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Medidas de Tendencia Central y Medidas de Tendencia Central y de posición en series de posición en series

agrupadasagrupadas

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Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Estudios Superiores “ Zaragoza”

Licenciatura en EnfermeríaMódulo: Enfermería Comunitaria

Disciplina: Estadística

Maestra. Gloria Hernández Gómez

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• Media aritmética o promedio aritméticoMedia aritmética o promedio aritmético

• MedianaMediana

• ModaModa

• CuartilesCuartiles

• Quintiles Quintiles

• DecilesDeciles

• PercentilesPercentiles

Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central

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O “promedio”, se obtiene sumando el resultado de O “promedio”, se obtiene sumando el resultado de la multiplicación de la frecuencia por el punto medio la multiplicación de la frecuencia por el punto medio de clase de cada categoría y dividiendo el resultado de clase de cada categoría y dividiendo el resultado entre el número de observacionesentre el número de observaciones

En En dondedonde : :

µµ ==

µµ o Xo X

==FrecuenciaFrecuenciaΣ Σ ffxixi ΣΣ fxfxii = = Suma de la multiplicación de Suma de la multiplicación de la frecuencia por el punto medio la frecuencia por el punto medio de clasede clase

i = 1i = 1i = 1i = 1

ΝΝ

ΝΝΝΝ

==Total de las observaciones Total de las observaciones

Media aritméticaMedia aritmética

= = Media aritméticaMedia aritmética

ff

55

Media ó Promedio aritmético Media ó Promedio aritmético (Μ(Μ ) ( X ) ) ( X )

Fórmula:Fórmula:Series agrupadasSeries agrupadas

X=x1f1+x2f2+x3f3…

f1 + f2 + f3…

= Σxifi

Ν

Pasos a seguirPasos a seguir

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1. Elaborar la clasificación de datos con la formación de intervalos de clase con números relativos.

2. Contabilizar la frecuencia de cada intervalo de clase.

3. Convertir los intervalos de clase en números reales o verdaderos.

4. Calcular el punto medio de clase (dividiendo el limite superior real menos el limite inferior real de cada clase y dividirlo entre dos.

5. Multiplicar el punto medio de clase por la frecuencia.

6. al resultado sumarlo y dividirlo entre el total de observaciones

Pasos a seguirPasos a seguir

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7. El resultado del paso anterior sumarlo y dividirlo entre el total de observaciones .

8. Se sugiere usar el siguiente cuadro para facilitar el cálculo.

Intervalos de clase

Frecuencia

1

Limites verdaderos o

reales

Punto medio de clase

2

Producto de

1 x 2

EjemplosEdad

20 -24 15 20 -25 22.5 337.5

25 – 29 6 25 -30 27.5 165

Ejercicio. Con la edad presentada en el Ejercicio. Con la edad presentada en el listado nominal de 30 estudiantes de listado nominal de 30 estudiantes de enfermería calcule el promedio enfermería calcule el promedio aritmético en series agrupadas e aritmético en series agrupadas e interprete resultados interprete resultados

22/02/1522/02/15 88

18 30 29 19 23 18 23 21 18 2318 22 23 19 18 18 18 18 18 1919 19 19 19 21 23 18 22 19 21

1.1. Presentación del cuadro Presentación del cuadro

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Edad(años)

Estudiantes(f)

1

Limites verdaderos o

reales

Punto medio de clase

2Producto

de

1 x 2

17 -19 18 17 - 20 18.5 33320 - 22 5 20 - 23 21.5 107.523 -25 5 23 -26 24.5 122.526 – 28 0 26 – 29 27.5 029 - 31 2 29 - 32 30.5 61TOTAL 30 Sumatoria = 624.5

0Promedio = 624/30 = 20.80 años

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Pasos a seguirPasos a seguir

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1. Elabore una tabla donde contemple los intervalos de clase, la frecuencia y la frecuencia acumulada, como se muestra en el siguiente cuadro.

Intervalos de clase

Frecuencia Frecuencia Acumulada

20 -24 15 =15

25 – 29 6 =21

30 – 34 12 =33

Frecuencia acumuladaFrecuencia acumulada

22/02/1522/02/15 1212

La frecuencia acumulada se calcula con base en la frecuencia de cada intervalo de clase se observa la frecuencia del primer intervalo y se anota igual, para el segundo intervalo se suma la frecuencia del primer intervalo mas la frecuencia del segundo intervalo y así sucesivamente como se anoto en el ejemplo anterior , finalizando en el ultimo intervalo que seria igual al total de las observaciones

Encontrar la posición de la mediana Encontrar la posición de la mediana con la siguiente fórmulacon la siguiente fórmula

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2. Encuentre el o los valores en el intervalo de clase.

3. Si se encuentra en un intervalo definido podríamos concluir que la mediana se encuentra en este pero si se encuentra entre dos intervalos se aplica la siguiente fórmula

Posición de la Mediana =N + 1

2

Li = Límite inferior del intervalo que contiene la mediana.Fac = Frecuencia acumulada del intervalo inferior al que contiene la medianaF = Número de casos del intervalo que contiene la medianai = Amplitud del intervalo que contiene la mediana

−⟩+⟨+= i

F

FacN

LiMd 2

1

1515

Mediana Mediana (Μα(Μα ) )

Fórmula** en series agrupadas para Fórmula** en series agrupadas para el valor que la representael valor que la representa

Μα= Lim.inf de la clase donde esta la observación

+ Los que faltan*

X amplitud de clase

Frecuencia Total de la clase

• Se refiere a las observaciones que faltan para encontrar la posición deseada cuando abarcan dos intervalos de clase

• ** Elaborada por la autora para mejor comprensión del calculo.

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Continuando con el mismo ejemplo de las 30 Continuando con el mismo ejemplo de las 30 estudiantes de enfermería en series agrupadas estudiantes de enfermería en series agrupadas procedemos a encontrar la mediana.procedemos a encontrar la mediana.

Edad(años)

Estudiantes(F)

Frecuencia acumulada

(Fa)17 -19 18 1820 - 22 5 2323 -25 5 2826 – 28 0 2829 - 31 2 30TOTAL 30

Mediana

22/02/1522/02/15 1717

Aplicamos la fórmula para buscar la posición deseada

Posición de la Mediana =N + 1

2

Posición de la Mediana =30 + 1

2=

31

2

15.5 = posiciones 15 y 16

La posición 15 y 16 se encuentra en el intervalo de 17 – 19 años con promedio es 18 años que representa a la mediana

Cálculo para datos agrupados de la mediana Se asume que en cada intervalo de clase los valores se distribuyen uniformemente.Se debe localizar el caso que se encuentra en la posición central y estimar su valor.

Ejemplo:

Período deincubación(hrs.)”x”

Númerode casos

“f”

CasosAcumulados

“Fa”

8 - 9.9 6 610 - 11.9 23 2912 - 13.9 9 38

14 - 15.9 1 39

16 - 17.9 2 41

Total ∑f = 41

1.- Identificar el caso medio:Número de observaciones = 41Caso medio = (41 + 1) = 42 = 21 2 22.- Identificar el intervalo de clase que contiene al caso medio: · El caso medio se encuentra entre las 10 y las 11.9 horas3.- Identificar cuántos casos se localizan por abajo del caso medio y pertenecen al intervalo que contiene a éste, excluyendo los que pertenecen a intervalos inferiores:· Casos que pertenecen a intervalos inferiores = 621 - 6 = 1515 Casos pertenecen al intervalo 10 - 11.9 horas

4.- Calcular la proporción del tiempo que requiere el intervalo correspondiente a los primeros 15 casos (inferiores al caso medio)

· Casos del intervalo = 23 · Amplitud del intervalo = 2 horas

15 / 23 = 0.65(Proporción de las 2 horas correspondiente a los 15 casos)2 x 0.65 = 1.3 horas5.- Sumar la proporción del tiempo de los casos inferiores al caso medio, al límite inferior del intervalo.Límite inferior del intervalo = 10 horas10 + 1.3 = 11.3 HorasValor de la Mediana para el Período de Incubación: 11.3 Horas

Li = Límite inferior del intervalo que contiene la mediana

Fac = Frecuencia acumulada del intervalo inferior al que contiene la mediana

F = Número de casos del intervalo que contiene la mediana

i = Amplitud del intervalo que contiene la mediana

−⟩+⟨+= i

F

FacN

LiMd 2

1

=

−++= 6

23

2

14110Md

2 horas.

hrshrs 30.11223621

10 =

−+=

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Cálculo para datos agrupados de la modaLa moda o modo se localiza en el intervalo de clase con mayor frecuencia, como podemos ver en ejemplo siguiente donde el intervalo de 10 - 11.9 horas tiene 23 casos por lo tanto es unimodal

Ejemplo:

Período deincubación(hrs.)”x”

Númerode casos

“f”

CasosAcumulados

“Fa”

8 - 9.9 6 610 - 11.9 23 2912 - 13.9 9 38

14 - 15.9 1 39

16 - 17.9 2 41

Total ∑f = 41

moda

Es este caso la moda se encontraría en el Es este caso la moda se encontraría en el intervalo de 17 a 19 años y en promedio intervalo de 17 a 19 años y en promedio 18 años 18 años

22/02/1522/02/15 2525

Edad(años)

Estudiantes(F)

Frecuencia acumulada

(Fa)17 -19 18 1820 - 22 5 2323 -25 5 2826 – 28 0 2829 - 31 2 30TOTAL 30

moda

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Cuartiles, Quintiles, Deciles y Cuartiles, Quintiles, Deciles y PercentilesPercentiles

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Medida Símbolo

Cuartil QQuintil KDecil D

Percentil P

Para otras medidas de posición como Para otras medidas de posición como cuartiles, kintiles, deciles y percentiles cuartiles, kintiles, deciles y percentiles se hacen los mismos procedimientos se hacen los mismos procedimientos que el calculo de la mediana y se que el calculo de la mediana y se encuentra la posición deseada, encuentra la posición deseada, recordando que el cuartil dos, el decil recordando que el cuartil dos, el decil cinco y el percentil cincuenta tienen la cinco y el percentil cincuenta tienen la misma posición y por lo tanto el misma posición y por lo tanto el mismo valor mismo valor

Md= Q2= D5=P5022/02/1522/02/15 2828

Ejercicio: Con los datos Ejercicio: Con los datos recolectados para valorar estado recolectados para valorar estado nutricional de estudiantes de nutricional de estudiantes de enfermería calcule el promedio y enfermería calcule el promedio y encuentre las posiciones de la encuentre las posiciones de la mediana, kintil tres, cinco y mediana, kintil tres, cinco y percentil 50 para serie percentil 50 para serie agrupadas.agrupadas.

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