modelos relaciones y variables

MODELOS REALACIONES Y VARIABLES

HISTORIALa historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver

ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (a ), así como

ecuaciones indeterminadas como +

= con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleandoesencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunasecuaciones indeterminadas.Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque ellibro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes paraecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez,acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó ciencia de reducción y equilibrio. (La palabra árabeal-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemáticoal-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoríafundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemáticoegipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvióproblemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen

x + y + z = 10, + = , y xz = .

CONSTANTES Y VARIABLES

CONSTANTEEn la mayoría de los cálculos intentamos encontrar un número. Por ejemplo, el área de un terreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es

25 x 40 = 1000 m2

Hasta que llevemos a cabo la multiplicación, podemos representar la respuesta por alguna letra, normalmente la x, y escribir

25 x 40 = x

Podemos decir que "x simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del álgebra es muy simple:

VARIABLELa cantidad desconocida x es un número como cualquier otro. Sepuede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que los números comunes.

A la relación matemática que implica a números conocidos (como 25 o 40) y a desconocidos (como x) se la conoce como una ecuación. A veces no tenemos x de una forma tan clara comoanteriormente, sino que está dentro de alguna expresión complicada. Para obtener una solución, deberemos reemplazar la susodicha ecuación (o ecuaciones) por otras que contengan la

misma información pero de forma más clara. El objetivo final es aislar la incógnita, para que parezca aparte, para proporcionar a la ecuación la antedicha fórmula, a saber

x = (expresión conteniendo solo números conocidos)

Una vez alcanzado esto, el número que representa la x puede calcularse rápidamente.

Por ejemplo:

"¿Cual es el número que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3, obtiene 3?"

Llame a ese número x. La declaración hecha mediante palabras puede también escribirse por medio de una ecuación:

(2x + 5)/3 = 3

El paréntesis encierra las cantidades que se manejan como un número único, y 2x significa "2 veces x". En álgebra, los símbolos (o paréntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que están multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundirá por la similitud entre la letra x y el signo de la multiplicación. Los programas de computadora, en cambio, normalmente representan la multiplicación mediante *, colocado un poco más bajo que aquí.

PROPIEDADES

FACTORIZACION

DEFINICIONEn álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el

factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b

CASOSFACTORIZACION

Caso I - Factor comúnSacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay queolvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común polinomioPrimero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (laque tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

Caso II - Factor común por agrupación de términosPara trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso III - Trinomio Cuadrado PerfectoSe identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al

segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Caso IV - Diferencia de cuadradosSe identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónSe identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que sesuma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado eltérmino independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado eltérmino independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la nLa suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que nsea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + cEn este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x2) :

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado enparéntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

Queda así terminada la factorización :

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomioseniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

EJERCICIOStaller de factorizacion

ECUACIONES Y SUSTITUCIONES

DEFINICIONEs una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable oletra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de X que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarseotros métodos.

SOLUCION Una ecuacion tiene solucion cuando se encuentra el valore de las variables, una ecuacion puede no tener solucion, tener una unica solucion o tener infinita soluciones

ECUACION LINEALUna ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

y = m x + b

Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).

Las ecuaciones en las que aparece el término xy (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

3x + 2y = 5

3x + y -5 = -7x + 4y +3

x - y + z = 15

3x - 2y + z = 20

x + 4y - 3z = 10

GRÁFICA

PROBLEMAS1.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros2.

ECUACION CUADRATICADEFINICIONEs un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvent

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

a + bx + c = 0donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficientelineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

a +b +c=0

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

GRÁFICA

FÓRMULAa ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

x=

x= x=

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, >0 (la parábola

cruza dos veces el eje x); 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero, = 0 (la parábola sólo toca en un punto al eje x); 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo, < 0 (la parábola y el eje x no se cruzan).

PROBLEMAS1.La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números2.El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.3.Halle el área y perímetro del tríángulorectángulo mostrado. Las dimensionesestán en metros

ECUACION CUBICADEFIFNICIONUna ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:a

números reales o el de los números complejos.

FORMULASEcucaion cubica

ecuacion cubicaGRAFICA

ECAUCION LOGARITMICA

DEFINICION DE LOGARITMO Y PROPIEDADESLa Logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumentorespectivamente, que se define como sigue:

log a b = c Û ac = b, siendo a > 0 , a ¹1 y b>0

Ejemplos:

log 2 8 = 3 pues 23 = 8

log 4 16 = 2 pues 42 = 16

log 6 1 = 0 pues 60 = 1

PROPIEDADESLos logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

DEFINICION Una ecuación es Logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación. Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmaciónLog 2(x-1) = -1

x-1 = 2-1

x= 3/2

GRAFICA

EJERCICIOSa) log 6 (x+5) = 2 + 2 log 6 x

b) (log 4 x)2 + log 4 x3 + 2 = 0

c) log 5 (x+12) = log 5 (x+2) + log 5 5

ECAUCION EXPONENCIALDefinicon y propiedadesUna ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

a0 = 1

a1 = a

ecuacion_exponencial003ecuacion_exponencial004

am : an = am - n

an : bn = (a : b)n

Para resolver una ecuación exponencial vamos a seguir los siguientes pasos:

Uno: Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base, debemos reducirlos a la misma base.

Ejemplo:

na vez que tenemos la misma base en los dos miembros, igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación:

Reducimos a la misma base

El primer término es una potencia elevada a potencia, y lo expresamos

Esta ecuación exponencial es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, es necesario el uso de incógnitas auxiliares. Así el problema se simplifica y es fácil comprobarlo.

La incógnita auxiliar para esta ecuación exponencial es:

A continuación se reemplaza con el valor de la incógnita auxiliar en la ecuación y se resuelve.

z2 + z = 72

z2 + z - 72 = 0

Esta ecuación podría resolverse mediante la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, pero como corresponde al caso de factorización de un trinomio perfecto es conveniente por su rapidez utilizar dicha factorización. Se debe recordar que para hacerla hay

Factorizando queda:

(z + 9) (z - 8) = 0 Luego se igualan ambos paréntesis a cero; se obtienen dos resultados y se elige el que sea correcto.

z + 9 = 0 z - 8 = 0 z = -9 z = 8

De los dos resultados, el correcto es z = 8, porque 23 = 8.

(Para resolver cualquier ecuación exponencial siempre deben igualarse las bases; en este ejercicio todas las bases deben ser 2).

Sabiendo que

z = 8; ahora se debe reemplazar el valor de la incógnita y resolver:

2(x+1) = 8

2(x+1) = 23

x + 1 = 3

x = 2

Comprobación:

4(x+1) + 2(x+1) = 72

4(2+1) + 2(2+1) = 72

ECAUCIONES TRIGONOMETRICAS

TALLER GENERAL1,

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SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMA DE 2X2DEFINICIONDos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números , tales que reemplazando x por e y por se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

x = 2, y = 3

SITEMA DE 3X3

sitema 3x3

FÓRMULAS

FUNCIONES

DEFINICION

Una funcion es un tipo especial de relacion entre elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una funcion asigna a cada elemento del dominio un elemento de la ImagenPara que una relacion sea funcion se deben cumplir dos condicionesUna función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la llamamosvariable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variableindependiente y suele ser la x.

GRAFICA

CLASES

Funciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitasSi no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio.

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantesEl criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

y = 2x - 1x y = 2x-10 -11 1

función

Función lineal.y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2xx 0 1 2 3 4y = 2x 0 2 4 6 8

gráfica

Función identidad.f(x) = x

Su gráfica es la bhttp://www.vitutor.co.uk/fun/images/identidad.gifisectriz del primer y tercer cuadrante.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Representación gráfica de la parábolaPodemos construir una parábola a partir de estos puntos:1. Vértice

Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

eje2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² - 4ac < 03. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

Representar la función f(x) = x² - 4x + 3.1. Vértice

V(2, -1)2. Puntos de corte con el eje OX

x² - 4x + 3 = 0

ecuación

(3, 0) (1, 0)3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Gráfica

Funciones a trozosSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 4

Función parte entera de xEs una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente

inferior.

f(x) = E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2

Función mantisaFunción que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

f(x) = x - E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Función signof(x) = sgn(x)

Función signo

Funciones en valor absoluto.Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D=R

Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

Función racionalEl dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

CRITERIOSEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Función radical de índice imparEl dominio es R.

Dominio de una función irracional de índice impar

Dominio de la función irracional de índice impar

Función radical de índice parEl dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder lapotencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

x y = 2x-3 1/8-2 1/4-1 1/20 11 22 43 8

graph of exponential function

Propiedades de la función exponencialDominio: R.

Recorrido: R +.

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva todaac a 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a >1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = e y = son simétricas respecto del eje OY.

Funciones logarítmicasLa función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x log1/8 -31/4 -2

1/2 -11 02 14 28 3

Logarithmic Function

Propiedades de las funciones logarítmicasDominio: R +

Recorrido: R

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Funciones trigonométricasFunción senof(x) = sen x

Dominio: Erre

Recorrido: [-1, 1]

Período: Propiedades

Continuidad: Continua en Propiedades

Impar: sen(-x) = -sen x

Función cosenof(x) = cos x

Dominio: Erre

Recorrido: [-1, 1]



Par: cos(-x) = cos x

Función tangente f(x) = tg x

Dominio: Propiedades

Recorrido: Erre



Impar: tg(-x) = -tg x

Función cotangente f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido

Continuidad: Continua en

Período:

Impar: cotg(-x) = -cotg x

Función secante f(x) = sec x

Dominio:

Período:


Par: sec(-x) = sec x

Función cosecante f(x) = cosec x

Dominio:

Período:


Impar: cosec(-x) = -cosec x

PROPIEDADES

PRINCIPIOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA

RELACIONES TRIGONOMETRICASDEFINICIONESEJERCICIOSRazones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

EJERCICIOS

Razones trigonométricas del ángulo doble

EJERCIOS

Razones trigonométricas del ángulo mitad

EJERCICICOS

Transformaciones de sumas en productos

EJERCICIOS

Transformaciones de productos en sumas

EJERCICIO

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALESRelación seno coseno

Relación secante tangente

Relación cosecante cotangente

EJERCICIOS

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

DEFINICIONEn las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten entodas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

EJEMPLOSResuelve las ecuaciones trigonométricas:

1.

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3.

Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

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EJERCICIOS

BIBLIOGRAFIA

TALLER

modelos relaciones y variables

Documents