métodos matemáticos
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Ecuaciones Diferenciales ordinariasTRANSCRIPT
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Metodos Matematicos. Tarea 1
Nombre: Rafael Mora Vazquez Fecha: 18/02/2015
1. Ejercicio 1
Resolver la ED de primer orden
du (x)
dx=u (x)− 4x
x− u (x). (1)
Dibuja un campo direccional y algunas curvas integrales.
Solucion: Introducimos una nueva variable dependiente dada por
y =u(x)
x, (2)
de modo que
u(x) = xy ⇒ du
dx= y + x
dy
dx. (3)
Al sustituir este cambio de variable en la expresion (1) se obtiene
y + xdy
dx=y − 4
1− y,
la cual se puede arreglar de la siguiente forma
dx
x=
1− yy2 − 4
dy ⇒∫dx
x=
∫1− y
(y + 2)(y − 2)dy. (4)
La integral del miembro derecho se resuelve por fracciones parciales, por lo cual se propone la siguienteforma
∫ (A
y + 2+
B
y − 2
)dy, (5)
al desarrollar por el metodo de fracciones parciales surge el siguiente sistema de dos ecuaciones con dosincognitas
A+B = −1 (6)
−2A+ 2B = 1, (7)
cuya solucion es
A = −3
4y B = −1
4. (8)
Al sustituir estas expresiones en (5) e igualando con la ec. (4) se obtiene∫dx
x= −3
4
∫dy
y + 2− 1
4
∫dy
y − 2. (9)
1
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Figura 1: Campo direccional de la ec. (1)
Al integrar en ambos miembros se llega a lo siguiente
ln
∣∣∣∣ C
((y + 2)3(y − 2))1/4
∣∣∣∣ = ln |x|, (10)
donde C es una constante de integracion. Al aplicar la exponencial en ambos miembros de la ecuacion,sustituyendo la forma explıcita de y dada en (2) y aplicando un poco de algebra se llega a
C = |u+ 2x|3|u− 2x| (11)
El campo direccional viene dado por la Figura 1.
2. Ejercicio 2
Encuentre el wronskiano de dos soluciones de la ED dada sin resolver la ecuacion
a)
x2d2u (x)
dx2+ x
du (x)
dx+(x2 + v2
)u (x) = 0.
b) (1− x2
) d2u (x)
dx2− 2x
du (x)
dx+ α (1 + α)u (x) = 0.
¿Reconoces estas ecuaciones?
Solucion: Expresamos la primera ecuacion de la forma estandar
d2u (x)
dx2+
1
x
du (x)
dx+
1
x2(x2 + v2
)u (x) = 0. (12)
Al usar la formula de Liouville vista en clase dada por
W (u1, u2) = C exp
(−∫ x
x0
p(x′)dx′), (13)
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donde C es una constante. Ahora identificamos de la ec. (12) el siguiente termino
p(x′) =1
x′.
De modo que al usar la formula de Liouville obtenemos
W1 (u1, u2) = C exp
(−∫ x
x0
dx′
x′
),
la cual resulta
W1 (u1, u2) =Cx0x
(14)
Ahora expresamos la segunda ecuacion de forma estandar, esto es
d2u (x)
dx2−(
2x
1− x2
)du (x)
dx+
α
(1− x2)(1 + α)u (x) = 0, (15)
donde identificamos el termino
p(x′) =2x′
1− x′2.
De modo que al usar la formula de Liouville, el wronskiano para dos soluciones de esta segunda ED resulta
W2 (u1, u2) = C exp
(−∫ x
x0
2x′
1− x′2dx′),
al resolver la integral se obtiene lo siguiente
W2 (u1, u2) = C
(1− x201− x2
)(16)
3. Ejercicio 3
Muestre que si p (x) es diferenciable y mayor que cero entonces el wronskiano de dos soluciones de ddx
(p (x) du(u)
dx
)+
q (x)u (x) = 0 es W (x) = constp(x) .
Solucion: Al actuar la derivada en la ED se llega a lo siguiente
p(x)u′′(x) + p′(x)u′(x) + q(x)u(x) = 0.
Ahora expresamos esta ecuacion en su forma estandar
u′′(x) +p′(x)
p(x)u′(x) +
q(x)
p(x)u(x) = 0, (17)
donde identificamos el termino P (x′) = p′(x)p(x) , de modo que al usar la formula de Liouville se obtiene
W (x) = C ′ exp
(−∫ x
x0
p′(x)
p(x)dx
), (18)
3
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la cual, despues de integrar resulta
W (x) =C
p(x)(19)
donde se ha definido C = C ′p(x0).
4. Ejercicio 4
Encuentre una solucion particular de las siguiente EDs.
a)d2u (x)
dx2+ 2
du (x)
dx+ u (x) = 3e−x. (20)
b) 4d2u (x)
dx2− 4
du (x)
dx+ u (x) = 16ex/2. (21)
Solucion a): Una ED de segundo orden es de la forma
d2u (x)
dx2+ p(x)
du (x)
dx+ q(x)u (x) = g(x). (22)
Una solucion particular (SP) a esta ED viene dada por
up (x) = u2 (x)
∫u1 (x) g (x)
W (u1, u2) (x)dx− u1 (x)
∫u2 (x) g (x)
W (u1, u2) (x)dx, (23)
donde u1(x) y u2(x) son un conjunto fundamental de soluciones (CFS) que se obtienen resolviendo la ecua-cion homogenea de (22). Para resolver esta ED de segundo orden hay que seguir los siguientes pasos
1) Encontrar el CFS al resolver la ED homogenea asociada.
2) A partir de este CFS, calcular el wronskiano.
3) Sustituir el CFS y el wronskiano de estas en la expresion (23).
La ecuacion caracterıstica para (20) es
r2 + 2r + 1 = 0 ⇒ (r + 1)2 = 0.
Por lo que tenemos el caso de raıces repetidas r1 = r2 = −1, entonces un CFS es
u1(x) = e−x, (24)
u2(x) = xe−x. (25)
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Las derivadas de este CFS resultan
du1dx
= −e−x, (26)
du2dx
= e−x(1− x). (27)
Ahora calculamos el wronskiano dado por
W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2
du1dx
(28)
= e−2x(1− x) + xe−2x
= e−2x.
De modo que al sustituir el CFS y el wronskiano en (23), la SP viene dada por
up (x) = xe−x∫
(e−x)(3e−x)
e−2xdx− e−x
∫(xe−x)(3e−x)
e−2xdx (29)
= 3xe−x∫dx− 3e−x
∫xdx
= 3x2e−x − 3x2e−x
2
Finalmente la SP para esta ED resulta
up (x) =3x2e−x
2.
Similarmente para el b) debemos encontrar un CFS al resolver la ED homogenea. La ecuacion caracterısticapara esta ED es
r2 − r +1
4= 0 ⇒ (r − 1
2)2 = 0. (30)
De donde se obtienen dos raıces repetidas r1 = r2 = 12 y por tanto un CFS viene dado por
u1(x) = ex/2, (31)
u2(x) = xex/2. (32)
Y las derivadas de este CFS
du1dx
=1
2ex/2, (33)
du2dx
= ex/2(1 +1
2x). (34)
Ahora el wronskiano de este CFS resulta
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W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2
du1dx
(35)
= ex(1 +1
2x)− 1
2xex
= ex.
De modo que al tomar la ec. (23) y sustituyendo el CFS y el wronskiano, la SP resulta
up (x) = xex/2∫
(ex/2)(4ex/2)
exdx− ex/2
∫(xex/2)(4ex/2)
exdx (36)
= 4xex/2∫dx− 4ex/2
∫xdx
= 4x2ex/2 − 4x2ex/2
2
Lo cual resulta
up (x) = 2x2ex/2.
5. Ejercicio 5
Considere la ED
x2d2u (x)
dx2− 3x
du (x)
dx+ 4u (x) = x2lnx x > 0. (37)
a) Obtenga las funciones u1 y u2 que satisfacen la ED homogenea correspondiente.
Para obtener el CFS correspondiente a la ecuacion homogenea se propone una solucion de la forma
u(x) = Axn ⇒ du
dx= Anxn−1 ⇒ d2u
dx2= An(n− 1)xn−2. (38)
De modo que al sustituir estas expresiones en la ED se obtiene lo siguiente
n(n− 1)− 3n+ 4 = 0 ⇒ (n− 2)2 = 0. (39)
Ası, vemos que hay dos raıces repetidas n1 = n2 = 2, por lo tanto un CFS viene dado por
u1(x) = x2 y u2(x) = x2 lnx (40)
b) Encuentre una solucion particular de la ED inhomogenea.
Solucion: Como ya obtuvimos el CFS para esta ED, basta con calcular el wronskiano. Primero calculemoslas derivadas de este CFS, las cuales resultan
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du1dx
= 2x, (41)
du2dx
= x+ 2x lnx. (42)
Por lo tanto el wronskiano viene dado como
W (u1, u2) (x) = u1du2dx− u2
du1dx
(43)
= x3lnx+ x3 − 2x3lnx
= x3.
De modo que al sustituir el CFS y el wronskiano en (23) se obtiene
up (x) = x2 lnx
∫(x2)(ln2 x)
x3dx− x2
∫(x2)(ln2 x)
x3dx (44)
= x2 lnx
∫lnx
xdx− x2
∫ln2 x
xdx.
Haciendo el cambio de variable
v = lnx ⇒ dv =dx
x. (45)
Al sustituir este cambio de variable en (45) se llega a
up (x) = x2 lnx
∫vdv − x2
∫v2dv (46)
= x2 lnx
(v2
2
)− x2
(v3
3
)= x2 lnx
(ln2 x
2
)− x2
(ln3 x
3
)=
3
6x2 ln3 x− 2
6x2 ln3
Por lo tanto la SP resulta
up =1
6x2 ln3 x
Referencias
[1] Philippe Dennery and Andre Krzywicki, Mathematics for physicists, Dover Publications Inc., MineolaNY (1995)).
[2] William E. Boyce, Richard C. Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Pro-blems, John Wiley and sons, Inc. NY (2001)
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