mÉtodo de las deformaciones: ejercicio resuelto
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Ejercicios Resueltos: Método de las Deformaciones Ejercicios Resueltos: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex
Ejercicio Nº1:
Características geométricas de las barras
Cálculo de las Inercias: ( ) 4
3
4-23-1 1333312
2020II cmcmcm=
⋅==
( ) 43
5-44-3 10666712
4020II cmcmcm=
⋅==
Adoptando como 43-10 13333II cm==
Cálculo de los Coeficientes “αij”:
0
ijij I
Iα =
1,00αα 4231 ===>==== −−4
4
0
4-2
0
3-14-23-1 13333
13333I
III
ααcmcm
8,00αα 5443 ===>==== −−4
4
0
5-4
0
4-35-44-3 13333
106667I
II
Iαα
cmcm
La ecuación de recurrencia vista en la teoría:
[ ] [ ]ijjiij
ij0ijijji
ij
ij0ijij Ψ3ωω2
l2
MΨ3ωω2l
IE2MM ⋅−+⋅⋅
⋅+=⋅−+⋅⋅
⋅⋅+=
α
Siendo: 0
ijij I
Iα =
0ii IEωω ⋅⋅= 0jj IEωω ⋅⋅= 0ijij IE ⋅⋅Ψ=Ψ Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω2 = Ψ3-4 = Ψ4-5 = 0 Incógnitas: ω3 ; ω4 ; ω5 ; Ψ1-3 ; Ψ2-4
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Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el
desplazamiento de los nudos 3, 4 y 5 serán el mismo. Δ = Δx3 = Δx4 = Δx5
Luego: Δ = l1-3 · Ψ1-3 = l2-4 · Ψ2-4 => Ψ1-3 = Ψ2-4
Cálculo de los 0ijM
tmmt 1842
8lPMM 0
4-30
4-3 =⋅
=⋅
=−=
( )tm
mmt
38
12
42
12lqMM
220
5-40
5-4 =⋅
=⋅
=−=
Cálculo de los ijM
• Barra 1-3
[ ] 3-133-1313-1
3-103-13-1 Ψ2ω3
2Ψ3ωω2lα2
MM −=⋅−+⋅⋅⋅
+=
[ ] 3-133-1131-3
1301-31-3 Ψ2ω3
4Ψ3ωω2lα2
MM −=⋅−+⋅⋅⋅
+= −
• Barra 2-4
[ ] 4-244-2424-2
4-204-24-2 Ψ2ω3
2Ψ3ωω2lα2
MM −=⋅−+⋅⋅⋅
+=
[ ] 4-244-2242-4
2-402-42-4 Ψ2ω3
4Ψ3ωω2lα2
MM −=⋅−+⋅⋅⋅
+=
• Barra 3-4
[ ] 434-3434-3
4-304-34-3 ω4ω81Ψ3ωω2
lα2
MM ++=⋅−+⋅⋅⋅
+=
[ ] 434-3343-4
3-403-43-4 ω8ω41Ψ3ωω2
lα2
MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅
+=
• Barra 4-5
[ ] 545-4545-4
5-405-45-4 ω4ω83
8Ψ3ωω2lα2
MM ++=⋅−+⋅⋅⋅
+=
[ ] 545-44545-
45-045-45- ω8ω43
8Ψ3ωω2lα2
MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅
+=
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Planteo de las ecuaciones de equilibrio
Planteando sumatorias de momentos en los nudos e igualándolas a cero tendremos tres
ecuaciones, con lo que necesitaremos una cuarta ecuación debido a que contamos con cuatro incógnitas, por lo tanto plantearemos una ecuación de piso y la igualaremos a cero, en consecuencia obtuvimos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
Equilibrios de Momentos: Para hacer el equilibrio de nudos tomaremos la acción de la barra sobre el nudo (positivo
en sentido horario). • Nudo (3):
0MM0M 43133 =+=>= −−∑
314343
314313
Ψ,000ω,004ω8,001M
Ψ2,00ω0,00ω340,00M
−−
−−
+=
−+=
( )I=>=−++=>= −∑ 0Ψ2,00ω4,00ω3281,000M 31433
• Nudo (4):
0MMM0M 5424344 =++=>= −−−∑
5454
31424
4334
ω4,00ω8,0038M
Ψ2,00ω34M
ω8,00ω4,001,00M
+++=
−+=++−=
−
−−
−
( )II=>=−+++=>= −∑ 0Ψ2,00ω4,00ω352ω4,003
50M 315434
• Nudo (5):
0MM0M V455 =+=>= −∑
1,00Mω8,00ω4,003
8M
V
5445
+=++−=−
( )III=>=++−=>=∑ 0ω8,00ω4,00350M 545
Ecuación de Piso:
Recordando que M
ij0ijij QQQ += ; y que en este caso los 0
ijQ son nulos debido a que no hay
cargas horizontales actuando en la estructura; y que a los MijQ , los considero positivos debido a
que todavía no se conoce su verdadero signo. Nota: Como queremos calcular el equilibrio de la barra para obtener sus esfuerzos de
corte, es conveniente trabajar con la acción del nudo sobre la barra.
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0QQ0F 2413H =+=>= −−∑
313313313
31
1331M13 Ψ3
4ω32
3
Ψ2ω34Ψ2ω3
2
lMM
Q −−−
−
−−− −=
−+−=
+=
314314314
42
2442M24 Ψ3
4ω32
3
Ψ2ω34Ψ2ω3
2
lMMQ −
−−
−
−−− −=
−+−=
+=
( )IV=>=−+=>= −∑ 0Ψ38ω3
2ω320F 3143H
Sistema de Ecuaciones
0Ψ38-0ω3
2ω320
00ω8ω4035
0Ψ2-ω4ω352ω43
50Ψ2-0ω4ω3
281,00
3143
54
31543
3143
=
=−
=
=
−
−
−
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:
0,0519738Ψ0,2871632ω
0,156826ω0,051068ω
0,051973810000,28716320100
0,15682600100,0510680001
31
5
4
3
−==
−=−=
=>
−==
−=−=
−
Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los
valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.
tmtmtmtmtmtmtmtm
001M1050M462M0,036M562M00060M0340M0,07M
45243413
54424331
,,,,,,
−=−=−===−=−==
−−−−
−−−−
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Diagrama de Momentos Flectores
Diagrama de Esfuerzos de Cortantes
Diagrama de Esfuerzos de Normales
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Diagrama de Cuerpo Libre
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Ejercicio Nº2:
2t
5t
1,5t
1 2
3 4
5
6
q= 2t/mq= 3t/m
q= 4t/m
q= 3t/m
3I°
4I°
I°
I°
3I°
Datos (por condición de vinculo): ω1 = ω4 = 0 Incógnitas: ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ1-2 ; Ψ3-4; Ψ5-6 ; Ψ2-5
Como el método no considera deformaciones por esfuerzo normal, entonces el desplazamiento de los nudos 2, 3 y 5 será el mismo.
Δ = Δx2 = Δx3 = Δx5 Luego: Δ = -l1-2 · Ψ1-2 = l3-4 · Ψ3-4 = l5-6 · Ψ5-6 = función Δ Ψ1-2 = -5/8 Ψ3-4 Ψ5-6 = 5/6 Ψ3-4
Mis incógnitas serán entonces : ω2 ; ω3 ; ω5 ; ω6; Ψ3-4; Ψ2-5 Cálculo de los 0
ijM
tm09,3M02-1 =
tm59,3M01-2 −=
tm083,2MM 03-4
04-3 =−=
tm84,1M05-2 =
tm45,2M02-5 −=
tm25,2MM 05-6
06-5 =−=
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Cálculo de los ijM
La ecuación de recurrencia vista en la teoría:
[ ]ijjiij
ij0ijij Ψ3ωω2
lIE2
MM ⋅−+⋅⋅⋅⋅
+=
• Barra 1-2
[ ] 3-423-1312-1
2-102-12-1 Ψ16
45ω2309,3Ψ3ωω2
l2MM ++=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
[ ] 3-421-2121-2
1201-21-2 Ψ16
45ω359,3Ψ3ωω2l
2MM ++−=⋅−+⋅⋅⋅
+= −I
• Barra 2-3
[ ] 323-2323-2
3-203-23-2 ωω2Ψ3ωω2
l2MM +=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
[ ] 323-2232-3
2-302-32-3 ω2ωΨ3ωω2
l2MM −=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
• Barra 3-4
[ ] 3-434-3434-3
4-304-34-3 Ψ5
48ω532083,2Ψ3ωω2
l2MM −+=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
[ ] 4-334-3343-4
3-403-43-4 Ψ5
48ω516083,2Ψ3ωω2
l2MM −+−=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
• Barra 2-5
[ ] 5-2525-2525-2
5-205-25-2 Ψ7
12ω74ω7
884,1Ψ3ωω2l
2MM −++=⋅−+⋅⋅⋅
+=I
[ ] 5-2255-2252-5
2-502-52-5 Ψ7
12ω74ω7
845,2Ψ3ωω2l
2MM −++−=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
• Barra 5-6
[ ] 3-46565-6565-
65-065-65- Ψ5ω2ω425,2Ψ3ωω2
l2MM −++=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
[ ] 3-45665-655-6
5-605-65-6 Ψ5ω2ω425,2Ψ3ωω2
l2MM −++−=⋅−+⋅⋅
⋅+=
I
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Planteo de las ecuaciones de equilibrio
Equilibrios de Momentos:
• Nudo (3):
0MM0M 23433 =+=>= −−∑
3243
3-4343
ω2ωM
Ψ548ω5
32083,2M
−=
−+=
−
−
( )I0Ψ548ω5
42ω083,20M 3-4323 =>=−++=>=∑
• Nudo (2):
0MMM0M 5232122 =++=>= −−−∑
)(0Ψ712Ψ16
45ω74ωω7
43-1,75 0M
Ψ712ω7
4ω7884,1
ωω2
Ψ1645ω359,3
5-23-45322
5-25252
3232
3-4212
II
M
M
M
⇒=−++++⇒=
−++=
+=
++−=
∑−
−
−
• Nudo (5):
0MM0M 6-5255 =+=>= −∑
3-46565
5-22525
Ψ5ω2ω425,2
Ψ712ω7
4ω7845,2
−++=
−++−=
−
−
M
M
( )III0Ψ712Ψ5ω2ω7
36ω742,00M 5-23-46525 =>=−−+++−=>=∑
• Nudo (6):
0MM0M v-6566 =+=>= −∑
( )VI0Ψ5ω4ω237,30M 3-4656 =>=−++=>=∑
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Ecuación de Piso:
2t
2
3
5
Q
Q
Q
3-4
2-1
5-6
Q +3-42t + Q5-6-Q =02-1
5
Q5-2 Q = 05-2
0FH =∑
)(0Ψ4948ω49
24ω492403,386,2
lMMQ 255225
5225M25 V⇒=−++−=−
+= −
−
−−−
0FV =∑
34334
3443M43 Ψ25
192ω259655
lMMQ −
−
−−− −+=+
+=
34212
2112M12 Ψ32
45ω89
845
211
lMMQ −
−
−−− ++−=−
+=
345512
2112M65 Ψ3
10-ω2ω229
29
lMMQ −
−
−−− ++=+
+=
( )IV0Ψ12,42-ω2ω2ω2596ω8
98
1370F 346532V =>=+++−=>= −∑
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Sistema de Ecuaciones
1 42/5 0 0 -48/5 0 -2.083 43/7 1 4/7 0 45/16 -12/7 1,75 4/7 0 36/7 2 -5 -12/7 0,2 0 0 2 4 -5 0 -3,37
24/49 0 24/49 0 0 -48/49 3,03 -9/8 96/25 2 2 -12,42 0 -137/8
Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω2 = -3,56 ω3 = 4,67 ω5 = 1,67 ω6 = 3,25 Ψ3-4 = 3,93 Ψ2-5 = -4,05
Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.
tmtm
tmtmtmtmtmtmtmtm
62,5M,344M
33,4M87,24M78,5M,223M65,5M76,5M45,2M,808M
56
65
25342312
52433221
−=−=
=−==−==−=−==
−
−
−−−−
−−−−
Diagrama de Cuerpo Libre
2t
5t
1,5t
1 2
3 4
5
q= 2t/mq= 3t/m
q= 4t/m
q= 3t/m
3I°
4I°
I°
I°
3I°
5,9t
3,37t
1,66t
17,26t
13,82t
24,87tm
8,80tm
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Diagrama de Momentos Flectores
1 2
3 4
5
8,80tm
-3,22 tm
5,65tm2,45tm
-5,76tm5,76tm
24,87tm
4,33tm
4,33tm
-4,33tm
-5,62tm 5,62tm
Diagrama de Esfuerzos de Cortantes
1 2
3 4
5
5,9t
4,10t
1,66t
17,26t
5,26t
5t
1,5t
6t
7,82tm
1,18t
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Diagrama de Esfuerzos de Normales
1 2
3 4
5
-3,37t
1,16t
5,26t
1,66t
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Ejercicio Nº3:
1
2 3
4
3t q= 2t/m
3I°
3I°
5I°
Datos (por condición de vinculo): ω4 = 0 Incógnitas: ω1 ; ω2 ; ω3 ; Ψ1-2 ; Ψ2-3; Ψ3-4 Calculo los desplazamientos de los nudos en función de una sola incógnita Δ Luego: Ψ1-2 = 0,4 Δ Ψ3-2 = - 0,10 Δ Ψ4-3 = 0,25 Δ Mis incógnitas serán entonces : ω1 ; ω2 ; ω3 ; Δ
Cálculo de los 0ijM
tm04,6MM 0
2-30
3-2 =−=
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Cálculo de los ijM
La ecuación de recurrencia vista en la teoría:
[ ]ijjiij
ij0ijij Ψ3ωω2
lIE2
MM ⋅−+⋅⋅⋅⋅
+=
• Barra 1-2
Δ−+= 88,2ω4,2ω8,4M 212-1 Δ−+= 88,2ω8,4ω4,2M 211-2
• Barra 2-3
Δ+++= 6,0ω2ω404,6M 323-2 Δ+++−= 6,0ω4ω204,6M 322-3
• Barra 3-4
Δ−= 34-3 ω68,2M Δ−= 34,1M 3-4
Planteo de las ecuaciones de equilibrio
Equilibrios de Momentos:
• Nudo (1):
0M0M 211 ==>= −∑
( )I088,2ω4,2ω8,4 21 =>=Δ−+ • Nudo (2):
0MM0M 32122 =+=>= −−∑
)(028,2ω2ω8,8ω4,204,6 0M6,0ω2ω404,6
88,2ω8,4ω4,2
3212
3232
2112
IIMM
⇒=Δ−+++⇒=
Δ+++=Δ−+=
∑−
−
• Nudo (3):
0MM0M 4-3235 =+=>= −∑
Δ+++−= 6,0ω4ω204,6M 322-3
Δ−= 34-3 ω68,2M ( )III04,0ω68,6ω204,60M 323 =>=Δ−++−=>=∑
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Ecuación de Piso:
2 3
H 2-1 H 3-4H +2-1 H =03-4
Δ−+=+
=−
−−− 3,2ω88,2ω88,2
lMMH 21
21
1221M12
Tomo momento en el punto 4
M(4) = -V3-4 · 2m + H3-4 · 4m + 4-3
4334
lMM −− + = 0
Despejo el valor de H3-4
H3-4 = −−
243V
41
lMM
4-3
4334 ⋅+ −−
V3-4 = 6,5t - 3-2
2332
lMM −− + = Δ−−− 24,0ω2,1ω2,15,6 32
Entonces Δ−−−=− 01,0ω82,0ω6,025,3 3243H
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La ecuación de piso H2-1+H3-4 = 0 será entonces,
)(031,2ω82,0ω28,2ω88,225,3 321 IV=>=Δ−−++
Sistema de Ecuaciones
( )4,8 2,4 0 ‐2,88 0 2,4 8,8 2 ‐2,28 ‐6,040 2 6,68 ‐0,4 6,04
2,88 2,28 ‐0,82 ‐2,31 ‐3,25
Este sistema arrojo los siguientes resultados: ω1 = 1,92 ω2 = −0,86 ω3 = 1,31 Δ = 2,49
Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones de Recurrencia se obtienen los valores de los Momentos Flectores de la estructuras, como verificación si se reemplazan los valores de las rotaciones en las ecuaciones de equilibrios estas deben ser nulas.
tmtmtmtmtmtm73,0M02,1M,706M
02,1M70,6M0M
342312
433221
−=−=−====
−−−
−−−
Diagrama de Cuerpo Libre
1
2 3
4
3t q= 2t/m
3I°
3I°
5I°
2,68t
7,64t
5,36t
2,68t0,73tm
Estructuras 2009 METODO DE LAS DEFORMACIONES Pág. 18
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
ESTRUCTURAS
Ejercicios Resueltos: Método de las Deformaciones Ejercicios Resueltos: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex
Diagrama de Momentos Flectores
1
2 3
4
0tm
-6,70tm
6,70tm
-1,02tm
6,15tm
1,02tm
-0,73tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1
23
4
2,68t
2,68t
7,64t
2,64t
0,36tm
5,36t
0,065t
0,065t
Estructuras 2009 METODO DE LAS DEFORMACIONES Pág. 19
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
ESTRUCTURAS
Ejercicios Resueltos: Método de las Deformaciones Ejercicios Resueltos: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex
Diagrama de Esfuerzos Normales
1
23
4
-7,64t
-2,68t
-6,16t