Optimización de RedesINVESTIGACIÓN OPERATIVA II

Mag. Miguel Sierra

Optimización con Solver Un empresario desea vender un producto en sus dos tiendas

comerciales, A y B, para ello, compra desde su único proveedor P

Los costos (incluyen producto y transporte) y los precios de venta

en cada tienda, se indican en la tabla inferior

El proveedor ofrece como máximo un total de 100 kg

Se dispone de $5000 para cubrir los costos

Cada tienda debe vender como mínimo 40 kg

Como mínimo, el 45% del total de productos debe ir a la tienda B

Asumiendo que todo lo que se compra se logra vender, determine

cómo comprar y vender, para maximizar la utilidad

Costo

($/kg.)

Precio de venta

($/kg.)

Tienda A 60 90

Tienda B 40 65

Optimización con Solver

Un empresario desea vender un producto en su tienda

comercial, para ello, los compra de los fabricantes A y B

Los costos y precios de venta se indican en la tabla

Cada fabricante ofrece como máximo 40 unidades

Se debe vender como mínimo un total de 58 unidades

El presupuesto para compras está limitado a $13000

Determinar cómo comprar y vender de cada fabricante a

fin de maximizar utilidades

Costo de producto

($/unid.)

Precio de venta

($/unid.)

Fábrica A 200 270

Fábrica B 250 330

MODELOS DE

OPTIMIZACION DE REDES

Introducción

Terminología. Representación general

Problema del árbol de expansión mínima

Problema del flujo de costo mínimo

Problema de la ruta más corta

Problema del flujo máximo

INTRODUCCION Una red es una colección de nodos y arcos

Una red podría representar innumerables aplicaciones,

por ejemplo, sistemas de inventarios, sistemas

fluviales, sistemas de distribución, precedencia y orden

de eventos, flowcharts, etc..

Muchas aplicaciones tienen características de flujo, por

ello se llaman “Modelos de flujo en redes”

Representación de modelos de flujo en redes

[bi] : Producción del nodo i

[bi]= (suma de flujos que salen del nodo i –suma de flujos que entran al nodo i)

Para cada arco ij hay: (Fmax,Costo), realmente: (Fmaxij,Costoij)

Fmax (o Fmaxij) es la capacidad máxima de flujo en cada arco

Costo (Cij) es el costo unitario del flujo en cada arco

Xij es el flujo que pasa por el arco k: Xij<=Fmaxij

Costo total en la red: Cij*Xij

1

2

4

bi =[3]

[0]

[-5]

[2]

(4,-1)

(10,4)

(3,3)= (Fmax, Costo)

(3,5)

(1,1)

1

3

2

3

5

4 4 nodos: i= 1..4

5 arcos: k= 1..5

Los arcos pueden ser dirigidos o no dirigidos

El arco 5 se puede denotar como arco {3,4}, (3,4), 34, 34

Problema del árbol de expansión mínimo

Se tienen como datos las longitudes de los arcos potenciales.

Se desea diseñar una red, seleccionando los arcos adecuados, de tal forma que haya un camino entre cada par de nodos.

El objetivo es lograr lo anterior minimizando la longitud total de los arcos elegidos.

Ejemplos de aplicación:

Diseño de redes de telecomunicación (fibra óptica)

Diseño de redes de transporte, minimizando el costo

Diseño de una red de tubería entre varias localidades

Diseño de una red de cableado eléctrico

EL ALGORITMO:

Seleccionar cuaquier nodo y conectarlo al mas cercano

Se identifica el nodo no conectado mas cercano a un nodo conectado y conectarlo.

Repetir el paso anterior hasta unir todos los nodos. Si hay empate, romperlo en forma arbitraria.

1

2

5

4

3

5

3

2

1

4

4

Ejemplo del árbol de expansión mínimo

Longitud total = 10

Problema de Flujo a costo mínimo

Red dirigida

Hay nodos fuente ([bi]> 0)

Hay nodos demanda ([bi]< 0)

El resto de los nodos son nodos de transbordo ([bi]= 0)

Los flujos solo pasan en dirección de las flechas

Se busca minimizar el costo total de enviar, a través de la red, el suministro disponible para satisfacer la demanda.

Aplicación Nodo fuente Nodo transbordo Nodo demanda

Distribucion

de productos

Plantas de

producción

Almacenes Consumidores

Deshechos

sólidos

Fuentes de

deshechos

Tratamientos Rellenos

Programación

de vuelos

Lugares de

partida

Escalas Lugares de

llegada

Ejemplos de aplicaciones

F

L

U

J

O

S

?

Problema de Flujo a costo mínimo.

Equivalencia en Programación Lineal

Clase general de problema, que comprende, como casos especiales, a los problemas de transporte, de transbordo, de asignación, de ruta mas corta y de flujo máximo.

En este problema se define:

Xij = número de unidades de flujo enviadas del nodo i al nodo j, a través del arco ij.

Fmaxij = cota superior del flujo en el arco ij

Min Z =ijCij*Xij

s.a.:

j Xij - k Xki = bi una restricción para cada nodo i

flujos que salen de i - flujos que entran a i = producción del nodo i

Xij <= Fmaxij una restricción para cada arco ij

Xij>=0

Caso: Problema de Flujo a costo mínimo Un agricultor desea enviar todos los productos de su cosecha

hacia la ciudad D. Posee dos haciendas de producción, la A y la B. Es posible usar la localidad intermedia C. La hacienda A ha producido 3 Toneladas y la B solo 2 Toneladas de producto.

Las capacidades de transporte entre localidades, se encuentran en la tabla superior y las costos de transportar en la tabla inferior:

De .. a: A B C D

A - 3 1 -

B - - 10 4

C - - - 3

D - - - -

De .. a: A B C D

A - 5 1 -

B - - 4 -1

C - - - 3

D - - - -

Determinar como debe distribuir sus envíos, de tal manera que se minimicen los costos.

Costos

Capacidades

Formulación gráfica del Problema de Flujo a costo mínimo

Formulación como Programación Lineal:

Min Z = 5X12 + X13 + 4X23 – X24 + 3X34

s.a.: X12+X13 = 3

X24+X23-X12 = 2

X34-X13-X23 = 0

-X24-X34 = -5

X12 <= 3

X13 <= 1

X23 <= 10

X24 <= 4

X34 <= 3

Xij >=0 Resolver con Solver de Excel

1

2

3

4

bi=[3]

[0]

[-5]

[2]

(4,-1)

(10,4)

(3,3)= (Lk, Ck)

(3,5)

(1,1)

1

3

2

3

5

4

Problema de la ruta mas corta

Se tienen como datos las longitudes de los arcos.

Hay dos nodos especiales, el origen y el destino.

El objetivo es encontrar el camino mas corto del origen al destino.

Ejemplos de aplicación:

Minimizar la distancia total recorrida entre dos ciudades.

Minimizar el tiempo total de una secuencia de actividades.

Minimizar el costo total de una secuencia de actividades.

LA FORMULACION:

Se puede formular como un problema de flujo de costo mínimo:

El origen tendría una producción de bi=1

El destino tendría una producción de bi = -1

Si la red es no dirigida, se reemplaza cada arco no dirigido por dos arcos dirigidos.

No hay que considerar los arcos que llegan al origen, ni los que salen del destino.

Las distancias entre los nodos ij se convertirán en unidades de costo Cij para el flujo Xij

Ejemplo del problema de la ruta más corta

1

2

5

4

3

7

2

2

1

4

5

Encontrar la ruta mas

corta desde el nodo 1

al nodo 5

1

2

5

4

3

7

2

2

14

5

[1]

[-1]

2

1Como

problema de

Flujo de costo

mínimo

quedaría:

Problema del Flujo Máximo

El flujo se origina en un solo nodo (nodo fuente), y termina en otro nodo (nodo destino).

Los nodos restantes son nodos de transbordo.

Los flujos solo pasan en dirección de las flechas

Se busca maximizar la cantidad total de flujo desde la fuente al destino.

Ejemplos de aplicación:

Maximizar la distribución de productos a los clientes

Maximizar el flujo de petróleo a través de tuberías.

Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

LA FORMULACION:

Se puede formular como un problema de flujo de costo mínimo:

El origen tendría una producción de bi=V, donde V es una constante, una cota superior segura para el flujo total.

El destino tendría una producción de bi = -V

Se crea un arco ficticio que va desde el nodo inicial al nodo final.

El costo del arco ficticio es M, una cantidad constante y grande, el costo de los demás arcos es 0.

Formular como Problema del Flujo Máximo

3

4

4

3

2

2

3

2

1

2

3

4

6

5

Los valores en los arcos son las capacidades

de transporte.

Problema del Transporte

El flujo se origina en mas de un nodo (nodos ofertas, [bi]>0), y termina en mas de un nodo (nodos demanda, bi<[0]).

La suma de las ofertas es igual a la suma de las demandas.

Todos los arcos están dirigidos desde algún nodo oferta hacia algún nodo destino.

Se tienen como datos los costos unitarios del flujo por cada arco.

Se busca minimizar el costo de transporte, de tal manera que se cumplan con las demandas, sin superar las ofertas.

LA FORMULACION:

Se puede formular como un problema de flujo de costo mínimo:

Para los nodos ofertas, todos sus arcos salen.

Para los nodos ofertas, todos sus arcos entran.