mÉtodos experimentales para igenieros

Instituto tecnologico de veracruz

Métodos Experimentales Para Ingenieros

Félix Díaz Santos

Instrumentación I

Las técnicas de experimentación cambian con el paso del tiempo muy rápidamente, empleando nuevos dispositivos electrónicos encaminados a detectar parámetros físicos primarios, así como para controlar variables en cualquier proceso que se desee.

Instrumentación

ContenidoCapítulo 1.........................................................................................................................................4

Capítulo 2.........................................................................................................................................8

Conceptos básicos......................................................................................................................8

Introducción..............................................................................................................................8

Definición de términos............................................................................................................8

Calibración................................................................................................................................8

Estándares...............................................................................................................................9

Sistema generalizado de medición.......................................................................................9

Conceptos básicos de medición dinámica...................................................................10

Respuesta del sistema.......................................................................................................10

Distorsión................................................................................................................................11

Acoplamiento de impedancias.............................................................................................12

Planeamiento de Experimentos...........................................................................................13

El papel de Análisis de Incertidumbre en la planificación de experimentos..................14

Redacción de Informes.........................................................................................................14

Capítulo 3.......................................................................................................................................15

Análisis de datos experimentales............................................................................................15

Introducción............................................................................................................................15

Causas y tipos de errores experimentales.........................................................................15

Análisis de errores en base al sentido común...................................................................16

Análisis de incertidumbre.....................................................................................................16

Análisis estadístico de datos experimentales...................................................................17

Distribuciones de probabilidad.............................................................................................18

Distribución gaussiana o normal del error..........................................................................19

Papel grafito probabilístico...................................................................................................20

Prueba de la bondad de ajuste de la chi cuadrada...........................................................21

Método de mínimos cuadrados...........................................................................................21

Desviación estándar de la media........................................................................................25

Análisis gráfico y ajuste de curvas......................................................................................26

Consideraciones generales en análisis de datos..............................................................27

Métodos Experimentales Para IngenierosPágina 2

Instrumentación

Cuestionario 1................................................................................................................................29

Cuestionario 2..............................................................................................................................31

Problemas capítulo 2....................................................................................................................33

Problemas Capítulo 3...................................................................................................................36

Conclusión......................................................................................................................................39


Instrumentación

MÉTODOS EXPERIMENTALES PARA IGENIEROS.

Capítulo 1¿Qué es un experimento? Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación y el estudio de las correlaciones de la(s) variables que presumiblemente son su causa.

Es por eso que la experimentación no se puede catalogar como fácil, por lo tanto tienen que recurrir a ella cuando se debe comprobar la hipótesis sobre una investigación. La experimentación va de la mano con los métodos de medición y técnicas de análisis para la interpretación de datos; es por ello que se dice que la experimentación es la base de la ingeniería.

Las técnicas de experimentación cambian con el paso del tiempo muy rápidamente, empleando nuevos dispositivos electrónicos encaminados a detectar parámetros físicos primarios, así como para controlar variables en cualquier proceso que se desee. Estos nuevos dispositivos fueron creado para obtener una mayor precisión en la medición de cantidades físicas básicas, creando demandan de medición y control en una variedad de aplicaciones; es por eso que el ingeniero debe estar familiarizado con los principios básicos y las ideas que aporta el uso de la instrumentación.

El uso de la instrumentación en la ingeniería debe ser muy cuidadoso esto para poder llevar a cabo experimentos satisfactorios. Para realizar un experimento el ingeniero debe tener conocimiento de especificar variables físicas, saber desempeñar un trabajo analítico, conocer los principios de operación de una gran cantidad de instrumentos, saber el proceso de investigación y el conocimiento de las limitaciones de sus datos.

La investigación requiere de un trabajo analítico y uno experimental. La parte teórica explica o predice los resultados en base a modelos de análisis establecidos hace años, cuando se encuentran datos que no están de acuerdo con el esquema de las teorías correspondientes, las teorías se modifican tomando en cuenta la parte experimental. En todas las teorías físicas hay un experimento que las verifica.


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Aun así la experimentación sea de carácter básico o de un desarrollo tecnológico siempre debe tener su patente por escrito. El ingeniero debe hacer los experimentos necesarios para poder establecer la utilidad de un producto (invento), esto hace a la experimentación la prueba decisiva de la mayoría de las teorías.

Cuando un ingeniero conoce perfectamente los fenómenos físicos básicos, y sabe usar a la perfección los dispositivos para su uso; es posible que con esos conocimientos pueda crear aparatos en combinación con otros dispositivos, pero antes que finalice su diseño lo debe someter a distintas pruebas para que su nueva creación sea confiable.

Ya que el rango de experimentación en muy amplio, la preparación del ingeniero debe ser extensa, puede trabajar en un dispositivo que mida el peso de un producto hasta mediciones excesivamente precisas como de radioactividad nuclear. La capacidad de un individuo para experimentar es proporcional a su capacidad teórica y analítica, sin contar sus intereses particulares que es la parte más importante.

Hace tiempo atrás, los primeros ingenieros usaban la técnica de prueba y error (tanteo) para diseñar dispositivos, lo que nos hace pensar que el análisis era escaso, este método prevalece aun en algunos experimentos de ingeniería, solo en donde existe mucha información confiable sobre ese método.

En los nuevos campos del conocimiento se debe dar la importancia a una combinación de teoría y experimentación, donde lo datos experimentales se evalúen sistemáticamente y se comparen con las predicciones teóricas, ya que las teorías son las que guían el proceso de la experimentación hasta llegar a su objetivo final.

Es importante que el ingeniero sepa lo que desea antes que le comience un experimento. El experimento define a donde quieres llegar, definiendo el grado de exactitud y la justificación de los gastos, así como los recursos humanos necesarios.

El ingeniero no solo debe enfocarse en la medición de variables físicas sino también de su control, ya que estas dos funciones están muy ligadas (por dar un ejemplo debes saber el valor de la temperatura para poder controlarla); también la exactitud de control va muy relacionada con la exactitud de medición, por lo tanto


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debes tener un buen conocimiento sobre las técnicas de medición para poder emplearlas en el control.

Para que los datos de un proceso de investigación sean confiables o mejor dicho tengan una máxima significación, porque no es suficiente que el ingeniero haga mediciones a variables, sino que también sea capaz de afirmar la precisión con que las ha medido.

Para saber la exactitud con la cual se ha medido, deben conocer las limitaciones de los distintos aparatos así como tomar en cuenta también los errores sistemáticos y/o aleatorios que puedan ocurrir en la obtención de los datos experimentales. Un ingeniero a saber todas las técnicas de medición, también debe estar familiarizado con el manejo de distintas técnicas de estadísticas para poder analizar sus datos y así determinar sus errores y desviaciones de medidas.

Hay ocasiones que el ingeniero se lanza a realizar su programa experimental sin tener conocimientos de una metodología previa, lo cual en la mayoría de los casos ocasiona que los datos se recopilen al azar, y estos son inservibles para un análisis posterior; algunos rangos de operación no son investigados a toda su extensión, esto hace algunos datos inservibles o de poco valor.

El ingeniero debe tomar datos pero no demasiados eso sería una perdía de tiempo y dinero, el debe saber cuántas pruebas son suficientes para llegar a su objetivo, esto es datos de planeación debe ser cuidadoso, y también tener en cuenta que en algunos situaciones se deben tomar más muestras que en otros dependiendo el tipo de experimento; preguntarse ¿qué tantas mediciones debo hacer para estar seguro que mi resultado no es al azar?.

Debemos tomar en cuenta que en la investigación no hay una rutina definida, cada experimento consta de distintas formas de llegar a un resultado, por eso si la investigación es importantes es porque no ha sido atacada antes en forma extensiva.

En algunos casos es necesario reducir la intensidad de algunos objetivos, esto se debe a la falta de disponibilidad de algunos instrumentos, que son los que miden las variables implicas, estoy lleva a una serie de problemas básicos como no medir directamente la variable interesada, y aunque a veces haya factores de corrección aplicables a las mediciones, muy pocas veces estas correcciones caen dentro de las categorías de normales; y así poco a poco se van juntando detalles aparentemente insignificantes hasta que el problema adquiere una complejidad que generalmente no se anticipó al principio de la investigación.


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Todo individuo debe tomar en cuenta que los aparatos para un experimento pueden fallar, esto lleva a realizar varias pruebas en un orden para no perder tiempo en repetir todo el proceso, recalcando el hacer una planeación cuidadosa. En la experimentación se lleva menos tiempo, cuando realizas todo con cuidado y paciencia.

Este estudio de métodos experimentales es una extensión necesaria de todas las materias analíticas, se realiza para verificar que el trabajo proporciona nueva vida a las teorías.


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Capítulo 2

Conceptos básicos.

Introducción Le diremos el significado de algunos términos usados en métodos experimentales, y discutiremos los estándares disponibles y la importancia de la calibración en cualquier medición experimental.

Definición de términosLa legibilidad es un término que se ocupa con facilidad para leer la escala de cualquier instrumento, la discriminación es la menos diferencia entre dos indicadores que se puede detectar en la escala de un instrumento; tanto la legibilidad como la discriminación dependen de la longitud de la de escala, el espacio de cada una de las graduaciones, el tamaño del indicador y los efectos del paralaje.

La sensibilidad de un instrumento, está relacionado con el movimiento del indicador al cambio de variable; por otro lado la histéresis es un resultado de fricción, efectos magnéticos, deformación elástica o efectos térmicos cuando el proceso de medición se realiza de forma ascendente o descendente.

La exactitud de un instrumento indica la desviación de la lectura respecto a una entrada conocida, se expresa como un porcentaje de lectura a una escala total; la precisión indica la habilidad para reproducir ciertas lecturas con exactitud dada, la diferencia entre estos dos es que la exactitud se puede mejorar por medio de la calibración, pero no más allá de la precisión de un instrumento.

Calibración La calibración es muy importante ya que puedes verificar el instrumento con respecto al estándar que estés usando y así reducir los errores en la exactitud, este procedimiento involucra una comparación de instrumentos en particular con, estándar primario (comparándolo con una institución oficial), estándar secundario con una exactitud más alta que la del instrumento que va a calibrarse


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(comparándolo con otro medio de exactitud conocida), una excitación conocida (una calibración directa con un medidor primario).

La calibración establece firmemente la exactitud de los instrumentos. No todas las calibraciones de fabricantes pueden ser confiables.

EstándaresPara que los investigadores en diferentes partes del país y del cuando puedan comparar resultados de sus experimentos con una base común, es necesario establecer ciertas unidades estándar de longitud, peso, tiempo, temperatura y cantidades eléctricas.

Las unidades estándar de tiempo se establecen en términos de frecuencias de oscilación conocidas de diversos dispositivos como péndulos, un sistema de vibración torsional.

El metro y el kilogramo se consideran unidades fundamentales a partir de las cuales y a través de factores apropiados de conversión se basan las unidades de longitud y masa del sistema ingles. Los factores de conversión establecidos son:

1 metro = 30.37 pulgadas

1 libra masa = 453.59237 gramos

El metro estándar y la pulgada es entonces:

1 metro = 1, 650,763.73 longitudes de onda

1 pulgada = 2.54 centímetros

Las unidades estándar de cantidades eléctricas se pueden definir a partir de las unidades mecánicas de fuerza, masa, longitud y tiempo.

En general, la calibración en el laboratorio se realiza con ayuda de estándares secundarios, como por ejemplo una celda estándar para las fuentes de voltaje y resistencias estándares como patrones para una resistencia eléctrica.

En 1854, Lord Kelvin propuso una escala absoluta de temperatura. La escala internacional de temperatura en 1948 se ha construido de tal manera que se apega fielmente, dentro del límite experimental, a la escala termodinámica absoluta. En la escala internacional se establecieron seis puntos primarios. Así mismo se establecieron puntos secundarios.

Sistema generalizado de medición La mayoría de los sistemas de medición se pueden dividir en tres partes:


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1. Una etapa detectora-transductora, la cual detecta la variable física y efectúa una transformación, ya sea mecánica o eléctrica para convertir la señal a una forma más manejable. 2. Alguna etapa intermedia, la cual modifica la señal que proviene del transductor, ya sea por amplificación, filtrado u otros medios para tener una salida deseable.3. Una etapa final o terminal, en la cual se indica, graba o controla la variable que va a ser medida.Es de suma importancia hacer notar que la exactitud del control no puede ser mejor, en ningún momento, que la exactitud de la medición de a variable que se va a controlar. Por lo tanto, debe poderse medir con exactitud una variable física antes de que se pueda hacer factible su control.

Conceptos básicos de medición dinámica

Muchas mediciones experimentales se realizan bajo circunstancias en las que se tiene disponible el tiempo suficiente para el sistema de mediación alcance el estado deseable y por lo tanto no es necesario interesarse por el comportamiento del estado transitorio. Sin embargo, en muchas otras situaciones, puede desearse obtener el comportamiento de una variable física en in lapso predeterminado. Algunas veces, este periodo es tiempo corto y en algunas otras puede ser un poco más prolongado; En cualquier caso, el problema de medición generalmente llega a ser más complicado cuando tienen que considerarse las características transitorias de un sistema.

Existen sistemas en las cuales el sistema responde de diferentes maneras dependiendo de a frecuencia de entrada, al comportamiento general se le llama respuesta a la frecuencia del sistema.

A veces el desplazamiento de una masa no está en fase con el desplazamiento de la excitación, es decir, el máximo desplazamiento no ocurre al mismo tiempo que el desplazamiento máximo de la función excitación. Este fenómeno se conoce como desfasamiento.

Respuesta del sistema

La respuesta a la amplitud es la habilidad que tiene un sistema para reaccionar en una forma lineal a diferentes amplitudes de entrada. Para que el sistema tenga una entrada lineal de amplitud, la relación salida-entrada deberá permanecer constante sobre un rango específico de amplitudes de entrada. Cuando este rango se excede, se dice que el sistema está saturado, como sucede


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con un amplificador cuando de voltaje cuando se le excita con un voltaje de entrada demasiado alto.

Ya se ha discutido el significado de respuesta a la frecuencia y también se observo que para que un sistema tenga una buena respuesta debe tratar a todas las frecuencias idénticamente dentro del rango de aplicación a fin de que la relación, de la salida a la entrada de amplitud permanezca constante sobre el rango de frecuencia deseado

Cuando este rango lineal se excede, se dice que el sistema está saturado. El desfasamiento es particular mente importante cuando las formas de onda de nuestro interés son complejas ya que si el sistema tiene una pobre respuesta a la fase puede haber una severa distorsión

En general habrá un ligero retraso en la respuesta de salida y a este retraso se le llama tiempo de respuesta o retraso del sistema

Alguno de los sistemas térmicos también manifiesta esta misma clase de respuesta. La temperatura de un bloque caliente de metal que se deje enfriar en un cuarto, varia aproximadamente con la misma forma de relación de otro método

El significado constante de tiempo se extrapola para todos los tipos del sistema, aunque en ellos no presten un comportamiento simple como para expresarlo

La constante de tiempo será entonces referida a los valores de estado estable de estas variables

DistorsiónSi el espectro de las frecuencias de la onda entrante es suficientemente amplio, habrá diferentes características de amplitud y desfasamiento para cada una de las componentes de la frecuencia de entrada y la forma de onda de la salida puede presentar poco parecido con la de entrada entonces y como resultado de la respuesta a la frecuencia del sistema se presentara una distorsión

La distorsión es un término muy general te puede utilizarse para describir la variación de una señal de su forma verdadera punto dependiendo del sistema la distorsión puedes ser resultado tanto de una respuesta pobre la frecuencia como de una pobre respuesta en la fase.


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Acoplamiento de impedanciasLa impedancia de entrada de un aparato de dos terminales se puede modelar como se ilustra la figura 2 .10 el aparato se comparte se comporta como si la resistencia interna R1 estuviera conectado en serie con la fuente interna de voltaje E. si designamos a los puntos A y B como las terminales de conexión entonces el voltaje a circuito abierto de la presenta esta terminales es el voltaje interno y sin embargo si se conecta una carga externa al aparato y su voltaje intermedio permanece constante el voltaje que se representará a la calidad dependerá del valor este voltaje dado por

EAB=ER

R+R i

de esta forma si el aparato se utiliza como una fuente de voltaje con su correspondiente en Pedancia interna la impedancia externa o carga de ver hace bastante mayor para que voltaje en la terminal es permanezcan prácticamente constante por otra parte y decíamos medir el voltaje interno en la impedancia de medidor deberá ser tan bien grande comparada con la independencia interna

P=EAB2

R

En estas condiciones nos podría interesar el conocer el valor de la carga externa con la cual nuestro aparato entregue la máxima potencia, teniendo un voltaje interno contaste en EP

P= E2

R ( RR+Ri )

2

Y maximizado

dPdR

=0

Lo cual Resulta

R=R i

Esto es, se puede obtener la máxima cantidad de potencia del aparato cuando la carga externa es exactamente igual a la impedancia interna. Este es el principio de acoplamiento de impedancias en circuitos Eléctricos


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Los problemas de acoplamiento de impedancias generalmente se presentan en sistemas electrónicos pero también pueden ser importantes en sistemas mecánicos

Cuando se decía trasmitir un movimiento mecánico a través del sistema se debe tomar en cuenta la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento crítico para obtener un buen acoplamiento

Aunque esté es un problema de acoplamiento de impedancias también se puede analizar como un tópico de mecánica de vibraciones

Planeamiento de ExperimentosExperimento el principio físico aparato o dispositivo bajo investigación seguirá cuales de las variables deben controlarse cuidadosamente y es responsabilidad del experimentador en dar la importancia necesaria al control de cada una de ellas Por otro lado supongamos que se debe realizar una prueba para investigar el efecto que produce el humo del cigarrillo en los hábitos alimenticios de los ratones indiscutiblemente sería deseable controlar la concentración de humo inhalado por cada rato y también observar el comportamiento de otro grupo de ratones que no haya estado expuesto al humo de los cigarros es necesario que las otras variables ambientales sean las mismas para cada grupo solamente te desea establecer el efecto los hábitos alimenticios En la prueba sobre transferencia de calor establecemos una medición absoluta de comportamiento pero para el caso de los ratones todo lo que se puede aventurar es un comportamiento relativo se han elegido dos diferentes ejemplos de experimentos absoluto y relativo y esperamos que la explicación haya sido clara en algunos experimentos se dispone de instrumentos que almacena los datos automáticamente y por lo tanto hay poca probabilidad de que esto se pierda sin embargo en muchos experimentos se deben tener en cuenta observaciones virtuales y registrar los valores en una hora apropiada para datos lo cual deberá plantearte cuidadosamente de modo que pueda utilizarse que subsecuente mente si se desea para sintetizar datos.

El mencionado cuaderno también se podría utilizar para ir registrando la idea y observaciones tanto de naturaleza teórica como del avance del experimento al término del programa experimental el cuaderno de notas bien llevado forma un registro claro y secuencial del planteamiento de experimento así como relaciones hecho durante mismo y la correlación de la observaciones importante con las predicciones teórica Este procedimiento es desde luego flexible y el lector debería considerar la importancia de cada instituto en relación a tu programa experimental.


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El papel de Análisis de Incertidumbre en la planificación de experimentosUna medición de potencia eléctrica podría realizarse por ejemplo midiendo la corriente y el voltaje y tomando el producto de dos variables la potencia también podía calcular midiendo la caída de voltaje a través de una resistencia conocida o posiblemente a través de una determinación calorimétrica del calor disipado por una resistencia el meollo de la situación es que un análisis de incertidumbre cuidadoso durante el período de la planificación puedes permitir puede permitir al investigador hacer una mejor selección de instrumentos para su proyecto en forma breve un análisis de incertidumbre interviene en la parte de la planeación con los siguientes pasos

1 una vez que se hayan establecido las variables que te van a medir seleccionarán alguna alternativa en cuanto a las técnicas de medición

2 efectúa un análisis de incertidumbre a cada técnica de medición tomando en cuenta a la exactitud estimada de los instrumentos que tocaran

3 posteriormente se comparan las diferentes técnicas de medición en base al costo disponibilidad de la instrumentación facilidad de registrar los datos e incertidumbres calculadas

Obviamente la técnica con la menor incertidumbre es la letra de desde un punto de vista de exactitud experimental pero puede resultar costosa sin embargo frecuentemente el investigador encontrada que el costo no es factor determinante ya que la técnica con la menor y certidumbre puede ser tan fácil de llevar a cabo como cualquier otro método con menor exactitud

Redacción de InformesAquí es donde radica la importancia de escribir un buen informe y de presentar los datos en forma inteligible debido a que te han escrito un sinnúmero de libros a este respecto y al autor no tiene la intención de compartir con ellos solamente te harán unas Observaciones de carácter general

Generalmente se aceptan la por más impersonal en el tiempo pretérito como el estilo gramatical más formal para los informes técnicos y rara vez es incorrecto utilizarla cuando las gráficas o tablas preferente la idea claramente úsela pero no incluye también una explicación verbal sobre algo que el lector podrá notar fácilmente También al estilo usual en escritura científica mentes modo pasivo como ejemplo de estos dos estilos tenemos la forma impersonal y la forma primera persona.


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Capítulo 3

Análisis de datos experimentales

IntroducciónEs una regla general muy básica el aplicar alguna forma de análisis a los datos experimentales; este análisis puede ser verbal, teórico y contrastante con los principios físicos fundamentales.

El experimentador como el ingeniero debe conocer la exactitud, precisión y validez tanto de los datos experimentales como de un gran número de instrumentos. La falta de conocimiento lo antes mencionado ocasiona algunos errores, los cuales pueden ser de naturaleza aleatoria, mientras que otros a disparates por parte del experimentador. Sin embargo, no deben desecharse los datos solo por el hecho de que no se apegan a nuestros deseos y predicciones, sino porque se encuentren fuera de los rangos de desviación aleatoria normalmente esperada, es decir por el régimen de sistematización.

Causas y tipos de errores experimentales.Para definir los tipos de errores experimentales que puedan existir, primeramente hay que distinguir entre los dos tipos de datos: los de una muestra y los de varias muestras.

Los datos de una sola muestra (el experimentador podrá obtener información necesaria) son aquéllos en los cuales algunas incertidumbres no pueden descubrirse por repetición, en cambio los de varias muestras se obtienen de muchos experimentos y su confiabilidad de resultados se puede asegurar por estadística. Dependiendo el experimento variará el número de observaciones y la confiabilidad de los resultados del mismo.

Un error experimental es aquel que posee un alto grado de incertidumbre ocasional. Por lo contrario, los errores reales en los datos experimentales son aquéllos que tienen cierto grado de incertidumbre que puede ser determinado. Para determinar el grado de incertidumbre debe planearse un método sistemático.

Algunos de los tipos de errores que pueden ser causa de incertidumbre en una medición experimental, son;

1.- Fallas graves en los aparatos o en la construcción de la instrumentación.

2,. Errores fijos, que ocasionan en repetidas lecturas se tenga un error de la misma magnitud.


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3.- Errores aleatorios, que pueden ocasionarse por fluctuaciones personales, alteraciones aleatorias electrónicas en los instrumentos, efectos de fricción, etc.

Análisis de errores en base al sentido común.Si estamos interesados en conocer una incertidumbre resultante de nuestro aparato o instrumento, será necesario realizar operaciones secundarias, para lo cual existe también el cálculo por medio de un análisis de los datos basado en el sentido común, el cual combina todos los errores en el caso mas desfavorable, para determinar el máximo error en el resultado final.

Si los resultados finales de los experimentos aparecen con u7n error mayor que el de las cantidades indicadas en los cálculos precedentes, sería mejor que el experimentador examinara sus datos más cuidadosamente. En particular, debería buscar ciertos errores fijos en la instrumentación, los cuales pueden eliminarse aplicando correcciones teóricas empíricas.

Análisis de incertidumbreKline y McClintock han presentado un método más preciso para estimar la incertidumbre en resultados experimentales. El método se basa en la cuidadosa especificación de las incertidumbres de las diversas mediciones experimentales primarias. Por ejemplo:

P= 100 psia ± 1psia

Donde la notación “más, menos” se utiliza para designar la incertidumbre, y la persona que hace esta designación establece en términos muy precisos el grado de exactitud con la cual él cree que la medición se ha realizado.

Entonces, Kline y McClintock proponen que e3l experimentador especifique ciertas probabilidades para la incertidumbre. Con esto, la lectura de presión anterior, la podríamos escribir como;

P= 100psia ± 1psia (20 a 1)

Esto quiere decir que se está dispuesto a apostar con una probabilidad de 20 a 1 a que su presión medida está dentro de 1psia.


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Fórmulas:

Resistencia Eléctrica

R= R0 (1 + α ( T-20))

Donde;

R= Resistencia eléctrica.

α = Coeficiente de temperatura.

T = Temperatura.

Análisis estadístico de datos experimentalesEn esta sección, no haremos una presentación extensa de métodos de análisis estadísticos de datos experimentales, aunque sí se indicarán algunos de los métodos más importantes que se emplean comúnmente.

Cuando se toma un conjunto de lecturas de un instrumento, las lecturas individuales sufren variación una de otra y el experimentador normalmente está interesado en la media de todas ellas. Si denominamos a cada lectura como x1 y hay n lecturas, la media aritmética está dada por:

xm=1n∑t=1

n

xi

La desviación d1 para cada lectura está definida por:

d1=x i−xm

Notamos que el promedio de todas las desviaciones estándar de las lecturas es cero

d1=1n∑t=1

n

d i=1n∑t=1

n

(x i−xm)

¿ xm−1n

(nxm )=0

El promedio de los valores absolutos de las desviaciones está dado por:


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|d1|=1n∑t=1

n

|di|=¿ 1n∑t=1

n

|x i−xm|¿

La desviación estándar o desviación media cuadrática está definida por:

σ=[ 1n∑t=1n

(x i−xm)]12

Y el cuadrado de la desviación estándar σ 2 se denomina variación.

La probabilidad es una cantidad matemática que está asociada a la frecuencia con la cual cierto fenómeno ocurre después de un gran número de intentos. Las probabilidades se expresan en valores numéricos menores que 1, y una probabilidad unitaria corresponde a la certeza. La probabilidad está referida al número de formas que puede ocurrir cierto evento

Distribuciones de probabilidad.Una distribución de probabilidad particular es la distribución binominal. Esta distribución da el número de éxitos n de los N posibles eventos independientes, cuando cada evento tiene una probabilidad de p éxito. La probabilidad de que n eventos tuviesen éxito está dada por:

p (n )= N !(N−n )! n !

pn(1−p)N−n

Se observa que la cantidad (1-p) es la probabilidad del fracaso en cada evento independiente.

Ahora supóngase que el número de posibles eventos independientes N es muy grande y la probabilidad de ocurrencia de cada p es muy pequeña. El cálculo de la probabilidad de n éxitos de los N posibles eventos utilizando la ecuación anterior, sería muy complicado debido a la magnitud de los números. Al límite de la distribución binominal cuando N→∞ y p→0, tal que

Np=constante

Se le llama distribución de Poisson y está dada por


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pa (n )=an e−a

n!

La distribución de Poisson es aplicable al cálculo del decaimiento del núcleo radiactivo.

Distribución gaussiana o normal del error.Supongamos que hacemos una observación experimental y se registra un resultado particular. Conocemos que la observación está sujeta a muchos errores aleatorios. Estos errores aleatorios pueden ocasionar que la lectura sea muy grande o muy pequeña dependiendo de las circunstancias. Suponiendo que hay muchos errores pequeños que contribuyen al error final y cada pequeño error es de igual magnitud y tiene la misma probabilidad de ser positivo o negativo. Podemos observar la distribución gaussiana o normal del error. Si se designa a x como la medición, la distribución gaussiana de la probabilidad de que dicha medida se encuentre entre x y x + ∆x y se escribe:

P ( x )= 1σ √2 π

e−(x−xm)2

2 σ2

En esta expresión, xm es la lectura media y la σ es la desviación estándar. La desviación estándar es una medida de la extensión de una curva de distribución, mientras más grande sea el valor de σ, la curva es más plana, y por ende el error es más grande en todas las mediciones. La ecuación anterior está normalizada de tal modo que el área total de la curva es uno. Entonces:

∫−∞

+∞

P ( x )dx=1.0

La probabilidad máxima ocurre cuando x=xm y el valor de esta probabilidad es:

P (xm )= 1

σ √2π

Al valor de P (xm ) se le llama en ocasiones medida de precisión de datos, ya que

tiene un valor grande para valores pequeños de la desviación estándar.

La probabilidad de que una medición cayera dentro de cierto rango x1 de la lectura media es

P= ∫xm− x1

xm+ x11

σ √2πe−( x− xm)

2

2σ2

dx


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Haciendo la sustitución variable

ɳ=x−xmσ

El ingeniero no será capaz en muchas circunstancias de reunir tantos datos como quisiera y solamente puede obtener una aproximación a la distribución gaussiana. Cuando se tienen conjuntos pequeños de datos, se recomienda usar la siguiente relación para una mejor estimación de la desviación estándar

σ=¿

Verdaderamente es raro cuando un experimentador no encuentra que alguno de sus datos aparentemente están mal y fuera de lugar en comparación con el grueso de ellos. En estos caso, el se enfrenta a la tarea de decidir si estos datos son el resultado de burdas equivocadas experimentales y los puede despreciar o si , por el contrario, representan un nuevo tipo de fenómeno físico que es especifico a ciertas condiciones de operación. El ingeniero no puede desechar simplemente aquellos datos que se ajustan a sus predicciones, sin que cuente con una base consistente para dicha eliminación.

Papel grafito probabilísticoLa distribución normal del error ofrece un recurso para examinar la congruencia estadística de los datos experimentales. En particular nos permiten eliminar lecturas inciertas con ayuda del criterio de chauvenet y por lo tanto , obtener una mejor estimación a la desviación estándar y de la lectura media

El papel grafito probabilístico, construido especialmente, es adecuado para este propósito y puede comprarse en cualquier almacen de dibujo técnico.

El espaciamiento entre los valores de la ordenada se ha arreglado de tal manera que la curva de distribución gaussiana aparecerá trazada como una línea recta en este tipo de papel. Además, esta línea recta intersectara la ordenada 50% en el valor de la abcisa igual a la medida aritmética de los datos


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Prueba de la bondad de ajuste de la chi cuadradaLa prueba de la chi cuadrada puede aplicarse para verificar la validez de varias distribuciones. Se han hechos los cálculos de la probabilidad para que las mediciones reales concuerden con la distribución esperada.

En la tabla F, representa el numero de grados de libertad en las mediciones y esta dada por

F= n-k

En donde n es el número de observaciones y k es el numero de condiciones impuestas a la distribución esperada

Método de mínimos cuadradosSuponga que tenemos una serie de observaciones x1, x2, ..… , xn. La suma de los cuadrados de sus desviaciones con respecto a algún valor medio es

S=∑i=1

n

¿¿

(3-20)

Suponga ahora que deseamos minimizar S con respecto al valor medio Xm.

Tenemos

∂S∂ xm

=0=∑i=1

n

−2 (x i−xm )=−2(∑i=1

n

x i−n xm)

(3-21)

donde n es el número de observaciones. Encontramos que

xm=1n∑i=1

n

xi

(3-22)


Instrumentación

O sea, el valor medio que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones es la media aritmética. Suponga que las dos variables x y y se miden sobre un rango de valores; suponga además que deseamos obtener una expresión analítica sencilla para y como función de x. La función más elemental es una lineal, por lo cual, podríamos tratar de establecer y como una función lineal de x. La función más elemental es una lineal, por lo cual, podríamos tratar de establecer y como una función lineal de x. El problema es encontrar la mejor función lineal, a pesar de que los datos tengan una dispersión considerable. Buscamos una ecuación de la forma

y=ax+b (3-23)

Por lo tanto, deseamos minimizar la cantidad

S=∑i=1

n

[ y i−(a x i+b)]2

(3-24)

Esto se logra obteniendo las derivadas con respecto a a y b e igualando a cero. Efectuando estas operaciones, resulta

nb+a∑ x i=∑ y i (3-25)

b∑ x i+a∑ x i2=∑ x i y i

(3-26)

Resolviendo las Ecs. (3-25) y (3-26) simultáneamente, tenemos

a=n∑ x i y i−¿¿¿ (3-27)

b=(∑ y i)¿¿ (3-28)

También se puede utilizar este método para determinar polinomios de orden superior que ajusten en los datos. En este caso, solamente se necesita realizar las diferenciaciones adicionales para determinar las constantes respectivas.

Por ejemplo, si deseamos obtener un ajuste de mínimos cuadrados de acuerdo a la función cuadrática

y=a x2+bx+c−¿


Instrumentación

La cantidad

S=∑i=1

n

[ y i−(a x i2+bx i+c )]

2

Se minimizaría haciendo las siguientes derivadas igual a cero:

∂S∂a

=0=∑ 2 [ y i−(ax i2+b x i+c )](−xi2)

∂S∂b

=0=∑ 2 [ y i−(ax i2+b x i+c )](−xi)

∂S∂c

=0=∑ 2 [ y i−(ax i2+b x i+c )](−1)

Desarrollando las expresiones y agrupando los términos,

a∑ x i4+b∑ xi

3+c∑ x i2=∑ x i

2 y i (3-29)

a∑ x i3+b∑ x i

2+c∑ x i=∑ x i y i (3-30)

a∑ x i2+b∑ x i+cn=∑ y i

(3-31)

Pudiéndose resolver estas ecuaciones para las constantes a, b y c.

Podemos establecer las siguientes reglas:

1. Si los valores de xi y yi se consideran de la siguiente forma; y como el valor de datos y el valor de x en la curva ajustada para el mismo valor de y, entonces, se hace la suposición de que la incertidumbre en x es grande comparada con la que hay en y.

2. Si los valores de xi y yi se consideran como el valor del dato en y el valor en la curva ajustada para el mismo valor de x, la suposición es que domina la incertidumbre en y.


Instrumentación

3. Si se cree que tanto la incertidumbre en xi como en yi tienen aproximadamente la misma magnitud, entonces se debe usar una técnica especial para promediar.

En el ejemplo 3.14 se suponen las condiciones de la regla 2.

Ejemplo 3.14. De los siguientes datos obtenga y como una función lineal de x utilizando el método de los mínimos cuadrados.

y i x i1.2 1.02.0 1.62.4 3.43.5 4.03.5 5.2

∑ yi=12.6 ∑ x i=15.2Solución. Buscamos una ecuación de la forma

y=ax+bPrimero calculamos las cantidades indicadas en la siguiente tabla:

x i y i x i2

1.2 1.03.2 2.56

8.16 11.5614.0 16.018.2 27.04

∑ x i y i=44.76 ∑ x i2=58.16

Calculamos el valor de a y b usando las Ecs. (3-27) y (3-28) ccn n=5:

a=(5 ) (44.76 )− (15.2 ) (12.6 )

(5 ) (58.16 )−(15.2 )2=0.540

b=(12.6 )(58.16)−(44.16 ) (15.2 )

(5 ) (58.16 )− (15.2 )2=0.879

De esto, la relación deseada es

y=0.540x+0.878

En la figura anexa se muestra una gráfica de esta relación así como los puntos de la cual se derivó.


Instrumentación

Desviación estándar de la mediaHemos tomado la medida aritmética como la mejor estimación del valor verdadero de una serie experimental de mediciones. Supuestamente, el valor medio de un gran número de series es el valor verdadero; consecuentemente, deseamos conocer la desviación estándar de la media de una sola serie de datos con respecto a este valor verdadero.

El resultado es:

σ m=σ

√n

Donde σ m=desviación estándar del valor medio

σ=desviación estándar de la serie de mediciones

n=número de mediciones en la serie

En el siguiente ejemplo ilustra el uso de la Ec. (3-32).

Ejemplo 3-15. Estime la incertidumbre en el valor medio calculado para los datos del ejemplo 3-5.

Solución. Haremos esta estimación para los datos originales y para los datos reducidos del ejemplo 3-9. Para los datos originales, la desviación estándar media es:

σ m=σ

√n=0.627

√10=0.198 ft

La media aritmética calculada en el ejemplo 3-4 fue xm=5.613 ft. Podríamos especificar la incertidumbre de este valor por el uso de las probabilidades de la

Tabla 3-3.

xm=5.613±0.155 ft (2.15 en 3.15)¿5.613±0.396 ft (21 en 22)


Instrumentación

¿5.613±0.594 ft (369 en 370)

Si usamos los datos del Ejemplo 3-9, donde ha sido eliminado un punto por el Criterio de Chauvenet, podemos hacer una mejor estimación del valor medio con menos incertidumbre. La desviación estándar de la media es

σ m=σ

√n=0.465

√9=0.155 ft

Para el valor medio de 5.756 ft. Por lo cual, estimaríamos la incertidumbre como

xm=5.756±0.155 ft (2.15 en 3.15)¿5.756±0.310 ft (21 en 22)¿5.756±0.465 ft (369 en 370)

Análisis gráfico y ajuste de curvasCuando se pueden aproximar los datos por una línea recta. La relación analítica es fácil de obtener; pero cuando se presenta cualquier otra variación funcional, entonces se presentan las dificultades. La curva podría ser una función polinomial, exponencial o logarítmica complicada y aun así, presenta aproximadamente la misma apariencia a la vista. De esta manera, lo más conveniente es tratar de graficar los datos en tal forma que se obtenga una línea recta para ciertos tipos de relaciones funcionales.

En la Tabla 3-6 se resumen algunos tipos diferentes de funciones y los métodos que se pueden usar para producir líneas rectas en el papel gráfico; también se muestran las mediciones gráficas que se pueden hacer determinar las diferentes constantes. Es necesario observar que el método de los mínimos cuadrados puede aplicarse a todas estas relaciones para obtener la mejor línea recta que ajuste a los datos experimentales.


Instrumentación

Consideraciones generales en análisis de datosBosquejo aproximado de la manera de proceder al analizar un conjunto de datos experimentales.

1. Examine la congruencia de datos. Por más que uno trate, siempre habrá algunos datos que aparecen con un terror apreciable. Si suministramos calor a un recipiente de agua, la temperatura debe elevarse; y así, si un punto particular indica una disminución en la temperatura para una entrada de calor, dicho punto puede eliminarse. En otras palabras, los datos deben ser congruentes de acuerdo a nuestro sentido común y habrá que eliminar los puntos que no parezcan apropiados.

2. Efectúe un análisis estadístico de datos cuando sea apropiado. Un análisis estadístico es apropiado, solamente cuando las mediciones se repiten algunas veces. Si éste es el caso, haga la estimación de parámetros tales como desviación estándar, etc.

3. Estime las incertidumbres en los resultados. Hemos discutido las incertidumbres extensamente. Tenemos la confianza de que estos cálculos habrán de efectuarse de antemano, para que de esta manera el investigador conozca con anterioridad la influencia de las diferentes variaciones cuando se ha obtenido los resultados finales.

4. Anticipe los resultados a partir de la teoría. Antes de tratar de obtener las correlaciones de los datos experimentales, el investigador debería revisar cuidadosamente la teoría apropiada y tratar de recoger alguna información que indique la tendencia que pueden tomar sus resultados. Los grupos adimensionales importantes, las relaciones funcionales pertinentes,


Instrumentación

y demás información adicional, pueden dirigirlo a una interpretación fructífera de sus propios datos.

5. Correlacione los datos. La palabra “correlacione” está sujeta a malas interpretaciones. En nuestro contexto, significa que el investigador experimental debería tomar en cuenta los datos en términos de teoría física o basado en su trabajo experimental previo en el campo. Ciertamente, los resultados de los experimentos deberían analizarse para mostrar cómo concuerdan o difieren de las investigaciones previas o de los estándares que se pueden emplear para tales mediciones.

Cuestionario 1

1. ¿Qué entiende por sensibilidad, exactitud, precisión?SensibilidadEs la razón de desplazamiento entre el indicador del instrumento y la medida real.

Exactitud


Instrumentación

Es el grado en el que el valor medido se aproxima al valor correcto.Comúnmente se expresa en porcentaje de error.

PrecisiónEs la capacidad de un instrumento para reproducir lecturas con una exactitud dada.

2. ¿Por qué es necesario calibrar un instrumento?Porque ofrece la oportunidad de verificar el instrumento con respecto a un estándar conocido y por lo tanto reducir los errores en la exactitud.

3.- ¿Por qué son necesarios los estándares?Para que los investigadores en diferentes partes del país y del mundo puedan comparar los resultados de sus experimentos con una base común.

4. ¿Qué entiende por respuesta a la frecuencia?Cuando el sistema responde de diferentes maneras dependiendo de la frecuencia de entrada y al comportamiento de diferentes maneras.

5. Describa qué entiende por desfasamiento?Cuando el valor máximo de desplazamiento de la masa no está en fase con el máximo de la excitación.

6. Defina constante de tiempoEs el tiempo necesario para que el sistema alcance el 63.2% de su valor de estado estable.

7. ¿Qué clase de acoplamiento de impedancia sería necesario para:a) transmisión de potencia máxima.

La impedancia externa debe acoplarse exactamente igual con la impedancia interna.b) Mínima influencia en la salida de un sistemaLa impedancia del medidor deberá ser grande comparada con la impedancia interna.

8. ¿Por qué es importante un examen de la literatura en la etapa preliminar del planeamiento de un experimento?Para que se deba considerar la importancia de cada inciso en relación a su programa experimental.


Instrumentación

9. ¿por qué es importante el análisis de incertidumbre en la etapa preliminar de la planificación de un experimento?Con el objeto de efectuar una selección apropiada de instrumentos y diseñar adecuadamente el experimento para alcanzar todas las metas establecidas y por lo tanto son dignos de tratarse con mayor amplitud.

10. ¿De qué manera el análisis de incertidumbre puede ayudar a a reducir la incertidumbre global del experimento?Puede permitir al investigador hacer una mejor selección de instrumentos para su proyecto.

Cuestionario 2

1. ¿Cuál es la diferencia entre error e incertidumbre?El error es la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida y el otro el nivel de confianza que existe

2. ¿Qué se entiende por error fijo y por error aleatorio?


Instrumentación

El error fijo es el error de igual magnitud que se repite en varias lecturas y el error aleatorio es aquel que aparece al azar por varias razones.

3. Defina la desviación estándar y variancia.La desviación estándar mide cuanto se separan los datos de varias lecturas y la varianza es el cuadrado de la desviación estándar.

4. ¿Qué representa p(x) en una distribución de error normal?La función de error

5. ¿Qué entiende por medida de precisión?Al valor P(xm) que tiene un valor grande para valores pequeños de la desviación estándar.

6. ¿Cómo compensaría el cálculo de la desviación estándar cuando se tiene un número relativamente pequeño de mediciones?Con la ecuación σ

7. ¿Qué es el criterio de Chauvenet y como se aplica?Es una prueba rigurosa para eliminar datos; y especifica que una lectura puede rechazarse si la probabilidad de obtener la desviación particular de la media es menor que ½ n.

8. ¿Qué propósitos cumple el análisis de incertidumbreConocer y pronosticar la aleatoriedad o el error proveniente de varias fuentes como las descritas al usar la metodología estadística.

9. ¿Por qué es importante el análisis de incertidumbre en la etapa preliminar de la planeación de experimentos?Para tratar de recoger alguna información que indique la tendencia que pueden tomar sus resultados.

10.¿De qué forma puede ayudar el análisis de incertidumbre a reducir la incertidumbre global del experimento?En el análisis de el valor de datos de x en una curva ajustada para el mismo valor.

11.¿Qué entiende por desviación estándar de la media?Al valor medio de un gran número de series el cual se entiende como el valor verdadero


Instrumentación

12.¿Qué es un análisis de mínimos cuadrados?Un análisis de valor donde se toma el valor medio que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones. Su propósito es obtener la mejor línea recta que ajuste a los datos experimentales.

Problemas capítulo 22.1 Considere que un termómetro ordinario de bulbo de mercurio como un sistema de medición, e indique que partes del termómetro corresponden a los bloques en el diagrama de la figura 2.2.


Instrumentación

2.2 Se utiliza un termómetro para el rango de 200 a 400°F y se sabe que su exactitud es de 0.25%. ¿Qué significa esto en termino de temperatura?.

200 F a 400F

valor mínimo =(200f)x(100%-o.25%) =(200 F)(99.75 %) =199.5 F

valor máximo=(400F)(100%+0.25%) =(400F)(100.25%) =401 F

2.3 Una función senoidal excita al sistema de la fig. 2.4. La frecuencia natural es de 100Hz y el factor de amortiguamiento C/Cc es de 0.7. Calcular la relación de amplitud y el tiempo de retraso del sistema para una frecuencia de 40Hz en la entrada. (El tiempo del retraso, es el intervalo de tiempo entre la máxima fuerza de entrada y el máximo desplazamiento de salida).


Instrumentación

Teniendo que

Fo= 10N

C/Cc=0.7

Ec. Del sistema

M d2x/Ut2 + c dx/Ut + Kx= Fo Sen w1

Relación de Frecuencias

W1/Wn = 40Hz/100Hz = 0.4

Amplitud del movimiento

Xo= (10n/2Nm)/{[1-(0.4)2]2+[2(0.7)(0.4)]2} = 4.905

Relación de amplitud

Xo/(Fo/k) = 4.905/5 =0.981

2.4 Par una frecuencia natural de 10Hz y un factor de amortiguamiento de 0.7, calcule el rango de la frecuencia de entrada para la cual el sistema de la fig. 2.4 tendría una relación de amplitud de 1.00 +- 0.01.

Cc=2√mk

70 F--- 0

130f---3200F 3 f----0.0230769 seg270F= 5 f=0.0230769-0.02857 f=-0.0054993 en 200 F

70----2 f ----0.02857 seg


Instrumentación

f=0.0230769-0.02857 F=-0.0054993 en 200 F F=-0.000824 en 30F

0.02857-0.000824=0.027746

0.027746 x 30 =0.832338 seg el termómetro llegara a 300f en (5+0.832338 s)

T=5.8323 seg

Problemas Capítulo 3 3.1 Una resistencia se mide 10 veces y los valores obtenidos son 100.0, 100.9, 99.3, 99.9, 100.1, 100.2, 99.9, 100.1, 100.0 y 100.5. Calcule la incertidumbre en la


Instrumentación

resistencia…

100.0 100.9 99.3 99.9 100.1 100.2 99.9 100.1 100.0 100.5

prom=(100.0+100.9+99.3+99.9+100.1+100.2+99.9+100.1+100.0+100.5)/10

prom=100.09

incertidumbre positiva=((valor maximo-prom)(100))/prom

=((100.5-100.09)(100))/100.09

=0.4096 %

Incertidumbre negativa=((valor minimo-prom)(100))/prom

=((99.3-100.09)(100))/100.09

=-0.7892 %

3.2 En una cierta resistencia caen 110.2 volts y pasan 5.3 amp. La incertidumbre en las mediciones son ±0.2 volts y ±0.06 amp, respectivamente.Calcular la potencia disipada en la resistencia y la incertidumbre correspondiente


Instrumentación

P=EI

Donde los valores de E e I estan dados por:

E=110.2 volts ±0.2 voltsI=5.3 amp ±0.06 amp

valor nominalP=(110.2)(5.3)P=584.06 watts

Pmax=(110.2+0.2)(5.3+0.06)=591.744 wattsPmin=(110.2-0.2)(5.3-0.06)=576.4 watts

incertidumbre positiva= ((pmax-pnominal)(100))/pnominal

=((591.744-584.06)(100))/584.06

=1.3156 %

incertidumbre negativa = ((pmin-pnominal)(100))/pnominal

=((576.4-584.06)(100))/584.06

=-1.3115%

3.3 Las mediciones de un pequeño terreno resultaron de 50.0 ft por 150.0ft, la incertidumbre en la medida de 50 ft es ±0.01 ft. Calcule la incertidumbre con la cual debe de medirse la dimension de 150 ft para asegurar que la incertidumbre


Instrumentación

total en el area no sea mayor de 150% del valor que tendria si la dimension de 150 ft fuera exacta,

area max: (50 ft ±0.01 ft)x 150

a1=7501.5 ft² x 1.5 = 11252.25

a2=7498.5ft² x1.5= 11247.75

11252.25/49.99=225.511252.25/50.01=225

11247.75/49.99=22511247.75/50.01=224.91

inceritumbre max= (225.5-150)(100)/150

=50.333 % para la medida de 150 ft


Instrumentación

Conclusión

Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación de la/s variables que presumiblemente son su causa. La experimentación constituye uno de los elementos clave del método científico y es fundamental para poder ofrecer explicaciones causales.

Durante un experimento se consideran todas la variables que intervienen en un fenómeno determinado, mediante la moderación contralada, en un ambiente adecuado, se debe reproducir el mismo fenómeno pero de una forma controlada y así encontrar las diferentes relaciones entre las variables y el fenómeno investigado.

Es muy importante diseñar un experimento para que pueda ser repetido por otros investigadores, ya que el conocimiento científico debe ser reproducible o replicable, caso contrario, el mismo no tiene validez interna.


mÉtodos experimentales para igenieros

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