modelo matematico para el crecimiento de microorganismos

8/19/2019 Modelo Matematico Para El Crecimiento de Microorganismos

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el tiempo suficiente para que sinteticen y metabolicen el substrato hasta existir un equilibrioentre el


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alimento disponible y la biomasa presente que lo consume. Si dentro del sistema se produce unasobrepoblación de microorganismos y los factores ambientales son favorables; ante la escasez desubstrato para alimentarlos, los microorganismos se ven obligados a sintetizar su propioprotoplasma sin reposición del mismo, entrando a un período de vida latente donde se reduce ose anula la reproducción de la especie, presentándose la mortandad de individuos y

consecuentemente una disminución de la biomasa.

Durante esta fase se manifiesta el fenómeno de lisis en donde los nutrientes de las célulasmuertas son aprovechados por el resto de la población y existe una selección natural del sistemadonde primero desaparecen los microorganismos que presentan gran movilidad y que requierengrandes cantidades de energía. En esta etapa se observa también el fenómeno de respiraciónendógena que consiste en un canibalismo entre los individuos por la supervivencia.

En cualquier sistema biológico de tratamiento de aguas residuales no es posible medir como talla cantidad de materia orgánica presente, por lo que se recurre a parámetros índice como elcarbón orgánico total (COT), la demanda bioquímica de oxígeno (DBO), o la demanda química

de oxígeno (DQO), dependiendo de las características del agua a tratar. La biomasa es usualmedirla como la cantidad de sólidos suspendidos volátiles (SSV) presentes en el sistema, ya quese asume que existe una mezcla completa y que dichos sólidos resultan una vez que se haincinerado toda la materia orgánica. En caso de desinfección se toma como bacteria índice elgrupo coliforme, ya que presenta la característica de habitar en el intestino de los animales desangre caliente, incluyendo al hombre y la particularidad de fermentar la lactosa con producciónde ácido y gas, lo que hace fácil su detección en laboratorio. El número de bacterias de estegrupo señalan en el agua el grado de contaminación fecal.

FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

El análisis dinámico del modelo que se muestra considera el reactor biológico como una cajanegra sujeta a acciones externas llamadas entradas que dan lugar a una serie de respuestasdetectadas en el exterior de la caja denominadas salidas. La diferencia entre las entradas ysalidas se deben a los cambios producidos dentro de la caja negra a través del tiempo y sonexplicados por las características del sistema representados por los parámetros que lo definen,siendo las entradas y salidas las variables a considerar.

NOMENCLATURA Y UNIDADES

a parámetro de variación del substrato, T-1

c parámetro de utilización del substrato por la biomasa, T-1

dS/dt rapidez de cambio de nutrientes, ML -3 T-1

dX/dt rapidez de cambio de la biomasa, ML -3 T-1

e base de los logaritmos naturales = 2.718281828459045...k parámetro de variación de la biomasa, T-1

ln logaritmo naturaln número de observacionesS substrato presente en el tiempo t, ML-3


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S0 substrato inicial; en el tiempo t = 0, ML -3

t tiempo, Ttinfl tiempo del punto de inflexión, Ttm tiempo de mortandad de toda la biomasa, Ttmáx tiempo en el que se presenta la máxima cantidad de biomasa, T

X biomasa presente; en el tiempo t, ML-3

X infl biomasa en el punto de inflexión, ML -3

Xmáx biomasa máxima, ML-3

X0 biomasa inicial; en el tiempo t = 0, ML-3

HIPÓTESIS

De acuerdo con las consideraciones teóricas expresadas anteriormente se formulan las siguienteshipótesis:

1. La rapidez de variación de la biomasa es proporcional a la cantidad de microorganismos presentes en un momento dado.Matemáticamente se tiene:

Esta hipótesis es comúnmente mostrada en la literatura para representar el crecimientomicrobiano, donde si el segundo término de la ecuación es negativo se obtiene la ecuacióndiferencial de mortandad microbiana cuya solución es la "Ley de Chick".

2. La r apidez de variación de la biomasa es proporcional a la cantidad de substrato presente en un momento dado.Matemáticamente se tiene:

3. La rapidez de variación del substrato es directamente proporcional a la cantidad de substr ato pr esente en un momento dado.Matemáticamente se tiene:

ESTABLECIMIENTO DEL MODELO

Tomando en cuenta las dos primeras hipótesis y aplicando el principio de superposición decausas y efectos, puede escribirse la siguiente ecuación:

dX

dt = kX

1

dX

dt = cS

2

dS

dt = aS 3


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La expresión (4) representa el cambio neto de la biomasa con respecto al tiempo en función del

número de individuos y de la cantidad de substrato a consumir, la cual junto con la hipótesis 3.,forma el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

Cuya solución para las condiciones iniciales: X = X0 y S = S0 cuando t = 0 son lasecuaciones (6) y (7).

La ecuación (6) representa la variación del substrato con respecto al tiempo; en donde si elparámetro "a" es positivo la cantidad de substrato aumenta, pero si es negativo el substratodisminuye; tal es el caso de la degradación de la materia orgánica en un sistema estacionario.Una representación gráfica de la ecuación (6) se muestra en la Figura 1.

Cabe hacer notar que para valores negativos de "a", la curva de variación del substrato, sevuelve asintótica al eje de las abscisas cuando "t" tiende a infinito.

dX

dt = kX +cS

4

dX

dt = kX +cS

dS

dt = aS

5

S = S e0at

6

X = e [ X +c S

a - k ( e -1)]

kt 0

0 (a-k)t

7


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La ecuación (7) representa la variación de la biomasa en función del consumo del substrato,

siendo esta expresión el MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO.Una representación gráfica de la ecuación (7) se muestra en la Figura 2.

PUNTOS CRÍTICOS DE LA ECUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DECRECIMIENTO MICROBIANO -Ecuación (7)-

La ecuación (7) se anula para el valor tm; matemáticamente se tiene:

Físicamente, el valor de tm representa el tiempo de mortandad de toda la biomasa, donde algráficar la ecuación (7), sería la abscisa del punto (tm,0).

Figura 1. Curva de variación del substrato

Figura 2. Curva de variación de la biomasa

m0 0

0

t =1

a - k {

c S - X (a-k)

c S }ln

8


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El tiempo en el que se produce el valor máximo de la biomasa, se obtiene igualando a cero laprimera derivada de la ecuación (7), teniendo:

Para calcular el valor máximo de la biomasa -Xmáx-, basta con substituir el valor numérico detmáx calculado con la ecuación (9) en la ecuación (7).

El punto de inflexión (tinfl, Xinfl) de la curva, se obtiene igualando a cero la segunda derivada dela ecuación (7). La abscisa de dicho punto representa físicamente el tiempo donde la biomasaacelera su velocidad de destrucción, o sea:

Para encontrar la concentración crítica de la biomasa -Xinfl-, basta con substituir el valornumérico de ti obtenido de la ecuación (10) en la ecuación (7).

CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS k, a Y c

1. Cálculo del parámetro de variación de la biomasa "k"

Resolviendo la ecuación diferencial (1) se obtiene:

La ecuación (11) adquiere la forma de una línea recta, Y = MX + B si se hace: Y=ln X,M=k, X=t y B=ln X0; por lo que basta calcular mediante el procedimiento de mínimoscuadrados la pendiente de dicha recta. La representación gráfica de la ecuación (11) se muestraen la Figura 3.

2. Cálculo del parámetro de variación del substrato "a"

De la ecuación (6) se obtiene:

De la misma manera la ecuación (12) adquiere la forma de una línea recta, Y = MX + B si sehace: Y=ln S, M=a, X=t y B=ln S0; calculando de igual forma el valor de la pendiente dedicha recta, mediante el procedimiento de mínimos cuadrados. La representación gráfica de laecuación (12) cuando disminuye el substrato, se muestra en la Figura 4.

max lnt =1

a - k

{ k[c S - X (a - k)]

acS

}0 0

0 9

infl

20 0

20

t =1

a - k {

k [cS - X (a - k)]

a c S }ln

10

ln ln X = kt + X 0 11

ln lnS = at + S 0 12


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3. Cálculo del parámetro de utilización delsubstrato por la biomasa "c"

Igualando las ecuaciones (1) y (2), al tener un número "n" de observaciones:

De donde se obtiene el valor de "c":

EJEMPLO

A continuación se presenta un ejemplo cuyos datos pertenecen a la DBO filtrada y coliformesfecales del efluente de una laguna de maduración, ensayado de una forma estacionaria. En la Tabla 1, se presenta el cálculo de los parámetros "a", "k" y "c" y en la Tabla 2, una

comparación de resultados.

Figura. 3. Cálculo del parámetro "k" Figura 4. Cálculo del parámetro "a"

nc S X i=1

n

i

i=1

n

i= k ∑ ∑13

c = k n

X

S

i=1

n

i

i=1

n

i

∑

∑14


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Tabla 1. Determinación de los parámetros “a”, “K” y “C” Tabla 1. EJEMPLO. Cálculo de una laguna demaduración

Cálculo de "a" Cálculo de "k"

t S ln S t X ln X(días) observados (días) observados

(mg\L) (No\100 ml)

0 125 4.828314 0 2.18E+04 9.9896651 80 4.382027 1 1.50E+04 9.6158052 85 4.442651 2 9.75E+03 9.1850233 42 3.737670 3 3.36E+03 8.1196964 58 4.060443 4 6.55E+03 8.7872205 30 3.401197 5 1.14E+03 7.0387846 25 3.218876 6 1.96E+03 7.5807007 15 2.708050 7 2.17E+03 7.682482

Suma: 460 Suma: 61730

Ecuación de regresion

ln S = -0.27927 t + 4.82487 ln X = -0.38211 t + 9.83730r = -0.960 r = -0.886

a = -0.279días(-1) k = -0.382días(-1)

Cálculo de "c" c = -6.408días(-1)


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Tabla 2. Cálculo y comparación de resultados Tabla 2. Cálculo de la ecuación de la biomasa y del consumo delsubstrato

Xo (No/100ml) =

2.18E+04 a = -0.279 días(-1)

So (mg/L)=

125 c = -6.408 días(-1)

k = -0.382 días(-1)Puntoscríticos:

t m = 12.97 díasX m = 0.00E+00 No/100 ml

t máx = 37.76 días t inf = 19.07 días

X máx = -1.91E-01 No/100 ml X inf = -1.77E+01 No/100 ml

t X X S S ERROR ERRORobs. calc. obs. calc. % %

(días) (No/100 ml) (No/100 ml) (mg/L) (mg/L) X S

0 2.18E+04 2.18E+04 125 125.0 0.00 0.001 1.50E+04 1.43E+04 80 94.6 4.88 -15.402 9.75E+03 9.33E+03 85 71.5 4.55 18.813 3.36E+03 6.04E+03 42 54.1 -44.33 -22.40

4 6.55E+03 3.87E+03 58 40.9 69.26 41.645 2.14E+03 2.45E+03 30 31.0 -12.74 -3.166 1.96E+03 1.53E+03 25 23.4 28.02 6.677 2.17E+03 9.37E+02 15 17.7 131.60 -15.40

Promedio: 22.65 1.34

Los resultados gráficos entre los datos observados y los predecidos mediante las ecuaciones (6)y (7), se muestran en las Figuras 5 y 6 respectivamente.


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0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (dias)

S u b s t r a t o ( m

g / L )

Datos observados Datos calculados

Figura 5. Variación del substrato

0.00E+00

5.00E+03

1.00E+04

1.50E+04

2.00E+04

2.50E+04

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (dias)

B i o m a s a ( N o / 1 0 0 m l )

Datos observados Datos calculados

Figura 6. Variación de la biomasa


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CONCLUSIONES

1.- La ECUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO -Ecuación (7)- sirve para simular la variación de la biomasa en función de los cambios desubstrato.

2.- La Ley de Chick (X = X0e-kt), es un caso particular de la ECUACIÓN DEL MODELOMATEMÁTICO DE CRECIMIENTO MICROBIANO -Ecuación (7)-, cuando c=0.

3.- Matemáticamente, de acuerdo con la ecuación (14), el parámetro de utilización del substratopor la biomasa "c", siempre tendrá el mismo signo que el parámetro de variación de la biomasa"k", lo que físicamente significa que al aumentar los microorganismos aumenta el consumo desubstrato y viceversa.

4.- Usualmente la determinación de los parámetros "k" y "a", se determinan con buenoscoeficientes de correlación, debido que de acuerdo con la teoría presentada al ajustar una línea

recta, las ordenadas de la biomasa y substrato se representan en escalas logarítmicas.

5.- Para obtener los puntos críticos (tmáx, Xmáx) y (tinfl, X infl) es necesario que se observe unaumento de la biomasa y luego su disminución.

REFERENCIAS

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Bonilla Domínguez U. (1984). Modelo matemático general de crecimiento biológico.Memoria del IV Congreso Nacional de Ingeniería Sanitaria y Ambiental -Morelia,Mich.- Sociedad Mexicana de Ingeniería Sanitaria y Ambiental, pp, 129.

Edwards, Jr. C.H., Penney D.E. (1997). Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemascon Condiciones en la Frontera. 3a Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.,México.

Kiseliov A., Krasnov M., Makarenko Q. (1976). Problemas de ecuaciones diferencialesordinarias. Ediciones de Cultura Popular, S.A., México.

Metcalf & Eddy. (1977). Tratamiento y depuración de las aguas residuales. Editorial Labor,S.A., México.

Ríos S. (1967). Métodos estadísticos. 5a Ed. Mc Graw-Hill Book Company. Madrid.

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