modelamiento estadístico de la precisión de un escáner...

Modelamiento Estadístico de la precisión de un escáner laser

terrestre (TLS)

Lorena Lizeth Herrera De La Rosa

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ingeniería, Maestría en Ciencias de la Información y las Comunicaciones

Bogotá, Colombia

2018

Modelamiento Estadístico de la precisión de un escáner laser

terrestre (TLS)

Lorena Lizeth Herrera De La Rosa

Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título

de:

Magister en ciencias de la información y las comunicaciones

Director (a):

MSc. William Barragán Zaque

Línea de Investigación:

Exactitud Escáner Láser Terrestre

Grupo de Investigación:

Geotopo

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ingeniería, Maestría en Ciencias de la Información y las Comunicaciones

Bogotá, Colombia

2018

(Dedicatoria o lema)

A mi familia, mi director, mi universidad y a

INGEOMAD SAS quienes me han visto crecer

como persona y profesional, cediendo su

espacio, tiempo y sabiduría para que yo pueda

dar por hecho este proyecto investigativo y con

él, poner fin a un nuevo ciclo de mi vida.

Agradecimientos

Durante la realización de este proyecto debo agradecer en primera instancia a mi director

de tesis, por la paciencia, constancia y respaldo que obtuve de él a lo largo del desarrollo

de la investigación.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por haberme acogido en sus aulas, por

el aprendizaje que tuve en ella y por el inmenso cariño que le profeso por haber hecho de

mí, la profesional que hoy en día soy.

A Ingeomad Ingeniería y Geofísica Sas, porque me permitió crecer con ella día a día

llenándome de nuevos aprendizajes y retos en mi vida laboral, además de permitirme

realizar sin restricción alguna el desarrollo de este trabajo de grado.

A mi Familia que siempre cree en mí y comparte todas mis luchas sin importar lo difíciles

que parezcan.

Resumen y Abstract IX

Resumen La investigación de este proyecto se centra en estudiar la precisión de los datos

capturados por un Escáner Laser Terrestre (TLS) Faro Focus 3D con el fin de desarrollar

un modelo estadístico a partir de la experimentación y/o variación de diferentes parámetros

de referencia a partir de los cuales se pueda realizar un análisis diferencial de los datos

capturados con dicho equipo con respecto a los adquiridos con Estación Total por medio

de metodologías convencionales de levantamientos topográficos.

Palabras clave: Escáner Láser Terrestre, TLS, Modelo estadístico, Exactitud TLS

X Modelamiento estadístico de la precisión de un escáner laser terrestre (TLS)

Abstract

This research is focused on analyzing the accuracy of the data collected by a Terrestrial

Laser Scanner (TLS) “Faro Focus 3D” comparing it with the data obtained from a total

station with the objective to develop a statistical model which compares the variation of

different kinds of reference parameters doing a differential analysis between the traditional

methods of surveying and the modern ones.

Keywords: Terrestrial Laser Scanner, TLS, Statistical Model, TLS Accuracy

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ........................................................................................................................ IX

Lista de Figuras ............................................................................................................ XII

Lista de Tablas ............................................................................................................ XIII

Lista de Símbolos y abreviaturas ............................................................................... XIV

Introducción ............................................................................................................... XVII

Hipótesis de la Investigación ......................................................................................... 1

Objetivos de la Investigación ......................................................................................... 2

1. Marco Teórico ........................................................................................................... 3

1.1 Tecnología Escáner Laser 3D ............................................................................ 3

1.1.1 Triangulación Laser ......................................................................................... 3

1.1.2 Tiempo de Vuelo del Escáner Laser ................................................................ 4

1.1.3 Cambio de Fase del Escáner Láser ................................................................. 4

1.1.4 TLS .................................................................................................................. 4

1.2 Precisión de un TLS ........................................................................................... 5

1.3 Rangos de Error TLS ......................................................................................... 6

1.3.1 Distancia: ......................................................................................................... 6

1.3.2 Ángulo de Incidencia ....................................................................................... 7

1.3.3 Geometrías sobre la superficie ........................................................................ 7

1.4 Comparación de Rangos de Error del TLS ......................................................... 7

1.5 Métodos de Calibración De Un Escáner Láser Terrestre .................................... 8

1.5.1 Ecuaciones de observación ........................................................................... 10

1.6 Modelos Matemáticos ...................................................................................... 11

1.6.1 Modelo de errores sistemáticos ..................................................................... 11

1.7 Modelo Estadístico del Error ............................................................................ 13

1.8 Modelo Lineal Generalizado (MLG) .................................................................. 14

1.8.1 Heteroscedásticidad ...................................................................................... 15

1.8.2 No- Normalidad.............................................................................................. 15

1.8.3 Linealidad ...................................................................................................... 16

1.8.4 Inferencia del MLG ........................................................................................ 16

1.8.5 Estadística de WALD ..................................................................................... 16

2. Metodología ............................................................................................................ 17

2.1 Diseño del experimento .................................................................................... 17

XII Modelamiento estadístico de la precisión de un escáner laser terrestre (TLS)

2.1.1 Diseño de objetos o targets de reconocimiento. ............................................ 19

2.2 Implementación del diseño ............................................................................... 21

2.2.1 Levantamiento topográfico convencional ....................................................... 21

2.2.2 Levantamiento TLS ....................................................................................... 22

3. Resultados ............................................................................................................. 24

3.1. Definición Modelo estadístico............................................................................ 24

3.2. Validación del Modelo ....................................................................................... 33

4. Conclusiones y recomendaciones ....................................................................... 35

4.1. Conclusiones .................................................................................................... 35

4.2. Recomendaciones ............................................................................................ 36

Contenido XIII

Lista de figuras Pág.

Figura 1-1: Definición de la observación de la Transformación de un objeto al espacio

del escáner j[38]. .......................................................................................... 12

Figura 2-1: Zona de estudio Universidad Nacional de Colombia ................................... 17

Figura 2-2: Superficie de estudio costado del Estadio Alfonso López ............................ 18

Figura 2-3: Diagrama de diseño de experimento ........................................................... 19

Figura 2-4:Diseño de tipos de targets u Objetivos de captura para escaneo con TLS ... 19

Figura 2-5: Levantamiento Topográfico con Estación Total de la superficie de estudio . 21

Figura 2-6: Levantamiento por medio de TLS FARO FOCUS 3D de la superficie de estudio ......................................................................................................... 22

Figura 3-1: Plot de la densidad del error medio ............................................................. 28

Figura 3-2: Gráfico de dispersión de la respuesta vs las covariables Distancia y Ángulo ..................................................................................................................... 29

Figura 3-3: Box-plot del error medio para cada target.................................................... 30

Figura 3-4: Bandas del 99% de confianza para la verificación del ajuste ....................... 33

Figura 3-5: Distancia de Cook para el reconocimiento de observaciones potencialmente influyentes. ................................................................................................... 34

Contenido XIV

Lista de tablas Pág.

Tabla 1-1: Comparación de rangos de error de diferentes TLS ........................................ 8

Tabla 1-2: Familia de Distribuciones de MLG[51] ........................................................... 15

Tabla 2-1: Dimensiones Tipos de Target de captura ...................................................... 20

Tabla 2-2: Parámetros de escaneos capturados con el TLS FARO FOCUS 3D ............. 23

Tabla 3-1: Datos de las medias de las distancias euclidianas entre las coordenadas observadas y las teóricas por target en cada escaneo. ................................. 26

Tabla 3-2: Estadísticas descriptivas del error medio ....................................................... 27

Tabla 3-3: Estimación de los parámetros, error estándar, significancia y estadística de WALD. .......................................................................................................... 32

Contenido XV

Lista de Símbolos y abreviaturas Abreviaturas

Abreviatura Término TLS Escáner Láser Terrestre

LIDAR Light Detection and Ranging o Laser Imaging Detection and Ranging

MLG Modelo Lineal Generalizado

Introducción

Las especificaciones técnicas del Fabricante del Escáner Laser Terrestre Faro focus 3D

se encuentran delimitadas a unos rangos de distancias entre los 0,6m y 120m para los

cuales se establece un error sistemático de ±2�� por cada intervalo entre 10m y 25m;

razón por la cual se presenta la necesidad de hallar un modelo estadístico que permita

establecer los rangos de error de los datos adquiridos teniendo en cuenta ángulos de

incidencia[1][2], distancias de captura [3][4] y targets u objetivos de captura para el

escaneo, para evidenciar de manera estadística la influencia que estas variables tienen en

los errores de medición de los datos capturados por un TLS Faro Focus 3D.

De esta manera, cuando se capturan datos sobre un escenario y se genera un modelo en

3D de las superficies, estas mediciones son vulnerables a los efectos de ruido que se

presentan en el montaje de un proyecto, debido a muchos factores que pueden distorsionar

las dimensiones de los objetos; por esto se propone el desarrollo de un modelo estadístico

que incluya las variables de objetos o targets, distancia y ángulos de incidencia que pueden

afectar la exactitud de los datos capturados dentro de la generación de modelos 3D[5] [6]

[7] a partir de datos obtenidos de un TLS.

Esta investigación tiene como objetivo principal determinar un modelo estadístico que

represente la precisión de los datos adquiridos por un TLS a través de la realización de

pruebas de campo en diferentes escenarios donde deben interactuar las variables de

distancia, ángulo de incidencia y objetivos o targets a escanear. Dicho objetivo se plantea

con la intención de establecer los errores en medición que se tienen al implementar estas

nuevas tecnologías que son de gran avance para el campo de la topografía. Para ello, se

define el siguiente esquema de trabajo. En el capítulo 1 se revisa el marco de referencia y

teórico que sirve de base para el desarrollo del objetivo de la investigación. El capítulo 2

establece la metodología de la investigación en donde se define el diseño del experimento

XVIII Introducción

y los modelos estadísticos a implementar para obtener el mejor ajuste posible de datos

que permita establecer la exactitud de las mediciones realizadas con TLS Faro Focus 3D

vs las obtenidas por topografía convencional. Dentro del capítulo 3 y 4 se presentan los

resultados y las conclusiones obtenidas de la investigación, con la obtención del modelo

estadístico estimado, validado e interpretado que se ajusta al objetivo principal del trabajo

de grado.

Hipótesis Este proyecto está enfocado a responder la pregunta de si ¿Es posible establecer rangos

de error en la adquisición de datos en campo por medio de un escáner Laser Terrestre

Faro Focus 3D a través de la definición de un modelo estadístico que incluya parámetros

variables de distancia, targets y ángulos de incidencia?

2 Introducción

Objetivo General Proponer un modelo estadístico para la precisión de un escáner laser terrestre (TLS)

Objetivos Específicos Realizar pruebas de campo con el Escáner Laser Terrestre Faro Focus 3D que permitan

establecer los diferentes parámetros que afectan la precisión en la adquisición de los datos.

Comparar el rango de precisión del Escáner Laser Terrestre Faro Focus 3D determinados

por la variación de distancias, ángulos de incidencia y geometrías sobre las superficies de

captura.

Implementar un modelo estadístico que permita plasmar la precisión de los datos

capturados por el Escáner Laser Terrestre Faro Focus 3D.

1. Marco Teórico

En este capítulo se especifican los temas relacionados con modelos matemáticos,

estadísticos, métodos de calibración y precisión de TLS que se usaron como fundamento

teórico para lograr los objetivos de este trabajo.

1.1 Tecnología Escáner Laser 3D

La Tecnología del escáner láser 3D revela plenamente las ventajas del láser, tales como

la buena directividad, una fuerte coherencia y el pequeño ángulo de divergencia. Dentro

de las características más importantes de esta tecnología se encuentran una alta precisión,

velocidad, sencillez en el manejo, fuerte capacidad anti-interferencia y el conveniente

procesamiento de datos.

Los Escáneres láser 3D por lo general se pueden clasificar en tres categorías principales

como: los de triangulación láser, según el tiempo de vuelo y el cambio de fase. Estas

técnicas de exploración láser se utilizan normalmente de forma independiente, pero

también se pueden utilizar en combinación para crear un sistema de exploración más

versátil. También hay muchas otras tecnologías de escaneado láser que son híbridos y /o

combinaciones de otras tecnologías de escaneado 3D.

1.1.1 Triangulación Laser

Se lleva a cabo mediante la proyección de una línea láser o punto sobre un objeto y luego

la captura de su reflexión con un sensor situado a una distancia conocida desde la fuente

del láser[8] . El ángulo de reflexión resultante puede ser interpretado para dar mediciones

3D de la pieza.

4 Modelamiento estadístico de la precisión de un escáner laser terrestre (TLS)

1.1.2 Tiempo de Vuelo del Escáner Laser

Sucede cuando se emite un pulso de luz láser que se refleja en el objeto a analizar[9]. La

reflexión resultante que se detecta con un sensor y el tiempo que transcurre entre la

emisión y detección de los rendimientos de la distancia al objeto se conoce como tiempo

de Vuelo del escáner Laser.

1.1.3 Cambio de Fase del Escáner Láser

Trabajo mediante la comparación del cambio de fase en la luz láser reflejada a una fase

estándar, que también es capturada para la comparación. Es similar al tiempo de detección

de vuelo, excepto que la fase de la luz láser reflejada refina aún más la detección de

distancia.

Además de esta clasificación, En los últimos años el LIDAR (Light Detection and Ranging),

se ha desarrollado a partir de dos diferentes modos de escaneo denominados escaneo

láser terrestre (TLS) y escaneo láser aéreo (ALS)[10], los cuales han traído grandes

avances en las áreas de la teledetección y fotogrametría de campo, como herramientas

eficientes para la adquisición de datos de manera rápida y fiable en 3D; donde la

reconstrucción de objetos se realiza con base en tierra para TLS, y en avión o helicóptero

para ALS, obteniendo modelos en 3D a partir del tiempo empleado por el rayo láser en ir y

volver al objeto (principio tiempo-de-vuelo)[11].

1.1.4 TLS

Los modelos en 3D han tenido gran acogida en los últimos años como un campo

emergente en la ciencia de la información geográfica; así la utilidad y versatilidad de sus

aplicaciones apuntaron al desarrollo de la cartografía urbana en tres dimensiones[12]. El

desarrollo de las técnicas de escaneo láser 3D se basa en la topografía y la cartografía,

que por medio de nuevas tecnologías dejó atrás métodos tradicionales de

posicionamiento pasando a la asignación de coordenadas en 3D [13] para la generación

de un conjunto de datos o nubes de puntos que configuran la abstracción de un láser

escáner Terrestre.

Capítulo 1 5

La diversidad de los escáneres que son ofrecidos por los fabricantes, se pueden clasificar

en función de sus especificaciones técnicas tales como la precisión, rango de distancia,

ángulo de visión y velocidad de exploración[14], que permiten extraer detalles de medición,

forma, posición y ángulos por medio de las técnicas de la desviación del haz del rayo láser,

que está relacionado con el ángulo máximo de barrido y la resolución de la imagen

generada por la captura de los datos.

Entre las diversas aplicaciones que han surgido a partir de esta tecnología en el ámbito

ambiental y social se han desarrollado proyectos como la experimentación y aplicación a

la caída de rocas y deslizamiento de tierras, en su detección y deformación milimétrica a

partir de una nube de puntos de alta resolución, para determinar las variaciones

dimensionales del terreno por la comparación de escaneo láser terrestre secuencial[15]

(que implican movimientos de deslizamiento de tierra y caída de rocas).

El funcionamiento de un escáner laser terrestre se produce gracias a las tecnologías

LIDAR, que se desarrollaron a partir de la información obtenida desde un sensor remoto

que emite un pulso de láser para determinar distancias, calculando el tiempo que tarda la

señal en ir y regresar con la información capturada de la superficie del terreno[16].

Este mismo principio se implementa en la tecnología del sistema del láser escáner terrestre

que posee y emite un haz de rayo láser en el centro de un espejo giratorio, desviándolo en

una rotación vertical alrededor del medio ambiente que se está escaneando. El haz se

refleja a continuación, desde el objeto sobre una superficie hasta llegar nuevamente al

escáner, y el desplazamiento de fase de la onda de la luz entrante en relación a la emitida,

se mide para obtener la distancia desde el escáner hasta el objeto [17].

La característica de disminución en los tiempos para efectuar la captura de un objeto, se

debe a la velocidad a la que viaja el rayo láser; por lo que la resolución de escaneado

[18][19] se puede ajustar a 5 mm de tamaño de píxel, lo que evidencia que el número de

datos 3D extraídos por un escáner láser terrestre sea tan grande en fracciones de segundo.

1.2 Precisión de un TLS

Las precisiones requeridas en el desarrollo de proyectos relacionados con mediciones

absolutas, difieren de los requerimientos u aplicaciones que tengan cada uno de ellos; en

el área de la topografía obtener una buena exactitud en la adquisición de los datos,


depende de las especificaciones técnicas de los equipos que se utilizan, el personal

encargado de su manipulación, y las condiciones ambientales en el momento de la captura

de la información; por lo que es necesario conocer los rangos de error que se pueden

obtener para diferentes condiciones establecidas por el ambiente, las geometrías,

superficies y distancias de captura.

Uno de los métodos desarrollados para estimar los errores sistemáticos de un escáner

láser terrestre, es el método de la auto-calibración [20] que es ampliamente utilizado en

fotogrametría para estimar los parámetros enlazados a altas correlaciones; para las cuales

hay que conseguir la manera de disminuir dichos errores.

1.3 Rangos de Error TLS

Para efectuar las pruebas que permitan obtener los rangos de error de un láser escáner

Terrestre, se deben desarrollar en un campo de prueba con un número suficiente de puntos

de referencia, que se pueden configurar con prismas, esferas u objetivos. Los puntos se

distribuyen dentro del área de la superficie a escanear. Los puntos de referencia deben

estar referidos a coordenadas reales, a través de un levantamiento en campo por medio

de una estación total. En un ajuste neto 3D utilizando las coordenadas de la estación, se

puede obtener la desviación estándar de las coordenadas de los puntos de referencia.

1.3.1 Distancia:

La precisión de una medición depende de las diferencias con una distancia en una línea

base, que se compone de puntos distribuidos a una distancia constante. Se pueden tener

distancias de referencia medidos por un escáner Láser Terrestre. Cada objetivo o target

se escanea tres veces en la secuencia hacia adelante y hacia atrás respectivamente.

El rango de error producido en distancia, podría existir como consecuencia de un

desplazamiento entre el puesto de tiro láser y el origen del sistema de coordenadas del

escáner y / o latencia electrónica espacial desconocida.

Capítulo 1 7

1.3.2 Ángulo de Incidencia

El ángulo de incidencia se define como el ángulo entre el rayo láser y la normal de la

superficie considerada. Se sabe que la orientación de la superficie del objeto influye en la

calidad de los datos de la nube de puntos.

1.3.3 Geometrías sobre la superficie

Diferentes características de la superficie tienen gran influencia dentro de un proceso de

escaneo. Para separar la influencia de las características de la superficie, se deben probar

diferentes tipos de texturas y geometrías para analizar los rangos de precisión bajo algunos

de estos escenarios. Además, los cuerpos geométricos del material y las diferentes formas

se deben escanear, con el fin de examinar qué geometrías se pueden aproximar en la

nube de puntos con una mayor exactitud.

Por ejemplo, al escanear una superficie de vidrio, la mayor parte de la luz láser que lanza

el escáner directamente, pasa a través del cristal y se produce muy poca reflexión. Si el

escáner no recibe la luz reflejada, no puede determinar la ubicación del punto al escanear

la superficie del material reflectante, la luz tendrá una seria reflexión, que crea mucho ruido

por encima de la superficie de exploración.

1.4 Comparación de Rangos de Error del TLS

Aunque las mediciones TLS son exactas, las exploraciones están sujetas a la medición de

ruido. Los fabricantes suelen proporcionar las especificaciones técnicas, incluyendo la

precisión de las mediciones realizadas en las superficies de referencia, en condiciones de

laboratorio como se puede visualizar en la Tabla 1-1, que fue extraída de las

especificaciones técnicas [56][57][58][59] de cada uno de los fabricantes listados a

continuación.


Tabla 1-1: Comparación de rangos de error de diferentes TLS

TLS Rango de

Error Campo de visión

Error sistemático

de distancia

Precisión

Angular Rango de ruido

FARO FOCUS

3DS 20

0,6m –

120m vertical: 300°

horizontal: 360° ±2mm.

v: 6” h: 6”

@10m – datos originales: 0,6mm @90 % refl.

LEICA

SCANSTATION

P20

3 mm a 50

m; 6 mm a

100 m

vertical: 270°

horizontal: 360° ≤ 1 mm

v: 8” h: 8”

@10m- 100m: datos

originales:0,4mm-9mm

TOPCON

GLS-1500 1m a 150m vertical: 70°

horizontal: 360° ±4mm v: 6”

h: 6” 30m @ 90%, 150m@18%

TRIMBLE TX8

0.6m- 120m vertical: 60°

horizontal: 360° <2 mm v: 16,5”

h:16,5”

@2m –100m datos originales:

2mm @90 %

reflectividad

Fuente: Elaboración Propia

El rango de error establecido por los diferentes fabricantes, determina el intervalo sobre el

cual puede encontrarse el error sistemático de distancia, para las medidas definidas en

cada uno de las referencias de TLS más conocidos enunciados en la tabla. En la columna

de Campo de Visión se encuentra el ángulo máximo vertical y horizontal, sobre el cual se

efectúan los barridos de nubes de puntos en campo. La precisión angular está relacionada

con el error que puede tener el equipo, en cuanto a las diferencias angulares barridas con

las medidas angulares reales y el rango de ruido es directamente proporcionado al

porcentaje de reflectividad que provea el tipo de material barrido, teniendo en cuenta la

precisión de los datos originales.

A partir de la determinación de los rangos de error sobre cada uno de los parámetros

establecidos, se configura una expresión matemática que debe ser validada por medio de

la comparación de datos por levantamientos, a partir de topografía convencional. de

investigación.

1.5 Métodos de Calibración De Un Escáner Láser Terrestre

Para aumentar la precisión del escáner [21][22][23][24] se han propuesto diversos

esquemas de calibración empírica [25][26] desarrollados con un escáner láser terrestre en

condiciones de laboratorio y de campo, utilizando objetivos de brillo y un panel de

Capítulo 1 9

referencia calibrada [27]. Además de esto se centra la atención en los factores que afectan

la precisión de un escáner terrestre, como la iluminación, la alineación [28], el objeto, el

examinador, y el software utilizado para convertir las mediciones en imágenes virtuales[29].

La precisión de un escáner láser terrestre, es en gran medida limitada por los errores

instrumentales sistemáticos, por lo que estos equipos deben ser calibrados por medio de

métodos que faciliten la extracción de los parámetros de error. En los últimos años, la auto-

calibración [30][31][32] ha demostrado ser un método popular para lograr minimizar este

tipo de errores.

Por otro lado, algunos métodos postulan que el funcionamiento de cualquier instrumento

de medición puede ser evaluado basándose en el hecho de que los puntos permanecen

fijos durante todo el proceso de medición y a partir de esto se analiza el comportamiento

de los datos obtenidos, mientras el instrumento determina el movimiento de los puntos

medidos desde diferentes tomas; lo que se relaciona directamente con la incertidumbre del

sistema [33][34]. Esto quiere decir que si el sistema presenta cero incertidumbres, las

mediciones relativas[35] de los puntos serían idénticas para todas las ubicaciones de

instrumentos.

Para la determinación de los parámetros de posición y orientación[36] del escáner se han

realizado estimaciones mediante métodos de mínimos cuadrados, en los que las

coordenadas de los objetos espaciales referidos a los puntos de control son fijas y las

coordenadas espaciales del escáner se establecen como observables. Idealmente, esto

se hace en términos de coordenadas esféricas, pero también es común el empleo de

coordenadas cartesianas.

Los puntos de control que se ubican en diferentes posiciones y orientaciones capturados

por el escáner, se utilizan para el registro de las nubes de puntos a partir de los cuales se

incluyen Parámetros Adicionales(AP) [37] a las ecuaciones de observación para corregir

simultáneamente los sesgos y los alineamientos de los ejes del escáner, entre otros.

La calibración basada en un modelo geométrico [38] con parámetros adicionales para un

escáner láser terrestre, también ha sido implementada con buenos resultados ya que este


instrumento tiene sistemas completamente automáticos, en donde los valores de

calibración se pueden incluir directamente.

En la captura de cada uno de los puntos que harán parte de la nube, se enfoca la

resolución que regula el nivel de detalles identificables dentro de los datos escaneados y

se clasifican según la resolución angular, la gama y la intensidad [39]. El principal problema

en cuestión es el impacto de la resolución angular de diferente rango de exploración y

ángulo.

Si se pueden obtener los rangos de error de los equipos tradicionales de topografía, a

través de la precisión determinada por medio de varios métodos; es posible llevar a cabo

un análisis de precisión para sistemas de escaneo láser terrestre por el control de diversas

medidas de calibración [40] [41].

1.5.1 Ecuaciones de observación

Las ecuaciones planteadas a continuación son resultado del planteamiento de puntos de

control o targets [42], ubicados en un espacio para poder determinar a partir del barrido

de un escáner láser terrestre, las diferencias en el ángulo y la rotación; y con ello las

variaciones de coordenadas de los objetos capturados. Por lo que en la transformación de

un cuerpo rígido, del punto i desde el espacio de objetos del escáner, al espacio del

escáner j en el que se realizan las observaciones, se encuentran definidas por (ver

Ecuación 1.1) [43].

�� = �� − �

��= �� − �

��

(1.1)

Dónde:[Xs, Ys, Zs] son el espacio de objetos con coordenadas de posición del escáner j.

[ω, φ, κ] Son los ángulos de incidencia [ω, φ, �] para la rotación del objeto espacial al

espacio del escáner j. [X, Y, Z] Son el espacio de objetos coordenados del punto objeto i.

[x, y, z] Son las coordenadas del punto objeto i en el espacio del escáner j. R1, R2, R3,

son las matrices para la rotación sobre los ejes X-, Y- y Z- respectivamente.

Capítulo 1 11

Los parámetros [Xs, Ys, Zs] y [ω, φ, �]] constituyen elementos de la orientación exterior

(EO) de la ubicación del escáner j [43]. A partir de las coordenadas cartesianas

establecidas en la ecuación 1.1, se derivan cantidades por parametrización geométrica en

términos de las observaciones básicas del rango, ρ, dirección horizontal, θ, y la elevación

(vertical) del ángulo, α.

! + #$%& = '�� + �� + �� + ∆! (1.2)

) + #*%& = arctan0��1 + ∆) (1.3)

2 + #3%& = arctan45�'�� + ��67+ ∆2 (1.4)

Dónde ν, en cada ecuación representa el residual respectivo de los parámetros de las

observaciones básicas del rango ρ, dirección horizontal, θ, y la elevación (vertical) del

ángulo α, teniendo en cuenta para cada uno de los anteriores las diferencias entre las

coordenadas del objeto y el espacio designado por el escáner. La sustitución de los

términos relevantes de la Ecuación 1.1 completa las ecuaciones de observación. Las

Ecuaciones 1.3 y 1.4[44], son argumentadas con los modelos de corrección de los

respectivos errores sistemáticos.

1.6 Modelos Matemáticos

1.6.1 Modelo de errores sistemáticos

El modelo geométrico de calibración se basa en la suposición de que los errores

instrumentales típicos de un escáner de láser considerado, corresponden a los de una

estación total; es decir que el sistema de coordenadas típicas del instrumento son

derivadas de los observables radiados por una estación, que está representada por un eje

vertical, un eje de inclinación horizontal, y el haz de láser [45]. Por lo tanto, el modelo

geométrico de base de los escáneres láser terrestres puede ser descrito por la definición


de un sistema de coordenadas esféricas (Ver Figura 1-1). Las posiciones espaciales

relativas de estos tres ejes se pueden expresar por 6 parámetros, tres traslaciones y tres

rotaciones. Los tres ángulos se miden en un plano paralelo a los dos ejes considerados.

Figura 1-1: Definición de la observación de la Transformación de un objeto al espacio del escáner j[38].

Los errores sistemáticos en las observaciones instrumentales TLS se pueden remontar a

las desviaciones del sistema ideal, en el que todos sus ejes se cortan en un punto común

y son mutuamente ortogonales [46].

Las ecuaciones del modelo se pueden escribir como la transformación entre coordenadas

cartesianas y esféricas (ver Ecuación (1.5)) [47], por lo que el escáner de láser local de

coordenadas x, y, z tiene que ser sustituido por las siguientes ecuaciones; con el fin de

expresar las observaciones originales del escáner láser, en función de la posición y la

orientación del escáner en un sistema de coordenadas global:

� = 8��9� − �:; + 8��9� − �:; + 8��9� − �:;� = 8��9� − �:; + 8��9� − �:; + 8��9� − �:;� = 8��9� − �:; + 8��9� − �:; + 8��9� − �:; (1.5)

Donde:

X, Y, Z = Coordenadas del objeto de un punto arbitrario.

Xo, Yo, Zo = Coordenadas de posición del escáner láser.

Capítulo 1 13

r, i, j = Elementos de matriz de rotación como función de los ángulos de rotación [ω, φ, κ]

entre el sistema de coordenadas de escáner de láser local y el sistema de coordenadas

global.

1.7 Modelo Estadístico del Error

El error es un vector con tres componentes cartesianos, uno para cada eje X, Y Z, y denota

Dx, Dy y Delta z, respectivamente; por lo que el error modular (Delta M) es la magnitud

equivalente a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los términos anteriores (ver

Ecuación (1.6)).

∆� = ∆�� + ∆�� + ∆�� (1.6)

Las estadísticas básicas del módulo (no se consideran ángulos) son las muestras

promedio, mínimo y máximo de los valores, la desviación estándar y la raíz del error

cuadrático medio (RMSE). La media de la muestra (µ) se calcula tomando la suma de todos

los valores de datos y dividiendo por el número total de valores de datos. La media de la

muestra es una medida de la ubicación, comúnmente llamado la media (ver Ecuación

(1.7)).

< = 1>?@�AB� (1.7)

La desviación estándar (S o SD) se calcula tomando la raíz cuadrada de la varianza (ver

Ecuación (1.8)). La varianza de la muestra es la suma de las desviaciones al cuadrado de

su promedio dividido, por uno menos que el número de observaciones en el conjunto de

datos. Es una medida de la difusión o dispersión de un conjunto de datos. En las

mediciones de alta precisión, se asocia con baja dispersión:

C = D1> 9@ − <;� (1.8)

La raíz del error cuadrático medio (RMSE), o el error estándar, es la raíz cuadrada de la

media del conjunto de los cuadrados, de las diferencias entre los valores de las

coordenadas del conjunto de datos y los valores de coordenadas de una fuente


independiente de mayor exactitud los puntos idénticos (ver Ecuación (1.9)). RMSE es una

buena medida de la precisión que se puede determinar cómo:

� CE = F1>?@�AB�

(1.9)

El RMSE es una expresión equivalente a la SD en la ausencia de sesgo (es decir, si es

igual a 0). Es importante calcular ambas magnitudes, SD y RMSE, debido a que la primera

se refiere a la precisión y la segunda a la exactitud [48].

1.8 Modelo Lineal Generalizado (MLG)

Conjunto de variables aleatorias independientes[49] 9��, ��, … , �A; con función de densidad, o función de probabilidad, que puede escribirse como:

J9KL|NL, O; = PQJ RKLNLST9NL;;UL9V; + W9KL, O;X(1.10)

Donde: NL es el parámetro natural o canónico O es un parámetro adicional de escala o dispersión UL9∙;, TL9∙;, WL9∙; Son funciones específicas

Si O es conocido este es un modelo de la familia exponencial lineal

Si O es desconocido es un modelo de dispersión exponencial

Los componentes del MLG[50, p.], se pueden expresar como < = EZ�[ en términos del predictor lineal \]� formado por un conjunto de ^ covariables.

\]� = \: + \�� +⋯+ \`�` (1.11)

Donde:

Conjunto de > variables respuesta independientes, de una distribución de la familia exponencial

Un vector de parámetros \ y una matriz del modelo �, determinando el predictor lineal de cada variable \]�

Capítulo 1 15

Una función vínculo monótona y diferenciable que define la relación entre < y su predictor lineal a9<; = \]� Las familias de distribuciones de MLG se dividen en gamma, binomial, Poisson y normal (Ver Tabla 1-2).

Tabla 1-2: Familia de Distribuciones de MLG [51]

FAMILIA FUNCIÓN VÍNCULO OTROS VÍNCULOS Gamma: b2��29c, d; a9<; = − �e = − fg (inverso)

Identidad y logaritmo

Binomial hi9>, j; a9<; = kla eASe = log pASp (logit)

Probit y complementario log log

Poisson ql9c; a9c; = log9c; (logaritmo)

Identidad y raíz cuadrada

Normal r9<, s�; a9<; = <(identidad)

Logaritmo y raíz cuadrada

A continuación, se describen algunas características propias para la implementación de un

MLG

1.8.1 Heteroscedásticidad

Los errores del modelo de regresión lineal serán heteroscedástico[52]; es decir, la

varianza de los errores no será constante en todos los valores de lo predicho para la

variable dependiente.

1.8.2 No- Normalidad

Los errores no se distribuirán normalmente debido a la cantidad limitada de valores

observados que una variable dependiente de categorías o conteos puede asumir. Por

ejemplo, cuando el criterio observado es binario, tomando solo valores de 0 o 1, el valor

de error para un valor predicho también es binario[52].

En este caso, los errores son condicionalmente discretos. Una variable discreta no se

puede distribuir normalmente, por lo que los errores no se pueden distribuir normalmente,

lo que hace que las pruebas estadísticas típicas y los intervalos de confianza en los

coeficientes de regresión no sean válidos.


1.8.3 Linealidad

La regresión múltiple supone un modelo lineal en los parámetros y lineal en las

variables[53]. Lineal en los parámetros indica que la puntuación pronosticada se obtiene

multiplicando cada predictor por su coeficiente de regresión asociado y luego sumando

todos los predictores.

1.8.4 Inferencia del MLG

Una vez seleccionado y ajustado un modelo concreto se plantea el problema de inferir

sobre la calidad del ajuste; dar intervalos de confianza de los parámetros resolver

contrastes de hipótesis y calcular la bondad del ajuste[54]. Para ello es imprescindible

conocer la distribución en el muestreo de los estimadores y de otros estadísticos que serán

útiles para medir la bondad del ajuste.

1.8.5 Estadística de WALD

Cuando el interés radica únicamente en estudiar la significación de un determinado

parámetro βk, o sea, en ver si es admisible la hipótesis βk = 0. El test de Wald consiste en

dividir el valor estimado βk por su desviación típica estimada S(βk)[55]. La hipótesis βk = 0

se rechaza si el valor obtenido es mayor que el percentil 1-α para una variable normal

tipificada5 , donde α es el riesgo de 1ª especie que se esté dispuesto a asumir.

La prueba de Wald es una forma de probar la significación de variables explicativas

particulares en un modelo estadístico. En la regresión logística, tenemos una variable de

resultado binaria y una o más variables explicativas. Para cada variable explicativa en el

modelo habrá un parámetro asociado.

2. Metodología

La información utilizada en la fundamentación teórica de esta investigación ha sido

obtenida principalmente de las fuentes ofrecidas por la Universidad Distrital Francisco José

de Caldas, en especial las bases de datos de revistas científicas a las que está suscrita. A

partir de dicha recopilación de información se inició con el diseño del experimento para

llevar a cabo el objetivo del estudio.

2.1 Diseño del experimento

Se planteó el desarrollo de un escenario, donde se pudiera escanear una superficie en un

rango de distancia visible de 0 a 120m, esto teniendo en cuenta las especificaciones

técnicas del TLS Faro Focus 3D, para lo cual se definió una locación que cumplía con

dicha condición dentro del campus de la Universidad Nacional en un costado del Estadio

Alfonso López (Ver Figura 2-1,2-2).

Figura 2-1: Zona de estudio Universidad Nacional de Colombia


UNIVERSIDAD NACIONAL DE

COLOMBIA AV

. NQ

S


Figura 2-2: Superficie de estudio costado del Estadio Alfonso López


Luego de establecer la zona de estudio, se procede a diseñar la localización de cada uno

de los puntos sobre los cuales se tendrán en cuenta la variación de diferentes ángulos y

distancias con relación a la superficie de captura, para lo cual se realiza el diseño en oficina

de cada uno de los tres ejes con ángulos de 30°, 60° y 90° y distancias conocidas como

se ve en la Figura 2-3. El diseño establecido se materializa en campo por medio de técnicas

de levantamiento topográfico convencional con una Estación Total.

Cada uno de los puntos materializados en campo es utilizado para ubicar sobre estos el

TLS Faro Focus 3D y realizar cada uno de los escaneos propuestos.

Capítulo 3 19

Figura 2-3: Diagrama de diseño de experimento en planta


2.1.1 Diseño de objetos o targets de reconocimiento.

Para la identificación de objetos dentro de los escaneos fue necesario diseñar una serie

de Targets u objetivos de reconocimiento para los escaneos, los cuales fueron pensados

para que se distinguieran en diversos colores, materiales, tamaños y formas pero que

además fueran de fácil elaboración y accesibilidad a sus materias primas.

Figura 2-4:Diseño de tipos de targets u Objetivos de captura para escaneo con TLS

(a)

(b)

(c)


(d)

(e)

(f)

(g)

(h)


En la Figura 2-4 se define el diseño de los tipos de targets de la siguiente forma: a) Tipo 1

Papel Negro, b) Tipo 2 Madera Tipo Cedro c) Tipo 3 Cinta Reflectiva, d) Tipo 4 Cartonplast

Blanco, e) Tipo 5 Cartonplast Rojo, f) Tipo 6 Papel Brillante, g) Tipo 7 Media Esfera de

Icopor, h) Tipo 8 Papel brillante con agujeros.

Tabla 2-1: Dimensiones Tipos de Target de captura

TIPO DE TARGET DIMENSIONES(m)

Tipo 1 0.08*0.08

Tipo 2 0.08*0.08

Tipo 3 0.05*0.085

Tipo 4 0.1*0.1

Tipo 5 0.1*0.1

Tipo 6 0.08*0.08

Tipo 7 Diámetro: 0.07

Tipo 8

Contorno:1*0.7

Polígonos Internos:2 Polígonos de 0.40*0.15

1 Polígono de 0.40*0.10

2 Polígonos 0.15*0.12


Capítulo 3 21

2.2 Implementación del diseño

Proceso mediante el cual el diseño del experimento definido en oficina se materializa en

campo por medio del Levantamiento Topográfico convencional y posterior a eso se realiza

el escaneado de la superficie de estudio desde diferentes puntos localizados en campo.

2.2.1 Levantamiento topográfico convencional

En la Figura 2-5 a partir del diagrama de diseño con la localización de cada uno de los

puntos sobre los tres alineamientos definidos en ángulos de 30°,60° y 90° con respecto a

la superficie de escaneo, se procede a localizar dichos puntos en el terreno por medio de

métodos de topografía convencional con estación total.

Figura 2-5: Levantamiento Topográfico con Estación Total de la superficie de estudio


Tras la demarcación en campo con estacas de cada uno de los puntos sobre los cuales se

realizan los escaneos, se elige el punto ubicado a 15.595m de distancia en un ángulo

perpendicular a la superficie de escaneo, como base para realizar el levantamiento

topográfico de los elementos dentro de esa superficie, incluidos la cantidad de objetivos

de escaneo por cada uno de los tipos targets, que se distribuyen aleatoriamente a lo largo

de la superficie teniendo en cuenta que se cubra de manera equitativa la totalidad del área.

Este levantamiento topográfico, sirve de insumo en el proceso de identificación y extracción

de coordenadas de los targets para realizar un análisis diferencial de la exactitud de los

datos capturados por medio del TLS con relación a las coordenadas reales levantadas por

topografía convencional.


2.2.2 Levantamiento TLS

El TLS FARO FOCUS 3D es un equipo que captura gran cantidad de puntos a alta

velocidad, que facilitan la medición y la documentación aplicables a diferentes campos de

ejecución, por otro lado, la información resultante de un escaneo, está formada por puntos,

que representan una reproducción digital exacta de la realidad capturada en un corto lapso

de tiempo.

Figura 2-6: Levantamiento por medio de TLS FARO FOCUS 3D de la superficie de estudio


Capítulo 3 23

Para la captura de datos por medio del TLS FARO FOCUS 3D enmarcado en el diseño del

experimento planteado, se procede con la ubicación del equipo en cada uno de los puntos

y desde allí realizar el levantamiento con los siguientes parámetros de configuración por

escaneo.

Si se incrementa el factor de calidad, se reduce el ruido en los datos y, por lo tanto,

aumenta la calidad del escaneo, lo que se traduce en un aumento del tiempo de

adquisición. Por otro lado, el nivel de calidad aplicados a un escaneo se realiza a través

de tasas de medición o aplicando compresión de ruido adicional.

El parámetro de resolución de escaneo tiene un rango de valores en orden descendente

de 1/1,1/2, 1/4,1/5, 1/8, 1/10, 1/16, 1/20 y 1/32 Megapuntos que está relacionado

directamente con el tamaño del escaneo, es decir con la cantidad de puntos horizontales

por la de verticales adquiridos dentro de la nube de puntos (Tabla 2-2).

Tabla 2-2: Parámetros de escaneos capturados con el TLS FARO FOCUS 3D

ESCANEO PARÁMETROS DE ESCANEO

TIEMPO RESOLUCIÓN CALIDAD

1 00:15:06 1/2 4X 2 00:10:21 1/2 4X 3 00:15:06 1/2 4X 4 00:08:48 1/2 4X 5 00:07:56 1/2 4X 6 00:07:56 1/2 4X 7 00:07:56 1/2 4X 8 00:04:47 1/2 4X 9 00:16:10 1/2 6X


Luego de la adquisición de datos capturados por el TLS FARO FOCUS 3D, estos deben

ser administrados y procesados, mediante el reconocimiento de objetos y/o targets

establecidos en el experimento.

3. Resultados

A continuación, se consignan los resultados relacionados con los objetivos especificados

en este proyecto.

3.1. Definición Modelo estadístico

Dentro de la especificación del modelo teórico se incluyen las variables protagonistas del

desarrollo del mismo, las cuales se establecen como la distancia de escaneo, los targets

u objetivos de reconocimiento del escaneo y los ángulo de incidencia propuestos, que para

el caso puntual de la modelación se van a tomar en sentido horario con respecto a la

superficie de captura, por lo que equivaldría a hablar de ángulos de 60°,90° y 150°

respectivamente teniendo en cuenta el diagrama del diseño del experimento.

En la búsqueda de un modelo estadístico, que explicara el comportamiento de las

observaciones obtenidas en campo de los targets levantados por medio de topografía

convencional y TLS, se acudió a diferentes áreas de la estadística, entre las cuales se

encuentran la geoestadística y los modelos lineales generalizados (MLG), siendo esta

última la solución óptima para el fin del estudio. Por un lado, la geoestadística prometía ser

una herramienta útil en la predicción del error obtenido al realizar las mediciones con el

escáner laser, puesto que considera la correlación espacial que pueda existir entre las

observaciones en un mismo escaneo, sin embargo, dichas predicciones tenían un

horizonte de tan solo 20 metros y estaban limitadas al espacio donde se realizaron las

medidas, el cuál es bastante ideal; contrario al sinnúmero de configuraciones que se

pueden encontrar en la práctica.

A partir de los datos obtenidos en los diferentes escaneos realizados con TLS y el del

levantamiento por medio de topografía convencional con Estación Total, se realiza un

análisis estadístico diferencial que toma como reales las coordenadas obtenidas por este

último levantamiento, es decir como variable de referencia para hallar la exactitud de los

Capítulo 3 25

errores en los datos obtenidos con el TLS. De lo anterior, se realiza el cálculo de la

distancia euclidiana [60] (Ver ecuación (3.1)) donde se obtienen los valores de error para

cada uno de los targets.

t9�, �, �; = u9�� − ��;� + 9�� − ��;� + 9�� − ��;� (3.1)

Donde la distancia euclidiana entre x, y, z está dada por la raíz de la suma del cuadrado

de las diferencias de las variables de la función. El resultado de esta ecuación representa

el error de los datos en la medición con TLS para cada uno de los targets, y a partir de este

valor se calculó la media por cada target dentro de cada uno de los escaneos, que de

ahora en adelante será entendida como la variable de respuesta (Ver Tabla 3-1) para el

desarrollo del modelo estadístico por medio de la implementación de MLG.

Haciendo uso del postulado donde las mediciones obtenidas entre targets son

independientes y así mismo entre los diferentes tipos de escaneo se utilizó el análisis de

MLG para ajustar un modelo al error medio (media de las distancias euclidianas entre las

coordenadas observadas y las teóricas) obtenido para cada escaneo en cada target

(Variable respuesta) teniendo como covariables el ángulo, la distancia y claro está, el

target.

El proceso de Estimación de parámetros, se realiza calculando el valor de los coeficientes

del modelo examinado a partir del conjunto de datos de las observaciones del error medio,

para determinar si el modelo teórico propuesto es aceptable como una representación

aproximada que se ajusta de la mejor forma a los datos.

Durante la Evaluación del modelo, se examinan y comprueban que las observaciones

individuales cumplan los supuestos de normalidad, linealidad, homoscedasticidad e

independencia característicos del MLG, a su vez la validación del modelo se realiza a partir

de los gráficos de bandas y el criterio de la distancia de cook, donde se verifica el ajuste

del modelo con los valores del error medio de las distancias euclidianas por target en cada

uno de los escaneos.


Tabla 3-1: Datos de las medias de las distancias euclidianas entre las coordenadas observadas y las teóricas por target en cada escaneo.

Ítem Target Distancia (m)

Angulo (°)

MEDIA (m)

1 8 25 150 0.02205067

2 8 25 90 0.01367816

3 8 50 60 0.06775874

4 8 50 90 0.05890487

5 8 15.495 90 0.03759075

6 7 25 150 0.06845394

7 7 25 90 0.12395044

8 7 50 60 0.04597412

9 7 50 90 0.0250471

10 7 15.495 90 0.04297409

11 6 25 150 0.02643668

12 6 25 90 0.05542163

13 6 50 60 0.10726779

14 6 50 90 0.06785023

15 6 80 90 0.27843284

16 6 120 90 0.06722321

17 6 15.495 90 0.05216812

18 5 25 150 0.16267164

19 5 25 90 0.0120312

20 5 50 60 0.10727106

21 5 50 90 0.02011177

22 5 120 90 0.09642393

23 5 15.495 90 0.1637303

24 4 25 150 0.04712705

25 4 25 90 0.03827929

Ítem Target Distancia (m)

Angulo (°)

MEDIA (m)

26 4 50 60 0.04023328

27 4 50 90 0.02296948

28 4 80 90 0.02451551

29 4 120 90 0.16905008

30 4 15.495 90 0.01985841

31 3 25 150 0.02954969

32 3 25 90 0.13050153

33 3 50 60 0.0411321

34 3 50 90 0.02014158

35 3 80 90 0.04872548

36 3 120 90 0.07377637

37 3 15.495 90 0.0249809

38 2 25 150 0.02924373

39 2 25 90 0.01537116

40 2 50 60 0.03831953

41 2 50 90 0.02080681

42 2 80 90 0.01955224

43 2 120 90 0.10032122

44 2 15.495 90 0.01688216

45 1 25 150 0.03425862

46 1 25 90 0.01633572

47 1 50 60 0.03858609

48 1 50 90 0.03207425

49 1 120 90 0.10081477

50 1 15.495 90 0.07824593


Para la implementación del análisis por medio de MLG se hace uso del software libre R

donde se realiza el desarrollo del modelo estadístico propuesto en la investigación.

Haciendo uso de la teoría del diseño del experimento, donde las mediciones realizadas en

cada uno de los escaneos son independientes entre sí (Ejemplo: Escaneo 2, es

independiente de los Escaneos 1,3,4,5,6,7,8 y 9) ya que fueron ejecutadas en diferentes

ángulos y distancias con respecto a la superficie de captura, adicional a esto los datos

Capítulo 3 27

obtenidos de los tipos de targets también cumplen con esta condición de independencia,

ya que las mediciones obtenidas para cada tipo target son independientes según el tipo de

target (Ejemplo: las medidas del target tipo 1, son independientes a las medidas de los

targets tipo 2,3,4,5,6,7 y 8) por lo que se propuso la implementación del análisis de MLG

para ajustar un modelo al error medio (media de las distancias euclidianas entre las

coordenadas observadas y las teóricas) (Ver Tabla 3-1) obtenido para cada escaneo en

cada target (Variable respuesta) teniendo como covariables el ángulo, la distancia y claro

está, el target. Para la definición de la variable respuesta dentro del modelo, fue necesario

descartar los escaneos 7 y 8 debido a que la resolución de estos, era demasiado pobre y

no se logró extraer información de coordenadas de los targets.

A partir de lo anterior se comenzó con la implementación del modelo en el software

estadístico R, para lo cual se inició con la premisa de considerar que el error es una variable

cuyo dominio son los reales positivos por lo que se propone un modelo de la familia de

distribuciones Gamma para explicar el comportamiento de esta variable. Para verificar si

la familia de distribuciones Gamma es adecuada para el ajuste del modelo se hace uso de

las estadísticas descriptivas (Ver Tabla 3-2).

Tabla 3-2: Estadísticas descriptivas del error medio

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Mínimo 0.01203 Cuartil 1 0.02463 Mediana 0.04068 Media 0.05990

Cuartil 3 0.07245 Máximo 0.27843 Fuente: Elaboración Propia

De las estadísticas descriptivas del error medio, se puede decir que la variable respuesta

es sesgada a derecha, (la media es mayor que la mediana) para verificar este hecho e

identificar la intensidad de dicho sesgo se ilustra en la Figura 3-1 la densidad de la dicha

variable respuesta.


Figura 3-1: Plot de la densidad del error medio


En la Figura 3-1, se observa un sesgo a derecha bastante pronunciado, razón por la cual

se establece la familia de distribuciones Gamma para la estimación del modelo.

De los gráficos que se ilustran en la Figura 3-2, se puede decir que la dispersión no es

constante entre las observaciones, nótese que el error medio toma valores entre 0 y 0.15

aproximadamente para todas las distancias medidas excepto para los 80m donde se

observa un posible dato atípico con un valor superior a 0.25 y una concentración de los

puntos aproximadamente entre 0 y 0.05. De manera análoga, en el gráfico de dispersión

de los ángulos se nota la presencia de un posible valor atípico para los ángulos de 90° y

150° y nuevamente, la dispersión de los puntos parece no ser homogénea entre ángulos.

Finalmente, del box-plot en la Figura 3-3 se observa que las cajas poseen anchos

diferentes, lo cual indica que no existe la misma dispersión de las observaciones entre

targets. Con base en lo anterior, se concluye que no es adecuado asumir una dispersión

constante, por tal motivo, se decide ajustar un modelo lineal generalizado doble.

Capítulo 3 29

Figura 3-2: Gráfico de dispersión de la respuesta vs las covariables Distancia y Ángulo



Figura 3-3: Box-plot del error medio para cada target


Considerando que la dispersión de la respuesta es más notoria entre targets, se propone

como resultado de este trabajo el siguiente modelo estadístico. (ver Ecuación (3.2)).

vwwwxwwwy �z ∼ b2��29<z, Oz;ln9<z; = ?\�z|

B� +\}�}z + \�:��:zln9Oz; = ?~�z|

B��, … , ��:�>t@^@>ti@>�@�

(3.2)

Donde:

�z = �1Cik2� − é�i�2l��@8#2�ió>^@8�@>@�@2k�28a@��0�ik2l��@8#2�ió>�>l@�t@k�28a@�� l>� = 1,… ,8 �}z = �i��2>�i2t@k2� − é�i�2l��@8#2�ió> ��:z = Á>a�klt@k2� − é�i�2l��@8#2�ió>

Capítulo 3 31

�z = E88l8�@tilt@k2� − é�i�2l��@8#2�ió> <z = �2kl8@�^@82tl^l�k2�il>2kt@k2� − é�i�2l��@8#2�ió>. Oz = q28á�@�8lt@ti�^@8�ió>2�l�i2tl2k2� − é�i�2l��@8#2�il>. \ = �>�8@�@>�llt@�8@�@>�l@>@k@88l8�@til@>@k�28a@��l> 8@�^@��l2k�28a@�1, ^282� = 2,… ,8 \} = �>�8@�@>�llt@�8@�@>�lt@k@88l8�@til^l8�2t2�@�8l2til>2k. \�: = �>�8@�@>�llt@�8@�@>�lt@k@88l8�@til^l8�2t2a82tl2ti�il>2k. ~� = �>�8@�@>�llt@�8@�@>�l@>k2ti�^@8�ió>^l8�2t2a82tl2ti�il>2k.

Para la identificación de las variables cuyo efecto es estadísticamente significativo sobre

el error medio esperado se acudió al estadístico de Wald, el cual está dado por la siguiente

expresión (ver Ecuación (3.3))

�� = \��s�� ∼ �9>−^;

(3.3)

Donde \�� y s��corresponden a las estimaciones de \ y su error estándar asociados, esto para j = 2,…,10. El estadístico de Wald está asociado al sistema de hipótesis (ver Ecuación (3.4)).

��::\ = 0#��3:\ ≠ 0 (3.4)

Dónde �: es equivalente a decir que el efecto de la variable � no es estadísticamente

significativo sobre el error medio esperado.

La regla de decisión del sistema de hipótesis es: ~: �@�ℎ2�28�:�i@k^ − #2kl82�l�i2tl@��@>l8��@@k>i#@kt@�ia>i�i�2>�i2�

Donde ^ − #2kl8 = 2 ∗ q�� > �AS`� n siendo el tamaño de muestra y p el número de

parámetros del modelo.


De manera análoga, se tienen los sistema de hipótesis asociados a los efectos de los ~ sobre la dispersión, dados por la siguiente expresión (ver Ecuación (3.5)).

��:: ~ = 0#��3:~ ≠ 0 (3.5)

Esto para j = 2,…,8.

Se obtiene que para una significancia del 1% la distancia es la única variable que tiene un

efecto estadísticamente significativo sobre el error medio esperado con un p-valor =

0.000974. Por otro lado, se concluyó que el parámetro Ozes constante para todo k, es

decir, las covariables asociadas a los targets no tienen un efecto estadísticamente

significativo sobre la dispersión. Por lo cual el modelo final teórico queda definido como

sigue (ver Ecuación (3.6))

�z ∼ b2��29<z, Oz;ln9<z; = \� +\}�}zln9Oz; = ~:��, … , ��:�>t@^@>ti@>�@� (3.6)

Los parámetros estimados, su error estándar y su p-valor asociado (Tabla 3-3).

Tabla 3-3: Estimación de los parámetros, error estándar, significancia y estadística de WALD.

Parámetro Estimación Error Estándar/Desviación

Estadística de WALD P-valor ¡¢ -3.2142 0.2240 -14.349 5.5752x10-19 ¡£ 0.007689 0.002257 3.407 0.000974 ¤¥ -0.7155 0.1856 -3.8851 0.0001197


Nótese que el parámetro ¡¢tiene un p-valor mayor al nivel de significancia del 1%, sin embargo, este se conserva por cuestiones de ajuste del modelo, cabe resaltar que este no tiene interpretación práctica.

Reemplazando el valor de las estimaciones sobre el modelo propuesto se obtiene el siguiente modelo estadístico final estimado (ver Ecuación (3.7)).

Capítulo 3 33

vxy �z ∼ b2��29<z, Oz;ln9<z�; = −3.2142 + 0.007689�}ln9Oz«; = −0.7155��, … , ��:�>t@^@>ti@>�@� (3.7)

3.2. Validación del Modelo

Para la validación del modelo se emplean los gráficos de bandas de un 99% confianza y

el criterio de la distancia de Cook para la identificación de observaciones potencialmente

influyentes. Al observar la Figura 3-4 que ilustra las bandas de confianza, se encuentra

que existen dos puntos fuera de estas (observaciones 19 y 18) para el modelo asociado a

la media, sin embargo, está distancia no es considerable y puede ser explicada por la

variación aleatoria de los datos, por otro lado, para el modelo asociado a la dispersión se

observa que no existe punto alguno fuera de las bandas, a partir de esto se concluye que

el modelo se ajusta adecuadamente. En los gráficos asociados a la distancia de Cook que

se ilustran en la Figura 3-5, se tiene nuevamente que la observación 18 presenta valores

posiblemente atípicos y en esto caso especial potencialmente influyentes, a esto se le

suma que las observaciones 15 y 23 también se postulan como potencialmente influyentes,

sin embargo, al extraer estas observaciones y realizar el ajuste del modelo no se generan

cambios estadísticamente significativos en el efecto de la distancia sobre el error medio

esperado.

Figura 3-4: Bandas del 99% de confianza para la verificación del ajuste



Figura 3-5: Distancia de Cook para el reconocimiento de observaciones potencialmente influyentes.


Finalmente, como \}« = 0.007688 > 0 se puede concluir que el error medio esperado

aumentará un Z@�^�\�� > 1 → Z@�^�\�� − 1[ ∗ 100%Z@�^�\�� < 1 → Z1 − @�^�\�� [ ∗ 100%± = 0.7718%por cada metro

adicional en la distancia del escáner. Teniendo en cuenta que un intervalo del 99% de

confianza para \} está dado por [\}«± 2.5758 ∗ s}�[, es decir [0.00033, 0.015], al sacar el

exponencial a los limites se tiene que el intervalo queda dado por [1.00033, 1.01515] a

partir del cual se concluye que por cada metro adicional en la distancia del escáner el error

medio esperado aumentará entre un 0.033% y un 1.5%.

4. Conclusiones y recomendaciones

4.1. Conclusiones

En el presente trabajo se ha mostrado que es posible obtener un modelo con base en

fundamentación estadística para determinar la exactitud de los datos adquiridos por medio

de un TLS, a partir del cual se estableció que, por cada metro adicional en la distancia del

escáner con relación a una superficie de estudio, el error medio esperado aumentará entre

un 0.033% y un 1.5%.

Dentro de las especificaciones técnicas del equipo Faro Focus 3D, se describe de manera

generalizada el error en las medidas del equipo como ±2mm por cada intervalo entre 10m

y 25m limitando dicho error en un rango de distancia máxima de hasta 120m, a partir del

desarrollo del modelo con base en las pruebas de campo se pudo establecer que a una

distancia de 120m el error de medición que se puede tener es calculado entre 52.3mm y

122.9mm.

A partir del análisis estadístico dentro del desarrollo del modelo, se pudo establecer que,

de las variables o parámetros involucradas inicialmente, la distancia es la que mayor

incidencia tiene sobre los errores que se pueden presentar en los datos adquiridos con el

TLS Faro Focus 3D, pero por otro lado la variación de ángulos y targets no presenta gran

significancia dentro de la exactitud de los datos al compararlos con los obtenidos por

topografía convencional. Sin embargo, dentro de las pruebas de campo realizadas, se

pudo observar que la resolución del escaneo o la cantidad de puntos capturados disminuye

para la misma superficie de estudio, al aumentar la distancia y al realizar escaneos desde


ángulos entre dos rangos aproximados, el primero de 0 a 60° y el segundo de 120° a 180°

si se toman los ángulos en sentido horario con relación a la superficie de captura.

Teniendo en cuenta la variable respuesta introducida en el modelo como la media de las

distancias euclidianas entre las coordenadas observadas y las teóricas, se pudo establecer

que el tipo de target que arroja mejor exactitud es el tipo 2 que corresponde con madera

tipo cedro y por el contrario el que más error presenta es el Tipo 6, hecho de papel brillante.

En el diseño del experimento se planeó comparar dos escaneos realizados desde un

mismo punto mediante el TLS Faro Focus 3D, pero configurado con diferentes parámetros

de calidad, como en el caso de los escaneos 8 y 9, tomados a 120m a un ángulo de 90°

con una resolución de 1/2 y variando el factor de calidad por 4x y 6x respectivamente, se

pudo validar que el parámetro de calidad del TLS está relacionado con la reducción del

ruido en los datos de escaneo lo cual hace que el tiempo de captura se incremente y que

exista gran pérdida de información, caso que no fue conveniente en esta investigación ya

como consecuencia de esto, el escaneo 9 que fue capturado con factor de calidad 6x tuvo

que ser descartado en la modelación estadística de los datos.

4.2. Recomendaciones

Teniendo en cuenta que, en el resultado de la implementación del modelo, se obtuvo que

las variables de ángulo de incidencia y target no presentan una afectación significativa

dentro de la exactitud de los datos adquiridos con el TLS Faro Focus 3D, sería un gran

aporte realizar una investigación donde se pueda establecer la posible relación de estas

dos variables con relación a la resolución del escaneo es decir si de estas depende la

cantidad de puntos capturados en un escaneo.

El modelo estadístico generado, se realizó teniendo en cuenta los errores medios de las

distancias euclidianas entre el levantamiento topográfico con estación y el levantamiento

por medio de TLS Faro Focus 3D con variables de distancia, ángulo de incidencia y target,

por lo que si se quiere obtener los rangos de error para otro tipo de TLS sería recomendable

poder validar por medio de los procedimientos plasmados en este trabajo el ajuste de

dichos datos al planteamiento de este modelo.

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