metodo de energias

MÉTODO ENERGÉTICOS

Trabajo virtual

Introducción

Los métodos de energía se basaran principalmente en el principio de la conservación de energía, que

establece que la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma. Expresado para este caso

“El trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre una estructura (Ue) se transforma

en trabajo interno o energía de deformación (Ui), la cual se desarrolla al deformarse la estructura”

Ue=Ui

Trabajo externo= Trabajo interno

Trabajo externo - Fuerza

Considerando, que el Trabajo (Fd) es una fuerza externa, podemos determinar que para el

trabajo cuando el desplazamiento es x definimos

Para ejemplo de entendimiento, consideremos el efecto causado por una fuerza axial

aplicada en el extremo de una barra. A medida de que la magnitud F se incremente

gradualmente desde cero hasta un valor limite F = P, la elongación final de la barra se

convierte en ∆. Si el material tiene una respuesta elástica lineal, entonces .

Si sustituimos en la ecuación anterior y se integra de 0 a ∆, resulta

Lo que representa el área descrita por la pendiente formada de la ecuación F, es decir el

trabajo externo.

Trabajo externo - Fuerza

Suponga ahora que P ya está aplicada sobre la barra y que ahora se aplica otra fuerza F, por lo

que la barra se deforma aún más en una cantidad ∆', Entonces, el trabajo realizado por P (no

por F ') cuando la barra experimenta la deformación adicional ∆' es

Aquí el trabajo representa el área rectangular sombreada de la figura mostrada. En este caso,

P no cambia su magnitud porque ∆' es causado sólo por F'. Por lo tanto, el trabajo es

simplemente la magnitud de la fuerza (P) por el desplazamiento (∆').

Entonces, puede afirmarse de manera resumida que al aplicar una fuerza P a la barra, seguida

por la aplicación de una fuerza F’, e l trabajo total realizado por las dos fuerzas está

representado por el área triangular ACE de la figura mostrada. El área triangular ABG

representa el trabajo de P que es causado por su desplazamiento A, el área triangular BCD

representa el trabajo de F' debido a que esta fuerza provoca un desplazamiento ∆ 'y, por

último, el área rectangular sombreada BDEG representa el trabajo adicional realizado por P

cuando se desplaza ∆' a causa de F '.

Trabajo externo - Momento

El trabajo de un momento se define por el producto de la magnitud del

momento M y el ángulo dθ a través del cual gira. Es decir , si el trabajo se

establece en radianes entonces

Como en el caso de la fuerza, si el momento se aplica gradualmente a una

estructura que tiene respuesta elástica lineal entre cero y M, entonces el trabajo

es

Sin embargo, si el momento ya está aplicado a la estructura y otras cargas

deforman aún más la estructura en una cantidad ,entonces M gira ' y el trabajo

es

Energía de deformación. – Fuerza axial

Cuando se aplica una 1 fuerza axial N de manera gradual a una barra,

deformará el material de manera que el trabajo externo realizado por N se

convierte en energía de deformación, la cual se almacena en la barra.

Siempre que el material sea elástico lineal, la ley de Hooke será válida,

, y si la barra tiene un área constante A en su sección transversal y una

longitud L, el esfuerzo normal es la deformación final es . En consecuencia,

N /A = E (A /L ), y la desviación final es

Por lo tanto, al sustituir P = N en la ecuación analizada al principio, la energía

de deformación en la barra es

Trabajo virtual

El método de trabajo virtual, llamado a veces método de carga unitaria ficticia es el de aplicación más

amplia de entre todos los métodos empleados para calcular deflexiones. Es aplicable a vigas, marcos, y

sobre todo, a armaduras.

El trabajo virtual se basa en la ley de la conservación de la energía, según la cual el trabajo hecho por

un grupo de cargas externas aplicadas gradualmente a una estructura es igual a la energía elástica

interna almacenada en la estructura. Para emplear esta ley en las derivaciones que siguen, es

necesario hacer las siguientes suposiciones:

1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio.

2. El límite elástico del material no se excede.

3. Los apoyos no tienen movimiento

Principio del trabajo y la energía

Este conocimiento se aplica en la determinación del desplazamiento de un punto sobre una estructura.

Para hacerlo, considere que aplica una fuerza P como se indica en la siguiente figura:

Al igualar el trabajo externo con la energía de

deformación interna y despejar el desplazamiento

desconoció Δ, se tiene:

Primero debe terminarse el momento interno como una función de la posición x en la viga y después

aplicar la ecuación de la energía de deformación por flexión. Para este caso M= -Px, de modo que:

Principio del trabajo virtual

Este principio fue desarrollado por John Bernoulli en 1717. Proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, ya sea una viga, marco o armadura.

Bernoulli (1667 – 1748) matemático, médico y filólogo suizo

Como se analizó en las secciones anteriores, si se aplica una serie de cargar P en una estructura deformable, se producirán cargas internas u en puntos a través de todo el cuerpo. Como consecuencia, ocurrirán desplazamientos externos Δ en las cargas P y se presentarán desplazamientos internos δ en cada punto de carga u.

Si se conocen los desplazamientos externos, los internos correspondientes estarán definidos de

manera única. Entonces, el principio de trabajo y los estados de energía puede enunciarse de

manera general como sigue:

∑ 𝑃𝚫=∑ u ᵹTrabajo de cargas externas

Trabajo de cargas internas

o Podemos definir que este es el estado de trabajo real al que estaría sometida nuestra estructura. Supongamos una figura cualquiera con tres cargas P, como se muestra en la figura:

o Deseamos determinar el desplazamiento en el punto A. Dado que las cargas actuantes reales no están siendo aplicadas en el punto deseado no podemos determinar el desplazamiento Δ, por lo que nos basamos en un estado imaginario o virtual en el que aplicaremos una carga P’ en la dirección del desplazamiento Δ. Por conveniencia se elegirá la nueva carga virtual como una magnitud unitaria. Sin embargo la carga P’ también crea una carga virtual interna u. Se requerirá que P’ y u se relacionen mediante las ecuaciones de equilibrio.

Una vez aplicadas las cargas virtuales, el cuerpo está sometido a las cargas reales P1, P2 y P3. El punto

A se desplazara una cantidad Δ, la cual causará que el elemento se deforme una cantidad dL. Como

resultado las cargas virtuales P’ y u realizaran trabajo virtual externo e interno respectivamente. Si

igualamos según el principio de la energía:

DondeP’ = 1 = carga unitaria virtual externa u = carga virtual internaΔ = desplazamiento externo causado por las cargas reales dL = deformación interna del elemento causada por la cargas reales

De manera parecida, si deben determinarse el desplazamiento rotacional o la pendiente de la

tangente en un punto sobre una estructura, se aplica un momento par virtual M’ con magnitud

unitaria en el punto.

DondeM’ = 1 = momento par unitario virtual externo uθ = carga virtual internaθ = desplazamiento rotacional externo o pendiente en radianes causado por las cargas reales dL = deformación interna del elemento causada por la cargas reales

El método de trabajo virtual: armaduras

EL método del trabajo virtual puede usarse para determinar el desplazamiento de una junta de

armadura cuando la armadura está sometida a una carga externa, aun cambio de temperatura, o

por errores de fabricación.

Carga externa

Considere el desplazamiento vertical Δ de una junta B de la armadura que se muestra en la figura a. Un

miembro típico de la armadura sería uno de sus elementos con longitud L. La figura b. SI las cargas

aplicadas P1 y P2 ocasionan una respuesta material lineal elástica, este miembro se deforma en una

cantidad ΔL= NL/ AE donde N es la fuerza normal o axial en el elemento, causada por las cargas

Si se aplica la ecuación:

P’= 1 = carga unitaria externa que actúa en la dirección de Δ.

u = carga virtual interna que actúa sobre el elemento en la dirección dL.

Δ = desplazamiento externo causado por las cargas reales.

dL = deformación interna del elemento causada por las cargas reales.

Entonces la ecuación del trabajo virtual para la armadura es:

1 = carga unitaria externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de Δ.

N= fuerza normal virtual interna en un elemento de un armadura causada por la carga unitaria

virtual externa.

Δ= desplazamiento externo de la junta por las carga reales sobre la armadura.

N = Fuerza normal interna de un elemento de la armadura causada por las cargas reales.

L = Longitud de un elemento

A = Área transversal de un elemento

E = Modulo de elasticidad de un elemento

Temperatura

En algunos casos, los elementos de una armadura podrían cambiar su longitud debido a la temperatura. Si a es el coeficiente

de expansión térmica de un elemento y ΔT es el cambio en su temperatura, el cambio en la longitud de un elemento es ΔL =

a ΔTL. Por lo tanto, el desplazamiento de una junta seleccionada en una armadura debido a este cambio de temperatura

puede determinarse así:

Donde:

1= carga unitaria externa que actúa sobre la junta de la armadura en el sentido indicado de A.

N= fuerza normal virtual interna en un elemento de un armadura causada por la carga unitaria externa.

Δ= desplazamiento externo de la junta causado por el cambio de temperatura.

a= coeficiente de expansión térmica del elemento.

ΔT = cambio en la temperatura del elemento.

L = longitud del elemento.

Errores de fabricación y comba

La comba suele construirse en una armadura de puente para que la cuerda inferior se curve hacia arriba en una

cantidad equivalente ala deflexión hacia debajo de la cuerda cuando está sometida a todo el peso muerto del puente.

Si un elemento de la armadura es más o menos largo de lo previsto, el desplazamiento de una junta de la armadura

respecto a su posición esperada puede determinarse como:

Donde:

1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada Δ.

n= fuerza normal virtual interna de un elemento de una armadura causada por la carga unitaria virtual externa.

Δ = desplazamiento externo de la junta ocasionada por los errores de fabricación.

ΔL = diferencia en longitud del elemento respecto a su tamaño esperado a causa de un error de fabricación.

Aplicamos ∑Ma=0

=0Rb= 7.6 ton

Aplicamos ∑Fx=0 →

Rax= 7.6 ton.

Aplicamos ∑F=0 ↑

Rb= 3ton

ReaccionesTrabajo Real

Ejemplo trabajo real & virtual

Aplicamos ∑ME=0

FFG=-8.237 ton


FEG= 7.2 ton

Aplicamos ∑Fx=0→

FEC= 7.2 ton

Nodo E

Aplicamos ∑F=0 ↑

FEF= 0 ton

Nodo FAplicamos ∑Fx=0 → Aplicamos ∑F=0 ↑

FFC= 4.172 tonFFD= 3.182 ton


Nodo BAplicamos ∑F=0 ↑

FBD= 8.694 tonFBA= -4.22 ton

Trabajo VirtualTensiones

Elemento Tención

AB -0.777 TON

AC 0.32 TON

AD 0.38 TON

BD - 1.60 TON

CD 0.12 TON

CF 0.34 TON

DF -1.95 TON

EF 0

EG 0

FG 0

CE 0

Tabla de trabajo virtualElemento Longitud Real Virtual F*M*L

AB 5m -4.22 -0.777 16.247

AC 4m 1.53 0.32 1.958

AD 4.87m 7.39 0.38 13.675

BD 4.57m -8.69 - 1.60 63.54

CD 2.77m 3.4 0.12 1.13

CF 3.2m 4.712 0.34 5.12

DF 3.43m -3.182 -1.95 21.28

EF 1.11m 0 0 0

EG 2m 7.20 0 0

FG 2.9m -8.237 0 0

CE 3m 7.2 0 0

∑= 122.95

Desplazamiento vertical:

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