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METODO DEL TRAPECIO, METODO DEL PUNTO MEDIO Y METODO DE
SIMPSON
M .Del Valle1
K. Hurtado2
Facultad de ingeniera
Ingeniera de alimentos
Departamento de clculo integral
Cartagena de Indias D.T. Y C, octubre 29 de 2014
1. Docente universidad de Cartagena, 2. Estudiante de ingeniera de alimento
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INTRODUCCION
Hay varias razones para llevar a
cabo la integracin numrica. La
principal puede ser la imposibilidad
de realizar la integracin de forma
analtica. Es decir, integrales que
requeriran de un gran conocimiento
y manejo de matemtica avanzada
pueden ser resueltas de una
manera ms sencilla mediante
mtodos numricos. Incluso existen
funciones integrables pero cuya
primitiva no puede ser calculada,
siendo la integracin numrica de
vital importancia. La solucin
analtica de una integral nos
arrojara una solucin exacta,
mientras que la solucin numrica
nos dara una solucin aproximada.
El error de la aproximacin, que
depende del mtodo que se utilice y
de qu tan fino sea, puede llegar a
ser tan pequeo que es posible
obtener un resultado idntico a la
solucin analtica en las primeras
cifras decimales. Los mtodos de
integracin numrica pueden ser
descritos generalmente como
combinacin de evaluaciones del
integrando para obtener una
aproximacin a la integral. Una
parte importante del anlisis de
cualquier mtodo de integracin
numrica es estudiar el
comportamiento del error de
aproximacin como una funcin del
nmero de evaluaciones del
integrando. Un mtodo que produce
un pequeo error para un pequeo
nmero de evaluaciones es
normalmente considerado superior.
Reduciendo el nmero de
evaluaciones del integrando se
reduce el nmero de operaciones
aritmticas involucradas, y por tanto
se reduce el error de redondeo total.
Tambin, cada evaluacin cuesta
tiempo, y el integrando puede ser
arbitrariamente complicado.
La funcin pasa a travs del
punto este
mtodo se llama la regla del punto
medio. La funcin interpoladora
puede ser un polinomio de grado 2
que pasa a travs de los puntos
, y .
Este mtodo se llama regla de
Simpson.
Es la primera de las frmulas de
integracin cerrada de Newton
Cotes. Corresponde al caso donde
el polinomio en la ecuacin de
integracin es de primer orden:
Geomtricamente, es equivalente a
aproximar el rea del trapezoide
bajo la lnea recta que
conecta f(a) y f (b).se llama mtodo
del trapecio.
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METODO DE LOS TRAPECIOS
Considerando la funcin anterior y trazando lneas verticales y diagonales,
entre los distintos puntos y el abcisado se tiene que:
Se debe considerar que el rea del trapecio escogido para este caso es x
( ) ( )
De igual manera as:
( ) ( )
-
( ) ( )
.
.
( ) ( )
Por tanto el rea total que hay debajo de la suma es, el rea de todos los
trapecios:
( )
[ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
]
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
Donde
Siendo N el nmero de trapecios a generar
Ejemplo 1:
Considerando un N=4, tendremos que
Para este caso
-
Sustituyendo en la ecuacin del mtodo de trapecio:
[ ( ) (
) (
) (
) ( )]
Si consideramos a N=6 entonces tenemos:
Si consideramos a N=10 entonces se tiene que:
EJEMPLO 2:
Considerando como N=4, entonces se tiene que:
Para esto se tiene que
[
( )
( )
( )
]
Para cuando N= 6
-
Para cuando N=10
EJEMPLO 3:
Considerando un N=4, tendremos que
Para este caso
[ (
)
(
)
(
)
]
Para el caso donde N=6
Para el caso donde N=10
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REGLA DEL PUNTO MEDIO
Siendo f una funciona continua en el intervalo [a, b], la regla del punto medio
para aproximar su integral viene dada por:
(
)
( )
Donde xi, vendra siendo el valor medio entre el intervalo [xi, xi+1] y N el nmero
de intervalos a considerar
Ejemplo 1 (N=4)
* (
) (
) (
) (
)+
[ (
) (
) (
) (
)]
Para cuando N= 6
Para cuando N=10
-
EJEMPLO 2:
Considerando como N=4, entonces se tiene que:
Para esto se tiene que
Luego, determinando todos los puntos medios, se tiene que
[
( )
( )
( )
( )
]
Para cuando N=6 tenemos que
Para cuando N=10, se tiene que
EJEMPLO 3:
Considerando un N=4, tendremos que
-
Para este caso
[(
)
(
)
(
)
(
)]
[(
)
(
)
(
)
(
)]
Para el caso donde N=6
Para el caso donde N=10
-
REGLA DE SIMPSONS
Sea un polinomio de la siguiente forma:
Donde los pares ordenados
( ) (
) ( )
Entonces la integral esta definid por:
{ ( ) (
) ( )}
Luego esto es equivalente a
( )
Como existen dos intervalos entre a y b, tenemos que
( )
( )
.
.
(X1,Y1) (X2,Y2)
(X3,Y3)
-
( )
La integral estar dada por la sumatoria de todas las reas
( )
( )
[ ]
Donde N solo puede ser par
Ejemplo 1
Tomando como N=4
[ ( ) (
) (
) (
) ( )]
Para N=6
Para N=10
-
EJEMPLO 2:
Considerando como N=4, entonces se tiene que:
Para esto se tiene que
[
( )
( )
( )
]
Para cuando N=6 tenemos que
Para cuando N=10, se tiene que
EJEMPLO 3:
Considerando un N=4, tendremos que
Para este caso
-
[ (
)
(
)
(
)
]
Para el caso donde N=6 y N=10
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METODO ANALITICO
Considerando la integral:
Est definida por:
[ ]
( ) ( )
Luego al comparar los resultados obtenidos se tiene que:
Considerando la Integral
Esta definida por
* ( )+
MetodoN de
intervalos
Valor
Numerico% de error
4 1,8961189 -5,194
6 1,95409723 -2,295
10 1,98352354 -0,824
4 2,05234431 2,617
6 2,02303032 1,152
10 2,00824841 0,412
4 2,005 0,250
6 2,00086319 0,043
10 2,00010952 0,005
Trapecio
Punto
Medio
Simpsons
-
( ) ( )
Por tanto se tiene que:
Por ltimo la integral:
Esta definida por:
[
]
Para este ltimo se tiene que:
MetodoN de
intervalos
Valor
Numerico% de error
4 0.87953077 -0.209
6 0.8805549 -0.093
10 0.88107892 -0.033
4 0.88229551 0.105
6 0.88178304 0.046
10 0.88152093 0.017
4 0.881 -0.042
6 0.88137464 0.000
10 0.88137373 0.000
Trapecio
Punto
Medio
Simpsons
MetodoN de
intervalos
Valor
Numerico% de error
4 21.28125 1.339
6 21.125 0.595
10 21.045 0.214
4 20.859375 -0.670
6 20.9375 -0.298
10 20.9775 -0.107
4 21 0
6 21 0
10 21 0
Trapecio
Punto Medio
Simpsons
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REFERENCIAS
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup
=true&id=24528(recuperado el 27/10/14)
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica(recuperado el
27/10/14)