I1 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. SINYAL DAN SISTEM 1MODUL 14RESPON FREKUENSIPendahuluan Respon frekuensi atau tanggapan frekuensi adalah suatu fenomena rangkaian terhadap nilai-nilai frekuensi yang diberikan pada rangkaian itu. Pada bab ini akan dikhususkan pada fenomena yang berkaitan dengan masukan yang berupa gelombang sinus. Fenomena yang menonjol pada rangkaian listrik dengan masukan sinus dan akan dibahas adalah fenomena frekuensi sudut (corner frequency) atau frekuensi patah pada filter, resonansi, lebar pita, faktor kualitas, amplitudo dan fase, diagram Bode serta hal-hal lain seperti faktor dan koefisien peredaman, dan lain-lainnya.Suatu rangkaian listrik yang didalamnya mengandung resistansi, kapasistansi dan induktansi akan senantiasa dapat dibuat persamaan kompleksnya, yaitu suatu persamaan fungsi alih yang didasarkan pada frekuensi radian atau frekuensi kompleks sebagaimana diuraikan pada bab sebelumnya. Dari persamaan yang diperoleh dari rangkaian tersebut, akan dapat dianalisa berbagai hal yang terjadi dalam rangkaian secara alami (tanpa sumber), maupun hal-hal yang terjadi pada saat rangkaian mendapatkan sumber atau masukan.Persamaan dalam kawasan frekuensi radian maupun kompleks yang dibentuk dapat selain merupakan persamaan dalam formulasi fungsi alih dapat pula dalam formulasi impedansi (Z(s)) / admitansi (Y(s)). Formulasi-formulasi tersebut sudah dibahas juga pada bab sebelumnya. Hal yang perlu ditekankan pada pembahasan respon frekuensi ini adalah mengenai bagaimana membentuk persamaan yang mudah dianalisis guna menentukan atau memperhitungkan parameter-parameter dari respon frekuensi yang diminta.Pada umumnya bila suatu rangkaian RLC secara sepintas nampak sebagai rangkaian parallel, maka persamaan yang dibentuk akan didasarkan pada admitansi, sebaliknya bila rangkaiannya berupa rangkaian seri, maka persamaan yang dibentuk didasarkan pada besaran impedansi. Persamaan dasar tersebut kemudian perlu diubah menjadi persamaan kuadrat atau dalam bentuk faktorisasi dari persamaan tersebut. Apabila persamaan fungsi alih sudah terbentuk, maka analisis perhitungan dari parameter respon rangkaian terhadap frekuensi maupun waktu akan dengan mudah dilakukan.Respon Rangkaian Untuk dapat menganalisa respon rangkaian RLC, maka berikut ini akan diberikan contoh soal disertai dengan penjelasan yang cukup luas tentang bagaimana penyelesaian tersebut dilaksanakan. Perhatikan rangkaian berikut, dan tentukan besarnya L pada rangkaian tersebut agar rangkaian memenuhi persamaan berikut :Gambar 14.1 Rangkaian RLUntuk menjawabnya, maka pertama kali ubah rangkaian dalam kawasan waktu tersebut ke dalam kawasan frekuensi, seperti gambar berikut.Gambar 14.2 Rangkaian dalam kawasan frekuensiDari rangkaian tersebut, dapat ditentukan bahwa tegangan keluaran rangkaian adalah :dan dengan memperhatikan syarat yang diminta, maka dapat persamaan tersebut harus sama dengan syarat yang ditentukan. Oleh karenanya maka akan diperoleh :Respon Amplitudo dalam dBdB (decibell) merupakan perbandingan antara masukan dan keluaran dari suatu sistem. Pada sistem listri atau elektronika dB diwujudkan dalam rumusan tegangan, daya atau arus. Sedang dalam sistem lain tergantung dari besaran yang diukur. Dengan tegangan rumusannya adalah sebagai berikut :Sedangkan dalam perbandingan daya dB dirumuskan sebagai berikut :dB =10 log (P2/P1)Selain dengan dB, terdapat bebebrapa ukuran dB lain yang terkait dengan satuan atau besaran yang digunakan, misalnya :dBm, dB(mW) perbandingan terhadap 1 milliwatt. dB or dBu, dB(V/m) perbandingan terhadap 1 microvolt per meter. dBf, dB(fW) perbandingan terhadap 1 femtowatt. dBW, dB(W) perbandingan terhadap 1 watt. dBk, dB(kW) perbandingan terhadap 1 kilowatt, dan lain-lain.Filter Lolos RendahRangkaian RC yang lain yang juga banyak digunakan adalah rangkaian filter, baik filter lolos rendah maupun filter lolos tinggi. Dengan mengacu pada rangkaian di bawah, maka dengan menggunakan hukum Kirchhoff tegangan dapat dibuat persamaan sebgai berikut :Persamaan di atas bila didiferensialkan akan menjadi :dengan penyelesaian adalah : dengan :Ini berarti bahwa tegangan antara kapasitor adaalah sebesar :Dengan demikian maka dapat ditentukan suatu perolehan (gain) yang merupakan perbandingan output dengan input sebesar :Gambar 14.3 Rangkaian Filter lolos bawah dan responmnyaDari grafik, nampak bahwa untuk frekuensi rendah maka perolehannya adalah 1 sedangkan frekuensi tinggi perolehannnya kurang dari 1, bahkan 0 untuk frekuensi diatas frekuensi potong. Frekuensi potong tersebut (berlaku juga untuk filter lolos tinggi) adalah sebesar : Filter Lolos TinggiUntuk rangkaian filter lolos tinggi dengan rangkaian seperti gambar di bawah ini, maka dapat ditentukan bahwa : Gambar 14.4 Rangkaian filter lolos tinggi dan responnyaResonansi Frekuensi resonansi pada rangkaian RLC pada keadaan tidak teredam dalam satuan radian per detik dirumuskan sebagai berikut :Daalam satuan hertz, rumusan tersebut akan menjadi :Pada semua resonansi rangkaian listrik, maka resonansi akan terjadi bila impedansi (reaktansi) = 0, atau dalam bentuk fasor, tegangan dan arus sefase.ZLC = ZL + ZC = 0Jika dituliskan dalam bentuk kompleks, maka impedansi (reaktansi) tersebut adalah : ZL = LsSehingga didapatkan bahwa : Pada rangkaian RLC terdapat peredaman (damping) dan faktor peredaman tersebut besarnya adalah : Untuk maksud aplikasi resonansi umumnya diinginkan bahwa faktor peredaman tersebut sekecil mungkin, atau dengan kata lain memiliki faktor kualitas (Q) yang sebesar mungkin. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan memperkecil nila R dalam ramgkaian, sehingga umumnya rangkaian resonansi hanya terdiri dari ramngkaian LC saja.Ukuran lain dari suatu resonansi adalah lebar pita atau bandwidth, yang dirumuskan sebagai berikut :Atau dalan satuan hertz Lebar pita juga diukur dengan cara lain, yaitu dengan apa yang disebut dengan frekuensi daya setengah (half-power frequencies) baik atas maupun bawah, yaitu suatu pengkuran dimana hasil dari keluaran memiliki tegangan atau arus sebesar 1/(2)1/2 (ssatu per akar dua) atau pada daya kali daya masukan. Selisih antara frekuensi daya setengah atas dengan frekuensi daya setengah bawah tersebut akan merupakan lebar pita. Faktor kualitas (Q factor), dihitung sebagai perbandingan antara frekuensi resonansi dengan lebar pita. Dengan demikian maka faktor kualitas memiliki rumusan sebagai berikut Aatau dalam satuan hertz : Selain itu, masih ada ukuran lain dalam resonansi, yaitu yang disebut dengan frekuensi redaman resonansi (damped resonance frequency), yang merupakan hasil perbandingan antara frekuensi resonansi alami dengan faktor peredaman. Pada keadaan teredam (underdamped), yaitu kondisi dimana tidak terjadi osilasi terjadi, maka sehingga frekuensi redaman resonansi adalah :Sedangkan pada keadaan terjadi osilasi (overdamped), maka .sehingga 14.6.1 Resonansi Paralel Dalam rangkaian listrik, resonansi diartikan sebagai suatu keadaan rangkaian yang didalamnya terdapat resistansi, induktansi dan kapasitansi, yang tegangan dan arus sefase. Keadaan sefase pada resonansi tersebut mengakibatkan impedansi atau admitansi rangkaian berupa resistansi atau konduktansi saja, mengingat bagian imajinir dari impedansi atau admitansi akan saling meniadakan. Resonansi paralel merupakan resonansi yang terjadi pada rangkaian yang komponen induktifnya paralel dengan komponen kapasitifnya. Untuk memformulasikan keadaan resosnansi paralel dapat digunakan admitansi rangkaian (Y). Sebagai contoh untuk rangkaian yang terdiri dari resistor (R) yang diparalel dengan paralel antara inductor (L) dan kapasitor sebagaimana terlihat pada gambar 14.1 dibawah, akan mempunyai admitansi sebagai berikut :Gambar 14.5 Rangkaian RLC paralelDengan demikian pada keadaan resonansi, dimana bagian imajiner admitansi saling meniadakan, akan diperoleh :ataudimana f adalah frekuensi resonansi rangkaian tersebut.Pada saat terjadi resonansi paralel akan didapatkan bahwa arus pada rangkaian akan minimum dan tegangannya akan maksimum.14.6.2 Resonansi SeriResonansi seri terjadi apabila komponen induktif terpasang secara seri dengan komponen kapasitif. Untuk resonansi seri, untuk mencari formulasi persamaan-persamaannya umumnya digunakan impedansi (Z). Sebagai contoh untuk rangkaian seri antara resistor (R), inductor (L) dan kapasitor (C) pada gambar 2.2 dibawah, akan diperoleh : Pada keadaan resonansi, dimana bagian imajinernya sama dengan nol, maka dapat diperoleh bahwa : dimana f adalah frekuensi resonansi seri.Gambar 14.6 Rangkaian RLC seri.Pada waktu terjadi resonansi seri akan didapatkan bahwa arus rangkaian maksimum dan tegangan pada terminal-terminalnya minimum. Bentuk Resonansi LainResonansi tidak hanya berupa resonansi seri atau paralel, akan tetapi dapat merupakan gabungan dari keduanya. Secara matematis bentuk resonansi demikian dapat dianalisa dengan menggunakan prinsip yang sama dengan resonansi seri maupun paralel, yaitu bahwa dalam persamaan fungsi alih, impedansi atau admitansi, bagian imajiner atau reaktansinya harus sama, atau rangkaian pada frekuensi resonansi tersebut hanya akan berupa resistansi saja. Reaktansi dari induktor dan kapasitor saling meniadakan. Begitu pula dengan ukuran dari resonansi seperti faktor kualitas, lebar pita dan lain-lain secara prinsip juga sama dengan resonansi yang telah dibahas sebelumnya. Jadi secara umum, analisa dari rangkaian resonansi bentuk lain yang berupa gabungan antara resonansi seri dan paralel membutuhkan telaah pada persamaan yang dapat dibentuk , kemudian dari persamaan tersebut perlu dilakukan suatu pemisahan antara bagian riil (resistansi) dengan bagian imajinir (reaktansi). Diagram BodeDiagram Bode merupakan suatu metode analisa dalam kawasan frekuensi dalam bentuk grafis, sehingga dapat dengan mudah dapat ditentukan watak rangkaian bila bekerja pada frekuensi yang tertentu. Penggambaran respon rangkaian tersebut umumnya dilakukan dengan menggunakan skala logaritmik pada ordinat (horisontal), yaitu untuk skala frekuensi dan skala dB pada sumbu absis (vertikal) untuk perolehan penguatan (gain) atau pelemahan (attenuator). Dengan diagram Bode ini, maka analisa rangkaian secara manual akan dapat lebih mudah, mendekati hasil yang diharapkan dan lebih cepat dilakukan.Berikut adalah metode cepat untuk menggambarkan diagram Bode melalui suatu pendekatan yang didasarkan pada asumsi pada persamaan fungsi alih yang terbentuk, yang secara umum dapat merupakan bentuk :Tulis kembali persamaan tersebut ke dalam bentuk standard, yaitu :dimana p adalah pole/kutub dan z adalah zero/nol. Kemudian ganti s dengan jw, artinya diubah dari kawasan frekuensi kompleks ke kawasan frekuensi radia. Bila fungsi sudah dalam kawasan radian, maka langkah tersebut tidak perlu dilakukan, sehingga dihasilkan Jika dikalikan dengan 20 dan di log-kan, maka akan dihasilkan Dari masing-masing suku, nampak bahwa persamaan akan dengan mudah diselesaikan. Penyelesaiannya akan merupakan grafik dengan mengikuti ketentuan sebagai berikut :a. Jika suatu konstanta, maka akan dihasilkan garis seperti berikut.Gambar 14.7 Garis untuk konstantab. Jika merupakan zero/nol, akan dihasilkan :Gambar 14.8 Garis untuk nolc. Jika berupa suatu pole atau kutub, maka dihasilkan garis berikut.Gambar 14.9 Garis untuk kutubd. Jika merupakan nol atau kutub yang tidak murni, maka akan dihasilkan garis seperti berikut :Gambar 14.10 Garis untuk nol dan kutub tak murniSebagai penyelesaian secara utuh, maka seluruh garis yang terbentuk kemudian akan disuperposisikan, sehingga akan terbentuk satu garis untuk suatu frekuensi baik radian (w) ataupun siklis (f) sebagaimana dikehendaki.Contoh dari penggambaran diagram Bode adalah sebagai berikut. Jika diketahui fungsi alih berikut, gambarkan diagram Bode-nya. Pertama kali diubah fungsi menjadi :sebagai suatu penyesuaian terhadap fungsi yang berbentuk :dengan Sehingga dengan mudah digambarkan diagramnya sebgai berikut :Gambar 14.11 Diagram bode contoh soal 1Contoh lain adalah penggambaran amplitudo dan sudut fase dengan diagram bode pada suatu fungsi alih berikut. Sehingga diagram Bode-nya adalah sebagai berikut :