metodos cuantitativos de negocios capítulo … · resolución del modelo, sino en su propia...

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDESF lt d d Ci i Ad i i t ti C t blFacultad de Ciencias Administrativas y Contables

METODOS CUANTITATIVOS DE NEGOCIOScapítulo 2 modelos de capítulo 2. modelos de

optimización: programación lineal y entera

Objetivos de Aprendizaje:

Formular y resolver modelos de optimización: programación lineal y/o entera e Interpretar los resultados de un problema deresultados de un problema de programación lineal y/o entera mediante el análisis demediante el análisis de sensibilidad.

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Contenido:• El arte de formular modelos de programación lineal..2.1

• Solución gráfica de un modelo de programación lineal.2.2

• Solución algebraica de un modelo de programación• Solución algebraica de un modelo de programación lineal.2.3

• Métodos simplex.2.4

2 5 • Análisis de sensibilidad.2.5

• Programación con enteros Solución de problemas2 [email protected]

• Programación con enteros. Solución de problemas.2.6

El arte de formular modelos de programación lineal.programación lineal.

En problemas reales de planificación y toma de decisiones, las mayores dificultades no surgen en la y gresolución del modelo, sino en su propia formulación. No siempre es fácil obtener una formalización matemática del sistema que queremos representar, especialmente porque es necesario adaptarse a unos modelos estándar para que puedan resolverse mediantemodelos estándar para que puedan resolverse mediante algoritmos de uso general. Esto se debe a que si los algoritmos son conocidosEsto se debe a que, si los algoritmos son conocidos, seguramente se dispondrá de un software capaz de resolver el modelo de forma eficiente.

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El arte de formular modelos de programación lineal.programación lineal.

La modelización tiene más de arte que deLa modelización tiene más de arte que de ciencia. No existe un conjunto de reglas fijas o teorías que permitan aprendero teorías que permitan aprender mecánicamente a formular modelos. Como la pintura o la escultura este arte seComo la pintura o la escultura, este arte se aprende sobre todo con la práctica, aunque es conveniente utilizar una formaaunque es conveniente utilizar una forma sistemática de diseñar los modelos.

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Metodología dede Modelización de Problemasde Problemas de ProgramaciónProgramación Lineal

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Metodología de Modelización de Problemas de Programación LinealProblemas de Programación Lineal

Descripción del problema. En el campo puramente académico se diríaEn el campo puramente académico, se diría que la descripción del problema debe llevarla a cabo la institución (empresa administracióna cabo la institución (empresa, administración pública, ONG, …) que encarga el sistema de decisióndecisión. Posiblemente se considerará que la i tit ió i á t d l i f ióinstitución proporcionará toda la información necesaria y definirá de forma clara el

bl l f tproblema al que se enfrenta. [email protected] 7


Descripción del problema. En la práctica esto no es así por dos razones:En la práctica esto no es así por dos razones:

Los decisores generalmente no son plenamente conscientes ni tienen por qué serlo de lasconscientes, ni tienen por qué serlo, de las capacidades y limitaciones de las técnicas disponibles. Por tanto, y en general, no podrán p y g pexpresar el problema de decisión de una forma clara y completa.Frecuentemente, nuestro interlocutor en este tipo de proyectos no estará entrenado para exponer sus ideas de forma analítica y estructuradasus ideas de forma analítica y estructurada.

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Descripción del problema. P t d ll l li t d b ti iPor todo ello, el analista debe participar en la fase de descripción del problema. El producto final de esta fase debe ser un documento claro y conciso que describa el planteamiento del problema y las decisiones que el sistema debe ayudar a tomar, el o los algoritmos que deben aplicarse y el entorno informático en el que va a aplicarse.

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Definición de variables. Puede afirmarse que una adecuadaPuede afirmarse que una adecuada definición de las variables supone un paso fundamental en el planteamiento delfundamental en el planteamiento del problema. E h d i blEn muchos casos, cada variable se corresponde con una de las decisiones

l i t d b t P t tque el sistema debe «tomar». Por tanto, definir las variables del problema equivale a

t bl é d i i d b d testablecer qué decisiones deben [email protected] 10


Definición de variables. A no ser que se tenga experiencia o que elA no ser que se tenga experiencia, o que el problema sea sencillo, no es fácil definir correctamente todas las variables de uncorrectamente todas las variables de un modelo, por lo menos al principio. El i i t d l d b dEl seguimiento del proceso, debe ayudamos a rehacer la definición de variables de la forma

á i t t t t d lmás conveniente para contestar a todas las cuestiones que plantea el sistema real y que nos di t t tid údicta nuestro sentido común.

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D fi i ió d i blDefinición de variables. Debe señalarse también la importancia de:escribir explícitamente, no simplemente retener en nuestra memoria, la definición ,conceptual de cada variable o grupo de variables y restricciones, así como definir y ,en qué unidades están medidas.



Definición de restricciones. T d l d d i ióTodos los procesos de decisión se ven afectados por múltiples limitaciones. En algunos casos, éstas se deben a la disponibilidad de recursos en otrosdisponibilidad de recursos, en otros proceden de obligaciones contractuales y legalescontractuales y legales.



Definición de restricciones.Definición de restricciones. Muy a menudo, las restricciones se derivan del hecho de que se está modelando undel hecho de que se está modelando un subsistema limitado, inscrito en el contexto de un sistema mayorde un sistema mayor. Muchas de las decisiones adoptadas en otras partes de ese sistema afectarán aotras partes de ese sistema afectarán a nuestro modelo en forma de restricciones.



Definición de restricciones. Sea cual sea el origen de las restriccionesSea cual sea el origen de las restricciones, su definición correcta es muy importante, ya que si se define un exceso deya que, si se define un exceso de restricciones, las soluciones que se obtengan no serán necesariamente las mejoresno serán necesariamente las mejores, mientras que, si se omite una restricción relevante el sistema de decisión ofrecerá arelevante, el sistema de decisión ofrecerá a menudo respuestas impracticables o simplemente absurdassimplemente absurdas.



Definición de restricciones. Frecuentemente en los modelos formuladosFrecuentemente, en los modelos formulados por principiantes, las variables representan cosas distintas en cada restricción o soncosas distintas en cada restricción o son incoherentes en cuanto a sus unidades de medida A menudo estos errores semedida. A menudo, estos errores se producen porque no se ha hecho explícita la definición de las variables y restricciones deldefinición de las variables y restricciones del modelo.



Definición de restricciones. R t i i d d i ld dRestricciones de desigualdad.En problemas económicos, las restricciones de desigualdad suelen indicar relaciones tales como disponibilidad de recursos, obligación de satisfacer la demanda, etc.En algunos casos, estas restricciones están g ,referidas exclusivamente a una sola de las variables del problema. p



Definición de restricciones. R t i i d d i ld dRestricciones de desigualdad.Este tipo de restricciones son conocidas como cotas, lí it b d E id t t l t dlímites o bounds. Evidentemente, las cotas pueden tratarse de la misma forma que cualquier otra restricciónrestricción. Sin embargo, es mucho más eficiente, desde un punto de vista computacional, darles un tratamiento pu o de s a co pu ac o a , da es u a a e oespecial. Todos los paquetes profesionales de PL dan un tratamiento especial a las cotas.



Definición de restricciones. Las restricciones de igualdad as est cc o es de gua dadObedecen a lo que se conoce como ecuaciones de balance. Estas ecuaciones se emplean para modelizarsituaciones en las que, por ejemplo, la energía que entra en un nodo de distribución debe ser igual a la energía que sale de este mismo nodo; las existencias de caja al principio del período más lasexistencias de caja al principio del período más las entradas deben ser iguales a las salidas más las existencias finales, etc.existencias finales, etc.



Definición de restricciones. Las restricciones de igualdad as est cc o es de gua dadA menudo, es posible eliminar por sustitución algunas de estas restricciones de igualdad. La g gsupresión de estas restricciones y variables suele dificultar la interpretación de resultados, por lo que, si l d ió d di i i t tla reducción de dimensiones no es importante, suelen mantenerse en la formulación final.



Definición de la función objetivo. Deben establecerse cuáles son los criteriosque permitirán evaluar las distintas soluciones posibles, esto es, debe definirse la función objetivo del modelo. En muchos casos este proceso da lugar a una reformulación del modelo, añadiendo o eliminando restricciones y variables.



Definición de la función objetivo. Al enfrentarse a un problema real hay que analizar si es posible definir unque analizar si es posible definir un objetivo único. C d t ibl blCuando esto es posible, en problemas empresariales, éste suele ser del tipo: maximizar beneficios, minimizar costes, maximizar ventas, etc.,



Definición de la función objetivo. La función objetivo debe incluir tan sólo beneficios o costes variables, nunca los fijos. Como es bien sabido, las componentes fijas de ingresos y/o costes no modifican la solución óptima del problema. Más adelante, veremos que los ingresos o , q gcostes fijos se pueden tratar en Programación Entera y Mixta.g y



Definición de la función objetivo. En ocasiones es imposible seleccionar unEn ocasiones, es imposible seleccionar un solo objetivo a optimizar y, necesariamente, debemos tratar varios a la vezdebemos tratar varios a la vez. En la mayor parte de los casos, estos bj ti t t t di t iobjetivos son mutuamente contradictorios.

En este caso es necesario analizar la posibilidad de convertir algunos objetivos en restricciones.



Análisis de la solución. Una vez planteado y resuelto el problema de optimización, es necesario p panalizar de varias formas la solución obtenidaobtenida.



Análisis de la solución. Al ti á l t lAlgunas cuestiones más relevantes que suelen plantearse en esta fase son:

¿es «sensata» la solución obtenida?, ¿pueden llevarse a la práctica sus

d i ?recomendaciones?, ¿se obtiene mejores resultados que con los métodos de decisión que se usaban antes de optimizar?de decisión que se usaban antes de optimizar?, ¿cabría considerar alguna mejora o refinamiento adicional? etcadicional?, etc.


Fabricante de CamisasUn fabricante de camisas está tratando de decidir cuantas camisas debe

EJEMPLO 1Un fabricante de camisas está tratando de decidir cuantas camisas debe producir durante el próximo mes. Pueden fabricar siete estilos. Los estilos varían en las horas de mano de obra que requieren, en margen unitario y

l t t i l l d t t d i li ió tien las ventas potenciales que el departamento de comercialización estima. Los datos son los siguientes:

Estilo Horas‐hombre Ventas

(unidades)

Margen Unitario

(u.m./unidad)

Se dispone de untotal de 7.500 horasde mano de obra

1 0,50 3 1,00 2 1,00 1 2,00 3 0 25 5 1 00

de mano de obra.Se desea calcularqué cantidad debefabricarse de cada 3 0,25 5 1,00

4 1,50 2 1,50 5 0,70 1.5 1,25

fabricarse de cadatipo, de forma que semaximice el margent t l b t l

[email protected] 0,90 1.5 1,10 7 1,20 1.6 1,20 27

total bruto para elfabricante.

EJEMPLO 1

Variables:x indica el número de camisas a producir delxi indica el número de camisas a producir del estilo i.

i = {1 = camisas del estilo 1, 2 = camisas del estilo 2, 3 = camisas del estilo 3, 4 = camisas del estilo 4, 5 = camisas del estilo 5, 6 = camisas del estilo 6, 7 = camisas del estilo 7}


EJEMPLO 1

Restricciones:Cantidad de mano de obra disponibleCantidad de mano de obra disponible.

Se dispone de una cantidad de horas hombre que se debe repartir entre los diferentes estilosque se debe repartir entre los diferentes estilos. Para la producción de cada una de las camisas de cada estilo se necesita una cantidad determinada de horas.

0,5x1 + x2 + 0,25x3 + 1,5x4 + 0,7x5 + 0,9x6 + 1,2x7 ≤ 7.500, 7


EJEMPLO 1

Demanda máxima de producto X1 ≤ 3 000de producto. X1 ≤ 3.000

X2 ≤ 1.000X3 000Sólo se puede

vender una X3 ≤ 5.000X4 ≤ 2.000

determinada cantidad máxima

X5 ≤ 1.500X6 ≤ 1 500estimada de cada

producto.

X6 ≤ 1.500X7 ≤ 1.600


EJEMPLO 1

No negatividad de las variables:

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 01 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7


EJEMPLO 1

Función Objetivo:

Se debe maximizar el margen total o la gsuma de los márgenes de cada estilo.

Max ( z ) = x1 + 2x2 + x3 + 1 5x4 + 1 25x5Max ( z ) = x1 + 2x2 + x3 + 1.5x4 + 1.25x5+ 1.1x6 + 1.2x7


EJEMPLO 1


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