modelo coche 4 gdl
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análisis numérico en matlab de un modelo de coche con 4 gdlTRANSCRIPT
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Estudio Vehículo 4 gdl
1
ÍNDICE
1. Parámetros ............................................................................................................................... 2
2. Simulación del terreno ............................................................................................................. 3
3. Ecuaciones de movimiento del sistema. .................................................................................. 4
3.1. E. Cinética, E.Potencial y F. disipación Rayleigh: .................................................................. 6
3.2. Ecuaciones de movimiento para cada coordenada.............................................................. 6
3.3. Planteamiento matricial de las ecuaciones de movimiento. ............................................... 8
4. Cálculo y representación gráfica de las frecuencias naturales y modos de vibración. ............ 9
5. Integración Numérica del movimiento del vehículo. ............................................................. 12
5.1. Representación fuerza transmitida al terreno por cada rueda. ......................................... 15
6. CÓDIGOS MATLAB .................................................................................................................. 17
6.1. Archivo Principal ................................................................................................................. 17
6.2. Parámetros. ........................................................................................................................ 18
6.3. Función Terreno. ................................................................................................................ 19
6.4. Fuerzas de Reacción. .......................................................................................................... 20
6.5. Función a Integrar. ............................................................................................................. 20
6.6. Matrices. ............................................................................................................................. 21
2
1. Parámetros
Los valores geométricos y de masa e inercia se han obtenido de la siguiente página web:
http://www.eng.auburn.edu/~dmbevly/mech4420/vehicle_params.pdf
Se escogerá como modelo de coche el Audi Quattro 4000, primero en la lista de modelos.
Los datos utilizados, atendiendo a la nomenclatura de la información de la web, son:
Longitud del vehículo (Wheel-base)= 2,520 m
Distancia centro gravedad a rueda delantera (CG Location from Front Axle)= 1,124 m
Peso (weight) = 12161 N
Momento Inercia de cabeceo (moments of inertia Pitch) = 2328 kg· m2.
Para los valores de rigideces y amortiguamiento se han consultado los valores de las siguientes
páginas:
http://www.google.com/patents/WO2008138067A1?cl=en
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1678-58782008000100010
http://ocw.uc3m.es/ingenieria-mecanica/laboratorio-de-tecnologias-iv/material-
didactico/neumaticos.pdf
Según el enunciado tenemos que obtener un valor para la primera frecuencia natural acotado
entre 0,7 𝑦 1 𝐻𝑧.
Usando configuraciones con los valores encontrados la primera frecuencia natural ronda los 1,5
Hz, con lo cual, he tenido que ajustar los parámetros para obtener una frecuencia inferior a 1 Hz.
Se han ajustado los valores de Rigidez del neumático, además de la rigidez de la suspensión.
Los parámetros asociados a cada valor son los siguientes:
Símbolo Valor Unidades
Rigidez Suspensión 𝑘𝑠 20000 N/m
Amortiguamiento Suspensión 𝑐𝑠 1937 N·s/m
Rigidez Rueda 𝑘𝑛𝑠 60000 N/m
Amortiguamiento Rueda 𝑐𝑛𝑠 50 N·s/m
Masa Suspendida (Coche) 𝑚𝑠 619.83 kg
Masa No Suspendida (Rueda) 𝑚𝑛𝑠 52.5 kg
3
Momento de Inercia del
vehículo respecto su centro de
masas.
𝐼𝐺 1164
Kg·m2
Distancia rueda trasera a C.M. 𝑏 1,396 m
Distancia rueda delantera a
C.M. 𝑎 1,124
m
2. Simulación del terreno
Como fuerza de excitación en el sistema mecánico a estudiar se utilizará el perfil del terreno,
que es una fuerza determinista periódica.
Se utilizan unos valores aleatorios para crear el perfil del terreno mediante una suma de
armónicos, que, si bien se calcula para unos valores aleatorios, es perfectamente conocido a lo
largo del tiempo.
Modelizaremos el terreno mediante la siguiente expresión:
Necesitamos diez valores para 𝐴𝑖 , 𝜑𝑖 𝑦 𝜆𝑖. A continuación un extracto del código de Matlab
con los valores utilizados:
% Cogemos unos valores aleatorios para A_i, lambda_i y phi_i % Amplitudes A_i. Valores aleatorios entre 1 y 20 mm A_i=1/1000*[1.24 9.14 3.77 15.44 19.11 6.12 7.34 16.79 13.95 8.61]; % Desfase phi_i. Valores entre 0 y 2*pi 6.28 phi_i=[0.38 1.21 4.12 0.14 2.47 2.44 6.17 1.01 6.11 0.51]; % Longitud de onda lambda_i. Valores entre 5 y 30 m lambda_i=[7.95 18.69 5.01 14.45 6.46 7.94 17.54 16.41 6.79 19.03];
4
A continuación la variabilidad del terreno para una velocidad de v=5 m/s.
3. Ecuaciones de movimiento del sistema.
Necesitamos obtener las ecuaciones de movimiento del sistema:
𝑀 �̈� + 𝐶 �̇� + 𝐾 𝑞 = 𝐹(𝑡)
Para obtener dichas matrices utilizaremos el método de las ecuaciones de Lagrange:
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑞�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖+𝜕𝐹
𝜕𝑞�̇�= 0
Donde:
𝐿 = 𝑇 − 𝑈
𝑇 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑈 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹 = 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖𝑔ℎ
Para la obtención de la fuerza de excitación del modelo a estudiar, F(t), se llegará a ella
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Tiempo(s)
altu
ra (
mm
)
Perfil del terreno para v=20 m/s
5
mediante el planteamiento energético de Lagrange, estando implícita en los términos de energía
potencial y función de disipación de Rayleigh.
Antes de nada hay que tener claro las coordenadas generalizadas a utilizar, en nuestro caso el
propio enunciado nos deja claro cuales usar, en la imagen inferior están perfectamente detalladas:
𝑞𝑖 → 𝑥𝑡 𝑥𝑑 𝑥𝑐 𝜃𝑐
El paso más importante para obtener de forma correcta las ecuaciones de movimiento es definir
bien el comportamiento del modelo a utilizar, esto nos asegura plantear bien el balance
energético del sistema, con lo que la obtención de las ecuaciones de movimiento se convierte en
una tarea sistemática y directa.
En la imagen de a continuación se observa los valores utilizados para los desplazamientos
producidos para cada muelle-amortiguador:
6
Ahora estamos en disposición de plantear la energía cinética, potencial y Función de disipación
de Rayleigh.
3.1. E. Cinética, E.Potencial y F. disipación Rayleigh:
𝑇 =1
2𝑚𝑠𝑥�̇�
2 +1
2𝐼𝑐𝜃�̇�
2+1
2𝑚𝑛𝑠𝑥�̇�
2 +1
2𝑚𝑛𝑠𝑥�̇�
2
𝑈 =1
2𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑡 − 𝑦𝑡)
2 +1
2𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑑 − 𝑦𝑑)
2 +1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡)
2 +1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑)
2
𝐹 =1
2𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�)
2 +1
2𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�)
2 +1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�)
2 +1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�)
2
3.2. Ecuaciones de movimiento para cada coordenada.
A continuación se procederá a la obtención de todas las ecuaciones de movimiento, coordenada
a coordenada, obteniendo para cada una de ellas los términos de la ecuación de Lagrange por
separado:
𝑞𝑖 = 𝑥𝑡
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑡+𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 0
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) =
1
2· 2 𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� = 𝑚𝑛𝑠𝑥�̈�
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑡= 2 ·
1
2𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑡 − 𝑦𝑡) − 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑖𝑏 − 𝑥𝑡) = 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑡 − 𝑦𝑡) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑖𝑏 − 𝑥𝑡)
𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 2 ·
1
2𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) = 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�)
Agrupando queda:
𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑡 − 𝑦𝑡) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) = 0
𝑞𝑖 = 𝑥𝑑
7
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑑+𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 0
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) =
1
2· 2 𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� = 𝑚𝑛𝑠𝑥�̈�
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑑= 2 ·
1
2𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑑 − 𝑦𝑑) − 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) = 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑑 − 𝑦𝑑) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑)
𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 2 ·
1
2𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�)
Agrupando queda:
𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑑 − 𝑦𝑑) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑖𝑎 − 𝑥𝑑) + 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
𝑞𝑖 = 𝑥𝑐
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑐+𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 0
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥�̇�) =
1
2· 2 𝑚𝑠𝑥�̈� = 𝑚𝑠𝑥�̈�
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑐= 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑)
= 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑)
𝜕𝐹
𝜕𝑥�̇�= 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�)
= 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�)
Agrupando queda:
𝑚𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) + 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
𝑞𝑖 = 𝜃𝑐
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝜃�̇�) −
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝑐+𝜕𝐹
𝜕𝜃�̇�= 0
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝜃�̇�) =
1
2· 2𝐼𝑔𝜃�̈� = 𝐼𝑔𝜃�̈�
8
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝑐= 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) · (−𝑏) + 2 ·
1
2𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) · 𝑎
= −𝑏 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑎 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑)
𝜕𝐹
𝜕𝜃�̇�= 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) · (−𝑏) + 2 ·
1
2𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) · 𝑎
= −𝑏 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝑎 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�)
Agrupando queda:
𝐼𝑔𝜃�̈� − 𝑏𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑎𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) − 𝑏𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝑎𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
Ya se han hallado las 4 ecuaciones correspondientes a las 4 coordenadas generalizadas:
𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑡 − 𝑦𝑡) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) = 0
𝑚𝑛𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑛𝑠(𝑥𝑑 − 𝑦𝑑) − 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑖𝑎 − 𝑥𝑑) + 𝐶𝑛𝑠(𝑥�̇� − 𝑦�̇�) − 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
𝑚𝑠𝑥�̈� + 𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) + 𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
𝐼𝑔𝜃�̈� − 𝑏𝑘𝑠(𝑥𝑐 − 𝜃𝑐𝑏 − 𝑥𝑡) + 𝑎𝑘𝑠(𝑥𝑐 + 𝜃𝑐𝑎 − 𝑥𝑑) − 𝑏𝐶𝑠(𝑥�̇� − 𝜃�̇�𝑏 − 𝑥�̇�) + 𝑎𝐶𝑠(𝑥�̇� + 𝜃�̇�𝑎 − 𝑥�̇�) = 0
3.3. Planteamiento matricial de las ecuaciones de movimiento.
Debemos llegar a la ecuación de movimiento:
𝑀 �̈� + 𝐶 �̇� + 𝐾 𝑞 = 𝐹
Mediante las ecuaciones de movimiento, ordenando término a término, llegamos a las siguientes
expresiones matriciales:
𝑀 = (
𝑚𝑛𝑠 00 𝑚𝑛𝑠
0 00 0
0 00 0
𝑚𝑠 00 𝐼𝑔
)
𝐶 = (
𝐶𝑛𝑠 + 𝐶𝑠 00 𝐶𝑛𝑠 + 𝐶𝑠
−𝐶𝑠 𝑏𝐶𝑠−𝐶𝑠 −𝑎𝐶𝑠
−𝐶𝑠 −𝐶𝑠𝑏𝐶𝑠 −𝑎𝐶𝑠
2𝐶𝑠 𝐶𝑠(𝑎 − 𝑏)
𝐶𝑠(𝑎 − 𝑏) 𝐶𝑠(𝑎2 + 𝑏2)
)
9
𝐾 = (
𝑘𝑛𝑠 + 𝑘𝑠 00 𝑘𝑛𝑠 + 𝑘𝑠
−𝑘𝑠 𝑏𝑘𝑠−𝑘𝑠 −𝑎𝑘𝑠
−𝑘𝑠 −𝑘𝑠𝑏𝑘𝑠 −𝑎𝑘𝑠
2𝑘𝑠 𝑘𝑠(𝑎 − 𝑏)
𝑘𝑠(𝑎 − 𝑏) 𝑘𝑠(𝑎2 + 𝑏2)
)
𝐹 = (
𝐶𝑛𝑠𝑦�̇� + 𝑘𝑛𝑠𝑦𝑡𝐶𝑛𝑠𝑦�̇� + 𝑘𝑛𝑠𝑦𝑑
00
)
�̈� = (
𝑥�̈�𝑥�̈�𝑥�̈�𝜃�̈�
) ; �̇� = (
𝑥�̇�𝑥�̇�𝑥�̇�𝜃�̇�
) ; 𝑞 = (
𝑥𝑡𝑥𝑑𝑥𝑐𝜃𝑐
)
El término de la fuerza F(t) se obtiene teniendo en cuenta la variación del terreno a la hora de
plantear la energía del sistema.
4. Cálculo y representación gráfica de las frecuencias naturales y modos de
vibración.
Para calcular las frecuencias naturales del sistema y modos de vibración éstos se calculan mediante el modelo sin amortiguar.
𝑀 �̈� + 𝐾 𝑞 = 0
Para la obtención de las frecuencias naturales debo resolver un problema de autovalores:
|𝑀 − 𝑤𝑖2𝐾| = 0
Una vez resuelto el problema de autovalores anterior resuelvo el problema de autovectores:
[𝑀 − 𝑤𝑖2𝐾] · ∅𝑖 = 0
Estos cálculos anteriores se realizan mediante Matlab con la orden “eig”, obteniendo de forma
fácil y rápida los datos buscados. A continuación se muestran los valores obtenidos:
Modos:
10
Frecuencias:
Debemos comprobar que el valor de la primera frecuencia natural está entre 0.7 y 1 Hz.
𝑤12 = 38,6 → 𝑤1 = √38,6 = 6,21 → 𝑓1 =
𝑤12𝜋= 0,989 𝐻𝑧
Representación Modo 1:
11
Representación Modo 2:
Representación Modo 3:
12
Representación Modo 4:
5. Integración Numérica del movimiento del vehículo.
Tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de 2º orden, para poder utilizar el comando
ode45 de Matlab debemos convertirlo en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Realizamos el proceso que sigue:
Tenemos que resolver: 𝑀 �̈� + 𝐶 �̇� + 𝐾 𝑞 = 𝐹
Realizamos el cambio de variable siguiente
𝑢 = (𝑞�̇�) =
(
𝑥𝑡𝑥𝑑𝑥𝑐𝜃𝑐𝑥�̇�𝑥�̇�𝑥�̇�𝜃�̇�)
Y reescribimos el sistema de la siguiente manera:
(𝐼 0
0 𝑀) · �̇� = (
0 𝐼
−𝐾 −𝐶) · 𝑢 + (
0
𝐹)
Se ha convertido el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en uno equivalente
de primer orden.
13
Representación del perfil del terreno 𝒚(𝒕) junto al movimiento del chasis 𝒙𝒄.
𝑉𝑒𝑙 = 5 𝑚/𝑠
𝑉𝑒𝑙 = 20 𝑚/𝑠
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Tiempo(s)
altu
ra (
mm
)Altura terreno y vehículo frente al tiempo v=5 m/s
Vehículo
Terreno
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-150
-100
-50
0
50
100
150
Tiempo(s)
altu
ra (
mm
)
Altura terreno y vehículo frente al tiempo V=20 m/s
Vehículo
Terreno
14
𝑉𝑒𝑙 = 40 𝑚/𝑠
CONCLUSIÓN:
Podemos observar en las gráficas anteriores lo siguiente:
- Vehículo a 5 m/s: se puede observar que el centro de gravedad del vehículo (𝑥𝑐) sigue la
trayectoria del perfil del terreno prácticamente.
- Vehículo a 20 m/s: se produce un aumento brusco de la altura del c.g. del vehículo.
Tenemos una amplitud en el movimiento del vehículo considerablemente mayor a la
altura del terreno.
- Vehículo a 40 m/s: en ésta gráfica se observa lo contrario a lo que ocurre en el vehículo
cuando circula a 20 m/s, el movimiento del vehículo es más suave respecto al terreno, la
amplitud de sus movimientos es mucho menor.
A la vista de los resultados comentados anteriormente y queriendo hacer un paralelismo de cómo
se comporta un vehículo en la vida real podemos decir que los resultados tienen sentido y
podemos darlos por correctos. Cuando vamos a una velocidad muy baja el vehículo sigue las
irregularidades que hay en el terreno, conforme empezamos a acelerar el vehículo nota bastante
las irregularidades, y cuando la velocidad es algo mayor el vehículo se va estabilizando y las
suspensiones van absorbiendo las irregularidades del terreno.
Esto se debe a que el perfil del terreno, que actúa como fuerza de excitación en el modelo del
vehículo, presenta la misma frecuencia que el coche, con lo cual podríamos decir que se produce
el fenómeno de resonancia.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Tiempo(s)
altura
(m
m)
Altura terreno y vehículo frente al tiempo v=40 m/s
Vehículo
Terreno
15
5.1. Representación fuerza transmitida al terreno por cada rueda.
𝑉𝑒𝑙 = 5 𝑚/𝑠
𝑉𝑒𝑙 = 20 𝑚/𝑠
5 10 15 20 25 30 35 402.5
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo(s)
Fue
rza
(kN
)
Fuerza de ambas ruedas frente al tiempo v=5 m/s
Rueda delantera
Rueda trasera
2 3 4 5 6 7 8 9 101
2
3
4
5
6
7
Tiempo(s)
Fue
rza
(kN
)
Fuerza de ambas ruedas frente al tiempo v=20 m/s
Rueda delantera
Rueda trasera
16
𝑉𝑒𝑙 = 40 𝑚/𝑠
La fuerza del peso se ha tenido en cuenta única y exclusivamente en éste apartado, ya que como
vimos en teoría, podemos realizar un cambio de variable introduciendo el peso que nos lleva a
un modelo exactamente igual al que hemos estudiado. Aun así, a la hora de calcular las
reacciones sí que se ha tenido en cuenta. (Ver código Matlab).
CONCLUSIÓN
Observamos en las gráficas anteriores lo siguiente:
- A la velocidad 5 m/s la interacción de las ruedas con la carretera varía bastante de ser la
delantera a la trasera, esto se debe a que como la velocidad es muy baja, el equilibrio
estático del vehículo influye bastante. Se observa como la reacción en la rueda delantera
es mayor que la reacción en la rueda trasera ya que el C.G. del vehículo está más cerca de
ésta que de la trasera.
- En cuanto a las reacciones sobre el terreno, para las velocidades de 20 y 40 m/s las gráficas
son algo más parecidas en cuanto forma. Sin embargo para la velocidad de 40 m/s se
producen unas reacciones mayores.
Esto se debe a que para que el vehículo se estabilice y su centro de masas no tenga
grandes oscilaciones, debe estar diseñado de tal forma que las irregularidades del terreno
las absorba la suspensión y que ésta a su vez, junto con la rueda, transmita las fuerzas al
suelo.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo(s)
Fuerz
a (
kN
)Fuerza de ambas ruedas frente al tiempo v=40 m/s
Rueda delantera
Rueda trasera
17
6. CÓDIGOS MATLAB
6.1. Archivo Principal
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% ARCHIVO PRINCIPAL %%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clc; clf; clear all;
global vel k_ns k_s c_ns c_s m_ns m_s I a b L tiempo g t_fin
%Cargamos parámetros. [vel, k_ns, k_s, c_ns, c_s, m_ns, m_s, I, a, b, L, tiempo,g, t_fin] =
ParametrosVEHICULO;
[ M, C, K ] = matrices;
% FRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN [MOD,FREC]=eig(K,M); w1=sqrt(FREC(1,1)); f1=w1/(2*pi)
% INTEGRACIÓN NUMÉRICA % Hemos convertido el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo
orden % en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. % La matriz siguiente 'M_ode' está formada a su vez por un conjunto de % submatrices y a esta matriz se le aplica la opción del comando ode45
'Mass', % con lo cual Matlab trabaja con la matriz de la forma más eficiente sin % necesidad de invertirla para resolver el sistema: % M_ode*x'= f(x,t)
%Montaje de matriz M_ode=[eye(4) zeros(4) zeros(4) M];
%Condiciones iniciales y0=zeros(8,1);
op=odeset('Mass',M_ode); [T,q]=ode45(@fun_int,tiempo,y0,op);
% Evalúo la función del terreno para todos los valores de la variable T for i=1:length(T) t=T(i); [yd, yd_dt, yt, yt_dt]=terreno(t); yd_(i)=yd; yt_(i)=yt; yd_dt_(i)=yd_dt; yt_dt_(i)=yt_dt; end
18
%Representación Terreno sólo figure(1) plot(tiempo,yt_) ;grid on xlabel('Tiempo(s)'); ylabel('altura (mm)'); title(strcat('Perfil del terreno para v=', int2str(vel),' m/s'));
%Representación del perfil del terreno frente a la coordenada xc del %vehículo figure(2) plot(tiempo,q(:,3)*1000); hold on; grid on plot(tiempo,yt_*1000,'r') xlabel('Tiempo(s)'); ylabel('altura (mm)'); title(strcat('Altura terreno y vehículo frente al tiempo v=',
int2str(vel),' m/s')); legend('Vehículo','Terreno')
%Fuerzas [ Fd, Ft ] = fuerzas( q, yd_, yd_dt_, yt_, yt_dt_ ); %Representación reacciones ambas ruedas frente al tiempo figure(3); plot(tiempo,Fd/1000);hold on; grid on plot(tiempo,Ft/1000,'r') xlabel('Tiempo(s)'); ylabel('Fuerza (kN)'); title(strcat('Fuerza de ambas ruedas frente al tiempo v=',
int2str(vel),' m/s')); legend('Rueda delantera','Rueda trasera') xlim([1.5 t_fin])
% %Representación coordenadas xt,xd y xc frente al tiempo % figure(4) % plot(tiempo,q(:,1)*1000);hold on % plot(tiempo,q(:,2)*1000,'r') % plot(tiempo,q(:,3)*1000,'g') % xlabel('Tiempo(s)'); ylabel('mm'); % title(strcat('Coordenadas xt,xd,xc frente al tiempo. v=',
int2str(vel),' m/s')); % legend('xt','xd','xc')
6.2. Parámetros.
function [vel, k_ns, k_s, c_ns, c_s, m_ns, m_s, I, a, b, L, tiempo, g,
t_fin] = ParametrosVEHICULO
vel=20; %Velocidad de avance del coche. m/s. Valores 5, 20
y 40 inc=0.01; k_ns=60000; %Rigidez neumático. N/m k_s=20000; %Rigidez suspensión. N/m c_ns=50; %Amortiguamiento Neumático. N*seg/m c_s=1937; %Amortiguamiento suspensión. N*seg/m m_ns=52.5; %Kg m_s=12161/(2*9.81); %Kg I=2328/2; %Kg*m2 a=1.124; %Distancia eje delantero a G. m
19
L=2.52; %Longitud del vehículo b=L-a; %Distancia eje trasero a G. m
g=9.81;
% La longitud del terreno debe ser 200 metros con lo cual s=v*t=200 t_fin=200/vel;
tiempo=(0:inc:t_fin);
end
6.3. Función Terreno. function [ yd, yd_dt, yt, yt_dt] = terreno (t)
global vel L % y(s)= A*cos(2*pi/lambda*s) % y(t)= A*cos(2*pi/lambda*v*t) nota: s=v*t
% Necesitamos la altura con el tiempo del terreno así como de la % derivada de ésta. % y(t)= SUM(A_i*cos(2*pi/lambda_i*v*t+phi_i) % y'(s)=-2*pi*v*SUM((A_i/lambda_i)*sin(2*pi/lambda_i*v*t+phi_i))
% Cogemos unos valores aleatorios para A_i, lambda_i y phi_i % Amplitudes A_i. Valores aleatorios entre 1 y 20 mm. A_i=1/1000*[1.24 9.14 3.77 15.44 19.11 6.12 7.34 16.79 13.95 8.61]; % Desfase phi_i. Valores entre 0 y 2*pi 6.28 phi_i=[0.38 1.21 4.12 0.14 2.47 2.44 6.17 1.01 6.11 0.51]; % Longitud de onda lambda_i. Valores entre 5 y 30 m lambda_i=[7.95 18.69 5.01 14.45 6.46 7.94 17.54 16.41 6.79 19.03];
%Valor inicial yt=0; yt_dt=0; yd=0; yd_dt=0;
for i=1:length(A_i) v=vel; %RUEDA DELANTERA yd_i=A_i(i)*cos(2*pi/lambda_i(i)*v*t+phi_i(i)); yd_i_dt=-
2*pi*v*(A_i(i)/lambda_i(i))*sin(2*pi/lambda_i(i)*v*t+phi_i(i)); %sumatorio: yd=yd+yd_i; yd_dt=yd_dt+yd_i_dt;
%RUEDA TRASERA yt_i=A_i(i)*cos(2*pi/lambda_i(i)*(v*t-L)+phi_i(i)); yt_i_dt=-2*pi*v*(A_i(i)/lambda_i(i))*sin(2*pi/lambda_i(i)*(v*t-
L)+phi_i(i)); %sumatorio: yt=yt+yt_i; yt_dt=yt_dt+yt_i_dt;
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end
6.4. Fuerzas de Reacción. function [ Fd, Ft ] = fuerzas( q, yd_, yd_dt_, yt_, yt_dt_ )
global k_ns c_ns a b tiempo g L m_s m_ns % 1 2 3 4 5 6 7 8 % q=(xt xd xc tetac xt_dt xd_dt xc_dt thetac_dt);
% Todo el análisis se ha realizado sin tener en cuenta el peso del % vehículo, ésto se puede realizar utilizando el cambio de variable % utilizado en clase. Sin embargo para ver la fuerza ejercida en el
suelo % debemos tenerla en cuenta.
%Tomando momentos Calculo las reacciones estáticas de ambas ruedas. p_d=m_ns*g+(b/L)*m_s*g; p_t=m_ns*g+(a/L)*m_s*g;
for i=1:length(tiempo)
% Para calcular la fuerza transmitida al terreno debemos saber la
velocidad % y posición relativa del eje de las ruedas y el terreno. des_t=(q(i,1)-yt_(i)); des_d=(q(i,2)-yd_(i)); vel_t=(q(i,5)-yt_dt_(i)); vel_d=(q(i,6)-yd_dt_(i));
Ft(i)=c_ns*vel_t+k_ns*des_t +p_t; Fd(i)=c_ns*vel_d+k_ns*des_d +p_d; end
6.5. Función a Integrar. function [ f ] = fun_int( t, q ) %Parámetros global k_ns c_ns
[ M, C, K ] = matrices;
% Acción ejercida por el terreno: [yd, yd_dt, yt, yt_dt]=terreno(t); F_1=c_ns*yt_dt+k_ns*yt; F_2=c_ns*yd_dt+k_ns*yd; F=[0 0 0 0 F_1 F_2 0 0]';
A=[zeros(4) eye(4) -K -C];
f=A*q+F;
end
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6.6. Matrices. function [ M, C, K ] = matrices
% Parámetros. global k_ns k_s c_ns c_s m_ns m_s I a b
%Matriz de masa M=[m_ns 0 0 0 0 m_ns 0 0 0 0 m_s 0 0 0 0 I];
%Matriz de amortiguamiento C=[c_ns+c_s 0 -c_s b*c_s 0 c_ns+c_s -c_s -a*c_s -c_s -c_s 2*c_s c_s*(a-b) b*c_s -a*c_s c_s*(a-b) c_s*(a*a+b*b)];
%Matriz de Rigidez. K=[k_ns+k_s 0 -k_s b*k_s 0 k_ns+k_s -k_s -a*k_s -k_s -k_s 2*k_s k_s*(a-b) b*k_s -a*k_s k_s*(a-b) k_s*(a*a+b*b)];
end