modelo de dietas

8/18/2019 Modelo de Dietas

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Modelo de DietasCuevas Ledesma Stephanie MelissaHernández Alaníz RaúlLartigue Flores Roberto ZurielRodríguez !mez "os# $raulio


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¿Qué es el modelo dedietas?


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%ste modelo se llama así por&ueoriginalmente se dise'o paradeterminar la dieta humana máse(on!mi(a)

*odemos de(ir &ue en su versi!ngeneralizada trata de obtener lamez(la de materias primas máse(on!mi(a+ &ue obedez(a a (ierta(omposi(i!n (uantitativa (ono(idade antemano)

,ebido a &ue los (ostos de lasmaterias primas (ambian (on eltiempo+ es importante ha(er notar&ue la mez(la más e(on!mi(a ho-puede no serlo ma'ana)

Introducción


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a.. /. 0 a.1 /1 0 a.2 /2 0 3 0 a.n /n ≤ b. 4para el (omponente .5 a1. /. 0 a11 /1 0 a12 /2 0 3 0 a1n /n ≤ b1 4para el (omponente 15

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )am. /. 0 am1 /1 0 am2 /2 0 3 0 amn /n ≤ bm 4para el (omponente m5

/.+ /1+ /2+3+ /n ≥ 6 /. 0 /1 0 /2 0 30/n 8 b9 4para el peso total5

(8 (./. 0 (1/1 030 (n/n 8 M:;:M<

Modelo matemático


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m= ;o) de (omponentes

n= ;o) de ingredientes

bw= *eso de mez(la

b j= Cantidad de los (omponentes

x j=Cantidad utilizada de (ada uno de los ingredientes

aij=Contenido de (ada uno de los (omponentes

C j=Costo unitario de (ada uno de los (omponentes

Las variables son:


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La notación condensadaes:

MINIMO x j =∑=

n

1 j

jc bx w

n

1 j

j =∑=

∑=

≤n

j 1

i jij m,…1,2,3,=i para bxa


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%>emplo? %n una planta de produ(tos @arma(#uti(os se desea preparar tabletas (on un peso de

de(igramos - &ue (ontengan (uando menos B miligramos de ;ia(ina - 6 miligramos de

Diamina+ a'adiendo un material inerte 4C5 para (ompletar el peso - @a(ilitar el pastillado)

SOLUCION Para el objeto, se cuenta con 2

ingredientes (A Y B) cuo contenido enNiacina, !ia"ina Costos se "uestranen la siguiente tabla#

Se desea obtener lamez(la más e(on!mi(a

Inredientes!

com"onentes # $ C

;ia(ina

4mgEd(gm5 16 . 6 Diamina

4mgEd(gm5 1 6

Costo 4EGg5 16 26 .


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.5 *rimero ha- &ue estable(er el modelo matemáti(o

Si llamamos /.8de(igramos de A por pastilla /18de(igramos de $ por pastilla

/28de(igramos de C por pastilla

16/. 0 ./1 0 6/2 ≥ B 4para ;ia(ina5

/. 0 1/1 0 6/2 ≥ 6 4para Diamina5

/. 0 /1 0 /2 8 4para total5

/.+ /1+ /2 ≥ 6

(8 1/. 0 2/1 0 6)./2 M:;:M<


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16/. 0 ./1 0 ;. =M. 8 B

/. 0 1/1 0 0;1 =M1 86

/. 0 /1 0 0/2 8

1/.02/1 0.6;.0.6;1 0)./2 06M.06 M1 8

M:;:M<

%& #'ora( trans)ormaremos a la )orma *IM+L,- "ormedio de variables de 'olura auxiliares:

Hemos asignado un (osto arbitrario de .6 de(igramos a ;.- ;1+ (on

ob>eto de asegurar &ue no resulten en la solu(i!n !ptima)


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.. 0 61 0 62 8.6 4para ;.5

6. 0 61 0 .2 8.6 4para ;15

6. 0 61 0 .2 86). 4para /25

,e a&uí obtenemos?

.8.6+ 18.6+ 286).

.& Cálculo de costosim"l/citos


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0& #'ora calculamos los costos deo"ortunidad

10- 0(0.1)1(10)-)10(0

10- 0(0.1)0(10))10(1

0.1 0(0.1)0(10))10(0

10 0(0.1)1(10))10(0

10 0(0.1)0(10))10(1

400.11(0.1)25(10))10(15

250.11(0.1)5(10))10(20

2

1

3

2

1

2

1

=++=

=++−=

=++=

=++=

=++=

=++=

=++=

M

M

x

N

N

x

x

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z


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1& #'ora calculamos las di)erencias 2 j3C j

La variable &ue debemos introdu(ir es /1 -a &ue el arreglono es !ptimo)+ pues no se (umple la (ondi(i!n Z > =C > ≤ 6

10 010

10 010

0 1.01.00 1010

0 1010

introducir avariabl!3"#.1 31.400

1.24$ 21.250

22

11

33

22

11

22

11

−=−−=−

−=−−=−

=−=−=−=−

=−=−

=−=−

=−=−

M M

M M

x x

N N

N N

x x

x x

C Z

C Z

C Z C Z

C Z

C Z

C Z


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4& #'ora( debemos la nueva solución5a&Calculo de 6 j

2 j

%1

%2

%1

j

321

321

321

321

20.3. &dond

5 1

5

20.325

$0

33.415

'5

&d)

1,25,15&dond

100

250015 0

xmínde

Cálculob

de X N N

X N N

X N N

X N N

==

==

==

==

−=∆=∆−=∆

−=∆+∆+∆

−=∆+∆+∆

−=∆+∆+∆

θ

θ

θ

θ

θ


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1.0,$$.5,10

&dondd

)x(para 1.0 0 0 ) %(para 100 0

)x(para 3 2515

&implcito*co*to*d+lculo)1

-ptima.**oluci-n*ta*i aoradbmo*itraci-n, primralatrmina/u

2.35)(tabla$.1x,1# %,20.3x

&uda*oluci-nnuva

$.1 )2.3(15x 0)2.3(25$0 %

1#)2.3(15'5 %

&xd)

321

2321

1321

2321

312

3

2

1

j

=−==

=++

=++

=++

===

=−=

=−=

=−=

La

Cálculoc


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%&Cálculo de costos deo"ortunidad

5.$$ 1(-5.$$)-

1#.0# 1(10)-

0.1 )1.0(1

5.$$ 1(-5.$$) 10 1(10)

3 )1.0(1 25(-5.$$) 15(10)

1#.0# )1.0(1 5(-5.$$) 20(10)

2

1

3

2

1

2

1

==

==

==

==

==

=++=

=++=

M

M

x

N

N

x

x

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z


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18/25

%l arreglo no es !ptimo+ debemosintrodu(ir /. 4tabla 1=2B5)

*ara introdu(ir /. deberemos (al(ular I > -

J "

7&Cálculo de di)erencias 2 j3C j

5.$$ 0- $$.5

-10 0- 10

0 0.1- 1.0 x

-15.$$ 10- $$.5 %

0 1010 %

0 3- 3 x

! 1'$.# 2- #.1#0x

2

1

3

2

1

2

1

==

=−=

==

=−=

=−=

==

== para


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8& Cálculo de 6j

otal) p*o(4ara 1 0

) iamina(4ara 200025

) %iacina(4ara 200115

312

312

312

−=∆+∆+∆

=∆+∆+∆

=∆+∆+∆

x N x

x N x

x N x


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De donde:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1 x11.$ - $.1 x

3 x01 1#- 1# %

1 x31.2 - 2.3 x

1 x

&*olucinnuvalad)'

1 x

1mnima &dond

25.20.$

1.$ ,11#

1# ,1'0.2

3.2

&d)5

0.1# 1#)2.0(1520

$.0 1

-0.2

25

5

33

21

12

1

1

x3 %1x2

6

11

323

22

==+=

==+=

==+=

=

=

=

======

−=∆−=−−−=∆

−=∆∆−−=∆

=∆−=∆

Cálculo

de

Cálculo

N N

x x x

x x

θ

θ θ θ

θ


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16. 0 1 0 2 81 4para /.5

.. 0 11 0 2 82 4para /15

6. 0 61 0 2 86). 4para /25

,e donde?

2 86).

16. 0 1 8.)K.. 0 11 81)K

9& Cálculo de costosim"l/citos


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( )

( )

( )

( )

10.0 ,0#2.0 0.0##,

0.0#2 5

3'.0

3'.05

54.1"0.15

"0.15 .0##20

&1nndo7ub*titu

0.0## $5

'0.' $5

51 "0.22515-

51 50." 25100

&*i*tmal8

321

22

2

2

2

11

21

21

===

==

=

−=

=+

==

−=−

=+

X

X

solviendo


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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) 0#2. 0.0#21- 9

0##. ##.019

10.0 10.01 9

0#2.0 0.0#21 9

0##.0 .0##1 9

00.3 10.010.0#252 0##.159

00.2 10.010.0#25 0##.209

&doportunidadco*to*d+lculo)2

2

1

x3

%2

%1

x2

x1

−==

−=−=

==

==

==

=++=

=++=


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ptimo.*

arr:lolumodod0,+ 9condicinlacumpl7

-.0#2 0-.0#2-

-.0## 00##.

0 .10 -10. x -"."2$ 10- 0#2. %

"."23- 10- 0##. %

0 3- 3 x

0 2- 2x

+ 9*di;rnciad+lculo)3

66

2

1

3

2

1

2

1

66

≤−

==

=−−=

====

==

==

==

−

para


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La (omposi(i!n de la tableta será?. de(igramo del ingrediente A 4/.5

2 de(igramos del ingrediente $ 4/15

.E de(igramos del ingrediente ( 4/25

tendrá un (osto de?

.)1686)16

2)2686)K6

.6)6.686)6.E.).. (entavos por tabletas de de(igramos

%l (ontenido de ;ia(ina será?

.16816

2.8N

B miligramos por tableta %l (ontenido de Diamina será?

. 8

218O

6 miligramos por tableta

La solución es:

modelo de dietas

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