MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOSRaíces de ecuacionesRaíces de ecuaciones

Rafael Guzmán CabreraRafael Guzmán Cabrera

Abril-2009Abril-2009

Campus Irapuato-SalamancaCampus Irapuato-Salamanca

División de Ingenierías. División de Ingenierías.

PresentaciónPresentación

Programa de la materiaPrograma de la materia

Programa…..Programa…..

ProgramaPrograma

BibliografiaBibliografia

PonderaciónPonderación

Tareas……………………… 20 %Tareas……………………… 20 %

2 exámenes parciales………40 % (20 % c/u)2 exámenes parciales………40 % (20 % c/u)

1 examen final……………. 40 % 1 examen final……………. 40 %

PolíticasPolíticas

*Puntualidad al ingreso a clases.*Puntualidad al ingreso a clases.

*La entrega de tareas es obligatoria. Si el *La entrega de tareas es obligatoria. Si el alumno no entrega al menos el 95% de los alumno no entrega al menos el 95% de los problemas solicitados durante el trimestre, se le problemas solicitados durante el trimestre, se le descontará 1 punto de la calificación FINAL.descontará 1 punto de la calificación FINAL.

*No hay prórroga respecto a la entrega de *No hay prórroga respecto a la entrega de tareas o a la presentación de cualquier tipo de tareas o a la presentación de cualquier tipo de examen.examen.

División sintéticaDivisión sintética

f(x)

x

Función polinomial

La función:

se conoce como función polinomial de n–simo grado. También se hará referencia a P(x) como un polinomio de grado n Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio y pueden ser reales o complejos.

Definición

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn

Las soluciones de la ecuación las llamamos raíces de la función P. Si los coeficientes de la función son reales y la raíz también, tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica de la función.

El dominio de la función puede ser el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos.

Raíz = cruce por el eje XRaíz = cruce por el eje X

f(x)

x

Los métodos numéricos son técnicas Los métodos numéricos son técnicas

mediante las cuales es posible formular mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que problemas matemáticos de tal forma que

puedan resolverse usando operaciones puedan resolverse usando operaciones

aritméticas.aritméticas.

Importancia de los Métodos Importancia de los Métodos NuméricosNuméricos

Una definición de análisis numérico podría Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; ser el estudio de los errores en los cálculos;

error aquí no quiere decir, equivocación u error aquí no quiere decir, equivocación u omisión, omisión, sino más bien una discrepancia sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas. manejan los números o fórmulas.

Análisis NuméricoAnálisis Numérico

– Cálculo de derivadasCálculo de derivadas– IntegralesIntegrales– Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales– Operaciones con matricesOperaciones con matrices– InterpolacionesInterpolaciones– Ajuste de curvasAjuste de curvas– PolinomiosPolinomios– Los métodos numéricos se aplican en áreas como:Los métodos numéricos se aplican en áreas como:– Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería

Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc... Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...

Los métodos numéricos pueden ser aplicados Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:para resolver procedimientos matemáticos en:

Teorema del Residuo:Teorema del Residuo:

El residuo de la divisiEl residuo de la división del ón del polinomio P(x) entre el binomio x polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c).- c es P(c).

Es decir el residuo se obtiene Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.el polinomio.

EjemploEjemplo: Determine el residuo de la divisi: Determine el residuo de la división de ón de

P(x) = x P(x) = x3 3 - 3x- 3x2 2 + x + 5 entre x - 2.+ x + 5 entre x - 2.

De acuerdo con el teorema del residuo:De acuerdo con el teorema del residuo:

R = P(2) = (2)R = P(2) = (2)33 – 3(2) – 3(2)22 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 = +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 = 33

Comprobando por división sintética:Comprobando por división sintética:

22| 1| 1 -3 1 5 -3 1 5 2 -2 -2 2 -2 -2 ------------------ ------------------ 1 -1 -1 1 -1 -1 | 3| 3 Residuo Residuo

Teorema del Factor:Teorema del Factor:

Si el residuo de la divisiSi el residuo de la división del polinomio ón del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x).x – c es un factor de P(x).

Se busca el residuo, empleando el Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de Pbinomio x – c es un factor de P(x).(x).

Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4

Buscamos el residuo:

Por el teorema del residuo:

R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4 = 0 x + 1 es factor.

Por división sintética:

-1| 2 1 3 4 -2 1 -4 -------------------- 2 -1 4 |0 Residuo x + 1 es factor

Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2.

Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación.

Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la

ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0

resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0

x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0

x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida.

Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución.

Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1

-1 | 1 - 4 1 6 Escribimos:

- 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 )

1 - 5 6 | 0 | = 0

( Dividendo = divisor x cociente + residuo )

entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya

sea factorizando o por la fórmula cuadrática.

En este caso factorizamos:

( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3.

Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }

Ejemplo:

15624 234 xxxx 5x

4 2 –6 –5 1

4

20 22

110104

520515

25752576

5

2576551510422415624 23234 xxxxxxxx

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir :

EjerciciosEjercicios