Si k, m y n son enteros tales que k m y m n son impares, entonces k n es par.d) Si x es un nmero real tal que x2 > 16, entonces x < 4 o x > 4e) Para todo nmero real x, si |x 3| < 7, entonces 4 < x < 10
10. Escojalanegacincorrectadelossiguientes enunciados:a) A algunas personas le gustan las Matemticas.1) A algunas personas no le gustan las Matemticas.2) A todo el mundo le disgustan las Matemticas.3) A todo el mundo le gustan las Matemticas.
b) A todo el mundo le gustan los helados.
1) A nadie le gustan los helados.2) A todo el mundo le disgustan los helados.3) A alguna persona no le gustan los helados.
c) Todo el mundo es alto y delgado.
1) Algunas personas son bajas y gordas.2) Nadie es alto y delgado.3) Hay alguna persona que es baja o gorda.
d) Algunos cuadros estn viejos o deteriorados.1) Todos los cuadros estn nuevos y bien conservados.
2) Algunos cuadros no son viejos o no estn deteriorados.3) Todos los cuadros estn nuevos o bien conservados.
11.Cules de los siguientes enunciados son proposiciones?
Es usted infeliz? Los seres humanos pueden medir dos metros y medio de altura. Ud. Siempre miente. Padres e hijos unidos. Qu calor ! Alicia en el pas de las maravillas es una obra que es una leccin de lgica matemtica. Federico Villarreal fue un matemtico nacido en el distrito de Tucume. Pedro Ruiz Gallo es un hroe de la guerra del pacfico. La cultura Sicn se caracteriz por ser pacfica. Siempre adelante
12. Dadas las siguientes proposiciones compuestas, identificar sus proposiciones simples y simbolizar Si el cometa Halley se acerca, entonces hay huaycos e inundaciones. Juan recibe cursos a distancia o, si permanece en Lima, estudia en la universidad. La situacin mejora si y slo si, se hace una buena planificacin o no se dilapidan los fondos de la institucin. Si los alumnos estudian entonces, si no hay paros,el ciclo terminar en la fecha sealada. Si los alumnos estudian y no hay paros, el ciclo terminar en la fecha sealada. O se mejora la tecnologa espacial o se repite la tragedia de Challenger. Si no es cierto que estudias y trabajas, entonces no puedes matricularte en el turno nocturno. Si el chofer estaba embriagado, entonces no es cierto que la empresa controla a su personal o que los somete a una cuidadosa seleccin. Si es cierto que eres peruano, entonces podrs inscribirte en las fuerzas armadas.La bomba explosiona o es desactivada a tiempo.
13. ndicar cuales son proposiciones en el siguiente listado.a) Ama a tu prjimo como a ti mismo.
b) Extensa selva clida.
c) X2 + y2 2xy =z2
d) Existe al menos un habitante en la luna. e) 300 +250 = 750f) No es cierto que el Amazonas es un ro.g) Por qu hay tanta explotacin en el mundo?
h) La geometra de Riemann es para un espacio esfrico.i) El creador de la Relatividad fue Americano.
j) No es el caso que la inflacin haya bajado.
k) Las bombas atmicas requieren de conocimientos de Fsica.l) El agua est en su estado gaseoso.
m) Es verdad que los tomos se mueven.
n) Ningn Diplomtico es extremista.
o) El oro es maleable.
14. Son proposiciones falsas:
i).(- 6 ) + 3 > - 6 7
ii).(- 2 ) 0 = - 1
iii). : 3 =
iv). : es un nmero par
v). La oxidacin no es un fenmeno qumico. Son ciertas solamente:a) i, ii, iiib) i, ii, vc) ii, iii, v
d) ii, ve) Slo iii
15. las expresiones:
I) x2 4
II) Hola!
III) 4 0 = 4?
IV) Cuzco es capital del Per Son proposiciones:a) Todas b)II y III c) I, IV, V d) IV, Ve) N.A.
30
3116. De los siguientes enunciados, cules son proposiciones?
I) Viva el Per!II) 2 2 5
CONECTIVO LGICOS
1. Operaciones Lgicas. Tablas de verdad
Son palabras o smbolos lgicos que enlazan proposiciones
III) x2 4x 1, x R
IV)
simples sin formar parte de ellas.
Ejemplo:
V) 2+2=4
a) II y III b) I y V c) II y V d) V e) III y V
17.Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
* (3 2 5) (7 2 11)
* (4 1 3) (2 10 8)
* (3 7 10) (12 5)
*(12=2) (1+ =3/2)
a) VVFVb) VFVVc) VVVV
d) VVVFe) FVVV
La proposicin estudio el sbado 11 y el domingo 12 de agosto del 2007 es una proposicin que se compone a su vez de las proposiciones simples
p: Estudio el sbado 11 de agosto del 2007 q: Estudio el domingo 12 de agosto del 2007
Observe que y no es parte ni de la proposicin p ni de la proposicin
q. Mas bien y enlaza ambas proposiciones.
Operaciones lgicas
Son procesos que permiten obtener nuevas proposiciones (compuestas) como resultado de enlazar o ligar proposiciones dadas mediante los conectivos lgicos.
Tablas de Verdad
Son interpretaciones semnticas de las posibilidades de verdad (V) o falsedad (F) que tienen las proposiciones.
Ejemplo: una proposicin simple q, por definicin, slo tiene la posibilidad de ser verdadera (V) o falsa (F).
Proposicin negativa
Es aquella que se obtiene al negar una proposicin mediante los trminos: no, es falso que, no es cierto que, no es el caso que, etc.
En la lgica proposicional, para indicar la negacin de una proposicin se usa el smbolo ~. La negacin de una proposicin p tiene el siguiente formato: ~p y se lee: no p, es falso que p, no es cierto que p, no es el caso que p, etc.
Una proposicin ~p tiene siempre el valor opuesto de p. Es decir, ~p es verdadera cuando p es falsa y es falsa cuando p es verdadera.
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p~p
V
FF
V
Se trata de una operacin unitaria, pues a partir de una proposicin se obtiene otra, que es su negacin.
Ejemplo:
p: Inkawasi es una ciudad que est ubicada en la costa del Per.
~p: No es cierto que Inkawasi sea una ciudad ubicada en la costa del Per.
Observe que al ser p falsa, ~p es verdadera.
q: La contaminacin de los ros afecta el ecosistema.
~q: La contaminacin de los ros no afecta el ecosistema.
Siendo q verdadera, ~q es falsa.
r: El promedio de vida de los peruanos es 120 aos.
~r: Es falso que el promedio de vida de los peruanos es 120 aos.
Como r es una proposicin falsa, ~r es verdadera.
Proposicin conjuntiva
Es aquella que se obtiene de enlazar proposiciones simples o compuestas por medio del conectivo y.
En la lgica proposicional el conectivo y se representa pormedio del smbolo , y es llamado conjuntor.A la operacin de ligar dos proposiciones mediante elconjuntor se le llama conjuncin.Una proposicin conjuntiva tiene el siguiente formato: p q y se lee p y q, p pero q, p sin embargo q, p aunque q,etc.
La funcin veritativa de la conjuncin se rige por la siguiente regla:
Es verdadera la proposicin conjuntiva nicamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas y falsa en cualquier otro caso
Al considerar todas las posibilidades semnticas para estas variables
La tabla que define esta operacin,
pQp q
VVV
VFF
FVF
FFF
Ejemplo:
p: Rolando es amigo de Jess. q: Miguel es amigo de Jess.pq : Rolando y Miguel son amigos de Jess.
33p: (-1)2-1
q: sin embargo (1)2=1
pq: (-1)2-1sin embargo (1)2=1
p: Kaaris es un pueblo quechua-hablanteq: Chiclayo es conocida como la ciudad de la amistad pq: Kaaris es un pueblo quechua-hablante peroChiclayo es conocida como ciudad de la amistad
Proposicin disyuntiva inclusiva
Es aquella que se obtiene de enlazar proposiciones simples o compuestas por medio del conectivo o.
En la lgica proposicional el conectivo o serepresenta por medio del smbolo , y es llamado disyuntor.
A la operacin de ligar dos proposiciones mediante el disyuntor se le denomina disyuncin. Una proposicin disyuntiva tiene el siguiente formato p v q y se lee p o q, p y/o q, p o bien q, etc.
La funcin veritativa de la disyuncin inclusiva se rige por la siguiente regla
Una proposicin disyuntiva es verdadera cuando por lo menos una de sus componentes es verdadera
pqp qVVVVFVFVVFFFTabla de verdad
Ejemplo:
p: El mensaje presidencial fue transmitido por el canal 4
q: El seminario de coordinacin para la capacitacin docente se realiz en la ciudad de Limap q: El mensaje presidencial fue transmitido por el canal 4 o el seminario de coordinacin para la capacitacin docentese realiz en la ciudad de Lima.
p: Walter labora en el Ministerio de Educacin. q: Ever es catedrtico de la UNPRGp q: Walter labora en el ministerio de Educacin o bienEver es catedrtico de la UNPRG.
Proposicin disyuntiva exclusiva
Esaquellaproposicincompuestaqueligados proposiciones por medio
del conectivo .
A la operacin de ligar dos operaciones por medio del conectivo se llama disyuncin exclusiva. Tiene el siguiente formato: pq y se lee o p o q, o bien p o bien q, etc.
La funcin veritativa de la disyuncin exclusiva se rige por la siguiente regla Una proposicin disyuntiva exclusiva pq es verdadera cuando una de las proposiciones esverdadera y la otra es falsa
Ejemplo:
p: Miguel perdi su celular en la ciudad de Lima q: Miguel regal su celular a una amigap q: Miguel perdi su celular en la ciudad de Lima o lo regal a una amiga
p: Julio naci en Inkawasi q: Julio naci en Kaarisp q: O Julio naci en Inkawasi o en Kaaris
Proposicin condicional (o condicional directa)
Es la que se obtiene de ligar o enlazar dos proposiciones por medio de la conectiva si entonces.
A la proposicin que est entre si y entonces se le llama antecedente, condicin suficiente, causa, hiptesis o premisa y a la que sigue a entonces se le llama consecuente, condicin necesaria, efecto, tesis o conclusin.
En la lgica proposicional, la conectiva si entonces se denota por y es llamado condicionador.
La operacin de ligar dos proposiciones mediante el condicionador es llamado condicional.
Una condicional tiene el siguiente formato p q y se lee si p entonces q, p por consiguiente q, p de modo q, p de ah que q, p por lo tanto q, p en consecuencia q, p luego q, etc.
La funcin veritativa de una proposicin condicional directa se rige por medio de la siguiente regla
Una proposicin condicional directa es falsa slo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Es verdadera en cualquiera de las otras formas.
pqp qVVVVFFFVVFFVTabla de verdad
Ejemplo:
p: Asisto a la capacitacin docente.
q: Apruebo el examen de evaluacin docente.
p q: Si asisto a la capacitacin docente entonces apruebo el examen de evaluacin docente.
p: Viajo a la ciudad de Lima
q: No asisto a clases en la UNPRG
pq: No asisto a clases en la UNPRG siempre que viaje a la ciudad de Lima.
Observacin: Dada una proposicin condicional pq, se tiene:
A la proposicin qp se llama recproca de p q.
A la proposicin ~p~q se llama contraria de pq.
A la proposicin ~q~p se llama contrarecproca de pq.
Ejemplo: Consideremos las proposiciones del ejemplo anterior
p q: Si asisto a la capacitacin docente entonces apruebo el examen de evaluacin docente.
Tenemos:
Su Recproca:
qp: Si apruebo el examen de evaluacin docente entonces asisto a la capacitacin docente.
Su contraria:
~p~q: Si no asisto a la capacitacin docente entonces no apruebo el examen de evaluacin docente.
Su contrarecproca:
~q~p :Si no apruebo el examen de evaluacin docente entonces no asisto a la capacitacin docente.
Proposicin bicondicionalEs la que se obtiene de ligar o enlazar dos proposiciones por medio de la conectiva si y solo siUna bicondicional se denota por medio del smbolo y es llamado bicondicionador. Una bicondicional tiene el siguiente formato p q y resulta de laconjuncin (p q)( q p)La funcin veritativa de una proposicin bicondicionales la siguiente:
Una proposicin bicondicional es falsa cuando sus dos componentes tienen valores de verdad distintos. Es verdadera en los dems casos
Tabla de verdad
pqp q
VVV
VFF
FVF
FFV
pqp qq p(p q) (q p)VVVVVVFFVFFVVFFFFVVVLa doble implicacin puede definirse como la conjuncin de una implicacin y su recproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos:
Diferencia SimtricaDiferencias simtrica o disyuncin en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposicin p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:
pqp q
VVF
VFV
FVV
FFF
La verdad de p q est caracterizada por la verdad de una y slo una de las proposiciones componentes.
Ejemplo.
Sea
i) o vamos a Lima o vamos a Ica, queda claro que slo podremos ir a uno de los dos lugares, y slo a uno.
Es decir que el enunciado i) es verdadero slo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.
Tablas tautolgicas, contradictorias y contingentes
Tabla tautolgica
Es aquella cuyo resultado, al considerar todas las posibilidades de las proposiciones involucradas, es verdadera. Una proposicin cuya tabla de valores es tautolgica se le llama Tautologa.
Es decir, una proposicin es tautologa si es verdadera independientemente de los valores lgicos de las proposiciones que la componen.
Cuando un condicional p q es una tautologa sellama implicacin y se simboliza p q (distinga entre la flecha , que se usa en la condicional, y la flechahueca , que se usa en la implicacin).Cuando el bicondicional es una tautologa se le llamabi-implicacin o equivalencia lgica. Se simboliza comop q o p q.
En este caso se dice que las proposiciones p y q son equivalentes o lgicamente equivalentes.
Tabla contradictoria
Una tabla contradictoria es aquella cuyo resultado de todas las posibilidades es falso. Una proposicin cuya tabla de valores es contradictoria se le llama Contradiccin.Es decir, una proposicin es contradiccin si es falsa independientemente de los valores lgicos de lasproposiciones que la componen.
Tabla contingente
Una tabla contingente es aquella en donde las posibilidades pueden ser verdaderas o falsas. Una proposicin cuya tabla de valores es contingente se le llama Contingencia.
Ejemplo:
La proposicin (p q)( ~pvq )~ es una tautologa puesto que sutabla de valores es tautolgica como veremos a
pVqVpq) ( pq)VVVVFFVFFVVVVFFVVVcontinuacin:
La columna de color azul es el resultado de la tabla de valores y, como se observa, en todas las posibilidades consideradas se obtiene siempre verdadero.Ejemplo: (p q)( p q)Esta proposicin es una contradiccin puesto que sutabladevaloreses contradictoria como veremos a continuacin:
p
V
V(p q )( pq)
FFV
VFVFF
FVFFV
FFFFV
La columna de color azul es el resultado de la tabla de valores y como se observa en todas las posibilidades consideradas se obtiene siempre falso.
EJERCICIOS EN CLASE:
En los problemas siguientes se pide construir la tabla de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.
1. 2. 3. 4.
En los siguientes problemas se pide determinar el valor de verdad de la proposicin compuesta
para los valores de verdad de las proposiciones simples:
5.6.7.8.9.
10. Determinar los valores de verdad de de manera tal que la proposicin
sea falsa.
11. En los siguientes problemas considerar las siguientes proposiciones
: Panam est en Amrica Central: Colombia est al sur de Venezuela : Quito es la capital de Ecuador
12. Se pide escribir como proposicin compuesta las siguientes frases y determinar el valor de verdad que poseen.
a) Panam est en Amrica Central y Colombia est al sur de Venezuela.b) Colombia no est al sur de Venezuela.c) Quito no es la capital de Ecuador ni Panam est en Amrica Central.d) Si Panam est en Amrica Central y Colombia no est al sur de Venezuela, entonces ni Panam est en Amrica central ni Quito es la capital de Ecuador.
13. Bajo qu condiciones de p y q la proposicin
y determinar si la proposicin es verdadera o falsa.
15.Anote las siguientes expresiones expresadas en lenguaje natural en notacin simblica. Si usted invierte en el mercado de valores, se har ricoy entonces ser feliz Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso Los precios de los artculos de primera necesidad estn altos y encarecindose Pasare este curso, si y solo si, estudio y me esfuerzo al mximo .Si asisto a clases, todos los das entonces aprobare y no fracasare en la vida.
16.Se tienen las siguientes proposiciones:p = los precios de los artculos de primera necesidad estn altosq = estn encarecindose r = sobrevivirTraduzca al lenguaje natural las siguientes expresioneslgicas. p ^ q ~p r p ^ ~q ~p v ~q(~p ^ ~q) r
14.Dadas las proposiciones
es falsa?
p = Panam est en Amrica Central. q = Colombia est al sur de Venezuela. r = Quito es la capital de Ecuador.
escribir como proposicin compuesta la frase
Colombia est al sur de Venezuela y Quito es la capital de Ecuador, o Panam no est en Amrica Central
CICLO PRE UNIVERSITARIO
MDULO
ARITMTICA
CENTRO PRE-ORD-UPB
FECHA DE INICIO: 18-05-2015
FECHA DE TRMINO: 12-06-2015
BAGUA GRANDE PER
382015
ARITMETICA
TEORA DE CONJUNTOS
NOCIN DE CONJUNTO
Entenderemos por conjunto a la reunin, coleccin o familia de integrantes homogneos o heterogneos que reciben el nombre de elementos del conjunto.
DETERMINACIN DE CONJUNTOS
Un conjunto queda determinado cuando es posible decidir si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Para determinar conjuntos se puede proceder:
Por extensin:
Cuando se mencionan todos los elementos del conjunto, por ejemplo:
A = {Brasil, Argentina, Uruguay} B = {0; 1; 2; 3}Por comprensin:
Cuando se enuncia una propiedad o caracterstica comn que deben cumplir sus elementos, por ejemplo en los conjuntos anteriores como:
A = {x/x es un pas sudamericano que ha ganado un campeonato mundial de ftbol}
B = {x/x es un nmero natural menor o igual que 3}
RELACIN DE PERTENENCIA
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, escribiremos xA lo que se lee: x pertenece al conjunto A. En caso contrario xA, lo que se lee: x no pertenece al conjunto A.
Nota:
El smbolo denota una relacin de elemento a conjunto
Ejemplo:
Si: A = {2; 5; 8; 9}, entonces 2 A y 3 A
RELACIN ENTRE CONJUNTOS
Inclusin:
Dados los conjuntos A y B, diremos que A es subconjunto de B o que A est incluido en B, si cada elemento de A es tambin elemento de B.
Se denota: A B Simblicamente:A B x: x A x B
Esto significa: A est incluido en B si y slo si para todo x, si x
pertenece a A, entonces x pertenece a B.
El smbolo denota una relacin de conjunto a conjunto. A es subconjunto propio de BIgualdad:
Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. Usando la relacin de inclusin se tiene que:A = B A B B A
Ejemplo:
Si: A = {0; 1; 2} y B = {x/x es el nmero natural < que 3}, entonces A = B
Grficamente:
39
40CONJUNTOS ESPECIALES
1. Conjunto vaco (nulo): Es aquel que carece de elementos.Se le representa por o { }.
Ejemplo:
A = {x/x N; 4 < x < 5}
Nota: El conjunto vaco se considera subconjunto de todo conjunto. Simblicamente A, A.
2. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
{5; 5; 5; 5; 5; 5}
{x/x Z -5 < x < -3}
3. Conjunto Universal: Es un conjunto que contiene todos los elementos de determinado contexto. Se denomina UNIVERSO (U). Existen muchos universos posibles.
Ejemplo:Si A= {1; 2; 3} y B= {-1; 0,4}
Nota:
El nmero de elementos del conjunto potencia, se puede determinar en la siguiente relacin:
nP(A)= 2n(A)
El nmero de subconjuntos propios es igual a: 2n(A) - 1 dnde: n(A) es el nmero de elementos del conjunto A. Observacin:Al nmero de elementos de un conjunto se llama tambincardinal de conjunto.
5. Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes.
Ejemplo:A = {1; 2; 3; 4} y B = {13; 14; 15}
Nota:
Todo conjunto tiene subconjunto, y la cantidad de estos, est dada por la siguiente relacin:
EJERCICIOS EN CLASE
1. Dado:
Un conjunto universal para A y B podra ser:
U= {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}
4. Conjunto Potencia: Se llama as a aquel conjunto que tiene por elemento a todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Ejemplo:
Dado: A = {m, n, p}
Luego su conjunto potencia, que se denota por P(A), ser:
P(A) = {{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p},}
Subconjuntos propios, son todos los subconjuntos de un conjunto dado; excepto al que es igual al conjunto.
A = {x; y; {m; n}}Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. y AII. {m; n} AIII. {x ; y} AIV. {y; {m; n}} P (A)V. {{x}; {x; y}} P(A)
a) 1b) 2c) 3
d) 4e)
2. Dados los conjuntos unitarios: A = {x + y; 8}
B = {x - y; 4}
Hallar: x + y
a) 20b) 30c) 40d) 45e) 25
3. A y B son conjuntos binarios, iguales con a y b IN. Entonces x es:A = {a + 4; 5 ; 2b ; b2} ; B = {5a ; x}
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. De acuerdo con el siguiente diagrama seale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes operaciones:I. B y D no son disjuntos.II. A y C no son comparablesIII. C B y B UIV. B D , C A
U7. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en el universo de 98 elementos de modo que:n(A B) = 21; n(B C) = 25 ;n (C A) = 32.3n [A B C] = n [(A B C)]
Calcular: n [(A B C)]
a) 93b) 87c) 91d) 95e) 77
8. Dados los conjuntos unitarios:A = {(x + y) ; 8} ; B = {(x y) ; 4}
Calcular:(x2 + y2)
AC
BD
a) FFVVb) FVFVc) VVFV
d) VVVFe) VVFF
5. De los siguientes conjuntos: X = {a, b, c}
Y = {b, c, d}
Z = {c, d, e}
Cuntos elementos posee el conjunto potencia de:(z x) (x z) Y ?
a) 32b) 10c) 8d) 16e) N.A.
6. Sean A, B y C tres conjuntos tales que: n (B) = 8 ; n (A C) = 2 ;
n(C) = 2 ; n(B C) = 2 ;
n(A C) = 0 y A B. Calcular: n(C) + n(A B C)a) 12b) 14c) 10 d) 16e) 8
a) 40 b) 26 c) 51 d) 85 e) 100
9. Si los conjuntos A y B son iguales: A = {n2 + 1; -6}
B = {2 m; 10}
Hallar m + n
a) 11 b) 12 c) 14 d) 15 e) 10
10.Dado:A = {2; 3; {1}; {2; 1}}.Cuntos de estas proposiciones son verdaderas?I. AII. 1 AIII. {3} AIV. 3 A
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
EJERCICIOS DE APLICACIN
1. Ponga una C a los conjuntos que estn escritos por extensin y una E a los que estn por comprensin, y marque la alternativa correcta.A = {1}
B = {x/x es futbolista peruano} C = {x/x = 3 - x}D = {, {x/x es par y x 14}} E= {{3, 4} , {5, 6, 7}}
a) ECCEEb) ECECCc) EEECC
d) CECECe) CEECC
5) B y D son disjuntos
UA
B
A = {0}D C
B = {}
C =
D = {x/x es mltiplo de 7 menos que 10} E = {x/x es solucin par de x2 4 = 12}F = {x/x es un cubo perfecto entre 12 y 20}
a) C, A, F, Eb) A, B, D, Ec) Todos menos A
d) A, B, F, De) A, D, E
3. Dado el conjunto A = {; 3; {2}; 2; {1}}Colocar el valor de verdad a cada afirmacin.
+ A ( )
+ {1} A ( )
+ {3} A ( )
+ A ( )
a) FFVVV b) FVFVF c) VFFFF
d) FFVVF e) VFFVF
5. Cul es la suma del nmero de subconjuntos de 2 y 3 elementos que podrn formarse con los elementos de un conjunto que posee 6 elementos, de los cuales 2 ellos son conjuntos unitarios y un tercero es un conjunto de 3 elementos?
a) 30 b) 15 c) 20 d) 35 e) No tiene sentido
6. Hallar el nmero de subconjuntos propios que tiene el conjunto: M = {2, {2}, {2, 2}}
a) 1 b) 3 c) 7 d) 15 e) N.A.
7. Si: U = Nmeros NaturalesA= {x(x-4)/ x N x < 18}
Cuntos subconjuntos propios tiene el conjunto A? a) 3b) 8c) 7d) 15e) 31
+ {2} A ( )8. Sea:A = {x/x Z
4x + 1 N 4 < x 10}
4. De acuerdo al siguiente diagrama, seale la verdad o falsedad de cada afirmacin, en el orden que aparece.1) D B y B A
2) B C y B U
3) B D , C A
4) B A , A D
Determinar por extensin, indicar su cardinal. a) 1b) 2 c) 3d) 4e) 5
9. Dado el conjunto.B = {x/x IN o < x 5} Determinar: n [P(B)] a) 16b) 32c) 64d) 8e) 20
10. Dados los conjuntos unitarios: A= {3a+1; 7}, B= {3; b + c}C= {2; b.c}Donde b>c
Calcular: a 2b + 3c
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 6
OPERACIONES CON CONJUNTOS UNION DE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B se llama unin de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B.
Notacin:
A U B = { x / x A x B }
EN GENERAL
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B se llama interseccin de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B.
Notacin:
Nota:
Unir dos conjuntos o ms conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos considerados.
Ejemplo:Dados los conjuntos A = {x N / x5}B = {x N/4< x 9}; x es par}
Hallar A U B:
Solucin:
El conjunto A estara dado por: A = {5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 }Para B: Los valores que toma x son 9, 8, 7, 6, 5 de estos nmeros solo tomamos los nmeros pares, entonces
B = {8; 6}
En consecuencia,
A U B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}
A B = { x / x A y x B } Nota:Interseccin de dos o ms conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos considerados.
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {7; 9; 11}B = {8; 9; 10}
El conjunto interseccin est dado por: A B = {9} Grficamente:
Casos Especiales:
I. Para los conjuntos disjuntos A y B, A B =
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {x N / 2x 8; x es mltiplo de 2} B = {x N / x