métodos de asignación al transporte privado

5/26/2018 Mtodos de Asignacin Al Transporte Privado

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIN

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA CIVIL

Laboratorio 2

Asignacin a Redes de trasporte

Privado

Maximiliano Lizana Maldonado

Profesor: Alejandro Tudela Romn

14 de mayo de 2014


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Mtodos de Asignacin a Redes de Transporte Privado 2

Redes de transporte

Especificacin del problema

La demanda entre pares origen destino est dada por las siguientes expresiones; los tiempos enlos argumentos en minutos:

Cuadro 1. Expresin de la demanda entre cada O-D en funcin del tiempo

Origen Destino Funcin (veh/hora)

A-B 100*exp(-0,02*tAB)

B-C 500*exp(-0,04*tBC)A-C 2000*exp(-0,01*tAC)

El grafo simplificado de la red se muestra a continuacin, donde se indica la numeracin usadade cada nodo, en un cuadro aparte se presentar la relacin tiempo de viaje-flujo en cada arco;los tiempos en minutos y los flujos veh/hora:

Figura 1. Grfo de la red a analizar

Los tiempos en cada arco toman la forma ti= a + b*qi con i, el respectivo arco, q = flujo.

Cuadro 2. Funcin de costo para cada arco de la red

Arco a b

1 10 0,0052 20 0,002

3 35 0,04

4 5 0,008

5 10 0,005

6 25 0,01

7 20 0,008

D

A B E

C

1

2

4

3

5

76


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Redes de transporte

1.- Para el problema con demanda elstica, determine cul sera la asignacin de flujos

en cada arco y el nivel de demanda en el equilibrio para cada origen destino.

Se utilizar la transformada de Beckmann para solucionar el equilibrio de usuarios, agregando

la expresin que incorpora la inversa de la demanda. La primera parte de la F.O abajopresentada, corresponde al equilibrio de usuarios de Wardrop, mientras que la segundarepresenta el inverso de la demanda entre cada par O-D, que agrega el efecto elstico.

Las variables son los flujos qa de cada arco, ms el flujo qO-D entre cada par O-D.

01 0

0

S.a: A: 1 + 2 + 3 = + B: + 4 + 2 = 5 + 6 + D: 1 = 4E: 5 = 7C: 7 + 6 + 3 = + 6 +

, 0 = 1, . . ,7Se espera que la funcin de minimizacin enunciada, entregue flujos que cumplan lascondiciones de continuidad y adems, que provoque que el tiempo de viaje de todas las rutasasociadas a un mismo par O-D sean iguales.

Se utiliz la herramienta SOLVER de Excel para resolver dicho problema de minimizacin.

Como ya es sabido, la integral de a+b*x se puede escribir como x(a+b*x/2), que fue la forma

funcional utilizada para la primera expresin.La solucin para la expresin que considera la elasticidad requiere un poco ms de anlisis:

La forma funcional de la demanda entre cada par O-D est dada por:

= exp ()


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Redes de transporte

Despejando t:

= 1 ln ()Usando propiedad de logaritmo:

= 1 ln(q) ln (a)La integral de una constante es x*cte, que sera el caso de ln(a), mientras que:

ln = ln Luego:

1

ln ln ()

0 Finalmente, su solucin es:

1 ln ln ()|0 1 ln ln ()

1

ln

1

ln (

)

Donde los valores de qOD, b y a son los siguientes:

Cuadro 3. Coeficiente de las funciones de demanda por O-D

qOD b a

A-B -0,02 1000B-C -0,04 500

A-C -0,01 2000

Por todo lo anterior, reescribimos la F.O. como:

( + 2)

1 ln 1 ln ()

0

Sujeto a restricciones especificadas anteriormente.


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El resultado obtenido fue:

Cuadro 4. Resultado de Equilibrio de usuarios, flujos y tiempos por arco y rutas.

Arco Veh/hora Tiempos (min)

1 513,6 12,5682

2 839,0 21,6780

3 465,5 53,6208

4 513,6 9,1092

5 149,5 10,7474

6 694,3 31,9429

7 149,5 21,1959

O-D A-B 648,2 21,6774

O-D B-C 139,3 31,9433

O-D A-C 1169,9 53,6207

Cuadro 5. Comprobacin equilibrio, rutas con igual tiempo

Comprobacin Equilibrio

Ruta Arcos Costo Ruta

Ruta 1 ab 1 y 4 21,6774

Ruta 2 ab 2 21,6780

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,6207

Ruta 2 ac 1,4,6 53,6203

Ruta 3 ac 2,5,7 53,6213

Ruta 4 ac 2,6 53,6209

Ruta 5 ac 3 53,6208

Ruta 1 bc 5 y 7 31,9433

Ruta 2 bc 6 31,9429

Se observa, como era de esperarse que los costos por ruta, para un mismo O-D son iguales, locual es reflejo de la condicin de equilibrio de usuarios.

El tiempo total del sistema equivale a la suma de lo que demora cada vehculo en recorrer la

ruta entre su O-D, entonces sera el flujo de cada arco multiplicado por el tiempo en recorrerese arco.


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Redes de transporte

Cuadro 6. Tiempo total (min) por arco, equilibrio de usuarios

Arco Tiempo total (min/hora)

1 6.455,6

2 18.188,0

3 24.961,54 4.678,9

5 1.606,6

6 22.177,5

7 3.168,4

Total 81.236,5

Por lo tanto, el tiempo total gastado por hora en la red, debido a los vehculos que la usaron,fue de 81.236,5 minutos o 1.353,9 horas, (asumiendo el flujo constante).

2.- Determine los niveles de demanda y flujos en la red que minimizan el tiempo total en

el sistema. Compare los resultados en 1 y comente.

Para resolver 2, se us nuevamente la expresin de la transformada de Beckmann, pero ahorareemplazando los costos medios por los costos marginales en la F.O. en la primera parte de laexpresin, el resto del planteamiento se mantuvo.

01 0

+ 01

0

( + )

1 ln 1 ln ()0

S.a. mismas restricciones del problema de optimizacin anterior.

Los resultados se muestran a continuacin:


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Redes de transporte

Cuadro 7. Flujo obtenido mediante ptimo de sistemas

Arco Flujo

1 350,13

2 1025,88

3 326,714 350,13

5 270,51

6 601,66

7 270,51

A-B 617,50

B-C 113,67

A-C 1085,22

Cuadro 8. Tiempo individual y total por arco (min), ptimo del Sistema

Arco Costo Tiempo T.

t1 11,75 4.114,3

t2 22,05 22.622,4

t3 48,07 15.704,4

t4 7,80 2.731,4

t5 11,35 3.071,0

t6 31,02 18.661,6

t7 22,16 5.995,6

72.900,7

Cuadro 9. Tiempo por ruta (min), ptimo del Sistema

Costo por ruta

Ruta Arcos Costo Ruta

Ruta 1 ab 1 y 4 19,5517

Ruta 2 ab 2 22,0518

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,0684

Ruta 2 ac 1,4,6 50,5684

Ruta 3 ac 2,5,7 55,5684

Ruta 4 ac 2,6 53,0684Ruta 5 ac 3 48,0684

Ruta 1 bc 5 y 7 33,5166

Ruta 2 bc 6 31,0166

En el ptimo de sistemas el tiempo total gastado por hora en la red, por todos los vehculospasaron por ella fue de 72.900 minutos o 1.215 horas. Este valor es menor al encontrado para


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Redes de transporte

equilibrio de usuarios, debido a que se mejora el tiempo total para el conjunto de personas,mejorando el tiempo de algunos arcos y empeorando otros, pero el efecto final, es un tiempototal menor, lo que se vio reflejado en un tiempo en red de 138 horas menos considerando lademanda constante para una hora.

El valor de la demanda obtenido para el caso de ptimo de sistemas fue muy similar a lademanda obtenida por equilibrio para cada par O-D, sin embargo el valor del tiempo en cadaarco y el flujo en los arcos respectivos se modific en forma apreciable, esto con el objeto deencontrar el mejor ptimo global.

Adems result evidente que en ptimo del sistema el costo de las rutas de un mismo O-D yano eran iguales, lo que si sucede un equilibro de usuarios.

3.- Para los niveles de demanda por origen destino encontrados en 1, determine la

asignacin de flujos usando el mtodo de asignacin incremental, promedios sucesivos y

Frank Wolfe.

Para aplicar los mtodos mencionados, se utiliz la demanda estimada por equilibrio deusuarios de la parte 1, tal como a continuacin se muestra:

Cuadro 10. Flujos veh/h para cada O-D, segn Equilibrio de Usuarios

O-D Flujo (veh/h)

A-B 648,2

B-C 139,3

A-C 1169,9

3.1.- Mtodo de asignacin incremental

Este mtodo consiste en asignar gradualmente el flujo entre cada par O-D a la red, en unproceso iterativo, en el cual asigna un incremento a la ruta ms corta entre cada O-D en cadaiteracin. Luego los costos en las rutas se actualizan, se elige nuevamente la ruta mnima y sele asigna el incremento correspondiente. El proceso se da por finalizado cuando se hanasignado todos los incrementos.

Para su implementacin en Excel, primero el algoritmo ve los costos a flujo libre, utilizando lafuncin min() se determinaba la ruta mnima entre cada par O-D, luego usando la funcinsi(), se comparaba el valor de cada ruta con el mnimo para el mismo O -D, si la ruta era lamnima se le asignaba el incremento, se actualizan los tiempos, y se repite el proceso anteriorhasta que todos los incrementos estn asignados.


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Se prob con distintos nmeros de incrementos, con n=50 se obtiene aproximaciones bastantesbuenas, pero la que finalmente se us fue n=100 para mejorar la aproximacin.Los resultados son los siguientes:

Cuadro 11. Flujos veh/h y tiempo (min) por arco, Mtodo Incremental

Arcos Flujo Tiempo

1 520,47 12,60

2 829,72 21,66

3 467,98 53,72

4 520,47 9,16

5 148,20 10,74

6 693,11 31,93

7 148,20 21,19

Cuadro 12. Tiempo (min) por ruta, Mtodo Incremental

Rutas Arcos Costo Ruta

Ruta 1 ab 1 y 4 21,77

Ruta 2 ab 2 21,66

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,69

Ruta 2 ac 1,4,6 53,70

Ruta 3 ac 2,5,7 53,59

Ruta 4 ac 2,6 53,59

Ruta 5 ac 3 53,72

Ruta 1 bc 5 y 7 31,93

Ruta 2 bc 6 31,93

Vemos que se logra replicar de gran manera el equilibrio de usuarios, esto se debe a usar unnmero de incrementos altos.

La solucin claramente converge a equilibrio de usuarios lo que se comprueba en tiemposiguales entre rutas de un mismo O-D.

3.2.- Mtodo de los Promedios Sucesivos.

El mtodo de los promedios sucesivos consiste en asignar en iteraciones sucesivas unaproporcin decreciente del flujo total a la ruta ms corta en cada par origen destino,corrigiendo los flujos en las dems rutas con tal de preservar las condiciones de continuidad.El proceso de asignacin termina una vez que se ha alcanzado el equilibrio, o se est cerca del.

Para su implementacin en Excel se utiliz el siguiente algoritmo.


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Sea r la ruta, r* la ruta mnima, y xrn el flujo en la ruta r en la iteracin n, y tr

n es el tiempomedio de viajeporla ruta r en la n-sima iteracin, es flujo a asignar en el origen destino.

As:

n=n+1

xrn=(n-1)* xr

n-1 /n+/n si r=r* , es decir, es la ruta mnima entre ese O-D

xrn =(n-1)* xr

n /n si r es distinto a r*, es decir no es la ruta mnima entre ese O-D.

Para iniciar n=0, y costos en condicin de flujo libre.

Para n=80 iteraciones se obtuvo:

Cuadro 13. Flujos veh/h y tiempo (min) por arco, MSA

Arcos Flujo Tiempo

1 512,84 12,56

2 837,35 21,67

3 467,98 53,72

4 512,84 9,10

5 159,49 10,80

6 681,82 31,82

7 159,49 21,28

Cuadro 14. Tiempo (min) por ruta, MSA

Rutas Arcos Costo Ruta

Ruta 1 ab 1 y 4 21,77

Ruta 2 ab 2 21,66

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,69

Ruta 2 ac 1,4,6 53,70

Ruta 3 ac 2,5,7 53,59

Ruta 4 ac 2,6 53,59

Ruta 5 ac 3 53,72Ruta 1 bc 5 y 7 31,93

Ruta 2 bc 6 31,93

La solucin obtenida mediante promedio sucesivos converge a la solucin de equilibrio deusuarios lo que se comprueba en tiempos iguales entre rutas de un mismo O-D.


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3.3.- Algoritmo de Frank Wolfe

Es un algoritmo de optimizacin iterativa de primer orden, en cada iteracin, el algoritmoconsidera una aproximacin lineal de la funcin objetivo, y se mueve lentamente hacia elmnimo de esa funcin lineal.

El algoritmo itera entre soluciones factibles. En cualquier momento que se desee parar se tieneuna solucin factible.

El algoritmo se detiene para cuando la cota inferior y superior estn suficientemente cercaentrminos absolutos o porcentuales.

Notar que este algoritmo sirve de igual manera para resolver el equilibrio de sistema. Bastareemplazar los costos medios en cada arco por los costos marginales respectivos.

Para su implementacin en Excel:

Etapa 1, Inicializacin:

Determinar un conjunto inicial de flujos factibles y calcular sus costos asociados. Para ello:

i) Hacer qa=0 y calcular los costos correspondientes de flujo libre

ii) Dados los tiempos ta(0), calcular rutas mnimas sobre la red.

iii) Asignar el total de los viajes entre cada par O D, a las rutas mnimas calculadas en (ii).

Los flujos as obtenidos son un conjunto de flujos factibles. Use como solucin inicial.

Etapa 2, Aproximacin lineal

Dado un conjunto de flujos factibles y sus costos asociados, obtenidos de la iteracin k(laprimera vez k = 0):

i) Calcular las rutas mnimas sobre la red, dados los tiempos tak sobre los arcos.

ii) Asignar el total de los viajes entre cada par OD a las correspondientes rutas mnimas

calculadas en (i) y determinar el correspondiente conjunto de flujos.

Etapa 3,

Se determina la nueva solucin factible en funcin de las dos soluciones anteriores, y de .

qa3= qa

1+ *(qa2-qa

1)


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Etapa 4, Minimizacin unidimensional ()

03

0

03 ( + 032 ) S.a: 1

0En particular, para el grafo estudiado, siguiendo los pasos antes mencionados, se busc laprimera solucin factible, utilizando la situacin a flujo libre, los costos y rutas mnimas paraeste estado son:

Cuadro 15. Tiempos (min), situacin flujo libre q=0

Rutas Arcos Costo =0 Mn

Ruta 1 ab 1 y 4 15 min

Ruta 2 ab 2 20

Ruta 1 ac 1,4,5,7 45

Ruta 2 ac 1,4,6 40

Ruta 3 ac 2,5,7 50

Ruta 4 ac 2,6 45

Ruta 5 ac 3 35 minRuta 1 bc 5 y 7 30

Ruta 2 bc 6 25 min

Por lo tanto, se asign el total A-B=648 veh/h a los arcos 1 y 4, el total B-C=139 veh/h al arco6 y el total A-C=1170 veh/h a la ruta compuesta solo por el arco 3, esta es la primera solucininicial factible (todo o nada).

Cuadro 16. Resultado todo o nada, primera solucin factible

Arco qa1 (veh/h)

1 648

2 0

3 1170

4 648

5 0

6 139

7 0


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Se actualizan los costos por ruta, dada la solucin anterior, y se busca la ruta mnimanuevamente por O-D.

Cuadro 17. Segunda solucin inicial factible

Rutas Arcos Costo Arco MnRuta 1 ab 1 y 4 23,42

Ruta 2 ab 2 20 min

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,42

Ruta 2 ac 1,4,6 49,82

Ruta 3 ac 2,5,7 50

Ruta 4 ac 2,6 46,39 min

Ruta 5 ac 3 81,74

Ruta 1 bc 5 y 7 30

Ruta 2 bc 6 26,39 min

As, asignamos nuevamente el total de viajes por O-D a las nuevas rutas mnimas, encontrandola 2 solucin inicial factible.

Cuadro 18. Resultado todo o nada, segunda solucin factible

Arco qa2

1 0

2 1818

3 0

4 0

5 0

6 1309

7 0

Con las soluciones iniciales comienza la etapa 3, calculando qa3para cada arco, y minimizando

la FO definida en la etapa 4, para determinar .

En cada iteracin las soluciones son ms parecidas, y el valor de disminuye. Se iter hasta

encontrar una solucin equivalente con las magnitudes originales. Se obtuvieron los siguientesresultados:


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Cuadro 19. Flujo (veh/h) y tiempo (min) por arco, Frank-Wolfe

Arcos Flujo Tiempo

1 511,89 12,56

2 845,48 21,69

3 460,80 53,434 511,89 9,10

5 163,52 10,82

6 684,97 31,85

7 163,52 21,31

Cuadro 20. Tiempo (min) por ruta, para cada O-D, Frank-Wolfe

Rutas Ruta Costo Ruta

Ruta 1 ab 1 y 4 21,65

Ruta 2 ab 2 21,69

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,78

Ruta 2 ac 1,4,6 53,50

Ruta 3 ac 2,5,7 53,82

Ruta 4 ac 2,6 53,54

Ruta 5 ac 3 53,43

Ruta 1 bc 5 y 7 32,13

Ruta 2 bc 6 31,85

Luego de la iteracin 4, el costo entre el origen-destino B-C converga muy lentamente, lamejora marginal de cada iteracin era muy poca, por lo que solo se hicieron 7 iteraciones. Lasprimeras iteraciones son las que ms aportaron a la aproximacin, en trminos de magnitud.

Cuadro 21. Valores de resultados de aplicar el algoritmo de Frank-Wolfe

Iteracin Valores de1 0,5421

2 0,1287

3 0,01584 0,0068

5 0,0056

7 0,0019

El mtodo obtiene buenos resultados en muy pocas iteraciones, luego de lo cual las mejorasson marginales con respecto a las iteraciones anteriores.


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3.4.- Comparacin entre mtodos.

Cuadro 22. Flujos (veh/h) por arco obtenido por cada mtodo.

Comparacin flujos

Arcos Eq. Elst. (Solver) Incremental MSA F-W1 513,65 520,47 512,84 511,89

2 839,01 829,72 837,35 845,48

3 465,52 467,98 467,98 460,80

4 513,65 520,47 512,84 511,89

5 149,48 148,20 159,49 163,52

6 694,29 693,11 681,82 684,97

7 149,48 148,20 159,49 163,52

Todos los mtodos utilizados fueron capaces de replicar el flujo por arco, con distintos gradosde eficiencia, por lo tanto se logr implementar de manera correcta cada mtodo.

Las tablas presentadas en estricto rigor no son comparables de forma directa, en el sentido deque los resultados fueron obtenidos para distintos nmero de iteraciones. El nmero deiteraciones utilizadas por el mtodo incremental fueron 100, mientras que MSA ocup 80 y F-W solo 7.

Cuadro 23. Tiempo (min) por ruta para cada O*D

Tiempo por Ruta

Rutas Arcos E. Elst. (Solver) Incremental MSA F-W

Ruta 1 ab 1 y 4 21,68 21,77 21,67 21,65

Ruta 2 ab 2 21,68 21,66 21,67 21,69

Ruta 1 ac 1,4,5,7 53,62 53,69 53,74 53,78

Ruta 2 ac 1,4,6 53,62 53,70 53,49 53,50

Ruta 3 ac 2,5,7 53,62 53,59 53,75 53,82

Ruta 4 ac 2,6 53,62 53,59 53,49 53,54

Ruta 5 ac 3 53,62 53,72 53,72 53,43

Ruta 1 bc 5 y 7 31,94 31,93 32,07 32,13Ruta 2 bc 6 31,94 31,93 31,82 31,85


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Cuadro 24. Tiempo (min) para cada arco

Comparacin tiempo por Arco

Arcos E. Elst. (Solver) Incremental MSA F-W

1 12,57 12,60 12,56 12,56

2 21,68 21,66 21,67 21,693 53,62 53,72 53,72 53,43

4 9,11 9,16 9,10 9,10

5 10,75 10,74 10,80 10,82

6 31,94 31,93 31,82 31,85

7 21,20 21,19 21,28 21,31

De las comparaciones para flujo por arco, tiempo en rutas y tiempo por arcos, se observa que

se logr replicar el equilibrio de usuarios de Wardrop, usando para ello mtodos de

aproximacin de carcter iterativos.

En cuanto a la eficiencia en l nmero de iteraciones, Frank Wolfe con solo 7 iteraciones

entreg una solucin que se aproxima bastante a los datos de comparacin, mientras que

promedio sucesivos para 80 iteraciones entreg buenos resultados. El ms lento y que

necesitas ms iteraciones, es el mtodo incremental, dado que las iteraciones dependen del

nmero de incrementos, incluso con 100 iteraciones muestra ciertas diferencias.

4.- Si el VST fuera de 70$/min, Dnde y cuanto cobrara con tal que la asignacin de

equilibrio sea la socialmente ptima?

Se utilizar la demanda de equilibrio de usuarios calculada en 1. Primero se calcular elptimo del sistema, se observ que al cambiar el costo medio por el costo marginal y luego derealizar la integral, la externalidad queda representada por un trmino b*q, en base al cual, se

determinar el tiempo necesario a agregar al equilibrio para alcanzar ptimo del sistema.

As, considerando las restricciones de continuidad de la red y un flujo fijo qab=648 veh/h,qbc=139 veh/h y qcd=1170 veh/h, que resultar en un ptimo distinto al ya calculado, debido aque consideraremos la demanda inelstica al costo.


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(

+

)

S.a. Continuidad, flujos fijos de demanda, y no negatividad.

Cuadro 25. Resultados de Optimo de sistema para demanda inelstica.

Arco Flujo q Tiempo min Tiempo Tot t=b*q

1 363,21 11,82 4291,70 1,82

2 1110,86 22,22 24685,22 2,22

3 344,10 48,76 16779,83 13,764 363,21 7,91 2871,41 2,91

5 310,95 11,55 3592,97 1,55

6 654,24 31,54 20636,17 6,54

7 310,95 22,49 6992,55 2,49

*b son los coeficientes de la funcin de tiempo que acompaan a q

Cuadro 26. Suma b*q (min) por ruta, y diferencia con respecto al valor mayorRuta Arcos Costo extra Ruta diferencia

Ruta 1 ab 1 y 4 4,7217

Ruta 2 ab 2 2,2217 2,50

Ruta 1 ac 1,4,5,7 8,7641 5,00

Ruta 2 ac 1,4,6 11,2641 2,50

Ruta 3 ac 2,5,7 6,2641 7,50

Ruta 4 ac 2,6 8,7641 5,00

Ruta 5 ac 3 13,7641 0

Ruta 1 bc 5 y 7 4,0424 2,50

Ruta 2 bc 6 6,5424

Luego se observa que para el origen-destino A-B la ruta que posee mayor externalidad es laque usa los arcos 1 y 4, mientras que de A-C la ruta 3 posee esa condicin, y de B-C la ruta 6.As se asignar la mayor diferencia de tiempos de externalidad entre rutas de un mismo O-D ala ruta con mayor externalidad, debido a que el costo medio en el equilibrio de usuarios no


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est considerando este costo, esto se lograr introduciendo dicho valor como costos fijo en lafuncin tiempo por arco, tal como se muestra a continuacin:

Cuadro 27. Tiempo extra a agregar y valor $.

Ruta Arcos Arco eleg. tiempo a Agregar $Tiempo fijo

Actualizado

Ruta 1 ab 1 y 4 1 2,50 175 15+2,5

Ruta 5 ac 3 3 7,50 525 35+7,5

Ruta 2 bc 6 6 2,50 175 25+2,5

Ya agregados los valores de tiempo fijo en la funcin de tiempo por arco, se procede aresolver equilibrio de usuarios, con las funciones de t1, t3y t6modificadas.

( + 2

S.a. Restricciones de continuidad, demanda, no negatividad.

Resolviendo obtenemos:

Cuadro 28. Resultado flujos (veh/h) por arco, para equilibrio con peaje

Arco q O.S.q Equilibrio

con peaje

1 363,21 363,2

2 1110,86 1110,9

3 344,10 344,1

4 363,21 363,2

5 310,95 311,0

6 654,24 654,2

7 310,95 311,0

As, se obtuvo que agregando los 3 tiempos fijos anteriores, la asignacin obtenida porequilibrio de usuarios es la misma que la de ptimo de sistema.

Por lo tanto, para que la asignacin sea ptima se debe cobrar en el arco 1 o 4, la suma de$175, en el arco 3, la suma de $525, y en el arco 6, $175. Con lo anterior la solucin deequilibrio de usuario converge a la socialmente ptima.

métodos de asignación al transporte privado

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