MTODO DE LOS TRES MOMENTOS

I. INTRODUCCIN

Para resolver los problemas de clculo estructural necesitamos una seri de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Mtodos y los Procedimientos.

La teora de estructuras, al igual que la resistencia de materiales y la elasticidad se asienta sobre una serie de principios.

Utilizando los principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Mtodos.

A su vez el desarrollo operativo de los Mtodos se concreta en una serie de procedimientos.

Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concrecin, que sera: Principio-> Teorema-> Mtodo -> Procedimiento.

A continuacin desarrollaremos el mtodo de los Tres momentos; que nos permite tambin encontrar al igual que los mtodos anteriores ya mencionados el clculo de la pendiente y flechas de la estructuras.

En este caso aplicando el Mtodo de los Tres Momentos nos ser fcil obtener los momentos flectores en cada apoyo, aplicado para vigas continuas.

OBJETIVOS

Anlisis de vigas estticamente indeterminadas hiperestticas por medio de la ECUACIN DE LOS TRES MOMENTOS, mtodo particular de flexibilidad, cuyas incgnitas son las fuerzas, en este caso, los momentos flectores en los apoyos.

Calculo de desplazamientos y rotaciones en vigas aplicando dicho mtodo.

Desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar el tipo de problemas de deflexin en vigas aplicando el mtodo de los tres momentos.GLOSARIO:

VigaLa viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexin y corte.

Vigas ContinuasLas vigas continuas son vigas que tienen ms de dos apoyos. Normalmente se utilizan cuando los vanos a cubrir son grandes.

Mtodos para determinar la deformacin en vigasSe utilizan varios mtodos para determinar la deformacin en vigas (doble integracin, superposicin, rea de momentos, viga conjugada, rigidez directa, elementos finitos etc.), todos estn basados en los mismos principios pero difieren en su tcnica y objetivos.

SuperposicinComo mtodo alternativo para la evaluacin de pendientes y ordenadas de la elstica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas ms complicadas. Este procedimiento llamado superposicin, determina la pendiente y deflexin en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando actan por separado (Singer y Pytel, 1982).

Diseo por rigidez en vigas de aceroPara las estructuras de acero, la deflexin es un estado lmite de servicio, no de resistencia, por lo que las deflexiones deben siempre calcularse con cargas de servicio. Para el clculo de la flecha se emplea el mdulo de elasticidad del acero y el momento de inercia del perfil, la flecha mxima se compara con los valores admisibles para estructuras de acero.

Fuerza cortantePara mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga, se debe incluir la fuerza V, que acta perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actan en la porcin aislada ubicada en el lado izquierdo.

Momento flectorAs como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, tambin se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la seccin evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la seccin de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porcin de la izquierda.II. GENERALIDADES

En 1857, Clapeyron present a la Academia Francesa su Teorema de los tres Momentos para el anlisis de las vigas continuas, en la misma forma que BERTOT la haba publicado dos aos antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crdito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera Teora de las Estructuras.Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier nmero de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre s y con las cargas que se encuentran en la viga.

JUSTIFICACION

La ecuacin de los tres momentos expresan una relacin entre los momentos flectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.

III. MARCO TERICO

Concepto:Es un mtodo muy operativo e interesante por la forma de aplicacin del principio de superposicin as como por la introduccin de las condiciones de continuidad en la tangente de la elstica, desarrollado por Clapeyron para el clculo de las vigas continuas.

ECUACIN DE LOS TRES MOMENTOSEste mtodo toma como incgnitas hiperestticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 que actan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios.Mtodo de clculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3, Desarrollemos pues a continuacin estas ecuaciones de deformacin y para ello tomemos dos vigas isostticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:

Calculemos a continuacin cada uno de estos valores:

La ecuacin se ir aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga continua.

EJERCICIOS

CONCLUSIONES:

Los mismos mtodos para determinar la deformacin de las vigas son vlidos para la resolucin de vigas hiperestticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemticamente determinado son tomadas de la elstica de la viga.

Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se aade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuacin para resolver ese momento de empotramiento.ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS INTRODUCCIN En el presente trabajo se estudia las vigas con tres o mas apoyos, dos o mas tramos, y que, por tanto, disponen de uno o mas apoyos redundantes en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la Esttica. En el mtodo de los tres momentos se comienza obteniendo una relacin de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relacin que se llama Ecuacin de los tres momentos, y que se escribe fcilmente aplicando los teoremas de las reas de momentos. La Ecuacin de los tres momentos fue desarrollada por el ingeniero francs Clapeyron en 1857. Esta ecuacin relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actan en los soportes. Por aplicacin sucesiva de esta ecuacin a segmentos de la viga se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes. Las aplicaciones de esta ecuacin son numerosas, como determinar las deformaciones y reacciones redundantes en cualquier tipo de vigas, en particular en las vigas continuas. Se terminar el presente con algunos ejercicios de aplicacin para la teora expuesta.GENERALIDADES.- Objetivos: - Determinar la ecuacin de tres momentos. - Conocer las aplicaciones de esta ecuacin. - Resolver problemas de aplicacin para el siguiente mtodo. Limitaciones: - Solo aplicacin del mtodo en vigas continas. Glosario de Trminos: - Se darn en el desarrollo del Marco terico del trabajo. MARCO TERICO.- ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

Sea una viga sometida a una carga cualquiera que soporte en forma arbitraria.A esta viga la hemos cortado en 3 puntos cualesquiera 1, 2,3, adems hemos reemplazados los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o izquierda de cada seccin de corte por la fuerza cortante y el momento flector. La longitud de los tramos sern y los momentos flectores sern las fuerzas cortantes acompaan a la misma teniendo en cuenta que cada extremo se encuentra perfectamente en equilibrio De esta manera hemos transformado a cada uno de estos tramos en una viga solamente apoyada con 2 estados de cargas que sabremos distinguir, por un lado las cargas reales en un tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos En el esquema se presenta en forma genrica los diagramas de momentos debido a las cargas cortantes en cada tramo y debido a los momentos generados en los extremos de cada corte.

La tangente trazada a la elstica en el punto 2 determina la desviacin tangencial 1/2 y 3/2 respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a la posicin inicial a la viga que por comodidad supondremos que la horizontal determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto al punto 2.Como se puede observar el diagrama de momento flector se le ha descompuesto en el rea y reas triangulares en que se descomponen el rea trapezoidal producida por los 2 pares extremos. Lo mismo sucede en el rea de donde podemos concluir que la desviacin 12 esta dado por cada uno con su mismo brazo.

Regla de Signos: En la deduccin de la Ecuacin General de los Tres Momentos se ha hecho la hiptesis de que los momentos flexionantes en los tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima del punto 2. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habr que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la ecuacin. Recprocamente, si al resolver la ecuacin sale un valor negativo para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas h1 y h3 son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2, y son negativos, o se obtendrn con signo menos, si el punto 1 o el 3 estn por debajo del punto 2.Vigas ContinuasCuando se trabajan con vigas con ms de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado tambin para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuacin puede ser expresada de la siguiente manera:

Estos tipos bsicos de carga pueden combinarse para obtener tipos ms complejos, sumndose o restndose. Si se va a trabajar con ms de dos tramos, deben escribirse una ecuacin de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

En este caso tendramos 3 ecuaciones con 5 incgnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incgnitas ms que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en estos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1 Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo ser igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.2 Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuacin adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podramos escribir la siguiente ecuacin de Tres Momentos, en donde todos los trminos con subndice cero valen cero:3 Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguir valiendo cero. Adems, el momento siguiente al de dicho extremo ser igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este ltimo apoyo.

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fcil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente frmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

Practica Domiciliaria: Deformaciones Angulares

Mtodo de rea momento

De la ecuacin general de flexin tenemos:

Integrando:

tengamos presente que curvatura de un elemento viga.

Teorema 1:

El rea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elstica.

Se puede usar para vigas con EI variable.: ngulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.reas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

Por teora de los ngulos pequeos tenemos:, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviacin vertical entre las tangentes en A y B. momento de primer orden con respecto a A del rea bajo la curva de entre A Y B.El teorema es: La desviacin de la tangente en un punto A sobre la curva elstica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del rea bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta desviacin siempre es perpendicular a la posicin original de la viga y se denomina flecha.

Ejemplo: Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elstica en el punto B.E, I constantes.

Pasos a realizar:1. Encontrar el diagrama de momentos. 1. Dividir M por EI y trazar la curva elstica tentativa. 1. Para encontrar fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en = rea bajo M/EI 1. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del rea bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexin. (*rea bajo la curva de M/EI midiendo desde el punto al que se le va a hallar la deflexin).1. Signos, un cambio de pendiente positivo osea reas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.

Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexin y rotacin en el punto C en funcin de EI.

adimensional (radianes) condicin de apoyo

Flecha = momento de primer orden con respecto a B

si

por no existir momento en ese tramo.

Ejercicio

Determinar y D15

20/EIM/EI

YD

C/AD/AD/A

DESVIACIN POSITIVA NEGATIVA

remplazando en 1:

Busquemos el punto de tangencia cero, , punto de

Viga conjugada:

Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:la pendiente del diagrama de momentos es el cortante

la pendiente del diagrama de cortante es la carga

Variacin del momento = rea bajo la curva de cortantePara hallar el momento se integra la curva de cortante

V = para hallar el cortante se integra la curva de carga

Si una viga la cargamos con una carga ficticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir:: rea bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con: y: diagrama de momentos de la viga conjugada: rea bajo el diagrama : diagrama de corte de la viga conjugada

Anlogas con las vigas

Ejercicios mtodo del rea momento

desplazamiento para debajo de la viga.

Cambio de temperatura

Despreciar deformaciones axiales, slo por curvatura.

para aumento de temperatura en la fibra superior concavidad

Ejemplos

Le marco de acero de la figura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior.Despreciando la deformacin axial calcule