Métodos Numéricos M. A. Alfonso Velásquez

Método de Müller

Hasta ahora todos los métodos vistos se acercaban a la raíz a través de una función lineal. Resulta evidente que esto no siempre resulta ya que podemos tener soluciones complejas, para las cuales los métodos anteriores no son funcionales.

Este método, el de Müller, se basa en aproximar la función a la vecindad de la raíz por medio de un polinomio cuadrático, de esta manera su solución, nos brinda la posibilidad de encontrar por medio la formula cuadrática soluciones complejas.

Consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se sustituyen en la fórmula cuadrática para obtener el valor donde la parábola interseca al eje x; es decir, la raíz estimada. La aproximación se facilita al escribir la ecuación de la parábola en una forma conveniente.

La deducción del método comienza considerando el polinomio cuadrático que pasa por los puntos , . Los coeficientes de la ecuación de la parábola se evalúan sustituyendo cada uno de esos tres puntos para dar:

;

cero cero

x0X2 X1

Raíz estimada

raíz

Parábola

y

x

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Debido a que se tienen tres ecuaciones, es posible encontrar los tres coeficientes desconocidos a, b y c. Sustituyendo la ecuación (3) en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

Una manipulación algebraica permite encontrar los coeficientes restantes a y b. La manera de

hacer esto consiste en definir las diferencias Estas se sustituyen en las ecuaciones (4) y (5) para dar

de donde se despeja . El resultado se resume como

Para encontrar la raíz se aplica la fórmula cuadrática a la ecuación: Sin embargo, debido al error de redondeo potencial, en lugar de usar la forma convencional, se usará la fórmula alternativa, es decir,

o despejando la incógnita

Observe que al usar la formula cuadrática, es posible localizar tanto las raíces reales como las complejas. Ésta es la mayor ventaja del método.

( 4 )

( 5 )

Ahora, un problema de la ecuación anterior es que produce dos raíces, correspondientes a los términos del denominador. En el método de Müller, se escoge el signo que coincida con el signo de b. Esta elección proporciona como resultado el denominador más grande y, por lo tanto, dará la raíz más cercana a . Una vez que se determinó , el proceso se repite. Esto trae el problema de que un valor es descartado. En general, dos estrategias son comúnmente usadas.

1. Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los dos valores originales más cercanos a la nueva raíz estimada, .

2. Si se localizan raíces reales y complejas, se emplea un método secuencial. Es decir, como en el método de la secante, tomando el lugar de .

ALGORITMO: Para obtener una solución de dadas tres aproximaciones, : ENTRADA ; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N0. SALIDA solución aproximada o mensaje de falla. Paso 1 Tome ; ; ;

;

; .

Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 7.

Paso 3 ; . (Nota: se puede necesitar aritmética compleja.) Paso 4 Si entonces tome Si no tome .

Paso 5 Tome ; .

Paso 6 Si entonces SALIDA ; (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) Paso 7 Tome ; (Prepárese para la siguiente iteración) ; ;

; ; ;

;

; . Paso 8 SALIDA (“El método falló después de N0 iteraciones); (Procedimiento terminado sin éxito) PARE. Ejemplo 1: Use el método de Müller para encontrar una raíz real del polinomio , con las condiciones ;

. ENTRADA ; . SALIDA solución aproximada ; o mensaje de falla. Paso 1 Tome ; ; ;

;;

; .

Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 7.

Paso 3 ; . Paso 4 Si

entonces tome

Paso 5 Tome ;

. Paso 6 Si

Paso 7 Tome ;

;

;

; ; ;

;

;

. Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 7.

Tabulando con la ayuda de un programa:

N0 0 1.0 1 1.5 2 2.5 3 1.94757198 0.554 2.05563018 0.1080 5 2.06894685 0.0133 6 2.06932327 0.000377 2.06932295 0.00000032

Paso 6 Si

SALIDA PARE. Para el siguiente ejemplo, modificaremos los valores iniciales del ejemplo 1, para poder encontrar la raíz compleja. Al encontrar una, la otra es el conjugado de esta solución encontrada por Müller, ya que como sabemos al obtener una raíz complejas, otra será su conjugada. Por esta característica recordemos el siguiente teorema. Teorema: Si es un cero complejo de multiplicidad m del polinomio , entonces

, también será un cero de multiplicidad m del polinomio . Ejemplo 2: Use el método de Müller para encontrar una raíz real del polinomio , con las condiciones ;

. ENTRADA ; . SALIDA solución aproximada ; o mensaje de falla. Paso 1 Tome ; ;

;

;;

; .

Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 7.

Paso 3 ; . Paso 4 Si

entonces tome

Si no tome .

Paso 5 Tome ;

. Paso 6 Si

, (Modulo de un complejo)

Paso 7 Tome ;

;

;

; ;

;

;

; . Paso 2 Mientras haga pasos 3 – 7. Tabulando con la ayuda de un programa:

N0 0 -2.51 -1.5 2 -1.03 -1.20754717 - 0.57817183 i 0.6142 4 -1.42042149 - 0.94740548i 0.4260 5 -1.47211932 - 0.79288780i 0.16296 -1.46567023 - 0.81157276i 0.0197 7 -1.46524802 - 0.81167230i 0.00043 8 -1.46524824 - 0.81167177i 0.00000057

Paso 6 Si

SALIDA PARE. Tarea: Encuentre todos los ceros de las siguientes ecuaciones usando el método de Müller,

con deje una iteración a mano y luego tabule los resultados en una tabla como el ejemplo. Use hojas tamaño carta y engrápelas. Fecha de entrega por confirmarse el día y lugar de la semana entrante.

1)

2)