INGENIERA DE MANTENIMIENTO I

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METODOS DE ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE WEIBULLMETODO DE LOS MOMENTOSMomentos De Una Variable AleatoriaEl uso de los momentos de una variable aleatoria para caracterizar a una distribucin de probabilidad es una tarea muy til, esto es especialmente cierto en un medio en el que es poco probable que el experimentador conozca la distribucin de probabilidad. Todas las posiciones con respecto a los momentos se encuentran sujetas a la existencia de las sumas o integrales que las definan.Momentos de una distribucin de probabilidad alrededor del cero.Sea X una variable aleatoria discreta. El r esimo momento de X alrededor del cero se define para una como:

Sea X una variable aleatoria continua. El r esimo momento de X alrededor del cero se define para una como:

El primer momento alrededor del cero es la media, esperanza o valor esperado de la variable aleatoria y su denota por ; de esta manera se tiene que:

La media de una variable aleatoria se considera como una cantidad numrica alrededor de la cual los valores de la variable aleatoria tienden a agruparse. Por lo tanto, la media es una medida de tendencia central.

MOMENTOS CENTRALES DE UNA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD O MOMENTOS ALREDEDOR DE LA MEDIA.Sea X una variable aleatoria discreta. El r esimo momento central de X o el r esimo momento alrededor de la media de X se define por:

Sea X una variable aleatoria continua. El r esimo momento central de X o el r esimo momento alrededor de la media de X se define por:

El momento central cero de cualquier variable aleatoria es uno, dado que:

De manera similar:El primer momento central de cualquier variable aleatoria es cero, dado que:

El segundo momento central:

Recibe el nombre de varianza de la variable aleatoria. Puesto que:

La varianza de cualquier variable aleatoria es el segundo momento alrededor del origen menos el cuadrado de la media. Generalmente se denota por . La varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersin de la distribucin de probabilidad de esta.La raz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviacin estndar y se denota por .Los momentos centrales desde el tercero a mas, pueden considerarse momentos de orden superior, estos momentos proporcionan informacin muy til con respecto a la forma de la distribucin de probabilidad de X, como la curtosis, asimetra, etc. Su utilidad para caracterizar una distribucin de probabilidad es mucho menor que la de los cuatro primeros momentos, por lo tanto en este estudio no se los considerara.Distribucin de Weibull como herramienta en el anlisis de confiabilidadLa distribucin de Weibull fue establecida por el fsico suizo del mismo nombre, quien demostr, con base en una evidencia emprica, que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modelarse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribucin. En los ltimos 25 aos esa distribucin se emple como modelo para situaciones del tiempo falla y con el objetivo de lograr una amplia variedad de componentes mecnicos y elctricos.Se dice que una variable aleatoria t (tiempo de falla), tiene una distribucin de Weibull si su funcin de densidad de probabilidad est dada por:

La distribucin de Weibull es una familia de distribuciones que dependen de dos parmetros: el de forma y el de escala. El parmetro es el parmetro de localizacin y para nuestro caso generalmente representa un valor umbral o tiempo de garanta.La funcin de distribucin acumulativa de Weibull:

Que para nuestro caso representa la no confiabilidad, por lo tanto la confiabilidad viene dada por:

Utilizando el mtodo de los momentos expuesto anteriormente, podemos obtener expresiones para la media y la varianza de la distribucin de Weibull, as la media:

De la misma forma para la varianza:

Donde la funcin:

Funcin beta:

Desarrollo:

Tabularemos los posibles valores de Estimacin de parmetros Weibull utilizando el mtodo de los momentosQuiz el mtodo ms antiguo para la estimacin de parmetros es el mtodo de los momentos. Este consiste en igualar los momentos apropiados de la distribucin de la poblacin con los correspondientes momentos muestrales para estimar un parmetro desconocido de la distribucin. As los momentos muestrales para una poblacin que tengan cualquier tipo de distribucin estn dados por:Momento muestral r esimo alrededor del cero:

Y el primer momento muestral alrededor del cero o media est dado por:

Momento muestral r esimo alrededor de la media:

Y el segundo momento muestral alrededor de la media o varianza viene a ser:

RESOLUCION Del PROBLEMA DE LA FAJA TRANSPORTADORA.Los siguientes datos representan los tiempos de fallo para una faja transportadoraNTBF

116.58

217.8

318

418.98

522.66

624.45

724.67

832.34

947.9

1067.34

1172

1279.7

1388.93

14116.95

15152.4

16182.57

17238.18

18290.3

19402.63

20646.41

21781.3

El clculo de la confiabilidad se reduce al clculo de los parmetros de Weibull:NTBF

116.580020325.3902

217.800019979.0148

318.000019922.5159

418.980019646.8279

522.660018628.7402

624.450018143.3203

724.670018084.1020

832.340016080.0515

947.900012375.9268

1067.34008428.5515

1172.00007594.6245

1279.70006311.8485

1388.93004930.4472

14116.95001780.5989

15152.400045.5239

16182.5700548.6302

17238.18006246.1925

18290.300017201.0719

19402.630059283.9017

20646.4100237425.0920

21781.3000387074.1777

SUM3342.0900900056.5500

Determinando el primer momento (la mediana).

Determinando el segundo momento muestral ^2 (la varianza).

Se toma el tiempo ms bajo para el valor de .

Conocidas la media y la varianza, relacionamos estos resultados con los momentos tericos:

Despus de operar y despejar las ecuaciones I y II, se puede remplazar la funcin gamma por la funcin betta: (,)= ( () ())/( (+)) y pasar al paso 5.

De estas dos ecuaciones podemos despejar y estimar el parmetro :

5=1.5568

6 Tantear el valor de mediante matlab y la funcin B (beta), hasta llegar al valor de 1.5568 1.5568

0.830.67251.2342

0.70.4461.5695

0.710.46251.5351

0.7010.44771.5658

0.70340.45161.5576

0.70350.45181.5571

0.70360.45191.5570

0.70370.4521Este valor es el ms aprox. a 1.55681.5565

0.703650.4521.5567

7 Remplazar en la ecuacin el valor de , para hallar .

8 Estos son los valores de los parmetros de weibull.TABLA DE RESULTADOS

16.5

0.70365

116.688

CONCLUSIONES El clculo de la variable requiere mayores conocimientos sobre distribuciones estadsticas, haciendo del mtodo de los Momentos muy poco prctico para fines laborales, pero muy necesario en el aspecto acadmico.

C.P: Ingeniera MecnicaPgina 1