8/3/2019 METODO DE TAKABEYAA

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I. INTRODUCCIONII. RESUMEN

III. OBJETIVOSIV. MARCO TEORICO

ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO

Para deducir las ecuaciones requeridas por el proceso iterativo, se parte como antes de las

ecuaciones de giro y deflexin. En el caso de estructuras sin desplazamiento, estas se deducen

a:

En que todos los trminos tienen el mismo significado visto anteriormente

Por lo tanto se define:

En donde C es una constante de proporcionalidad que permite trabajar con valores

relativos. Las ecuaciones (8.1) se pueden reescribir, as:

Definiendo ahora rotaciones relativas:

Es posible deducirlas a:

( )

( )Que servirn de base para la deduccin de la ecuacin de iteracin buscada. En efecto,

al aplicarle a un nudo i de la estructura la condicin de equilibrio , resulta:

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()

De la cual se puede despejar la rotacin relativa del nudo i:

Se puede ver que en esta ecuacin el primer trmino es constante para cada uno y, en

consecuencia, el segundo representa las correcciones debida a los giros de los

extremos alejados del nudo, de las barras que concurren a l. Para simplificar la

nomenclatura se definen:

La ecuacin (8.6) se puede entonces escribir, as:

()

Que constituye la ecuacin de iteracin buscada. Para aplicarla se siguen estos pasos,

que son bsicamente los del Mtodo de Kani con ligeras modificaciones:

1. Evalense los coeficientes de giro y momentos de empotramiento .2. Calclense los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuacin

(8.7). Llvense estos valores a un esquema adecuado.

3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se est trabajando amano, para acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro

inicial.

4. Aplquese a cada nudo la ecuacin (8.9) y escrbanse en el diagrama losresultados obtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de

. Obsrvese

que estos valores corresponden a los al pasar a los nudos opuestos.5. Una vez recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso4 una y otra vez hasta obtener convergencia en todos los nudos.

6. Finalmente aplquese las ecuaciones (8.5) a todos los elementos para obtenerlos momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones

verdaderas se pueden obtener despejando su valor en la ecuacin (8.4a).

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SIMPLIFICACION POR EXTREMO ARTICULADO

Al igual que los mtodos de Kani y Cross, conviene buscar una simplificacin para el

caso frecuente de extremo articulado. Por analoga con dichos mtodos, se puede

esperar que baste emplear rigideces relativas ficticias, iguales a tres cuartas partes de

las reales, y los valores de momento de empotramiento correspondientes al extremoopuesto articulado. Para confirmarlo se presenta la siguiente demostracin.

Suponiendo que i representa el nudo restringido y j el nudo articulado, al aplicarle a

este la ecuacin (8.5b) resulta:

( ) Y despejando el valor de :

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (8.5), resulta:

Y reagrupando sus trminos:

Ahora bien, se ve que el primer trmino entre parntesis no es otra cosa que el

momento de empotramiento verdadero para extremo opuesto articulado:

Por otra parte, si se define:

La ecuacin (8.11) se puede reescribir as:

Comparndola con la ecuacin (8.5a), se ve que para que sean equivalentes debevaler cero, o lo que es lo mismo, basta con ignorar las rotaciones de los extremos

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articulados para seguir usando la ecuacin (8.9) en el proceso iterativo. Lgicamente

se deber usar la ecuacin (8.14) para evaluar los momentos en los extremos

restringidos de dichos miembros especiales.

EJEMPLO:

Analice el prtico mostrado utilizando el mtodo de takabeya. La viga es de 300 mm x

500 mm y las columnas de 300 mm x 300 mm. En A el apoyo es articulado. Este

prtico se haba en el ejemplo 6.5.

SOLUCION:

Rigideces relativas

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Para utilizar la simplificacin del extremo articulado:

Coeficientes de giro

Similarmente se obtienen:

Momentos de empotramiento

Se evalan igual que antes (paginas 215 y 216)

SEGUNDO PASO

Giros relativos iniciales

Por la educacin (8.7):

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TERCER PASO

Se adopta la secuencia B C.

CUARTO Y QUINTO PASOS

Proceso iterativo

Como estos valores se inicia el proceso iterativo y los resultados se van colocando en el

diagrama siguiente:

Por la ecuacin (8.9):

Primer ciclo

Obsrvese que no se tuvo en cuenta la rotacin en A, por estar empleando la simplificacin.

Segundo ciclo

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Tercer ciclo

En el siguiente ciclo, para una precisin de tres cifras significativas se volveran a obtener losmismos resultados, y por consiguiente se suspende ah el proceso iterativo.

SEXTO PASO

Clculo de momentos definitivos

Para evaluar los momentos definitivos en los extremos de los miembros se aplica la ecuacin

(8.5a):

( )Por consiguiente:

Verificacin:

De nuevo obsrvese que por estar utilizando la simplificacin, el giro en A se tomcomo si fuera cero (ecuacin 8.14).

Verificacin:

Como era de esperarse, estos valores coinciden con los obtenidos antes por Cross; por eso se

omiten el clculo de reacciones y la verificacin del equilibrio general.

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En problemas resueltos manualmente, el clculos de los momentos definitivos se puede

sistematizar utilizando un cuadro similar al sigue:

Para averiguar los giros verdaderos, en caso de necesitarlos, se procede as:

De la ecuacin (8.4a):

Por la ecuacin (8.2):

El valor de C es constante para todos los miembros, de ah que baste considerar uno solo, por

ejemplo el BC:

[

]

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Por tanto, si se supone , resulta:

El valor de se puede obtener mediante la ecuacin (8.10):

Por consiguiente:

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES