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Modos Intrínsecos Localizados yOndas Propagatorias en unaLínea de Transmisión Pasa

Banda Modulada en Tiempo

Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de

Doctor en Ciencias con Especialidad enElectrónica

Supervisada por: Dr. Peter Halevi

por

Alexander Gómez Rojas

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y ElectrónicaSanta María de Tonanzintla, Puebla, México

Junio 2018

c© INAOE 2018

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuircopias de esta tesis en su totalidad o en partes mencionandola fuente.

Resumen

El estudio de líneas de transmisión dinámicas ha sido de gran interés en varias áreasde investigación en años recientes, debido a esto, las oscilaciones localizadas y propa-gación de ondas en líneas de transmisión pasa banda con elementos no lineales (varac-tores) en cada celda unitaria modulados por una fuente de voltaje armónica han sidoextensamente estudiadas.

En esta tesis primero se han simulado aspectos de modos intrínsicos localizados (ILMs)o respiradores discretos (DBs) en presencia de un defecto en una celda unitaria encon-trando que a medida que la inductancia o capacitancia de esta celda es incrementada,una transición de inestabilidad a estabilidad toma lugar teniendo 2 valores umbrales enla impureza. Además, para ciertos valores de frecuencia de modulación, así como valo-res de la resistencia serie, múltiples ILMs secundarios pueden ser creados espontánea-mente donde sólo un ILM coincide con el sitio de impureza. También, si dos impurezasestan subcríticamente espaciadas (la separación se incrementa con la amplitud de mo-dulación del voltaje), un ILM puede aparecer a mitad de distancia entre las impurezas,sin ILMs en los propios sitios de impureza. Finalmente, un ILM puede acercarse a susvecinos solo para perecer una vez que estos ILMs se hayan acercado lo suficiente.

En la segunda parte se ha estudiado la propagación de ondas en el régimen lineal pa-ra una descripción realista de los elementos, iniciando con la solución de la ecuacióndiferencial obtenida aplicando las leyes de Kirchhoff cuando no existe una onda pro-pagatoria. En este límite, se obtienen las condiciones necesarias para que el voltajeen el varactor sea aproximadamente (o igual) a la fuente de modulación V (t) ≈ VΩ(t)donde V (t). Después se utiliza el teorema de Bloch-Floquet temporal para obtener unaecuación de eigenvalores para la onda viajera y su respectivo el diagrama de bandasestudiando sus propiedades de simétria. Finalmente, se ha hallado un comportamientocompleto de los diagramas de bandas para un rango amplio de frecuencias de modula-ción donde es posible obtener bandas prohibidas solo en frecuencia, solo en vector deonda, en frecuencia y vector de onda o ninguna banda prohibida.

III

Resumen

IV

Abstract

The study of dynamic transmission lines has been of great interest in several areas ofresearch in recent years, because of this, localized oscillations and wave propagation intransmission lines pass band with non-linear elements (varactors) in each unitary cellmodulated by a harmonic voltage source have been extensively studied.

In this thesis we have first simulated aspects of localized intrinsic modes (ILMs) ordiscrete respirators (DBs) in the presence of a defect in a single cell finding that asthe inductance or capacitance of this cell is increased, a transition from instability tostability takes place having 2 threshold values in impurity. In addition, for certain mo-dulation frequency values, as well as serial resistance values, multiple secondary ILMscan be created spontaneously where only one ILM matches the impurity site. Also, iftwo impurities are subcritically spaced (separation increases with the amplitude of vol-tage modulation), an ILM may appear halfway between the impurities, with no ILMsat the impurity sites themselves. Finally, an ILM may approach its neighbors only toperish once these ILMs have come close enough.

In the second part, the wave propagation in the linear regime has been studied for arealistic description of the elements, starting with the solution of the differential equa-tion obtained by applying the Kirchhoff laws when there is no propagation wave. Inthis limit, the necessary conditions are obtained so that the voltage in the varactor is ap-proximately (or equal to) the modulation source V (t)≈VΩ(t) where V (t). The Bloch-Floquet temporal theorem is then used to obtain an equation of eigenvalues for thetravelling wave and its respective band diagram by studying its symmetric properties.Finally, a complete behaviour of the band diagrams has been found for a wide range ofmodulation frequencies where it is possible to obtain banned bands only in frequency,only in wave vector, in frequency and wave vector or no banned band.

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Resumen

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Agradecimientos

A Dios por permitirme llegar tan lejos.

A mis padres Héctor Julio y Carmen Tulia; a mis hermanos John Fredy, Carmen Ju-dith, Héctor Andrés y Edilma; a los nuevos integrandes de la familia Edi Alejandray Richard Santiago, por su apoyo incondicional y saber que cuento con ellos en todomomento.

A mi director Dr. Peter Halevi por su confianza y apoyo en todos estos años.

A mis profesores por su consejos y sabiduría.

A mis amigos y conocidos por todos los momentos vividos.

Al personal del Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (INAOE) portodas las atenciones prestadas.

Al Concejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por su apoyo financierodurante mis estudios y a México por brindarnos esta única oportunidad.

VII

Agradecimientos

VIII

Dedicatoria

“Que chingados importa, hazlo de todos modos”Potencial Humano.

IX

Dedicatoria

X

Contenido

1. Introducción 11.1. Modos Intrínsecos Localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Ondas Propagatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Organización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Modos Intrínsecos Localizados 132.1. Línea de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Umbral para Crear un ILM: Una Transición Inestabilidad-Estabilidad . 152.3. Creación de ILMs Variando Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Frecuencia de Modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Interacción entre ILMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Atracción que Resulta en Aniquilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Ondas Propagatorias 253.1. Línea de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Voltaje en el Varactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Ondas Propagatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1. Aproximación Red Vacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2. Diagrama de Bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Conclusiones 37

XI

CONTENIDO

XII

Lista de Figuras

1.1. Sistema discreto de n celdas modulado en tiempo mediante una fuenteexterna. Forma temporal de las ampltidudes para 3 celdas unitarias yperfil de un ILM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. ILMs en diversos sistemas experimentales estudiados por diferentesgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Línea de transmisión pasa banda bi-inductancia con varactores modu-lados en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Modelo realista de una línea de transmisión pasa baja dinámica y com-pración de los resultados con el medio efectivo. . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Diagrama de bandas para un medio dinámico con permitividad varianteen el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Ejemplo de cristales fotónicos 1D, 2D y 3D donde la base se repite encada punto de la red periódica para formar la estructura completa. . . . 9

2.1. Línea de transmisión pasa banda dinámica de Palmero et al. . . . . . . . 132.2. Línea de transmisión pasa banda dinámica utilizada para estudiar los

ILM en presencia de una impureza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Comportamiento del voltaje del varactor cuando se modifica el valor de

la inductacia para Vd =3 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Comportamiento del voltaje del varactor cuando se modifica el valor de

la inductacia para Vd =4 y 5 V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Comportamiento del voltaje del varactor cuando se modifica el valor de

la resistencia serie R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. Comportamiento del voltaje del varactor cuando se modifica el valor de

frecuencia de modulación fd con una impureza inductiva. . . . . . . . . 192.7. Comportamiento del voltaje del varactor cuando se modifica el valor de

frecuencia de modulación fd con una impureza capacitiva. . . . . . . . 192.8. Interacción entre dos impurezas indutiva-inductiva. . . . . . . . . . . . 202.9. Interacción entre dos impurezas indutiva-capacitiva. . . . . . . . . . . . 21

XIII

LISTA DE FIGURAS

2.10. Comportamiento temporal exótico de los voltajes para ciertas frecuen-cias de modulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Diferentes configuraciones de una línea de transmisión estática. . . . . . 253.2. Línea de transmisión pasa banda utilizada en las simulaciones para es-

tudiar la propagación de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Comportamiento del voltaje en el varactor en ausencia de onda viajera. . 293.4. Diagrama de bandas para diferentes valores de la modulación. . . . . . 323.5. Diagrama de bandas para la aproximación de red vacia. . . . . . . . . . 343.6. Diagrama de bandas con R = 0, G = 0, M = 0.6 para modulaciones

m = 0 (línea negra), m = 0.2 (línea azul), m = 0.5 (línea roja). . . . . . 353.7. Diagrama de bandas con R = 0.1, G = 0, M = 0.6 para modulaciones

m = 0 (línea negra), m = 0.2 (línea azul), m = 0.5 (línea roja). . . . . . 36

XIV

Capítulo 1

Introducción

En esta tesis se han estudiado los modos de oscilación –localizados y propagatorios–en una línea de transmisión pasa banda dinámica-periódica, la cual puede soportar dostipos de soluciones para los voltajes y corrientes de las celdas unitarias: a) modos in-trínsecos localizados (ILMs por sus siglas en inglés) generados cuando la amplitudde modulación es grande y los efectos no lineales son predominantes; b) oscilacio-nes extendidas u ondas eletromagnéticas propagatorias creados cuando la amplitud demodulación es pequeña y los efectos no lineales son despreciables. Estas diferentes so-luciones son posibles debido a la no linealidad en la curva de capacitancia-voltaje delvaractor.

La tesis esta dividida en 2 partes principales: la primera esta realacionada con el com-portamiento y propiedades no lineales de los ILMs, y la segunda sobre los aspectoslineales correspondientes a la propagación de ondas. Ambas partes están basadas enuna línea de transmisión pasa banda con varactores modulados en tandem mediantefuentes de modulación periódicas en tiempo e idénticas en todas las celdas unitarias.Para hallar las soluciones de los voltajes y corrientes de la línea de transmisión se utilizael teorema de Bloch-Floquet temporal definido mediante la siguiente ecuación

ψ(t) = u(t)e−iωt (1.1)

donde la función ψ(t) representa la variable de interés (en este caso voltajes o corrientesde la celda unitaria), u(t) es una función periódica en tiempo con la misma periodici-dad de la modulación y e−iωt es una onda plana con la frecuencia angular característicaω. Este teorema matemático no esta limitado a un sistema eléctrico, sino que puededescribir el comportamiento de cualquier sistema periódico en tiempo ya sea cristalino,óptico, acústico, etc.

1

1. Introducción

1.1 Modos Intrínsecos Localizados

El estudio de sistemas no lineales es de gran interés en muchos campos de investiga-ción debido a que modelan de forma completa los sistemas físicos encontrados en lanaturaleza o sistemas creados por el hombre en comparación con los sistemas lineales.Este comportamiento no lineal es más difícil de analizar por falta de soluciones sim-ples, y en algunos casos, llegando a ser completamente impredecibles dando origen afenómenos interesantes como caos, inestabilidades, respuesta dependiente de las con-diciones iniciales, etc. Una propiedad no lineal que se encuentra en diferentes sistemasfue enunciada por Sievers y Takeno hace más de 30 años [1] y son los modos intrísecoslocalizados (ILMs), los cuales son oscilaciones localizadas en el espacio y periódicasen tiempo producidas por la interacción no lineal entre elementos en un sistema discre-to periódico perfecto.

Para ilustrar la formación de un ILM, tomemos como ejemplo, un sistema discreto losuficientemente largo para evitar las reflexiones en el final (puntos en la Fig. 1.1(a)).En este sistema al menos uno de los elementos de cada celda unitaria está moduladoen tiempo mediante una fuente de modulación externa representada mediante flechas.Si la amplitud de la modulación es pequeña los efectos no lineales se puede despreciary todas las celdas unitarias tienen un comportamiento lineal, pero, si la amplitud de lamodulación es lo suficientemente grande de forma que los efectos no lineales de loselementos modulados sea predominante, es posible que una celda tenga una amplitudconsideraablemente mayor en comparación con las demás celdas, como se muestra enla siguiente figura.

Amplitud

Tiempo

(b)

Celda Unitaria

(c)

Figura 1.1: (a) Sistema discreto de n celdas (puntos) donde al menos uno de los elementos decada celda unitaria es modulado en tiempo mediante una fuente de modulación (flechas). Paraamplitudes de modulación grandes los efectos no lineales son predominantes llegando a tenerun comportamiento inusual en diferentes celdas unitarias. (b) Amplitud de las oscilaciones paralas celdas donde se presentan la máxima amplitud, su celda más cercana y una celda alejada.Todas la celdas oscilan con la misma frecuencia con un ligero desfase.(c) Amplitudes máximasy mínimas de cada una de las celdas unitarias del sistema (puntos) creando un perfil del ILMcon un ancho aproximado de 7 celdas.

En la Fig. 1.1(b) se muestra la amplitud de oscilación del sistema discreto en función

2

1. Introducción

del tiempo de 3 celdas unitarias: en color azul la celda donde se presenta mayor ampli-tud, en color rojo su vecina más cercana y en color verde una celda distante de las dosceldas anteriores. Todas las celdas oscilan con la misma frecuencia de la fuente de mo-dulación, pero presentan un ligero desfase. Si tomamos los valores máximos y mínimosde las amplitudes para todas las celdas unitarias es posible obtener el perfil del ILM elcual tiene un ancho aproximado de 7 celdas unitarias para este caso particular, ver Fig.1.1. La amplitud máxima se ubica en una única celda y decae rápidamente a medidaque la distancia de las celdas se hace más grande, siendo la ubicación del ILM aleatorea.

Estas propiedades de los ILMs han sido extensamente estudiadas por diversos auto-res como Sato et al, Kevrekidis et al, Palmero et al, Theocharis et al, English et al,(por nombrar algunos), en sistemas tan variados como: cristales granulares [2], unio-nes Josepson superconductoras [3], arreglos de voladizos micromaquinados [4], redeseléctricas (líneas de transmisión) [5], antiferromagnetos [6], guías de onda ópticas [7],condensados Bose-Einstein [8], grafeno [9], nanotubos de carbono [10], ADN [11] ybiopolímeros [12]. A continuación se describen la generación de ILMs en algunos sis-temas mostrados en la Fig. 1.2:

(a) Amplitud de la oscilación en función deltiempo en un sistema micromecánico donde seobservan diferentes comportamientos. Trayecto-rias oscuras representan amplitudes más altas [4].

(b) Observación experimental de un ILM en unaguía de onda para 3 diferentes potencias de mo-dulación. El color rojo representa amplitudesmás grandes [7].

(c) Voltajes medidos mediante microscopio lá-ser a baja temperatura en uniones Josephson. (A)Estado homogéneo, (B)-(E) Varios estados loca-lizados correspondientes a ILMs [13].

(d) Evolución espacio-temporal de un cristalgranular unidimensional. El ILM se crea en elsitio 250 y oscila periódicamente como se mues-tra en el recuadro superior [14]

Figura 1.2: ILMs en diversos sistemas experimentales estudiados por diferentes grupos.

3

1. Introducción

Arreglo de voladizos micromaquinados (MEMs): Las propiedades vibracionales no li-neales de un arreglo periódico de osciladores micromecánicos han sido estudiadas porM. Sato y A. J. Sievers [4] en un sistema de 208 voladizos fabricados mediante unamáscara de fotoresina sobre una capa de nitruro de silicio con un sustrato de silicio.Las amplitudes de oscilación son obtenidas con una cámara CCD que captura la dis-tancia recorrida por un láser reflejado en la punta del voladizo. Se ha encontrado quepara amplitudes suficientemente grandes de la fuente de modulación el modo óptico sevuelve inestable y se descompone en excitaciones que se extienden a lo largo de unaspocas sitios como se observa en la Fig. 1.2(a). También se observa un efecto de bloqueoinducido por la fuente de modulación para mantener estables algunos de los ILM, demodo que las amplitudes de los ILMs se fijan espacialmente. Este comportamiento semantiene sin cambio hasta que la fuente de modulación es eliminada (línea punteada)donde los ILM formados desaparecen m ediante repulsión entre ellos.

Guía de onda: H. S. Eisenberg y Y. Silberberg han reportado la observación experimen-tal de solitones ópticos en un arreglo discreto de guías de onda no lineal [7]. El sistemaesta compuesto por 41 guías de onda grabadas sobre un sustrato de AlGaAs; cada unacon 4 µm de ancho y una profundidad de 0.95 µm e igual separación entre ellas. Lafuente de luz es un oscilador paramétrico óptico bombeado por una láser de Ti:zafirosintonizado a una longitud de onda de 1.53 µm produciendo pulsos entre 100-200 psa una tasa de repetición de 80 MHz. Para bajas potencias la propagación de ondas seextiende sobre toda las guías de onda, pero, cuando se inyecta suficiente potencia, elcampo se localiza cerca de las guías de onda donde se encuentra la potencia de entradahasta formar un soliton discreto que no se propaga en dirección de la guía de onda.

Uniones superconductoras Josephson: P. Binder et al han observado ILMs en una esca-lera de pequeñas uniones Josephson [13]. Los ILMs son visualizados usando un escánerde microscopía laser a baja temperatura. Este procedimiento se basa en el mapeo de unarespuesta de voltaje de la muestra en función de la posición de un rayo láser de bajapotencia enfocado en la superficie. El láser calienta localmente la muestra e introduceuna disipación adicional en el área de unos pocos micrómetros de diámetro, donde estepunto disipativo se escanea y la variación del voltaje para una corriente de polarizaciónfija se registra en función de la coordenada del haz. La potencia del rayo láser es mo-dulada a una frecuencia de varios kHz. En la Fig. Fig. 1.2(c) se han medido los voltajesDC de varias uniones en función de una corriente de polarización obteniendo excita-ciones con estados “remolino” los cuales persisten bajo una fuerza homogénea debidoa una corriente de polarización. El estado homogéneo es mostrado en la Fig. 1.2(c)(A),mientras que en las demás imágenes se muestran varios estados producidos por ILMs.

Cristales granulares: G. Theocharis et al han estudiado ILMs en un sistema unidi-mensional formado por una cadena de esferas uniformes en presencia de una o dosimpurezas. Esta cadena de esferas consiste en partículas metálicas con radio R = 4.76mm que interactuan elásticamente entre ellas, y en uno de los lados del sistema se apli-

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1. Introducción

ca una fuerza de compresión usando un sistema de palanca con masa para mantener lasesferas en contacto y cada esfera se mantiene en su lugar mediante barras de contencióny barras guías. La modulación se realiza mediante un actuador piezo-eléctrico montadosobre una placa de acero. Las cadenas compuestas del mismo tipo (todos los elementosiguales) no soportan ILMs, por consiguiente, la inclusión de impurezas de menor masaes crucial para su aparición. En la Fig. 1.2(d) se observa la evolución espacio-temporaldel cristal granular donde un ILM es creado en el sitio 250 y permanece estable a me-dida el tiempo avanza. En los recuadros se puede observar un acercamiento y la formade oscilación del ILM.

El estudio de ILMs utilizando líneas de transmisión dinámicas donde se variaban sucapacitancia [15] o inductancia [16] se remonta hacia los años 60 donde se realizaronvarias propuestas. En la Fig. 1.3(a) se muestra el esquema eléctrico de una línea detransmisión pasa banda bi-inductiva con varactores modulados en tiempo estudiada porP. Marquie, J. M. Bilbault and M. Remoissenet [17]. En la Fig. 1.3(b) se muestra la am-plitud de oscilación de los voltajes Vn de cada uno de los nodos en función del tiempo.El ILM que se crea tiene una amplitud máxima en el nodo 6 con un ancho aproximadode 5 nodos oscilando con la misma frecuencia que la fuente de modulación. El colormás oscuro representa voltajes más grandes.

Figura 1.3: (a) Esquema eléctrico de la línea de transmisión pasa banda bi-inductiva con va-ractores modulados en tiempo [17]. (b) Comportamiento temporal de los voltajes de todas lasceldas unitarias en función del tiempo. El color más oscuro representa los voltajes más grandes.

La ventaja de estudiar las propiedades de los ILMs en líneas de transmisión es que laescala macroscópica permite (en los experimentos) la caracterización detallada de losperfiles, lo que normalmente solo es posible mediante simulaciones numéricas o me-diciones indirectas en otros sistemas. En las primeras publicaciones de los ILMs enuna línea de transmisión eléctrica se estudiaron la generación experimental de ondasmoduladas no lineales [18] y en los trabajos más recientes se ha investigado numéricay experimentalmente la estabilidad, creación e interacción de ILMs [19, 20].

El comportamiento de los ILMs puede ser significativamente afectados por defectos oimpurezas, los cuales desempeán un papel crucial en la generación, destrucción, atrac-ción, repulsión; estos efectos han sido observados en varios sistemas, aunque sólo en

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1. Introducción

algunos de ellos la impureza puede ser fácilmente manipulada. Theocharis et al. [14] yMan et al. [21] han estudiado la formación de ILMs en cristales granulares demostran-do que un defecto es escencial para su creación y se pueden ser generados fácilmenteen un rango amplio de condiciones inciales. Sato et al [22, 23] ha mostrado que un de-fecto en un arreglo de voladizos micromeánicos puede crear, destruir, atraer y repelerILMs. También ha sido demostrado [24] que las interacciones mencionadas anterior-mente pueden ser logradas en una red eléctrica con un inductor, capacitor o resistor quesirve como impureza. Si bien estas investigaciones se refieren a la formación, manipu-lación e interacción de los respiradores debido a una impureza, estos aspectos aún nohan sido explorados completamente.

1.2 Ondas Propagatorias

Líneas de transmisión: En el estudio de las ondas propagatorias en líneas de transmi-sión es de interés encontrar las propiedades de los voltajes o corrientes que se propagana través de la línea, para esto, se supone una solución en cada nodo de la siguiente for-ma VN(t) =V (t)+vN(t) o IN(t) = I(t)+ iN(t); donde V (t)[I(t)] es un voltaje[corriente]que no se propaga generado por la fuente de modulación idéntica en todas las celdasunitarias, y vN(t)[iN(t)] es un voltaje[corriente] propagatoria de menor amplitud encomparación con V (t)[I(t)] y es producido por una fuente de voltaje ubicada en un ex-tremo de la línea.

En este aspecto, Halevi et al ha estudiado teórica y experimentalmente la propaga-ción de ondas en una línea de transmisión pasa bajo con varactores modulados en tan-dem en tiempo mediante un fuente de modulación externa de forma armónica VΩ(t) =VΩ[1+msin(Ωt)], ver Fig. 1.4 [25, 26]. Esta línea de transmisión es capaz de emularlas propiedades de un medio efectivo donde la permitividad dinámica ε(t) es igual a lacapacitancia distribuida C(t)/a en cada instante de tiempo t y la permitividad µ iguala la inductancia distribuida L/a siendo a el tamaño de la celda unitaria. Esta aproxi-mación solo es posible en el límite de onda larga βa . 1. En el diagrama de bandasse produce una banda prohibida ∆β que separa 2 bandas β1(ω) y β2(ω) en el vectorde onda, en contraste con las línea de transmisión estática donde es posible obtenerbadas prohibidas en frecuencia siempre y cuando que la modulación de la capacitanciadinámica C(t) sea suficientemente fuerte para superar los efectos disipativos. La com-paración entre el modelo teórico, el medio efectivo y el experimento se puede observaren la parte inferior de la Fig. 1.4.

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1. Introducción

Figura 1.4: (Superior) Modelo realista con pérdidas de una línea de transmisión pasa bajadinámica con varactores modulados mediante la fuente de voltaje VΩ(t). (Inferior) La compa-ración entre los diagrama de bandas del medio efectivo (color azul), la línea de transmisióndinámica (color negro) y el experimento (color rojo) es muy buena para valores pequeños deβn. En el recuadro se muestra un acercamiento a la banda prohibida [26].

Cristales fotónicos temporales: Debido a la periodicidad temporal de estos sistemas,los diagramas de bandas presentan periodicidad en frecuencia y bandas prohibidas enel vector de onda, como se muestra en la Fig. 1.5(a), en contraste con los cristales fo-tónicos ordinarios que presentan periodicidad en el vector de onda y bandas prohibidasen frecuencia. Como consecuencia de la interacción de la onda incidente con el me-dio dinámico, las ondas reflejadas y transmitidas contienen armónicos de la frecuenciade modulación y la frecuencia de excitación [27]. Para una placa dinámica, como en laFig. 1.5(b), los campos eléctricos y magnéticos reflejados y transmitidos son una super-posición de ondas planas oscilando con frecuencias ω0, ω0±Ω, ω0±2Ω, donde ω0 esla frecuencia de la onda incidente y Ω es la frecuencia de modulación del medio. Paramodulaciones fuertes la magnitud de estos coeficientes es mayor a uno, pero solo paraciertos valores del ancho normalizado de la placa; esto es posible debido a la fuente demodulación que introduce energía dentro del sistema [28] (ver Fig. 1.5(c)).

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1. Introducción

Figura 1.5: (a) Diagrama de bandas de un medio dinámico con permitividad variante en eltiempo. (b) Placa dinámica de ancho L entre dos materiales estáticos. (c) Coeficiente de trans-misión del campo eléctrico en función de los armónicos n y el ancho normalizado LN para unamodulación fuerte ∆ε = 0.85 [27].

Medios dinámicos donde la permitividad y permeabilidad son modulados periódica-mente en tiempo de forma armónica ε(t) = ε[1+mε sin(Ωt)], µ(t) = µ[1+mµ sin(Ωt +θ)] donde mε[mµ] es la amplitud de la modulación de la permitividad[permeabilidad] yθ es la diferencia de fase entre las modulaciones. Se han encontrado bandas prohibidasen el vector de onda proporcionales |mε−mµ| si las modulaciones son diferentes y es-tan en fase; (mε +mµ) si las modulaciones son diferentes y estan fuera de fase (θ = π)y ninguna banda prohibida si las modulaciones son iguales y en fase. Este comporta-miento es válido solo para amplitudes de modulación pequeñas (mε,mµ << 1) [29].También es posible encontrar ondas estacionarias -al igual que el caso de medios pe-riódicos en espacio- con velocidad de grupo infinita solo si la frecuencia de incidenciaω0 es igual a (2n+1)Ω/2, con n = 0, 1, 2, etc [30].

Cristales fotónicos (espaciales) y naturales: El estudio de sistemas periódicos esta ba-sado en las investigaciónes realizadas sobre los cristales naturales, los cuales son sis-temas periódicos formados por átomos sobre el espacio –red periódica– donde se en-cuentran ubicados elementos idénticos denominados base, como se muestra en la Fig.1.6(b). Cada punto de la red esta definido por un vector posición~r = u1~a1+u2~a2+u3~a3,donde u1, u2 y u3 son números enteros y ~a1, ~a2, ~a3 son los vectores de traslación, en elcaso de una red periódica tridimensional. Existen 5 tipos de redes distintas en sistemasbidimensionales y 14 en sistemas tridimensionales, todas ellas conocidas como redesde Bravais. Los cristales fotónicos ordinarios tiene un comportamiento semejante altransporte de carga en cristales naturales, pero, mientras que en los primeros las solu-ciones estan dadas por las ecuaciones de Maxwell; los segundos tienen soluciones de laecuación de Schödinger. Un cristal fotónico unidimensional (1D) esta formado por unasecuencia de láminas con dos índices de refracción diferentes, mientras que un cristalfotónico bidimensional (2D) sería, por ejemplo, una red de agujeros circulares en unmaterial.

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1. Introducción

(a) Cristales fotónicos en 1D, 2D y 3D. (b) Sistema periódico formado por una redcuadrada y una base de dos elementos dife-rentes.

Figura 1.6: Ejemplo de cristales fotónicos 1D, 2D y 3D donde la base se repite en cada puntode la red periódica para formar la estructura completa.

Entre las diferentes aplicaciones de los cristales fotónicos se pueden encontrar:

Cristales fotónicos unidimensional como filtros de luz: El espejo de Bragg se utilizaen láseres y LEDs para aumentar la eficiencia de los dispositivos. Este dispositivo estaformado por una sucesión de capas dieléctricas de distintos materiales mostrando unabanda prohibida fotónica donde la propagación de las ondas no esta permitida. En basea esta propiedad es posible diseñar un espejo de Bragg para cualquier longitud de ondao frecuencia que se quiera eliminar. El esquema de un cristal fotónico unidimensionalse observa en la Fig. 1.6(a).

Cristales fotónicos bidimensional como guías de luz: Es una de las aplicaciones másextendidas en la cual la propagación de ondas en una determinada dirección esta prohi-bida. De esta manera, acoplando una región del espacio de cristal (donde el modo estapermitido) rodeada de una estructura que prohiba este modo, la luz queda atrapada en elcircuito diseñado, siendo los cristales fotónicos más eficientes que el método de refle-xión total interna de las fibras ópticas convencionales debido a que se pueden construircircuitos con radios de curvatura del orden de micrómetros sin pérdidas de la señal. Enla Fig. 1.6(a) es posible observar un cristal fotónico bidimensional.

Cristales fotónicos tridimensional como control de la emisión de luz: La banda fotó-nica prohibida no permite la propagación de luz de determinada frecuencia, esto nosolo implica que las ondas incidentes a esta frecuencia serán reflejadas, sino que laemisión de radiación también será suprimida. Una característica única de los cristalesfotónicos consiste en la modificación de la emisión espontánea (la banda prohibida delcristal proporciona confinamiento óptico para la radiación, desplazando y modificandola densidad de estados fotónicos de la estructura), por consiguiente, se puede usar elefecto termo-fotovoltaico. Este efecto se basa en una conversión de calor a electricidad,a través de los fotones y puede ser utilizado en biosensores y terapia fotótermica. Unejemplo de un cristal fotónico tridimensional es mostrado en la Fig. 1.6(a).

9

1. Introducción

1.3 Objetivos

1.3.1 General

Estudiar los modos de oscilación –localizados y extendidos o propagatorios– enuna línea de transmisión pasa banda modulada en tiempo.

1.3.2 Específicos

Modos Intrínsecos Localizados

• Crear una impureza mediante el incremento del valor de la inductancia y/ocapacitancia en una sola celda unitaria y estudiar el comportamiento de losvoltajes de cada una de las celdas unitarias obtenidos mediante simulacionesnúmericas.

• Estudiar el comportamiento de los ILMs mediante un barrido en el valorde la resistencia en serie R y la frecuencia de modulación ωd en un rangoamplio de valores en presencia de una sola impureza inductiva.

• Investigar la interacción de los ILMs cuando se varía la distancia entre dosimpurezas inductiva-inductiva o inductiva-capacitiva en la línea de transmi-sión.

• Analizar el comportamiento temporal de los ILMs para ciertos valores defrecuencia.

Propagación de Ondas

• Hallar y resolver las ecuaciones diferenciales que describen el voltaje delvaractor para cada una de las celdas unitarias de la línea de transmisión.

• Estudiar las propiedades de propagación de ondas mediante relación de dis-persión y los diagramas de bandas para diferentes valores de la frecuenciade modulación.

• Obtener el comportamiento completo del diagrama de bandas para el casoideal y con pérdidas mediante la variación de la frecuencia de modulación.

1.4 Organización de la Tesis

La tesis se organiza en 4 capítulos de la siguiente manera:

Capítulo 2: se presenta un estudio del voltaje en el varactor de cada una de lasceldas unitarias variando la inductancia Lp, capacitancia promedio C, resistenciaR y frecuencia de modulación fd para amplitudes grandes del voltaje de modu-lación donde los efectos no lineales son predominantes. Estos voltajes fueron

10

1. Introducción

obtenidos solucionando númericamente la ecuación diferencial mediante las le-yes de Kircchoff para el voltaje y corriente de la línea de transmisión. Tambiénse estudia la interacción de los ILMs creados mediante 2 impurezas (una fija yotra móvil) inductiva-inductiva y/o inductiva-capacitiva. Finalmente se muestrael comportamiento temporal de los ILMs donde ocurre “atracción fatal” entreellos eliminando un ILM en el proceso. Este capítulo se basa en un artículo pu-blicación en Physical Review E (10.1103/PhysRevE.97.022225), y un artículoaceptado en Advanced Electromagnetics Symposium AES 2018.

Capítulo 3: se estudia el comportamiento de la línea de transmisión pasa bandapara amplitudes de modulación pequeñas (los efectos no lineales son desprecia-bles) mediante la solución de la ecuación diferencial que describe el voltaje pro-pagatorio. Para esto, se propone una solución para el voltaje de la siguiente formaVN(t) =V (t)+ vN(t) donde V (t) es un voltaje que no se propaga y es producidopor la fuente de modulación y vN(t) es un voltaje que se propaga producido poruna fuente de excitación ubicada en el inicio de la línea de transmisión. Se ob-tiene una ecuación de eigenvalores a partir de la ecuación diferencial al utilizarel teorema de Bloch-Floquet temporal y se analiza las propiedades de simetría.Finalmente, se analiza la propagación de ondas mediante los diagrama de ban-das para diferentes valores de la frecuenica de modulación en donde es posibleobtener bandas prohibidas en frecuencia y vector de onda.

Capítulo 4: se muestran las conclusiones y recomendaciones para trabajo futuro.

11

https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.97.022225

1. Introducción

12

Capítulo 2

Modos Intrínsecos Localizados

Los ILMs han sido estudiados numérica y experimentalmente en una línea de trans-misión pasa banda circular para evitar las reflexiones y en cada celda unitaria hay unvaractor modulado periódicamente mediante una fuente de modulación por Palmeroet al; el esquema eléctrico de la línea y la celda unitaria se muestra en la Fig. 2.1.Dependiendo de la configuración de la celda unitaria es posible tener ILMs fijos conampltiud máxima ubicada en una o dos celdas unitarias o móviles que recorren todalínea de transmisión. También se describe un mecanismo novedoso responsable delmovimiento de los ILMs en el sistema. También han demostrado experimentalmenteque la interacción entre estos dos tipos de ILM (fijos y móviles) pueden utilizarse paracontrolar espacialmente la ubicación de ILM generado [31].

Figura 2.1: (Izq.) Esquema eléctrico de una línea de transmisión pasa banda no lineal modu-lada periódicamente estudiada por Palmero et al. (Der.) Celda unitaria [32].

En la Ref. [32] se han estudiado las propiedades de existencia y estabilidad de los ILMshallando regiones del voltaje y frecuencia de modulación para los cuales los ILMs sonrobustos. También se investigó la formación espóntanea de varios ILMs debido a lainestabilidad modulacional partiendo de un estado homogéneo. Finalmente, se ha des-mostrado que un ILM estable puede ser producido mediante excitación subarmónicadebido a que la respuesta espacial depende de la ubicación relativa en frecuencia entrela frecuencia de excitación ωd y la parte inferior de la curva de dispersión ω0 [33]. Siωd/2 está por debajo de ω0 entonces un ILM puede ser generado, sin embargo si ωd/2está dentro de la banda de dispersión se produce una onda propagatoria.

13

2. Modos Intrínsecos Localizados

En este capítulo se han simulado aspectos de modos intrínsicos localizados (ILMs) orespiradores discretos (DBs) en presencia de un defecto en una celda unitaria. A medi-da que la inductancia o capacitancia de esta celda es incrementada, una transición deinestabilidad a estabilidad toma lugar teniendo 2 valores umbrales en la impureza paraque un ILM pueda crearse. Además, para ciertos valores de frecuencia de modulación,así como valores de la resistencia serie, múltiples ILMs secundarios pueden ser crea-dos espontáneamente donde sólo un ILM coincide con el sitio de impureza. También,si dos impurezas estan subcríticamente espaciadas (la separación se incrementa con laamplitud de modulación del voltaje), un ILM puede aparecer a mitad de distancia entrelas impurezas, sin ILMs en los propios sitios de impureza. Finalmente, un ILM puedeacercarse a sus vecinos solo para perecer una vez que estos ILMs se hayan acercado losuficiente.

2.1 Línea de Transmisión

1234

56

78910111213141516171819

2021222324252627

2829

303132 Ls

Vd(t)

R

VN

C[VN ]

Rl

LN

(a) (b)

Figura 2.2: (a) Línea de transmisión circular discreta con 32 celdas unitarias y capacitoresno lineales C[VN ] alimentados por voltajes armónicos Vd(t) = Vd sin(2π fdt) conectados porinductancias Ls. El punto grande representa un defecto en la celda unitaria. (b) En esta celdaunitaria “general” la inductancia LN esta dada por Lp en todas las celdas unitarias exceptoen la celda N = 18, donde hay un incremento δLp definido en la Ec. 2.2. Los valores de losparámetros son: Ls = 680 µH, Lp = 330 µH, R = 10 kΩ, Rl = 20 kΩ, C0 = 788 pF (Diodovaractor NTE 618), Vd = 3 V.

El modelo y los cálculos estan basados en una línea de transmisión circular discreta de32 celdas unitarias donde la no linealidad es producida por capacitores dependientes devoltaje (varactores) modulados por una fuente de modulación uniforme y armónica encada una de las celdas de la línea de transmisión; ver Fig. 2.2 (un modelo introducidopor Palmero et al y colaboradores [32, 33]). Los varactores en cada celda unitaria es-tan modelados por una capacitancia no lineal C[VN ] y una resistencia no lineal R[VN ]conectadas en paralelo; este último no se muestra en la Fig. 2.2. La capacitancia estadefinida como

14


C[VN ] =

Cv +Cw(V ′)+C(V ′)2 for VN ≤Vc,

C0e−αVN for VN >Vc,(2.1)

donde V ′ = (VN −Vc), Cv = C0e−αVc , Cw = −αCv, y C0 = 788 pF, α = 0.456 V−1,C = 100 nF, Vc = −0.28 V [32]. La resistencia no lineal esta dada por la ecuaciónR[VN ] = eβVN/(βIs), con β = 38.8 V−1 y Is = 1.25×10−14 A [32].

Estamos interesados en los voltajes VN vistos por cada uno de los varactores en cadauna de las 32 celdas unitarias para un incremento δLp en la inductancia LN solo en lacelda 18. Los voltajes fueron obtenidos mediante solución numérica de dos ecuacionesdiferenciales no lineales acopladas (voltaje VN y la corriente iLN a través del inductorLN) para almenos 250 periodos después de que la fuente de modulación se ha encendi-do; esto asegura que la respuesta transitoria ha desaparecido. Los valores iniciales (ent = 0) de todos los voltajes VN(t) y corrientes iLN (t) son iguales a 0.

C(VN)dVN

dt=

Vd(t)R−(

1R+

1Rl

)VN− ID(VN)+ iLN

diLN

dt=

1Ls

(VN+1 +VN−1−2VN)−VN

LN(2.2)

Estas ecuaciones difieren de las correspondientes en las Refs. [32,33] solo por el reem-plazo de la inductancia Lp por Lp + δLp; donde LN = Lp +(δLp)δN,18, δLp es el incre-mento de la inductancia Lp únicamente en la celda 18, y δN,18 es el delta de Kronecker.Aquí, ID(VN) es la corriente a través del diodo de la N-ésima celda.

2.2 Umbral para Crear un ILM: Una TransiciónInestabilidad-Estabilidad

La Figura 2.3(a) muestra una simulación numérica de incrementos porcentuales suce-sivos de la inductancia LN en una sola celda unitaria (numerada “18”) dando lugar atres posibilidades distintivas para el voltaje V18 y sus vecinos más cercanos (V17 =V18)y sus vecinos próximos (V16 = V20). Por debajo de un valor umbral -valor negativo,donde LN=18 < Lp en esta celda- nada sucede: los voltajes en VN mantienen sus valoresno perturbados en todas las celdas unitarias. Por encima de este valor umbral y hasta unsegundo umbral los voltajes presentan oscilaciones inestables fluctuando entre sus valo-res no perturbados y los valores finales. Después del segundo umbral el ILM es creadoy se mantiene sin cambios aún con aumentos adicionales de Lp; Fig. 2.3(b) muestralos voltajes máximos y mínimos permanentes de VN en todas las celdas unitarias. Esimportante notar que el proceso completo correspondiente a la Fig. 2.3(a) es reversible;es decir, también aplica cuando δLp en la celda 19 es reducida de > 1% a < −1%.

15


Más aún, hemos verificado que una perturbación de 0.1% en uno de los parámetros( fd , Vd , R o Rl) mantiene el ILM escencialmente inalterado. Este comportamiento y lareversabilidad sugiere que el ILM es robusto.

0.8

1.2

1.6

2.0

-0.20 0 0.20 1.0

-0.6

-0.4

-1.0

1

2

-0.01 0 0.01

0.23

(a)

V18,19,20[Volts]

Incremento porcentual de la inductancia L2

-0.007

10 20 30

(b)

Celda Unitaria1

Figura 2.3: (a) Voltajes máximos y mínimos V18, V19(= V17), y V20(= V16) de la celda unitariaperturbada (celda 18) y sus más cercanos vecinos 17 y 19 y sus vecinos próximos 16 y 20 enfunción del incremento porcentual de la inductancia Lp calculados en un tiempo t = 250/ fddespués de encender (en t = 0) la fuente de modulación. La flecha indica una transición deinestabilidad a estabilidad en δLp de Lp igual a 0.23%. Los parámetros usados estan listadosen la Fig. 2.2 con fd = 268 kHz. El recuadro muestra un acercamiento a la región de cambiospequeños de δLp . La flecha en el recuadro indica una transición de oscilaciones no perturbadasa oscilaciones inestables para δLp de Lp igual a −0.007%. (b) Voltajes máximos y mínimosen cada una de las 32 celdas unitarias de la línea de transmisión para un incremento de lainductancia Lp más grande que 0.23% únicamente en la celda 18. Este ILM tiene un anchoaproximado de siete celdas.

En la Fig. 2.4 se observan los voltajes VN obtenidos con los mismos parámetros que laFig. 2.3 pero para amplitudes de modulación Vd = 4 V y Vd = 5 V. Si Lp es reducido(δLp negativo) los voltajes se mantienen sin cambios en todas las celdas unitarias, y nin-gún ILM es creado para ambos valores de Vd de modulación escogidos, de otra manera,incrementando Lp respecto al valor habitual ILMs aparecen para ambos valores de Vdcomo se observa en las Figs. 2.4(a) y (b). La Fig. 2.4(c) muestra los voltajes máximosy mínimos permanentes VN en todas las celdas donde solo los voltajes en las celdas 17-19 difieren considerablemente de los demás valores siendo la amplitud del ILM paraVd = 4 V más grande que para Vd = 5 V. Todos los voltajes presentan simetría espejorespecto a la celda donde se produce la impureza, es decir, V17 = V19, V16 = V20, y asísucesivamente También es posible producir un ILM alterando la capacitancia prome-dio C de los varactores, sin embargo los umbrales son más grandes en magnitud: unareducción de 0.2% (vs. 0.007% para la inductancia) para el comienzo de oscilacionescaóticas y un incremento de 6% para crear un ILM.

16


0.81.21.62

2.4

-0.6

-0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

1

2

-0.01 0 0.01

V18,19,20[Volts]

(a) Vd = 4V

Incremento porcentual de Lp

-1 -0.5 0 0.5 1

1

2

-0.01 0 0.01

(b) Vd = 5V

Incremento porcentual de Lp

10 20 30

Vd = 4VVd = 5V

(c)

Celda Unitaria1

Figura 2.4: Voltajes nodales VN de las celdas 18, 19 y 20 como función del incremento por-centual de la inductancia Lp en la celda 18 después de un tiempo t = 250/ fd . (a) Para unaamplitud de modulación Vd = 4 V es posible crear un ILM aumentando la inductancia tras unatransición abrupta del voltaje. (b) Para Vd = 5 V la transición alrededor de δLp = 0 es gradualy la diferencia de voltaje entre la celda 18 y sus vecinas es pequeña. Los voltajes alcanzansaturación para δLp > 3%. (c) Voltajes máximos y mínimos VN en cada una de las 32 celdasunitarias para un incremento de 1% en la inductancia Lp solo en la celda 18, correspondientesa los casos (a) y (b). Los ILM tienen un ancho aproximado de cinco celdas. Parámetros igualesa la Fig. 2.2

2.3 Creación de ILMs Variando Parámetros

2.3.1 Resistencia

Sorprendentemente, un ILM puede ser producido no sólo mediante impurezas induc-tivas o capacitivas (como en la Fig. 2.3), sino también por medio de una impurezaresistiva. Simulaciones numéricas donde se reduce la resistencia serie R en una solacelda de 8 kΩ –una reducción del 20% respecto a las demás resistencias de la línea detransmisión– crea un ILM de amplitud de 1.98 V en el sitio de impureza. Reduciendo laresistencia aún más, la amplitud del ILM se incrementa hasta 2.4 V. Es posible generarmúltiples ILMs resistivos mediante una reducción gradual de R en todas las celdas uni-tarias. El proceso es mostrado en la Fig. 2.5, con una impureza inductiva como “ancla”en la celda 18. Si la resistencia es incluso ligeramente mayor que la resistencia de 10 kΩ

ningún ILM es creado, siendo el valor umbral de 10 kΩ para que aparezca un ILM enel sitio de impureza. A medida que la resistencia es reducida sucesivamente, uno, dos,tres y cuatro ILM adicionales son formados –aunque solo hay una impureza en la líneade transmisión–. Para R = 6.38 kΩ hay cinco ILMs de los cuales solo uno persiste enla celda 18. Los ILMs estan espaciados uniformemente cuando es posible (para la líneade transmisión de 32 celdas), es decir, cuando hay dos o cuatro. Para tres o cinco ILMsla separación no es equidistante creand ILMs que son “en sitio” (punto máximo en unasola celda) o “entre sitio” (con amplitudes máximas iguales en dos celdas vecinas).Dependiendo del intervalo de resistencias, los ILMs son todos en sitio o mezclados ensitio y entre sitios. Una disminución adicional de la resistenica gradualmente atenua lasoscilaciones y los valores máximos y mínimos de VN hasta convertirsen en idénticos entodas las celdas.

17


-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Vol

ts]

R = 10.10 kΩ (a)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

R = 10.00 kΩ (b)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

R = 9.90 kΩ (c)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

R = 9.80 kΩ (d)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

R = 9.10 kΩ (e)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

R = 8.73 kΩ (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Vol

ts]

Celda Unitaria

R = 7.60 kΩ (g)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30Celda Unitaria

R = 6.97 kΩ (h)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


R = 6.83 kΩ (i)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


R = 5.50 kΩ (j)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


R = 5.00 kΩ (k)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


R = 2.00 kΩ (l)

Figura 2.5: Voltajes máximos y mínimos del varactor para las 32 celdas unitarias de la línea detransmisión en función de la resistencia serie R. Para R = 10 kΩ se obtiene un ILM idéntico ala Fig. 2.3(b) con todos los parámetros idénticos (incluyendo la impureza inductiva en la celda18). Entre menor es la resistencia R (en todas las celdas), un número más alto de ILMs sonproducidos hasta un total de cinco. Note que todos los ILMs (excepto uno) estan ubicados ensitios sin impurezas (N 6= 18).

2.3.2 Frecuencia de Modulación

En esta simulación se ha hecho un barrido en un rango amplio de la frecuencia de mo-dulación fd obteniendo creación espontánea de ILMs entre 267.88 y 346.28 kHz y noILMs fuera de este rango. Los aspectos más interesantes de este proceso son mostra-dos en la Fig. 2.6. El primer ILM aparece en fd = 267.88 kHz en N = 18 [como en laFig. 2.3(b)] y todos los voltajes permanecen sin cambios hasta fd < 268.032 kHz. Enfd = 268.032 kHz un segundo ILM nace espontáneamente en el sitio N = 2 aunque nohay impureza en ese sitio!. Conforme la frecuencia fd es incrementada, en fd = 268.43kHz el ILM en N = 2 inicia un proceso de división espontánea en dos ILMs. Despuésde un breve intervalo de transición, los “ILMs hijos” se ubican simétricamente en lasceldas N = 7 y 29 con respecto al “ILM madre” a una distancia de cinco celdas a ca-da lado; ver Fig. 2.6(a). A medida que aumentamos fd , nada pasa hasta fd = 271.4kHz, donde los dos ILM empiezan a repelersen entre sí para estabilizarse en las celdasN = 9 y 27; ver Fig. 2.6(b). Entonces, asombrosamente, el ILM en N = 2 reaparecepara fd = 271.6 kHz! En este punto tenemos ILMs en cuatro celdas, que a mayor fre-cuencia de modulación pasan por una segunda división, culminando con cinco ILMs delos cuales uno es en sitio (en la celda N = 18), mientras que los demás son entre sitio.La corriente IN se comporta de forma completamente análoga. El proceso completo esreversible; es decir, puede ser iniciado en el lado de alta frecuencia y disminuyendogradualmente fd . Finalmente, un incremento en la amplitud Vd desplaza a valores másbajos la frecuencias fd donde las transiciones ocurren.

18


15101520

(a)

268 268.5 269fd kHz

25

30CeldaUnitaria

270 271 272 273 274

(b)

270 271 272 273 274fd kHz

295 295.5 296 296.5

0.60.81.01.21.41.61.82.02.2

(c)

295 295.5 296 296.5fd kHz

Figura 2.6: Creación espontánea de ILMs con incrementos de la frecuencia de modulación fdde uno a dos, y después a tres ILMs en (a), seguido de un cuarto ILM en (b) y finalmente unquinto ILM en (c). Los valores de los voltajes VN se indican por su color de acuerdo con labarra lateral. Parámetros como en la Fig. 2.2.

En la Figura 2.7 hemos obtenido los voltajes VN variado la frecuencia de modulaciónentre fd = 267 to 276 kHz con una impureza de 10% en la capacitancia promedio (envez de la inductancia Lp) en la celda 18.

15

10

15

20

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

268 270 272 274 276

fd kHz

25

30

CeldaUnitaria

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Figura 2.7: Creación espontánea y colapso de ILMs con incremento de la frecuencia de modu-lación fd , de uno a dos, dos a uno, nuevamente uno a dos y luego tres ILMs. Los valores de losvoltajes VN estan indicados en color de acuerdo a la barra lateral. Parámetros iguales a la Fig.2.2.

El primer ILM aparece en la celda perturbada para fd = 267.9 kHz, y se mantiene sincambios sobre un rango corto de frecuencias hasta fd = 260.03 kHz donde un segundoILM espontáneamente emerge en la celda 2 (sin impureza). A medida que la frecuenciase incrementa, el ILM de la celda 2 espontáneamente se divide en dos ILM localizadossimétricamente en las celdas 7 y 29. Sin embargo, este ILM no se mantienen por mu-cho, colapsando en un ILM en la celda 2. Después de un rango corto de frecuencia, denuevo, hay una separación del ILM de la celda 2 en dos ILMs ubicados en las mismasceldas anteriores. El proceso completo de división y colapso ocurre en un corto ran-go de frecuencias de fd = 268.2 a 269.7 kHz. Para incrementos mayores de fd , los dosILMs son atraidos entre sí y se acercan lo suficientemente para crear un ILM en la celda

19


2; entonces son repelidos y ocupan nuevos sitios. Esto da lugar a cuatro ILMs equidis-tantes. El proceso de división se repite dos veces más (fuera del rango de frecuenciasde la Fig. 2.7), cada vez generando nuevos ILMs, hasta un total de seis ocupando posi-ciones simétricas en la línea de transmisión. El único ILM que se mantiene sin cambioses el generado en el sitio de impureza (celda 18).

2.4 Interacción entre ILMs

En la Fig. 2.8 se han simulado numéricamente la interacción entre dos impurezas idén-ticas en Lp de 1%, una fija en N = 18 (líneas azules) y otra móvil que se desplaza decelda a celda a través de toda la línea de transmisión (líneas rojas). Para una separacióngrande [13 celdas, como en la Fig. 2.8(a)] dos ILM se fijan en las impurezas, comoes esperado, y tienen formas semejantes a las clásicas como la Fig. 2.3(b). A medidaque la separación es gradualmente reducida de 12 a nueve celdas [Fig. 2.8(b)-2.8(e)],los ILMs se vuelven cada vez más “concientes” de la cercanía del otro y sus agudospicos sufren distorciones asimétricas. Cuando la separación es reducida a ocho celdas[ver Fig. 2.8(f)] algo sorprendente pasa: los dos ILMs originales han desaparecido y unsolo ILM clásico se ha materializado a mitad de distancia entre las impurezas –en elsitio N = 14, donde no hay impureza! Esta “fusión” persiste a media que la impurezamóvil se acerca cada vez más a la impureza fija, aunque el pico del ILM permaneceagudo sólo si las dos impurezas están separadas por un número par de celdas, comose muestra la Fig. 2.8(h). Para un número impar el ILM se vuelve plano, con valoresiguales de VN en dos celdas centrales vecinas; ver Fig. 2.8(g) y 2.8(i). A medida que laimpureza móvil se va alejando cada vez más hacia el otro lado de la impureza fija, lasituación se invierte simétricamente; entonces Fig. 2.8(j), 2.8(k) y 2.8(l) son idénticos,respectivamente, a 2.8(f), 2.8(e) y 2.8(d).

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

5 (a)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

6 (b)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

7 (c)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

8 (d)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

9 (e)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

10 (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

Celda Unitaria

11 (g)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


12 (h)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


13 (i)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


26 (j)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


27 (k)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


28(l)

Figura 2.8: Dos impurezas inductivas idénticas pueden fijar dos ILMs idénticos si la separaciónes al menos nueve celdas. Si la separación es ocho o menos celdas, solo un ILM es creado amedio camino entre las impurezas. Parámetros como en la Fig. 2.2 con fd = 268 kHz.

20


Concluimos que dos ILM pueden existir si su separación es al menos nueve celdas uni-tarias; para distancias menores, se unen en un solo ILM debido a la fuerte atracciónentre ellos. No hace falta decir que este comportamiento depende de la elección del va-ractor y los valores de los parámetros. Por ejemplo, si las impurezas de las inductanciasson más grandes que 1.14% del valor original, entonces un solo ILM en Fig. 2.8(f) darálugar a dos ILMs en sitios de impureza. También, si Vd es incrementada a 4 V(5 V), launión ocurre a una separación de nueve(10) o menos celdas; por lo tanto, entre mayores Vd , mayor es la atracción entre los ILMs.

Ahora, consideremos dos impurezas diferentes: una impureza de 1% en la inductanciaLp de la celda 18 (impureza fija en color azul) y una impureza de la capacitancia pro-medio C para un incremento de 10% (impureza móvil en color rojo). Si la separacióngrande, como en la Fig. 2.9(a) dos ILMs idénticos e independientes con formas clási-cas son creados en sitios de impureza. Sin embargo, a medida que la impureza móvilse aproxima a la celda 18 cada ILM –al igual que el comportamiento de la Fig. 2.8–los ILMs “sienten” la presencia del otro y su forma se modifica levemente; ver Figs.2.9(b)-2.9(c). Cuando la separación de las impurezas es menos o igual que ocho celdas,los dos ILM colapsan en un solo ILM centrado en la celda 12 (el cual no es un sitio deimpureza). Si la impureza es movida a la celda 11, el ILM ancho se acerca a la celda18 con un ligero cambio de forma; ver 2.9(e). Posteriormente, el ancho disminuye amedia que la impureza móvil avanza hasta alcanzar la impureza fija; ver 2.9(e)-(i). Enesta posición la amplitud del ILM es de cinco celda de ancho. La situación se inviertesimétricamente cuando la impureza móvil supera la celda 18. En conclusión, el com-portamiento es análogo a la Fig. 2.8, excepto que, para una separación de ocho o menosceldas, el ILM es ancho, aunque pierde anchura al estar cada vez más apretada entre lasdos impurezas.

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

2 (a)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

6 (b)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

9 (c)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

10 (d)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

11 (e)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

12 (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

Celda Unitaria

13 (g)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


14 (h)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


18 (i)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


26 (j)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


27 (k)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4


28(l)

Figura 2.9: Interacción entre una impureza inductiva fija (línea azul) y una impureza capa-citiva móvil (línea roja). Los ILMs son creados en los sitios de impureza si la separación essuficientemente grande, de otra manera un sólo ILM con ancho variable es generado cerca dela impureza localizada en la celda 18. Parámetros idénticos a la Fig. 2.2.

21


2.5 Atracción que Resulta en Aniquilación

Hemos realizado simulaciones numéricas para estudiar el comportamiento temporal delos 32 voltajes en los varactores VN . Hemos encontrado que para ciertos valores de lafrecuencia de modulación, la evolución temporal de los voltajes VN pueden ser exóticos,como en la Fig. 2.10 para fd = 268.4 y fd = 272.5 kHz. En la Fig. 2.10(a) se presenta uncomportamiento caótico para los primeros 25 periodos después de encender las fuentesde modulación. Eventualmente, tres ILMs aparecen en N = 2, 9 y 27 adicionalmente aN = 18, el cual es el único ILM en sitios de impureza. Aunque todos ellos estan situadossimétricamente, no son equidistantes. Conforme el tiempo progresa, el ILM en N = 2atrae los ILMs vecinos de N = 9 y 27, hasta que están a sólo tres celdas de distanciadespués de 135 períodos. Sin embargo, esto es un “acto suicida” para el ILM de lacelda 2 porque expira. Liberados de la atracción, los ILM vecinos se alejan, pero norecuperan la separación inicial de 18 celdas. La transición completa de tres a dos ILM(ignorando el ILM “inerte” en N = 18) tiene una duración de 60 períodos. Es intriganteque este comportamiento sea una reminiscencia de la Fig. 2.6(b) al revés, aunque ahí fd ,en vez de fdt (con fd constante) es variada. Si la frecuencia de modulación es reducidade 273 a 271 kHz, la “atracción fatal” también ocurre! La explicación: debido a quefdt = const en la Fig. 2.6(b), el tiempo t está aumentando en ambos casos.

15

101520

a)

0 50 100 150 200 250Periodos de modulacion

2125

30

Cel

da

Un

itar

ia

0.60.81.01.21.41.61.82.02.2

b)

0 50 100 150 200 250Periodos de modulacion

Figura 2.10: Evolución temporal de los ILMs en función del número de periodos fdt, para (a)fd = 268.4 y (b) fd = 272.5 kHz, después de que la fuente de modulación ha sido encendida.El ILM en N = 2 atrae “fatalmente” a dos ILMs vecinos hasta una celda crítica donde el ILMde la celda N = 2 perece en el proceso. Parámetros iguales a la Fig. 2.2.

El comportamiento temporal de la Fig. 2.10(b) es semejante al descrito anteriormen-te con la diferencia que existe una reducción de tres a dos ILMs. Para aproximada-mente los 30 primeros períodos el comportamiento es caótico, después de este pe-ríodo, tres ILM son creados en las celdas 6, 18 y 30, de los cuales sólo uno estaen un sitio de impureza. Los otros estan simétricamente situados, pero no equistan-tes, es decir, la distancia entre los ILMs en las celdas 6 y 30 al de la celda 18 soniguales (B30−B18 = B18−B6 = 12), pero no entre los ILMs den las celdas 6 y 30(B30−B6 = 8); aquí BN indica la ubicación de los ILMs. A medida que el tiempo avan-

22


za, los ILMs de las celdas 6 y 30 son atraidos hasta que aproximadamente 98 periodoscolapsan en un solo ILM en la celda 2. A partir de ahí los ILMs permanecen sin cam-bios. La transición espontánea de tres a dos ILMs dura aproximadamente 20 períodos.Este mismo comportamiento sucede en frecuencia, solo que en dirección inversa, paralas frecuencias en el rango de fd = 269 a 268 kHz.

Conclusiones

Se ha encontrado que un incremento gradual de la inductancia o capacitancia en unasola celda defectuosa puede propiciar una transición de inestabilidad a estabilidad; verFig. 2.3. Para valores umbrales apropiados, un ILM puede aparecer para sitios de im-pureza inductivos o capacitivos, al igual que sitios resistivos. Las formas que tiene elILM pueden ser clásicas, simétricas, en sitio [como en la Fig. 2.3(b)], pero tambiéndistorcionadas, asimétricas [como en Fig. 2.8(e)] y formas entre sitio [como en Fig. 2.5con R = 9.1 kΩ]. Más interesante, se ha observado que si existe una impureza en unasola celda unitaria, ILMs pueden aparecer espontánemente en otros sitios sin impure-zas, como en las Figs. 2.5-2.10. También, se ha encontrado que hasta 4 de tales ILMsaparecen para valores de la resistencia en serie R, Fig. 2.5, al igual que si la frecuenciade modulación suficientemente grande como en la Fig. 2.6. Si dos impurezas están losuficientemente cerca (ocho celdas para nuestros parámetros) un ILM puede aparecera mitad de camino entre las impurezas, y no IML en los sitios de impureza [como enFigs. 2.8(f)-2.8(j)]. El comportamiento más exótico que se presenta es el relacionadocon la tracción resultando en aniquilación (Fig. 2.10).

Todo esto lleva a numerosas preguntas: Es posible interpretar este comportamiento delos ILMs en términos de corrientes y voltajes? Cómo pueden 2 ILMs ser atraidos -actualmente voltajes- uno al otro? Esto puede ser generalizado y aplicado a otras redesno lineales? Estos resultados se mantienen cuando se consideran una distribución de lasvariaciones en los elementos? Más importente, los ILMs son robustos y se encuentranexperimentalmente?

23


24

Capítulo 3

Ondas Propagatorias

Una línea de transmisión dinámica pasa bajo puede ser utilizada como amplificadorparámetrico de onda viajera (TWPAs). Este dispositivo consiste de un filtro pasa bajocon dos señales de voltaje: una que viaja por toda la línea, y otra que modula los varac-tores (dispositivos de estado sólido que varían su capacitancia de acuerdo a un voltajede modulación aplicado entre sus terminales) en cada celda unitaria. Sin embargo, esposible convertir la capacitancia en una función dependiente del tiempo si el voltaje demodulación varía con el tiempo [26, 34].

Figura 3.1: Dos configuraciones diferentes de una línea de transmisión pasa banda estáticautilizada por (a) Halevi et al [35] y (b) Shamonina et al [36]. Dependiendo del signo de lainductancia mutua M, es posible tener un comportamiento ordinario (M > 0) o metamaterial(M < 0) .

En base a las propiedades de la línea de transmisión dinámica pasa bajo y de la líneade transmisión pasa banda estática, es de interés estudiar el comportamiento de las pro-piedades de línea de transmisión pasa banda dinámica.

Propiedades de las líneas de transmisión pasa banda estáticas ha sido estudiadas por di-versos grupos, entre ellos Halevi et al [35] y Shamonina et al [36, 37], encontrando uncomportamiento metamaterial cuando el signo de la inductancia mutua M es negativo.El circuito eléctrico se observa en la Fig. 3.1.

25

3. Ondas Propagatorias

En este capítulo se estudia la propagación de ondas en una línea de transmisión di-námica pasa banda con varactores no lineales modulados periódicamente en tiempopara una descripción realista de los elementos en el régimen lineal. Primero se estudiael comportamiento del voltaje del varactor resolviendo la ecuación diferencial obteni-da aplicando las leyes de Kirchhoff cuando no existe una onda propagatoria. En estelímite, se obtienen las condiciones necesarias de los parámetros para que se cumplaV (t) ≈ VΩ(t) donde V (t) es el voltaje en el varactor y VΩ(t) es el voltaje de modula-ción. Después se estudia el comportamiento del voltaje en el varactor en presencia deuna onda propgatoria hallando la respectiva ecuación diferencial y utilizando el teore-ma de Bloch-Floquet temporal se obtiene una ecuación de eigenvalores y su respectivoel diagrama de bandas, el cual, dependiendo de la frecuencia de modulación es posibleobtener bandas prohibidas solo en frecuencia, solo en vector de onda, en frecuenciay vector de onda o ninguna banda prohibida. Finalmente, se ha hallado un comporta-miento completo de los diagramas de bandas para un rango amplio de frecuencias demodulación.

3.1 Línea de Transmisión

Cada celda unitaria está compuesta por un varactor con capacitancia C[VN ] moduladapor una fuente de voltaje VΩ, una resistencia interna de la fuente de modulación RΩ,dos inductancias propias L acopladas con las celdas vecinas más cercanas mediante unainductancia mutua M. Las pérdidas debido a diversos fenómenos en los materiales enla inductancia y capacitancia estan modeladas por la resistencia R y la conductancia Grespectivamente. También se ha incluido un capacitor Cx para no permitir el paso decorriente continua en la celda y así garantizar que el voltaje promedio del varactor seaaproximadamente igual al voltaje promedio de la fuente de modulación. El tipo de va-ractor escogido es de unión hiper-abrupta (SM1249) con características de capacitanciade 37.35 pF a 0V y 2 pF para 8V, Fig. 3.2(b). Los valores de capacitancia entregadospor el fabricante son muy pocos (8 valores), por lo tanto para las simulaciones la curvade capacitancia se ajustó a un modelo polinomial de orden 13.

L

R

C[VN ]

Cx

L

M

G

VΩ = VΩ[1 + m sin(Ωt)]RΩ

a

IN+ −VN

(a)

L L

M

0510152025303540

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(b)

Cap

acitan

cia[pF]

Voltaje Inverso [V]

Figura 3.2: (a) Celda unitaria con varactores no lineales modulados armónicamente en tan-dem mediante VΩ. Cada celda unitaria está conectada con su vecina más próxima mediante lainductancia mutua M. (b) Curva capacitancia-voltaje del varactor SM1249 para un rango devoltaje inverso de 0-8V para los datos originales (puntos) y el ajuste polinomial (línea).

26


El voltaje del varactor estará compuesto por la suma de dos voltajes: un voltaje V (t) queno se propaga y es producido por el voltaje de modulación VΩ(t); y un voltaje vN(t) quese propaga a lo largo de la línea de transmisión producido por una fuente de excitaciónubicada en un extremo (no mostrada en la Fig. 3.2(a)), de forma VN(t) =V (t)+ vN(t),siendo la amplitud de vN(t) es menor en comparación con V (t); de esta forma la capa-citancia estará modulada principalmente por V (t). Los voltajes VN(t) y corrientes IN(t)de cada celda unitaria dependen de N debido a la fuente de voltaje vN(t). Utilizando lasleyes de Kirchhoff en la celda N se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales

RIN +VN +2LdIN

dt+M

dIN+1

dt+M

dIN−1

dt+

Qx,N

Cx= 0, (3.1a)

IN = ICN +GVN +VN−VΩ

RΩ

(3.1b)

donde VN es el voltaje en el varactor, IN la corriente que circula a través de la inductanciaen cada celda unitaria, Qx,N la carga en el capacitor Cx e ICN la corriente que atraviesa elvaractor. La capacitancia ordinaria del varactor se puede cambiar por una capacitanciadinámica (incremental o diferencial) si expandimos el producto QN = C[VN ]VN de lacorriente ICN de la siguiente forma

ICN =dQN

dt=

dC[VN ]VN

dt= C[VN ]

dVN

dt(3.2a)

C[VN ] =C[VN ]+VNdC[VN ]

dVN(3.2b)

La capacitancia dinámica puede tomar valores negativos para un determinado rango devoltajes de modulación, a diferencia de la capacitancia ordinaria que solo puede tomarvalores positivos.

3.2 Voltaje en el Varactor

Primero, se ha estudiado el voltaje de los varactores sin onda viajera para encontrar lascondiciones donde la capacitancia es modulada por la fuente de modulación VΩ, es de-cir VN =V ∼=VΩ. Al no existir una onda viajera, la modulación de todos los varactoreses idéntica permitiendo el desacople de todos los voltajes -al igual que las corrientes- ypermitiendo que cada celda unitaria se comporte como una celda dinámica aislada. Apartir de este modelo de celda aislada existen 3 frecuencias de modulación importantes:

1) Ω = 0: las inductancias se comportan como elementos con impedancia cero y los ca-pacitores con impedancia infinita, debido a esto, el capacitor Cx no permite que circulecorriente por la celda unitaria garantizando que el voltaje promedio en el varactor sea

27


el mismo de la fuente de modulación V = VΩ. Si omitimos este capacitor los dos termi-nales del varactor estaran conectados entre sí realizando un cortocircuito y obteniendoun voltaje promedio igual a cero V = 0 independientemente del valor de VΩ.

2) Ω = ωx: para esta frecuencia se presenta resonancia en los voltajes del circuito serieformado por el capacitor Cx y la inductancia LT = [2L+2M]. Las amplitudes de VCx yVLT son muy grandes pero de signo contrario obteniendo un voltaje total igual a cero. Elvaractor se encuentra conectado en paralelo con el circuito serie, por lo tanto el voltajeen el varactor también será cero V = 0.

3) Ω = ω0: existe resonancia en las corrientes del circuito paralelo formado por elvaractor y la inductancia LT . Las corrientes IC y ILT son muy grandes pero de signocontrario de forma que la corriente circula entre estos dos elementos y no permite elingreso de ninguna corriente a la celda unitaria; esto hace que el voltaje VRΩ

sea igualcero haciendo que el voltaje en el varactor sea igual a la fuente de modulación V =VΩ.La impedancia del capacitor Cx es muy pequeña de forma que se puede reemplazar poruna impedancia igual a cero.

Las ecuaciones que definen las frecuencias de resonancia ωx y ω0 son

ωx =1√

Cx[2L+2M]ω0 =

1√C0[2L+2M]

(3.3)

Si la amplitud de modulación es pequeña y la capacitancia no varía significativamen-te alrededor del voltaje promedio V , entonces se puede realizar una aproximaciónC[V ] ≈ C0 convirtiendo la celda dinámica en una celda estática, esto para obtener unaexpresión analítica para el voltaje V a partir de la Ec. 3.1. La expresión debe cumplirlas 3 condiciones descritas anteriormente: 1) V = VΩ para Ω = 0; 2) V = 0 en Ω = ωxy 3) V =VΩ en Ω = ω0. Las desigualdades que deben cumplir los parámetros son

RΩG << 1, C0/Cx << 1, R/RΩ << 1, RC0/√

CxLT << 1 (3.4)

En la Fig. 3.3 se presenta el cociente entre los voltajes máximos del varactor y la fuen-te de modulación (línea negra) y la diferencia de fase (línea naranja) para frecuenciasde modulación normalizadas Ω = Ω/ω0 en un rango de 0.001 a 100. Los voltajes seobtuvieron solucionando la Ec. 3.1 (sin onda viajera) mediante el método númericoRunge-Kutta para un modelo de la capacitancia diferencial sin aproximación (ajus-te polinomial) y parámetros que cumplen la Ec. 3.4 (RΩG = 0, C0/Cx = 2× 10−4,R/RΩ = 0, RC0/

√CxLT = 0) para una fuente de modulación armónica de forma VΩ =

VΩ[1+msin(Ωt)].

28


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0.001 0.01 0.1 1 10 100-1.0π

-0.75π

-0.5π

-0.25π

0

0.25π

0.5π

ω0

ωx 0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Vmax/V

Ωm

ax

[dB

]

Fase

ofV

[rad

]

Ω = Ω/ω0

Volt

aje

[V]

Tiempo

Figura 3.3: Voltajes máximos en el varactor y la fuente de modulación (línea negra) y diferen-cia de fase (línea naranja) un rango de frecuencia de modulación normalizada Ω = Ω/Ω0 =0.001−100. El comportamiento del voltaje en el varactor para las 3 frecuencias de modulaciónes: V ∼= VΩ para Ω≈ 0; V = 0 en ωx; y V =VΩ en ω0. Recuadro: Comparación del voltaje demodulación (línea) y el voltaje en el varactor (puntos) en tiempo para Ω = 1. Ambos voltajesson idénticos en amplitud y fase. Parámetros utilizados: L = 10 nH, M = 5 nH, R = 0 Ohms,G = 0 S, C0 = 2 pF (Diodo varactor SM1249), Cx = 10 nF, RΩ = 1 Ohms, VΩ = 0.3 V, m=0.3.

En el límite de frecuencias de modulación pequeñas la celda unitaria se comporta comouna celda estática donde los voltajes promedios del varactor y de la modulación seaniguales sin diferencia de fase entre ellos. Esta condición permanece sin cambios a me-dida que la frecuencia de modulación aumenta, pero, conforme la frecuencia se acercaa ωx el voltaje disminuye hasta cero con cambio abrupto en la fase de−π/2 a π/2. Paraincrementos adicionales de frecuencia, el voltaje aumenta rápidamente hasta igualarseal voltaje de modulación y la fase disminuye hasta valores muy pequeños. Este com-portamiento permanece así en un amplio rango de frecuencias (Ω = 0.1 a Ω = 10); estoes debido a que se escogió una resistencia RΩ pequeña. Si la resistencia RΩ no es losuficientemente pequeña, el rango de frecuencias donde se cumple V ∼= VΩ disminuyehasta llegar al límite donde los voltajes son iguales únicamente para la frecuencia deresonancia ω0. Finalmente, para frecuencias de modulación grandes (Ω > 30) la ampli-tud del voltaje vuelve a disminuir y la fase aumenta. En la Fig. 3.3 se puede observarque el ancho de banda de la frecuencia ωx es muy angosto comparado con el ancho debanda de ω0, esto debido a los valores de los parámetros escogidos en la simulación. Enel recuadro se muestra que el voltaje de modulación (líneas) y el voltaje en el varactor(puntos) tienen buen ajuste para una frecuencia de modulación Ω = 1.

29


3.3 Ondas Propagatorias

Ahora, se estudia el voltaje en el varactor en presencia de una onda viajera VN =V +vN .Debido al voltaje que se propaga vN , los voltajes de las celdas vecinas presentan unfactor de avance de fase vN±1 = vNe±ika siendo k el vector de onda y a el tamañode la celda unitaria. Las amplitudes de los voltajes satisfacen la siguiente condición|V | >> |vN |, por lo tanto, la capacitancia puede ser expandida en una serie de Tayloralrededor de VΩ en una aproximación lineal de la siguiente manera

C[VN ] =C[V ]+C′[V ]vN (3.5)

donde la prima implica diferenciación respecto al argumento. Reemplazado el voltajeVN y la aproximación lineal de la capacitancia en la derivada de Ec. 3.1 (para omitirel término Qx,N y utilizar IN), utilizando la carga en el capacitor QN = C[VN ]VN) ydespreciando los términos de mayor orden de vN ( |vN | << 1), es posible llegar a unaecuación diferencial de tercer orden lineal de forma

P(t)d3vdt3 +S(t)

d2vdt2 +T (t)

dvdt

+U(t)v = F(t) (3.6)

donde P(t), S(t), T (t), U(t) y F(t)1 son funciones periódicas en tiempo con periodo2π/Ω. Todas la funciones estan en términos de la capacitancia diferencial y de losparámetros de la línea de transmisión. Si los paramétros cumplen las condiciones dela Ec. 3.4, el voltaje V se puede aproximar a VΩ, por esta razón la función F(t) seanula. La Ec. 3.6 resultante se puede solucionar mediante el teorema de Bloch-Floquettemporal

v = v(ω, t)e−iωt (3.7)

donde la función v(ω, t) es una función periódica en tiempo y ω es la frecuencia an-gular característica de Bloch. La funciones v(ω, t), P(t), S(t), T (t) y U(t) pueden serexpandida en series de Fourier

v(ω, t) = ∑r

vr(ω)eirΩt , P(t) = ∑s

PseisΩt (3.8)

1K(ka) = [2L+2M cos(ka)], P = K(ka)C, S = 3dP/dt +K(ka)[G+1/RΩ]+RC, T = 3d2P/dt2 +2RdC/dt +R[G+1/RΩ]+1+C/Cx, U = d3P/dt3 +Rd2C/dt2 +[G+1/RΩ]/Cx +(1/Cx)dC/dt, F =−[2L + 2M]C[V ]d3V/dt3 −

[RC[V ] + 2[2L + 2M]dC[V ]/dt + [2L + 2M][G + 1/RΩ]

]d2V/dt2 −[

RdC[V ]/dt+R[G+1/RΩ]+1+[2L+2M]d2C[V ]/dt2+C[V ]/Cx]dV/dt−(1/Cx)[G+1/RΩ]V +([2L+

2M]/RΩ)d2VΩ/dt2 +(R/RΩ)dVΩ/dt +VΩ/(CxRΩ)

30


de forma que al reemplazarlas en la Ec. 3.7 se obtiene la siguiente ecuación de eigen-valores

∑r

[− i(rΩ−ω)3Ps−r− (rΩ−ω)2Ss−r + i(rΩ−ω)Ts−r +Us−r

]vr(ω) = 0 (3.9)

aquí los indices r, s corren sobre todos los enteros con un infinito número de ecuacionespara un infinito número de desconocidos vr(ω). Los coeficientes dependen implícita-mente del vector de onda ka, en consecuencia esta ecuación de eigenvalores determinala relación de dispersión ω(ka). Estudiando las propiedades de la Ec. 3.9, se puedenencontrar 3 simetrías básicas:

1) Simetría en frecuencia: si definimos γr(ω) = (rΩ−ω) y aumentamos n periodos,γr(ω+ nΩ) = (rΩ− (ω+ nΩ)) = ((r− n)Ω−ω) = γr−n(ω) obtenemos periodicidaden ω mediante el traslado del diagrama de bandas por medio de cualquier múltiplo en-tero de Ω.

2) Simetría espejo o inversión en frecuencia: si definimos ω1 = mΩ/2+ω y ω2 =mΩ/2−ω para m impar y realizamos γ∗−r+m(ω2) = −((−r+m)Ω− (mΩ/2−ω)) =−(−rΩ+mΩ/2+ω) = (rΩ−(mΩ/2+ω)) = γr(ω1) obtenemos inversión del diagra-ma de bandas respecto a cualquiera de las frecuencias ±Ω/2, ±3Ω/2, etc.

3) Simetría en el vector de onda: si aumentamos n periodos en el vector de onda obte-nemos K(ka+2πn) = K(ka).

3.3.1 Aproximación Red Vacia

Si la modulación es lo suficientemente pequeña, es posible realizar una aproximacióndonde existe variación temporal pero la amplitud de la modulación tiende a cero -aproximación de red vacia-. En este límite la capacitancia diferencial se aproxima aC[V ] = C0 (con todas sus derivadas iguales a cero), y además, todos los coeficientesde las funciones P, S, T , U de la Ec. 3.9 se reducen a un solo término P0, S0, T0, U0(Ps−r = P0δsr) llegando a la siguiente ecuación

−iP0(rΩ−ω)3−S0(rΩ−ω)2 + iT0(rΩ−ω)+U0 = 0 (3.10)

Usando la aproximación C0/Cx << 1 y despreciando todas la resistencias es posibleobtener la relación de dipersión normalizada de la red vacia usando los coeficientes P0,S0, T0 y U0

2

ω = rΩ±√

T0

P0, ω = r± 1

Ω

√1+ M

1+ M cos(ka)(3.11)

2K(ka) = [2L+2M cos(ka)], P0 = K(ka)C0, S0 = 0, T0 = 1, U0 = 0

31


donde se han usado las siguientes variables normalizadas ω = ω/Ω, Ω = Ω/ω0, ω0 =

1/√

C0[2L+2M], y M = M/L. El diagrama de bandas de la red vacia estará compuestopor réplicas de las bandas ubicadas en ω = r y ka = 2πn (con r y n números enteros)como resultado de la periodicidad en frecuencia ω y vector de onda ka en la relaciónde dispersión. Los límites superior e inferior de las bandas en ka = 0,±π se reducen a

ωka=0 = r± 1Ω, ωka=±π = r± 1

Ω

√1+ M1− M

(3.12)

Como se observa en la Ec. 3.12 las bandas dependen inversamente de la frecuenciade modulación normalizada Ω, en base a esto, se obtienen bandas angostas alejadasentre sí para valores grandes de Ω, y bandas anchas cercanas entre sí para frecuenciaspequeñas. El ancho de las bandas permitidas se puede hallar mediante la siguienteexpresión |ωka=±π− ωka=0| siendo posible tener bandas muy angostas (Ω >> 1) obandas muy anchas (Ω << 1).

Figura 3.4: Diagramas de bandas para: a) aproximación de red vacia con frecuencias de mo-dulación Ω = 6 (línea roja), 4 (verde), 3 (azul) y 2 (negro). b-j) tres amplitudes de modulación:red vacia m = 0 (línea negra), débil m = 0.2 (azul) y fuerte m = 0.5 (roja). El ancho de todaslas bandas depende inversamente de la frecuencia de modulación Ω. Parámetros iguales a laFig.3.3 con M = 0.6.

3.3.2 Diagrama de Bandas

En la Fig. 3.4 se muestra el diagrama de bandas para frecuencias y vector de onda com-prendidas entre 0 < ω/Ω < 1 y−2π < ka < 2π para diferentes valores de la frecuenciade modulación normalizada Ω = Ω/ω0. La aproximación de red vacia (m = 0) para 4frecuencias de modulación normalizadas Ω = 6 (línea roja), 4 (línea verde), 3 (líneaazul) y 2 (línea negra) se observa en la Fig. 3.4(a); en las demás Figs. 3.4(b-j) se hangraficado los diagramas de bandas para 3 valores de modulación: red vacia m = 0 (línea

32


negra), débil m = 0.2 (línea azul) y fuerte m = 0.5 (línea roja). En las simulaciones se

utilizó un valor de M igual a 0.6 de tal forma que√(1+ M)/(1− M) = 2. Las bandas

más significativas son generadas por los valores r = 0+ y r = 1− (donde los simbolos± corresponden a los signos de las raices de la Ec. 3.11); en el caso particular que r = 0y Ω = 1 el diagrama de bandas se reduce al caso estático.

Usando las Ecs. 3.12 para M = 0.6, el ancho de las bandas se reduce simplemente a|ωka=±π− ωka=0| = 1/Ω siendo posible obtener bandas angostas ( 1/6 para Ω = 6 enFig. 3.4(b)) hasta bandas muy anchas (10 para Ω = 0.1 en Fig. 3.4(j)). Cada una delas bandas se desplazan hacia ω = 0.5 a medida que la frecuencia Ω disminuye lle-gando a tocarsen en ka = ± para Ω = 4, como se observa en la Fig. 3.4(c); a partir deesta frecuencia las bandas se intersecan en diferentes valores de ka hasta intercambiarcompletamente de posición en Ω = 2, ocupando toda la zona graficada y eliminandola banda prohibida en frecuencia, ver 3.4(e). Para esta frecuencia las bandas se tocanúnicamente en ω = 0.5 y ka = 0,±2π. Si disminuimos la frecuencia aún más, debidoal desplazamiento, las bandas salen del rango 0 < ω < 1, pero son regresadas a la pri-mera zona haciendo un “tirón” mediante la suma y/o resta de un periodo (Fig. 3.4(f)).Finalmente, para Ω = 4/3 las bandas nuevamente se tocan en ω = 0.5 y ka = ±π yse elimina la banda prohibida en frecuencia; a partir de este valor de frecuencia no sevuelven a crear bandas prohibidas ni en frecuencia ni en el vector de onda y más bandasse entrelazan generando un patrón de intersecciones complejo como se ve en las Figs.3.4(g)-3.4(j). Para modulaciones débiles (línea azul) el diagrama de bandas es semejan-te a la aproximación de red vacia (línea negra) con excepción de que las bandas estanligeramente deplazadas y se crean bandas prohibidas en el vector de onda cuando dosbandas se intersecan. Para modulaciones grandes (línea roja) el desplazamiento de lasbandas es mayor y el comportamiento cambia cualitativamente, pero al igual que enla modulación débil se crean de bandas prohibidas en el vector de onda. El comporta-miento completo del diagrama de bandas se puede observar en la Fig. 3.6.

Cuando no existen pérdidas la velocidad de grupo se anulan en ka = 0 y ±π/2 en to-dos los diagramas de bandas, pero cuando las pérdidas son diferentes de cero se creanbandas prohibidas en el vector de onda en ka = 0 y ±π/2 eliminando parte de la bandadonde se anula la velocidad de grupo. La parte imaginaria del vector de onda propor-cional a las pérdidas (Fig. 3.5). El comportamiento completo del diagrama de bandascon pérdidas se muestra en la Fig. 3.7. Los diagramas de banda para la inductanciamutua negativa se obtienen desplazando en π/2 el vector de onda ka y se comportande manera análoga a la inductancia mutua positiva. Dependiendo del valor de m y de lafrecuencia de modulación es posible tener bandas prohibidas solamente en frecuenciaω, vector de onda ka, ω y ka o ninguna, como consecuencia, la línea de transmisión yano es exclusiva pasa banda sino que puede simular diferentes pasa baja y pasa alta.

33


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-π -0.5π 0 0.5π π

ω/Ω

Re(ka)

a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.5π -0.2π 0 0.2π 0.5πIm(ka)

a)b)

Figura 3.5: Diagrama de bandas para el modelo de la red vacia: a) Parte real sin pérdidas(línea naranja) y con pérdidas (línea negra). Bandas prohibidas son creadas en el vector deonda eliminando la banda donde la velocidad de grupo se anula. b) La parte imaginaria delvector de onda es proporcional a la pérdidas.

El estudio sobre la propagación de ondas en una línea de transmisión pasa banda di-námica realizado en el doctorado difiere del estudio realizado en la maestría en el si-guientes aspectos: en la maestría se utilizaron capacitores modulados implícitamente,es decir, no exiten fuentes de modulación externa que modifiquen la capacitancia, sinoque la variación de la capacitancia se realiza internamente. Para las simulaciones sesupuso una modulación periódica de la capacitancia de forma C(t) =C(t +T ), pero nose especificó la forma en que la modulación del capacitor era realizada, debido a esteenfoque no es posible obtener el comportamiento de la línea de transmisión en términosde la fuente de modulación. Este análisis es importante porque nos da las aproximacio-nes que los parámetros deben cumplir para obtener V (t) ∼= VΩ(t) y así poder obtenerlos diagramas de bandas. Otro aspecto diferencial es la amplitud de modulación: en lamaestría esta amplitud dependia de la aproximación líneal que se realizaba alrededordel voltaje promedio, la cual cambiaba a media que se cambiaba el voltaje promedio. Alincluir una fuente de modulación externa VΩ(t) es posible modificar este parámetro sincambiar el voltaje promedio permitiendo controlar la línea de transmisión sin cambiarningún valor de los elementos.

34


Figu

ra3.

6:D

iagr

ama

deba

ndas

con

R=

0,G=

0,M

=0.

6pa

ram

odul

acio

nes

m=

0(l

ínea

negr

a),m

=0.

2(l

ínea

azul

),m=

0.5

(lín

earo

ja).

35


Figu

ra3.

7:D

iagr

ama

deba

ndas

con

R=

0.1,

G=

0,M

=0.

6pa

ram

odul

acio

nes

m=

0(l

ínea

negr

a),m

=0.

2(l

ínea

azul

),m=

0.5

(lín

earo

ja).

36

Capítulo 4

Conclusiones

Se han estudiado oscilaciones localizadas y propagación de ondas en línea de transmi-sión pasa banda modulada periódicamente en tiempo. La variación temporal se realizamediante elementos no lineales como capactores dependientes de voltaje (varactores)en cada celda unitaria modulados en tandem por una fuente de voltaje armónica.

Se realizarón simulaciones númericas donde los efectos no lineales son predominantespara investigar el comportamiento de los modos intrínsecos localizados (ILM) median-te la inclusión de una impureza en una sola celda unitaria. Esta impureza se creó através de una variación porcentual en el valor de la inductancia o capacitancia encon-trando 3 regiónes definidas por dos valores umbrales en las cuales: 1) no se crea ningúnILM; 2) oscilaciones caóticas en el voltaje y 3) se crea un ILM estable. Se realizaronvariaciones de la resistencia serie y la frecuencia de modulación en presencia de unaimpureza obteniendo múltiples ILMs secundarios en sitios donde no existe impureza.Los ILMs se ubican simétricamente y en algunos casos ubicados a distancias igualesentre sí. También se examinó la interacción entre dos impurezas idénticas y dos impu-rezas distintas logrando crear ILMs en sitios de impureza si la distancia entre ellas eslo suficientemente grande. Para distancias menores a un límite, los dos ILMs se unenformando un solo ILM ubicado a mitad de distancia entre las impurezas.

Para amplitudes de modulación pequeñas donde los efectos lineales son despreciables,se obtuvieron las ecuaciones que describen la modulación temporal hallando las condi-ciones necesarias para que la capacitancia sea modulada por la fuente de modulación.Se encontró la relación de dispersión y los diagramas de bandas para diferentes valoresde modulación en aproximación débil y para modulaciónes fuertes. También se realizóuna aproximación donde existe variación temporal, pero la amplitud de la modulacióntiene a cero (aproximación de red vacia). Dependiendo de la frecuencia y de la ampli-tud de modulación es posible obtener bandas prohibidas únicamente en frecuencia ω,vector de onda ka, en frecuencia y vector de onda o ninguna banda prohibida.

37

4. Conclusiones

Trabajo Futuro

Realizar el análisis de estabilidad mediante los multiplicadores de Floquet a losILM encontrados mediante variación de la inductancia, capacitancia, resistenciay frecuencia de modulación.

Explorar aspectos como variaciones temporales y aleatorias de la inductancia Lp,capacitancia promedio C, resistencia R con el objetivo de reproducir los defectosde fabricación de los elementos.

Estudiar la propagación de ondas en presencia de ILMs en la línea de transmisiónpasa banda dinámica.

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Bibliografía

[1] A. J. Sievers and S. Takeno, “Intrinsic localized modes in anharmonic crystals,”Phys. Rev. Lett., vol. 61, pp. 970–973, Aug 1988.

[2] N. Boechler, G. Theocharis, S. Job, P. G. Kevrekidis, M. A. Porter, and C. Daraio,“Discrete breathers in one-dimensional diatomic granular crystals,” Phys. Rev.Lett., vol. 104, p. 244302, Jun 2010.

[3] E. Trías, J. J. Mazo, and T. P. Orlando, “Discrete breathers in nonlinear lattices:Experimental detection in a josephson array,” Phys. Rev. Lett., vol. 84, pp. 741–744, Jan 2000.

[4] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, D. A. Czaplewski, and H. G. Craig-head, “Observation of locked intrinsic localized vibrational modes in a microme-chanical oscillator array,” Phys. Rev. Lett., vol. 90, p. 044102, Jan 2003.

[5] R. Stearrett and L. Q. English, “Experimental generation of intrinsic localizedmodes in a discrete electrical transmission line,” Journal of Physics D: AppliedPhysics, vol. 40, no. 17, p. 5394, 2007.

[6] U. T. Schwarz, L. Q. English, and A. J. Sievers, “Experimental generation andobservation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromagnet,” Phys.Rev. Lett., vol. 83, pp. 223–226, Jul 1999.

[7] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, and J. S. Aitchison,“Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays,” Phys. Rev. Lett., vol. 81,pp. 3383–3386, Oct 1998.

[8] D. J. Frantzeskakis, G. Theocharis, F. K. Diakonos, P. Schmelcher, and Y. S. Kivs-har, “Interaction of dark solitons with localized impurities in bose-einstein con-densates,” Phys. Rev. A, vol. 66, p. 053608, Nov 2002.

[9] J. A. Baimova, S. V. Dmitriev, and K. Zhou, “Discrete breather clusters in strainedgraphene,” EPL (Europhysics Letters), vol. 100, no. 3, p. 36005, 2012.

39

BIBLIOGRAFÍA

[10] Y. Kinoshita, Y. Yamayose, Y. Doi, A. Nakatani, and T. Kitamura, “Selective ex-citations of intrinsic localized modes of atomic scales in carbon nanotubes,” Phys.Rev. B, vol. 77, p. 024307, Jan 2008.

[11] M. Peyrard, “Using dna to probe nonlinear localized excitations?,” EPL (Europhy-sics Letters), vol. 44, no. 3, p. 271, 1998.

[12] A. Xie, L. van der Meer, W. Hoff, and R. H. Austin, “Long-lived amide i vibra-tional modes in myoglobin,” Phys. Rev. Lett., vol. 84, pp. 5435–5438, Jun 2000.

[13] P. Binder, D. Abraimov, A. V. Ustinov, S. Flach, and Y. Zolotaryuk, “Observationof breathers in josephson ladders,” Phys. Rev. Lett., vol. 84, pp. 745–748, Jan2000.

[14] G. Theocharis, M. Kavousanakis, P. G. Kevrekidis, C. Daraio, M. A. Porter, andI. G. Kevrekidis, “Localized breathing modes in granular crystals with defects,”Phys. Rev. E, vol. 80, p. 066601, Dec 2009.

[15] E. S. Cassedy and A. A. Oliner, “Dispersion relations intime-space periodic me-dia: part i-stable interactions,” Proceedings of the IRE, vol. 51, no. 10, pp. 1342 –1359, 1963.

[16] M. Currie and R. Gould, “Coupled-cavity traveling-wave parametric amplifiers:Part i-analysis,” Proceedings of the IRE, vol. 48, no. 12, pp. 1960 – 1973, 1960.

[17] P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, “Generation of envelope and holesolitons in an experimental transmission line,” Phys. Rev. E, vol. 49, pp. 828–835,Jan 1994.

[18] P. Marquié, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, “Observation of nonlinear loca-lized modes in an electrical lattice,” Phys. Rev. E, vol. 51, pp. 6127–6133, Jun1995.

[19] L. Q. English, R. B. Thakur, and R. Stearrett, “Patterns of traveling intrinsic lo-calized modes in a driven electrical lattice,” Phys. Rev. E, vol. 77, p. 066601, Jun2008.

[20] W. Shi, S. Shige, Y. Soga, M. Sato, and A. J. Sievers, “Intrinsic localized modesin a nonlinear electrical lattice with saturable nonlinearity,” EPL (EurophysicsLetters), vol. 103, no. 3, p. 30006, 2013.

[21] Y. Man, N. Boechler, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, and C. Daraio, “Defectmodes in one-dimensional granular crystals,” Phys. Rev. E, vol. 85, p. 037601,Mar 2012.

[22] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, and H. G. Craighead, “Opticalmanipulation of intrinsic localized vibrational energy in cantilever arrays,” EPL(Europhysics Letters), vol. 66, no. 3, p. 318, 2004.

40

BIBLIOGRAFÍA

[23] M. Sato, B. E. Hubbard, and A. J. Sievers, “Colloquium,” Rev. Mod. Phys., vol. 78,pp. 137–157, Jan 2006.

[24] M. Sato, S. Yasui, M. Kimura, T. Hikihara, and A. J. Sievers, “Management oflocalized energy in discrete nonlinear transmission lines,” EPL (Europhysics Let-ters), vol. 80, no. 3, p. 30002, 2007.

[25] J. R. Reyes-Ayona and P. Halevi, “Observation of genuine wave vector (k or β) gapin a dynamic transmission line and temporal photonic crystals,” Applied PhysicsLetters, vol. 107, no. 7, p. 074101, 2015.

[26] J. R. Reyes-Ayona and P. Halevi, “Electromagnetic Wave Propagation in an Exter-nally Modulated Low-Pass Transmission Line,” IEEE Transactions on MicrowaveTheory Techniques, vol. 64, pp. 3449–3459, Nov. 2016.

[27] J. R. Zurita-Sánchez, P. Halevi, and J. C. Cervantes-González, “Reflection andtransmission of a wave incident on a slab with a time-periodic dielectric functionε(t),” Phys. Rev. A, vol. 79, p. 053821, May 2009.

[28] J. R. Zurita-Sánchez and P. Halevi, “Resonances in the optical response of a slabwith time-periodic dielectric function ε(t),” Phys. Rev. A, vol. 81, p. 053834, May2010.

[29] J. S. Martínez-Romero, O. M. Becerra-Fuentes, and P. Halevi, “Temporal photo-nic crystals with modulations of both permittivity and permeability,” Phys. Rev.A, vol. 93, p. 063813, Jun 2016.

[30] J. S. Martínez-Romero and P. Halevi, “Standing waves with infinite group velocityin a temporally periodic medium,” Phys. Rev. A, vol. 96, p. 063831, Dec 2017.

[31] L. Q. English, F. Palmero, A. J. Sievers, P. G. Kevrekidis, and D. H. Barnak,“Traveling and stationary intrinsic localized modes and their spatial control inelectrical lattices,” Phys. Rev. E, vol. 81, p. 046605, Apr 2010.

[32] F. Palmero, L. Q. English, J. Cuevas, R. Carretero-González, and P. G. Kevreki-dis, “Discrete breathers in a nonlinear electric line: Modeling, computation, andexperiment,” Phys. Rev. E, vol. 84, p. 026605, Aug 2011.

[33] L. Q. English, F. Palmero, P. Candiani, J. Cuevas, R. Carretero-González, P. G.Kevrekidis, and A. J. Sievers, “Generation of localized modes in an electrical lat-tice using subharmonic driving,” Phys. Rev. Lett., vol. 108, p. 084101, Feb 2012.

[34] A. L. Cullen, “A Travelling-Wave Parametric Amplifier,” vol. 181, p. 332, feb1958.

[35] U. Algredo-Badillo and P. Halevi, “Negative refraction and focusing in magneti-cally coupled l-c loaded transmission lines,” Journal of Applied Physics, vol. 102,no. 8, p. 086104, 2007.

41

BIBLIOGRAFÍA

[36] E. Shamonina, “Magneto-inductive waveguide,” Electronics Letters, vol. 38,pp. 371–373(2), April 2002.

[37] E. Shamonina, V. A. Kalinin, K. H. Ringhofer, and L. Solymar, “Magnetoinducti-ve waves in one, two, and three dimensions,” Journal of Applied Physics, vol. 92,no. 10, pp. 6252–6261, 2002.

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PHYSICAL REVIEW E 97, 022225 (2018)

Discrete breathers in an electric lattice with an impurity: Birth, interaction, and death

A. Gómez-Rojas* and P. Halevi†

Department of Electronics, Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (INAOE), Puebla, México 72840

(Received 18 September 2017; revised manuscript received 23 January 2018; published 28 February 2018)

We have simulated aspects of intrinsic localized modes or discrete breathers in a modulated lumped transmissionline with nonlinear varactors and a defect unit cell. As the inductance or capacitance of this cell is increased,a transition from instability to stability takes place. Namely, there exist threshold values of the inductance orcapacitance of a lattice impurity for a breather to be able to attach to. A resistive defect can also anchor a breather.Moreover, by either gradually lowering all the source resistances, or else increasing the modulation frequency,multiple secondary ILMs can be spontaneously generated at host sites (with only a single inductive or capacitivedefect). Further, if two impurities are subcritically spaced (the separation increasing with the amplitude of themodulation voltage), a breather can pop up midway, with no breathers at the impurity sites themselves. Finally,an ILM can pull closer its neighbors on both sides, only to perish once these ILMs have gotten sufficiently close.To our knowledge, these effects have not been reported for any discrete nonlinear system.

DOI: 10.1103/PhysRevE.97.022225

I. INTRODUCTION

Intrinsic localized modes (ILMs) or discrete breathers (DB)are vibrations that are localized in space and periodic intime, a result of nonlinear interaction between elements on aspatially periodic lattice. Many such systems have been studiedsince the original proposal by Sievers and Takeno [1] threedecades ago: granular crystals [2], superconducting Josephsonunions [3], michromechanical arrays [4], electric arrays [5],antiferromagnets [6], optical waveguides [7], Bose-Einsteincondensates [8], graphene [9], carbon nanotubes [10], DNA[11], and biopolymers [12].

Defects or impurities of the system play a crucial role: theycan generate and destroy ILMs, can attract them and repelthem, and bring on their segmentation. These effects wereobserved in various systems, although only in some of themcan the impurity be readily manipulated. Thus Theocharis et al.[13] and Man et al. [14] studied the formation of ILMs ingranular crystals, demonstrating that a defect is essential totheir creation, that they are robust, and that they can be easilygenerated over an ample range of initial conditions. Sato et al.[15,16] showed that a defect in a micromachined cantileverarray can create, destroy, attract, and repel an ILM. It also wasdemonstrated [17] that the aforementioned interactions can beachieved in an electric lattice, with an inductor, capacitor, orresistor serving as impurity.

In this paper, the model and calculations are based on acircular transmission line (TL) of 32 cells, where the discrete-ness is represented by a lumped band-pass transmission line(TL) and the nonlinearity is produced by voltage-dependentcapacitors (varactors) in each unit cell of the TL; see Fig. 1 (amodel introduced by Palmero and collaborators [18,19]). Thevaractors in each unit cell are modeled by a nonlinear capac-itance C(VN ) and a nonlinear resistance R(VN ) connected in

*[email protected]†[email protected]

parallel; the latter is not shown in Fig. 1. The capacitance isdefined as

C(VN ) =Cv + Cw(V ′) + C(V ′)2 for VN Vc

C0e−αVN for VN > Vc

, (1)

where V ′ = (VN − Vc), Cv = C0e−αVc , Cw = −αCv , and

C0 = 788 pF, α = 0.456 V−1, C = 100 nF, Vc = −0.28 V[18]. The resistance is given by R(VN ) = eβVN /(βIs), withβ = 38.8 V−1 and Is = 1.25 × 10−14 A [18]. The harmonicsource voltages Vd (t) of frequency fd and amplitude Vd areidentical in the 32 unit cells.

We are interested in the voltages VN seen by the varactorsin each of the 32 cells when there is an increase δL of theinductance LN in a single impurity cell (chosen as N = 18).The VN are obtained as solutions of two coupled, nonlineardifferential equations for VN and the current iLN

through theinductor LN at least 250 periods fdt after the driving sourcesVd (t) have been switched on; this ensures that we are past the

1234

56

78910111213141516171819

2021222324252627

2829

303132 L1

Vd(t)

R

VN

C(VN )

Rl

LN

(a) (b)

FIG. 1. (a) Circular lumped band-pass transmission line; 32 suchcells, with nonlinear varactors C(VN ) fed by harmonic voltagesVd (t) = Vd sin(2πfdt) are connected by inductances L1. The largerdot represents a defect unit cell. (b) In this “general” unit cell, theinductance LN is given by L2 in all unit cells except the cell N = 18,where it has some increment δL2 as defined following Eq. (2). Ourparameter values are L1 = 680 μH, L2 = 330 μH, R = 10 k,Rl = 20 k, C0 = 788 pF (Diode varactor NTE 618), Vd = 3 V.

2470-0045/2018/97(2)/022225(5) 022225-1 ©2018 American Physical Society

A. GÓMEZ-ROJAS AND P. HALEVI PHYSICAL REVIEW E 97, 022225 (2018)

0.8

1.2

1.6

2.0

-0.20 0 0.20 1.0

-0.6

-0.4

-1.0

1

2

-0.01 0 0.01

0.23

(a)

V18,19,20[Volts]

Percentage increase of inductance L2

-0.007

10 20 30

(b)

Unit Cell1

FIG. 2. (a) Maximum and minimum varactor voltages V18, V19(=V17), and V20(=V16) of the perturbed unit cell 18, its nearest neighbors 17and 19, and next nearest neighbors 16 and 20 as a function of the percentage increase of the inductance L2. Calculated at a time t = 250/fd

after switch-on (at t = 0) of the modulation source. The arrow indicates a transition from instability to stability at δL2 equal to 0.23% of L2.The parameters are listed in the caption of Fig. 1 and fd = 268 kHz. The inset zooms in on the region of very small change of δL. The arrow inthe inset indicates a transition from unperturbed to unstable oscillations for δL2 equal to −0.007% of L2. (b) Maximum and minimum voltagesVN in each of the 32 unit cells of the TL for an increase of the inductance L2 in cell 18 greater than 0.23%. This breather has a width of aboutseven cells.

transitional period of the TL:

C(VN )dVN

dt= Vd (t)

R−

(1

R+ 1

Rl

)VN − ID(VN ) + iLN

,

diLN

dt= 1

L1(VN+1 + VN−1 − 2VN ) − VN

LN

. (2)

These equations differ from the corresponding ones inRefs. [18,19] only by the replacement of the inductance L2

in the defect cell 18 by L2 + δL2 ; namely, here LN = L2 +(δL2 )δN,18, δL2 is the increment of the inductance L2, and δN,18

is a Kronecker delta. Here ID(VN ) is the current through theN th cell’s diode.

II. THRESHOLD FOR CREATING A BREATHER: ANINSTABILITY-STABILITY TRANSITION

Figure 2(a) displays a numerical simulation of the succes-sive (percentage) increase of the inductance L2 in a single unitcell (numbered “18”). This can give rise to three distinctivepossibilities for the voltage in this cell (V18) and its nearest(V17 = V19) and next nearest (V16 = V20) neighbors. Below athreshold value—actually negative, i.e., impurity LN=18 < L2

of the host cells—nothing happens: the voltages at VN retaintheir unperturbed values in all the unit cells. Beyond this thresh-old and up to a second threshold, unstable oscillations takeplace; the voltages at the impurity site and a few neighboringcells are “titubating” between their unperturbed values andfinal values provoked by the local perturbation. At the secondthreshold the breather is created and remains unchanged withfurther increases of L2; Fig. 2(b) shows the permanent maximaand minima of VN in all the cells. It is important to notethat the entire process corresponding to Fig. 2(a) is reversible;namely, it also applies when δL2 in the cell 18 is reduced from>1% to < −1%. Moreover, we verified that a perturbation of0.1% of one of the parameters (fd , Vd , R, or Rl) leaves the

ILM essentially unaltered. This behavior and the reversabilitysuggest that the breather is robust.

The development of a breather with increase of a defectparameter can be qualitatively different from Fig. 2. Thus, ifthe modulation amplitude Vd is increased from 3 V to 4 Va breather will be produced abruptly for an arbitrarily smallincrease of L2; chaotic oscillations are avoided. A furtherincrease to 5 V gives rise to a gradual transition with δL2 tothe final values of V18,19,20. It is also possible to produce anILM by altering the average capacitance C0 of the varactors,although the thresholds are larger in magnitude: a decrease of0.2% (vs 0.007% for the inductance) for the onset of chaoticoscillations and an increase of 6% for creating a breather.

III. CREATION OF ILMs BY PARAMETER VARIATIONS

A. Resistive

Surprisingly, a breather can be produced not only by meansof a capacitive or inductive impurity (as in Fig. 2), but alsoby means of a resistive impurity. Numerically simulating thereduction of the resistance in series R in a single cell to 8 k—a20% reduction with respect to the rest of the TL—createsan ILM of amplitude 1.98 V at the same site. Reducing R

further can increase the amplitude up to 2.4 V. It is alsopossible to generate resistively multiple ILMs by a gradualreduction of R in all the unit cells. The process is shown inFig. 3, with an inductive impurity as “anchor” in a single unitcell (18). If R is even slightly greater than the backgroundresistance of 10 k, no breather is created, 10 k being thethreshold value for which it appears at the impurity site. AsR is successively reduced, one, two, three, and four additionalILMs are formed—although there is only a single impurity inour TL. For R = 6.83 k there are five breathers, of whichonly one persists in cell 18. The ILMs are evenly spaced whenpossible (for the 32-cell TL), namely, when there are eithertwo of four. For three or five ILMs the separations are stillapproximately the same. It is seen that the breathers are either

022225-2

DISCRETE BREATHERS IN AN ELECTRIC LATTICE … PHYSICAL REVIEW E 97, 022225 (2018)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

R = 10.10 kΩ (a) R = 10.00 kΩ (b) R = 9.90 kΩ (c)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

R = 9.80 kΩ (d) R = 9.10 kΩ (e) R = 8.73 kΩ (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

R = 7.60 kΩ (g) R = 6.97 kΩ (h) R = 6.83 kΩ (i)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

Unit Cell

R = 5.50 kΩ (j)

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

R = 5.00 kΩ (k)

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

R = 2.00 kΩ (l)

FIG. 3. Maximum and minimum varactor voltages VN in the32 unit cells of the TL as a function of the source resistance R.For R = 10 k the same ILM is obtained as in Fig. 2(b), all theparameters being identical (including the inductive impurity in cell18). The more R is reduced (in all the cells) the more breathers areproduced—up to a total of five. Note that all but one of these arelocated at sites without impurities (N = 18). The animation Fig. Aof the Supplemental Material [20] shows how the breather structurechanges upon continuous variation of R.

“onsite” (peaked at a single cell site) or “intersite” (with equalmaximum amplitudes at two neighboring sites). Dependingon the resistance interval, the breathers are either all onsiteor mixed onsite and intersite. Further decrease of R graduallyattenuates the oscillations, the maximum and minimum valuesof VN ultimately becoming identical in all the cells.

B. The modulation frequency

In this simulation we scanned the modulation frequencyfd in a wide range, obtaining spontaneous creation of ILMsbetween 267.88 and 346.28 kHz and no ILMs outside thisrange. The most interesting aspects of this process are seenin Fig. 4. The first breather appears for fd = 267.88 kHz atN = 18 [as in Fig. 2(b)], and everything remains unaltered aslong as fd < 268.032 kHz. At fd = 268.032 kHz a secondILM is spontaneously born at the site N = 2, although thereis no impurity at this site! As fd is further increased, atfd = 268.43 kHz the breather at N = 2 initiates a spontaneousprocess of division into two breathers. After a brief transitioninterval fd , the “daughter breathers” are centered in cellsN = 7 and 29, situated symmetrically with respect to the“mother breather” at a distance of five cells on either side;see Fig. 4(a). As we keep increasing fd , nothing happensuntil fd = 271.4 kHz, at which frequency the two ILMs startrepelling each other, to stabilize in the cells N = 9 and 27;see Fig. 4(b). Then, astonishingly, the breather at N = 2reappears for fd = 271.6 kHz! By now we have breathers infour cells, that upon still higher modulation frequency undergoa second division, culminating with five breathers, of whichonly one is onsite (at the N = 18 impurity), while the othersare intersite. The current IN behaves completely analogously.The entire process is reversible; namely, it can be initiated onthe high-frequency side, gradually decreasing fd . We note thatan increase of the amplitude Vd displaces to lower values thefrequencies fd at which the transitions occur.

IV. BREATHER INTERACTION

In Fig. 5 we simulate numerically two identical impuritieswith a 1% increase of L2, one fixed at N = 18 (blue lines)and the other being moved from cell to cell (red lines). Ata large separation [13 cells, as in Fig. 5(a)] two ILMs getanchored to the impurities, as can be expected, and havenearly the classical shapes of Fig. 2(b). As the separationis gradually reduced from 12 to nine cells [Figs. 5(b)–5(e)],the ILMs become increasingly more “aware” of each others’vicinity, their sharp peaks suffering asymmetric distortions. Asthe separation is further reduced to eight cells [see Fig. 5(f)]something surprising happens: The two original breathers have

15

101520

(a)

268 268.5 269fd kHz

25

30UnitCell

(b)

270 271 272 273 274fd kHz

0.60.81.01.21.41.61.82.02.2

(c)

295 295.5 296 296.5fd kHz

FIG. 4. Spontaneous creation of ILMs with increase of the modulation frequency fd , from one to two to three ILMs in (a), then a fourthILM in (b), and finally five ILMs in (c). The values of the voltages VN are indicated by their color, according to the side bar. Parameters as inFig. 1. In Fig. B of the Supplemental Material [20] we visualize the creation of these breathers, including transitions and changes in line shapethat they undergo in the interval 267.5–358.0 kHz.

022225-3

A. GÓMEZ-ROJAS AND P. HALEVI PHYSICAL REVIEW E 97, 022225 (2018)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

5 (a) 6 (b) 7 (c)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

8 (d) 9 (e) 10 (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

VN

[Volts]

11 (g) 12 (h) 13 (i)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

Unit Cell

26 (j)

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

27 (k)

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

28 (l)

FIG. 5. Two identical inductive impurities can anchor two identi-cal breathers if their separation is at least nine cells. If the separationis eight or less cells, only a single breather is created midway betweenthe impurities. Parameters as in Fig. 1 and fd = 268 kHz. See Fig. Cof the Supplemental Material [20] for animation of this process.

disappeared and a single, classical breather has materializedmidway—at the site N = 14, where there is no impurity! This“merger” persists as the mobile impurity is brought nearer andnearer to the fixed impurity, although the peak of the ILMremains sharp only if the two impurities are separated by aneven number of cells, as in Fig. 5(h). For an odd number, thebreather becomes flat, with equal VN in the two neighboringcentral cells; see Figs. 5(g) and 5(i). As the mobile impuritymoves farther and farther to the other side of the fixed one, thesituation is reversed symmetrically; thus Fig. 5(j), 5(k), and 5(l)are identical, respectively, to 5(f), 5(e), and 5(d). We concludethat two breathers can exist only if their separation is at leastnine unit cells; for less than that, they merge into a singlebreather, so strong is the attraction between them. Needlessto say, this behavior depends on the choice of varactor andparameter values; for example, if the impurity inductances aremore than 1.14% greater than the host inductances, then thesingle breather in Fig. 5(f) will give way to two breathers at theimpurities. Also, if Vd increases to 4 V (5 V), the merger occursat a separation of nine (10) or fewer cells; thus, the greater isVd , the greater becomes the attraction between the ILMs.

Now, consider two different impurities: the former inductiveand stationary at site 18 and a mobile capacitive impurity witha 7% increase of the average capacitance C0. It turns out thatthe behavior is completely analogous to Fig. 5, except that, fora separation of eight or fewer cells, the ILM is rather “wide,”

15101520

0.60.81.01.21.41.61.82.02.2

0 50 100 150 200 250Number of modulation periods

2125

30UnitCell

FIG. 6. Development of ILMs as function of number of periodsfdt , with fd = 272.5 kHz, after the modulation sources have beenswitched on. The breather at N = 2 attracts the two neighboringbreathers until a point of closest approach. This attraction is, however,“fatal,” for the breather at N = 2 “perishes” in the process. Parametersas in Fig. 1. This process is animated in Fig. D of the SupplementalMaterial [20].

although it loses width as it is more and more squeezed betweenthe two impurities.

V. ATTRACTION RESULTING IN ANNIHILATION

For select values of the modulation frequency, the temporaldevelopment of the voltages VN can be rather exotic, as inFig. 6 for fd = 272.5 kHz. Here the numerical simulationis performed as function of time. For the first 25 periodsafter switching on the modulation sources, the behavior ischaotic. Eventually, three ILMs appear at N = 2, 9, and 27,in addition to N = 18, which is the only impurity site. Whilethey are symmetrically situated, they are not equidistant. Astime progresses, the breather at N = 2 attracts the neighboringbreathers at N = 9 and 27, until they are only three cells distantafter 135 periods. However, this is a “suicidal act,” for thebreather at N = 2 expires. Liberated from the attraction, theneighboring breathers recede, although they don’t recover theinitial separation of 18 cells. The entire spontaneous transitionfrom three to two breathers (ignoring the “inert” breather atN = 18) lasts 60 periods. It is intriguing that this behavioris reminiscent of Fig. 4(b) in reverse, although there fd ,rather than fdt (with constant fd ) is varied. If the modulationfrequency is decreased from about 273 to 271 kHz, “fatalattration” also occurs! The explanation: because fdt = constin Fig. 4, the time t is increasing in both cases. We note thatbehavior comparable to Fig. 6 is also obtained for fd = 268.46and for 297.0 kHz, although there transitions, respectively,from three to two and from five to four ILMs occur, ratherthan from four to three.

VI. CONCLUSION

We found that a gradual increase of the inductance orcapacitance in a single “defect unit cell” can propitiate atransition from unstable oscillations to a stable breather; seeFig. 2. For appropriate threshold values, ILMs can attach notonly to inductive or capacitive impurity sites, but to resistiveimpurities as well. And they come not only in the classical,symmetric, onsite form [as in Fig. 2(b)], but also in distorted,

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DISCRETE BREATHERS IN AN ELECTRIC LATTICE … PHYSICAL REVIEW E 97, 022225 (2018)

asymmetric forms [as in Fig. 5(e)] and intersite form [as inFig. 3 with R = 9.1 k]. Most intriguingly, provided that thereexists an impurity at a single lattice site, breathers can appearspontaneously at other (off-impurity) sites (as in Figs. 3–6).Indeed, we found as many as four such additional breathersfor appropriate values of the source resistance; see Fig. 3.Such secondary breathers can multiply if the resistance islow enough or if the modulation frequency is high enough(as in Fig. 4). If two impurities are close enough (eight cellsat most for our parameters) an ILM can pop up midwaybetween these impurities—with no ILMs at the impurity sitesthemselves [as in Figs. 5(f)–5(j)]! Most exotic is the case ofattraction resulting in annihilation (Fig. 6) where a breatherdisappears upon attracting two neighboring breathers closeenough.

All this raises numerous questions: Is it possible to interpretthis appearance and disappearance of ILMs in terms of currentsand voltages and performance of the varactors in relevant unit

cells of the TL? How can two breathers—actually voltages ina TL in our paper—attract each other? Can this be generalizedto apply to other nonlinear lattices as well? Do our results holdqualitatively if a statistical distribution of components is takeninto account, as befitting commercial inductors, varactors,and resistors? Does the exotic breather behavior reportedhere have analogies in other systems with nonlinear lattices,such as granular crystals, micromechanical arrays, etc.? Mostimportantly, are our breathers robust and are our findingssupported experimentally?

ACKNOWLEDGMENTS

We are grateful to Prof. Faustino Palmero for helpfulcorrespondence and to Prof. Roberto Reyes-Ayona for usefulcomments. A.G.-R. and P.H. also acknowledge the CONACyTGrants No. 377296 and No. 103644-F, respectively.

[1] A. J. Sievers and S. Takeno, Phys. Rev. Lett. 61, 970 (1988).[2] N. Boechler, G. Theocharis, S. Job, P. G. Kevrekidis, M. A.

Porter, and C. Daraio, Phys. Rev. Lett. 104, 244302 (2010).[3] E. Trías, J. J. Mazo, and T. P. Orlando, Phys. Rev. Lett. 84, 741

(2000).[4] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, D. A. Czaplewski,

and H. G. Craighead, Phys. Rev. Lett. 90, 044102 (2003).[5] W. Shi, S. Shige, Y. Soga, M. Sato, and A. J. Sievers, Europhys.

Lett. (EPL) 103, 30006 (2013).[6] U. T. Schwarz, L. Q. English, and A. J. Sievers, Phys. Rev. Lett.

83, 223 (1999).[7] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, and

J. S. Aitchison, Phys. Rev. Lett. 81, 3383 (1998).[8] D. J. Frantzeskakis, G. Theocharis, F. K. Diakonos, P.

Schmelcher, and Y. S. Kivshar, Phys. Rev. A 66, 053608(2002).

[9] J. A. Baimova, S. V. Dmitriev, and K. Zhou, Europhys. Lett.(EPL) 100, 36005 (2012).

[10] Y. Kinoshita, Y. Yamayose, Y. Doi, A. Nakatani, and T. Kita-mura, Phys. Rev. B 77, 024307 (2008).

[11] M. Peyrard, Europhys. Lett. (EPL) 44, 271 (1998).

[12] A. Xie, L. van der Meer, W. Hoff, and R. H. Austin, Phys. Rev.Lett. 84, 5435 (2000).

[13] G. Theocharis, M. Kavousanakis, P. G. Kevrekidis, C. Daraio,M. A. Porter, and I. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 80, 066601(2009).

[14] Y. Man, N. Boechler, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, and C.Daraio, Phys. Rev. E 85, 037601 (2012).

[15] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, and H. G.Craighead, Europhys. Lett. (EPL) 66, 318 (2004).

[16] M. Sato, B. E. Hubbard, and A. J. Sievers, Rev. Mod. Phys. 78,137 (2006).

[17] M. Sato, S. Yasui, M. Kimura, T. Hikihara, and A. J. Sievers,Europhys. Lett. (EPL) 80, 30002 (2007).

[18] F. Palmero, L. Q. English, J. Cuevas, R. Carretero-González, andP. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 84, 026605 (2011).

[19] L. Q. English, F. Palmero, P. Candiani, J. Cuevas, R. Carretero-González, P. G. Kevrekidis, and A. J. Sievers, Phys. Rev. Lett.108, 084101 (2012).

[20] See Supplemental Material at http://link.aps.org/supplemental/10.1103/PhysRevE.97.022225 for animations that correspond toFigs. 3–6.

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AES 2018 CONFERENCE, ROUND-TRIP MARSEILLE CRUISE, JUNE 24 – JULY 1, 2018

Exotic properties of Intrinsic Localized Modes (Discrete Breathers) in atransmission line in the microwave regime

A. Gomez-Rojas∗ and P. Halevi

Department of Electronics, Instituto Nacional de Astrofısica, Optica y Electronica (INAOE), Puebla, Mexico 72840*corresponding author, E-mail: [email protected]

AbstractWe have studied Intrinsic Localized Modes (ILM) or Dis-crete Breathers (DB) in a lumped, band-pass transmissionline with nonlinear capacitors (varactors) that are periodi-cally modulated in time. We found that is possible to createbreathers that are localized at an impurity lattice site by in-creasing sufficiently the inductance or average capacitancein the unit cell at that site; the details of this process dependon the modulation amplitude. Also, for certain values of themodulation frequency, as well as values of the series resis-tance, multiple breathers can be created, only one of whichcoincides with the impurity site. Moreover, if two impuri-ties are separated by eight or less cells, it is possible for abreather to appear in an intermediate host unit cell, ratherthan at the impurity sites themselves. Finally, for certainvalues of the modulation frequency, the system can evolvein time in such a way that new breathers pop up, while oth-ers cease to exist.

1. IntroductionMore than three decades ago Sievers and Takeno [1] pro-posed that the interaction between nonlinearity and discrete-ness in a spatially periodic lattice can produce vibrationsthat are localized in space and periodic in time, known asIntrinsic Localized Modes or Discrete Breathers. Since thattheoretical work the breathers have been extensively stu-died and found in systems as diverse as: granular crystals[2], superconducting Josephson unions [3], electric arrays[4], michromechanical arrays [5], antiferromagnets [6], op-tical waveguides [7], graphene [8], Bose-Einstein conden-sates [9], carbon nanotubes [10], and DNA [11].

The behavior of discrete breathers can be significantlyaffected by defects or impurities. The interaction betweenimpurities and breathers has been investigated in varioussystems [12, 13, 14, 15]. In these studies it has been proventhat a defect is essential to their creation, that they are ro-bust, and that they can be easily generated over an amplerange of initial conditions in granular crystals. Also, inMEMs, breathers can be created, destroyed, attracted, andrepelled, as in electrical lattices, with an inductor, capacitoror resistor acting as an impurity. While these investigationsare concerned with the formation, manipulation and inter-action of breathers due to an impurity, these aspects havenot yet been fully explored.

This paper is structured as follows. In the following

section we briefly describe the transmission line studied.Then, in Sec. 3 we study the voltage VN (t) of a particu-lar “defect unit cell” and its nearest neighbors due to smallvariations of its inductance or capacitance for two valuesof the driving voltage. In Sec. 4 we investigate the forma-tion of multiple breathers as a consequence of variation ofthe modulation frequency. Sec. 5 concerns the interactionbetween two breathers, one of which was created at a sitewith an inductive impurity, the other at a capacitive impu-rity. Sec. 6 deals with a situation where attraction betweentwo breathers results in their annihilation. Finally, in Sec.7 we summarize our findings and present some possible di-rections for future research.

2. Transmission line

1234

56

78910111213141516171819

2021222324252627

2829

303132 Ls

Vd(t)

R

VN

C(VN )

Rl

LN

(a) (b)

Figure 1: (a) Transmission line with non-linear varactorsC(VN ) fed by harmonic voltages Vd(t) = Vd sin(2πfdt).The larger dot in cell 18 represents a defect unit cell, whereeither the inductance in parallel Lp or the average capaci-tance C is slightly different. (b) Unit cell where the induc-tance LN has the same value Lp in all unit cells except thecell N = 18, where it has some increment δLp

. Our pa-rameter values are: Ls = 680 µH, Lp = 330 µH, R = 10kΩ, Rl = 20 kΩ, C = 788 pF (Diode varactor NTE 618),Vd = 4 V.

In Fig. 1 we show a discrete (lumped), nonlinear, band-pass transmission line of 32 cells with voltage dependentcapacitors (varactors) in each unit cell fed by uniform, har-monic modulation sources Vd(t) (a model introduced byPalmero and collaborators [16, 17]). The capacitance andresistance models are defined in [16]. We have created animpurity by increasing the inductance only in cell 18 andwe have studied the nodal voltages VN experienced by thevaractors in each of the 32 cells. All the voltages were ob-tained by numerical solutions of two coupled, non-linear

0.81.21.62

2.4

-0.6

-0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

1

2

-0.01 0 0.01

V18,19,20[Volts]

(a) Vd = 4V

Percentage increase of Lp

-1 -0.5 0 0.5 1

1

2

-0.01 0 0.01

(b) Vd = 5V

Percentage increase of Lp

10 20 30

Vd = 4VVd = 5V

(c)

Unit cell number1

Figure 2: Nodal voltages VN (t) for the cells 18, 19 and 20 as function of the percentage increase of the inductance Lp in thecell 18 after a time t = 250/fd. (a) For a modulation amplitude Vd = 4V it is possible to create a breather by increasing theinductance, following an abrupt transition of the voltage. (b) For Vd = 5V the transition around δLp

= 0 is gradual and thevoltage difference between cell 18 and its neighbors is smaller. The voltages reach saturation for δLp > 3%. (c) Maximum andminimum voltages VN in each of the 32 unit cells for an increase of 1% in the inductance Lp only in cell 18, corresponding tothe cases (a) and (b). These breathers have a width of about five cells. Parameters as in Fig. 1.

differential equations for VN and the current iLNthrough

the inductor LN at least 250 periods fdt after the drivingsources Vd(t) have been switched on; this ensures that weare past the transitional period of the transmission line. Theinitial values (at t = 0) of all the VN (t) and iLN

(t) are 0.

C(VN )dVN

dt=

Vd(t)

R−

(1

R+

1

Rl

)VN − ID(VN ) + iLN

diLN

dt=

1

Ls(VN+1 + VN−1 − 2VN )− VN

LN(1)

Here LN = Lp+(δLp)δN,18, where δLp is the increment ofthe inductance Lp (exclusively in the cell 18), and δN,18 isa Kronecker delta. The ID(VN ) is the current through theN ’th cell’s diode.

3. Thresholds for creating a breatherIn Fig. 2 we observe the voltages VN obtained from nu-merical simulation of the successive (percentage) increaseof the inductance Lp in a single unit cell (numbered “18”)in a range of -1% (decrease) to 1%. All voltages were cal-culated at a time t = 250/fd after switch-on (at t = 0) ofthe modulation source. They are all symmetric with respectto cell 18, namely V17 = V19, V16 = V20, and so on. Forboth values of the chosen modulation amplitudes, Vd = 4Vand Vd = 5V, if Lp is decreased (negative δLp

) the voltagesremain unchanged in all the unit cells, so no breather is cre-ated. On the other hand, by increasing Lp with respect tothe host values, breathers appear for both cases of Vd, asseen in Figs. 2(a) and (b). Fig. 2(c) shows the permanentmaxima and minima of VN in all the cells; note that onlythe voltages in cells 17-19 differ greatly from the host val-ues. If a variation is performed in the opposite direction(from 1% to -1%), the same behavior is obtained, namely,the process is reversible. Moreover, we have verified that aperturbation of 0.1% of one of the parameters (fd, Vd, R,

or Rl) leaves the breathers essentially unaltered. Also notethat the amplitude of the breather for Vd = 4V is greaterthan for Vd = 5V.

For a modulation voltage Vd = 3V, the variation ofVN (t) is qualitatively different from that graphed in Fig.2. Here, there are 3 well differentiated regions: δLp

<−0.007% where all the voltages of the 32 cells are equal (asfor δLp

< 0 in Fig. 2). Between this threshold and up to asecond threshold (δLp = 0.23%), unstable oscillations takeplace; the voltages oscillate chaotically at the impurity siteand a few neighboring cells between their unperturbed val-ues and final values provoked by the local perturbation. Af-ter this second threshold, the created breather is stable andremains unchanged even for very large impurity increases.Finally, it is also possible to produce a breather by alteringthe average capacitance C of the varactors, although thethresholds are larger in magnitude: a decrease of 0.2% (vs.0.007% for the inductance) for the onset of chaotic oscilla-tions and an increase of 6% for creating a breather.

4. Generation of multiple breathers

Now, we have varied the modulation frequency fd in a widerange obtaining up to 6 breathers only between 267.8 and365.5 kHz. A zoom between fd = 267 to 276 kHz canbe observed in Fig. 3. Here, there is an impurity of 10%in the average capacitance (instead of the inductance) incell 18. The first breather appears in the perturbed cell18 for fd = 267.9 kHz, remains unchanged over a shortfrequency range up to fd = 260.03 kHz where a secondbreather spontaneously emerges in cell 2 (no impurity site).As the frequency increases, the breather in cell 2 sponta-neously divides into two breathers that are symmetricallylocated in the cells 7 and 29. However, they don’t hold outfor long, collapsing into a single breather in cell 2. Aftera short frequency range, again, there is a separation of thebreather in cell 2 into two breathers in the same cells as be-

2

15

10

15

20

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

268 270 272 274 276

fd kHz

25

30UnitCell

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Figure 3: Spontaneous creation and collapse of breatherswith increase of the modulation frequency fd, from oneto two, two to one, one to two again and then to threebreathers. The values of the voltages VN are indicated bytheir colour, according to the side bar. Parameters as in Fig.1.

fore. This whole process of division and collapse occurs ina short range of frequencies from fd = 268.2 to 269.7 kHz.For further increase of fd, the two breathers are attracted toeach other and get close enough to create a breather in cell2; then they are repelled to occupy new sites. This givesrise to four equidistant breathers. The process of divisionis repeated twice more (beyond the frequency range in Fig.3), each time generating new breathers, until a total of sixoccupy symmetrical positions in the transmission line. Theonly breather that remains unchanged is the one generatedin the impurity cell 18. The current iLN

behaves completelyanalogously. If we apply the procedure in the reverse direc-tion (gradually decreasing fd) we obtain the same behavior,namely, the entire process is reversible.

Up to five breathers can also be produced by varying theresistence R of all cells from 2 to 10 kΩ with only a singleinductive impurity (δLp

= 1%) in cell 18; no breathers areproduced outside this resistence range. The breathers arecreated consecutively, namely, first one, then two, and soon; some of them are “onsite” (peaked at a single cell site),while others are “intersite” (with equal maximum ampli-tudes at two neighboring sites). The breather at the impu-rity site remains unaltered, while the other breathers changeshape and place depending on the value of the resistance.

5. Breather interactionWe have simulated the interaction of two different breathers:one at a fixed site with 1% increase of Lp (blue line) and theother “mobile” with a 10% increase of its average capaci-tance C (red line) that is moved consecutively from cell tocell through the entire transmission line. For a large sepa-ration, as in Fig. 4(a), two independent, classically shapedidentical breathers are created at the impurity sites. How-ever, as the moving impurity approaches the cell 18 eachbreather “feels” the presence of the other and the line shapes

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

2 (a)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

6 (b)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

9 (c)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

10 (d)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

11 (e)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30

12 (f)

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.02.4

1 5 10 15 20 25 30

VN

[Volts]

Unit Cell

13 (g)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

14 (h)

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

1 5 10 15 20 25 30Unit Cell

18 (i)

Figure 4: Interaction between a fixed inductive breather(blue line) and a mobile capacitive (red line) one. Breathersare created at both impurity sites if their separation is largeenough, otherwise a single breather with a variable width isgenerated near the impurity located in cell 18. Parametersas in Fig.1.

become slightly modified, see Fig. 4(b)-(c). When the sep-aration of the impurities is less than or equal to eight cells,the two breathers collapse into a single wide one centeredin the cell 12 (which is not an impurity site). If the impurityis moved to cell 11, the wide breather draws near to the cell18 with slight change of shape, see Fig. 4(e). Subsequently,the width decreases as the mobile impurity progresses un-til it reaches the fixed impurity, see Figs. 4(e)-(i). At thisvalue the breather amplitude is 5 cells wide. The situation isreversed symmetrically when the mobile impurity exceedsthe cell 18. The behavior is analogous when both impuri-ties are inductive and identical, except that for a separationof eight or less cells the resulting breather appears midwayand alternates its shape between onsite and intersite as themoving impurity advances.

6. Attraction resulting in annihilation

Now, we have performed numerical simulations in time tostudy the temporal behavior of VN (t). For most modula-tion frequencies, a breather once created remains unalteredas time advances, but, for certain frequencies, exotic be-havior occurs as shown in Fig. 5. As observed in the fig-ure, during the first approximately 30 periods after switch-on the behavior of the voltages VN is chaotic in all thecells. After this period, three breathers are created in thecells 6, 18 and 30, of which only the cell 18 is an impuritysite. The others are symmetrically situated, but they are notequidistant, namely, the distance between the breathers inthe cells 6 and 30 from the one in the cell 18 is the same(B30 − B18 = B18 − B6 = 12), but not between the

3

15

10

15

20

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0 50 100 150 200 250

Number of modulation periods

2125

30UnitCell

Figure 5: Exotic temporal behavior for VN (t) with fatalattraction after about 100 periods. Parameters as in Fig.1,with fd = 268.46 kHz.

breathers in the cells 6 and 30 (B30 − B6 = 8); here BN

denotes the location of the breather. As time goes on thebreathers in cells 6 and 30 are attracted to each other untilafter 98 periods they collapse into a single breather in cell2. From then on, the breathers remain unchanged. The en-tire spontaneous transition from three to two breathers lasts20 periods. As in Fig. 4, the only unmodified breather isthe one generated in the impurity cell 18. This same behav-ior occurs in frequency, only in the reverse direction, forfrequencies in the range from fd = 269 to 268 kHz. Fortwo other frequencies fd, a similar process of attraction be-tween breathers occurs for different number of breathers,eliminating one of them in the process.

7. ConclusionsWe found that a stable breather can be created in a modu-lated band-pass transmission line by sufficient increase ofthe inductance or average capacitance in a single, “defect”unit cell. The amplitude and shape of this breather dependon the modulation voltage, see Fig. 2. Up to five additionalbreathers can appear at host (non-impurity) sites when themodulation frequency or resistance is varied, as in Fig. 3.Two breathers at impurity sites can interact if they are sep-arated at least nine unit cells, however they collapse intoa single breather (at a host site) if the separation is eightor less cells. The width of this breather varies from 7 to5 cells as the moving impurity moves along the transmis-sion line, as seen in Fig. 4. Most exotic is the case ofattraction resulting in annihilation, Fig. 5, where a breatherdisappears upon attracting two neighboring breathers closeenough. All this suggests new questions such as: Is it pos-sible to interprete this behavior in terms of interaction be-tween currents and voltages? How are breathers attractedto each other? Is it possible to generalize this behavior toother systems? Does the exotic breather behavior reportedhere have analogies in other systems with non-linear lat-tices, such as granular crystals, micromechanical arrays,etc.? Most importantly, are our breathers robust and are

our findings supported experimentally?

8. AcknowledgementWe are grateful to Prof. Faustino Palmero for helpful co-rrespondence and to Prof. Roberto Reyes-Ayona for use-ful comments. A. G.-R. and P. H. also acknowledge theCONACyT grants 377296 and 103644-F, respectively.

References

[1] A. J. Sievers and S. Takeno, Phys. Rev. Lett. 61, 970 (1988).

[2] S. P. Wallen, J. Lee, D. Mei, C. Chong, P. G. Kevrekidis, andN. Boechler, Phys. Rev. E 95, 022904 (2017).

[3] C. Guarcello, K. Fedorov, D. Valenti, B. Spagnolo, and A.Ustinov, ArXiv e-prints (2015). arXiv:1501.04037.

[4] F. Palmero, J. Cuevas-Maraver, L. Q. English, and R.Chacon, ArXiv e-prints (2017), arXiv171000167P.

[5] M. Sato, Y. Sada, W. Shi, S. Shige, T. Ishikawa, Y. Soga,B. E. Hubbard, B. Ilic, and A. J. Sievers, Chaos 25, 013103(2015).

[6] L. Q. English, M. Sato, and A. J. Sievers, J. Appl. Phys. 89,6707 (2001).

[7] N. V. Alexeeva, I. V. Barashenkov, A. A. Sukhorukov, andY. S. Kivshar, Phys. Rev. A 85, 063837 (2012).

[8] G. T. Adamashvili and D. J. Kaup, Phys. Rev. A 95, 053801(2017).

[9] B. Opanchuk and P. D. Drummond, Phys. Rev. A 96, 053628(2017).

[10] Dmitriev, Sergey V. and Baimova, Julia A. and Korznikoza,Elena A. and Chetverikov, Alexander P., (2018). Nonlin-ear Excitations in Graphene and Other Carbon NanoPoly-morphs. Springer International Publishing

[11] C. L. Gninzanlong, F. T. Ndjomatchoua, and C. Tchawoua,Chaos. 28, 043105 (2018).

[12] G. Theocharis, M. Kavousanakis, P. G. Kevrekidis, C.Daraio, M. A. Porter, and I. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 80,066601 (2009).

[13] Y. Man, N. Boechler, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, andC. Daraio, Phys. Rev. E 85, 037601 (2012).

[14] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, and H. G.Craighead, EPL (Europhysics Letters) 66, 318 (2004).

[15] M. Sato, S. Yasui, M. Kimura, T. Hikihara, and A. J. Sievers,EPL (Europhysics Letters) 80, 30002 (2007).

[16] F. Palmero, L. Q. English, J. Cuevas, R. Carretero-Gonzalez,and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 84, 026605 (2011).

[17] L. Q. English, F. Palmero, P. Candiani, J. Cuevas, R.Carretero-Gonzalez, P. G. Kevrekidis, and A. J. Sievers,Phys. Rev. Lett. 108, 084101 (2012).

4

AES 2018 in in Marseille – FranceThe 6th Advanced Electromagnetics Symposium

May 25, 2018

Alexander Gomez RojasNational Institute of Astrophysics, Optics and ElectronicsMexico

Ref. : Paper Acceptance Letter

Dear Alexander Gomez Rojas,

It is my pleasure to inform you that the Technical Program Committee of AES 2018 has accepted your followingsubmitted article :

Title : Exotic properties of Intrinsic Localized Modes (Discrete Breathers) in a transmission line in the microwaveregime (PaperID 784).

for publication in the Proceedings of the Advanced Electromagnetic Symposium 2018 (AES 2018), to be held inMarseille – France, 24 June – 1 July, 2018.

With my best regards,

Prof. Said ZOUHDIAES 2018 General Chair

Paris-Sud UniversityBat 620, rue Louis de Broglie91405 Orsay Cedex, FranceTel : +33 169338613E-mail : [email protected]

www.mysymposia.org

Exotic behavior of discrete “breathers” in a lumped non-lineartransmission lineA. Gómez-Rojas1, P. Halevi 1

[email protected], [email protected] National Institute of Astrophysics, Optics and Electronics (INAOE), Luis Enrique Erro #1,

Tonantzintla, Puebla, Mexico 72840

Figure 1: (a) Schematic circuit diagram (b) Circular LT

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.0

V N(t)

Modulation periods fd · t

Cell N=18 N=17,19

(c) Voltage oscillation

-0.8-0.4

00.40.81.21.62.0

10 20 30

V max

and

V min

[Vol

ts]

Unit Cell1

(d) Discrete breather

There exist numerous spatially periodic systems with non-linear features: optical waveguides, electricaltransmission lines, granular crystals, micromechanical cantilever arrays. The differential equations that governthe dynamic behavior of these systems (their EM fields, or voltages, or elastic displacements, etc.) can haveoscillatory solutions that are localized in the vicinity of a particular lattice site. This poster deals with suchIntrinsic Localized Modes (ILMs) or Discrete Breathers. While it has been known that ILMs can pop up at animpurity or defect site of the lattice, here we present several novel and exotic features. We have studied ILMsin a circular electric transmission line (TL) (Fig.1(a)-1(b)), where, the discreteness is represented by 32 lumpedcells and the nonlinearity is produced by voltage-dependent capacitors (varactors) in each unit cell that aremodulated in tandem by harmonic sources Vd(t) of frequency fd (unit cell in Fig.1(a)). We are interested in thevoltages VN seen by the varactors in each of these cells. Fig.1(c) shows the oscillations VN(t) in the cells N = 17,18, 19, assuming that the inductance L2 has been increased by 1% only in the (impurity) cell 18. Fig.1(d) showsthe maxima and minima of VN for all the 32 cells, corresponding to the formation of a typical ILM about sevencells wide (color dots). We found that there exist threshold values of the capacitance or inductance of a latticeimpurity for a breather to be able to attach to it. Also, a resistive defect can also anchor a breather. Moreover,by either gradually lowering all the source resistances, or else increasing the modulation frequency, multiplesecondary ILMs can be spontaneously generated at host sites (with only a single inductive or capacitive defect).Further, if two impurities are subcritically spaced (eight or less unit cells apart for our parameters), a breathercan pop up midway, with no breathers at the impurity sites themselves. Finally, in an act of “fatal attraction”, anILM can pull closer its neighbors on both sides, only to perish once these ILMs have gotten sufficiently close.To our knowledge, these effects have not been reported for any discrete non-linear system.

modos intrínsecos localizados y ondas propagatorias en una ... · tipos de soluciones para los...

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