NNúúmeros meros ÍÍndice y otros ndice y otros conceptos de series de conceptos de series de

tiempo.tiempo.

Ref: algunas secciones tomadas de los apuntes del Prof. JOSÉMIGUEL RODRÍGUEZ MORALES

Hasta ahora hemos trabajado con series de valores, que hemos tratado de forma estadística para conocer descriptivamente sus características.Existen valores referidos a variables económicas (precios, cantidades producidas, costos, ingresos, ..), variables sociales (nacimientos, defunciones,....) y otros tipos de variables, que cambian con el tiempo.Cuando para una de esta variables, tomamos una serie de valores correspondientes a diferentes momentos de tiempo, tenemos una "serie temporal". La importancia de tales series temporales es enorme, sobre todo en las que se refieren a variables económicas. Ahora trataremos de estudiar dos instrumentos estadísticos referidos a tales valores.

El primero de ellos, son los "números índice", que permiten, dada una serie temporal, poder medir y comparar de forma sencilla los cambios sufridos por la variable a lo largo del tiempo. Nosotros estudiaremos tan sólo algunos de los aspectos referidos a números índice.

Imaginemos que conocemos el no. de alumnos matriculados en la Universidad durante los últimos 10 años, dado por la tabla:

Esta es una serie temporal referida al nº de matriculaciones. Es difícil dando un vistazo, poder comparar los datos, y conocer las variaciones.Pero si dividimos cada cantidad entre el nº de alumnos matriculados en 1986, y lo expresamos en porcentaje, obtendríamos la serie:

Los números que aparecen ahora se llaman números índice simples (que son los referidos a una sola variable, en este caso el nº de matriculados) y son de fácil interpretación.Dada la forma en que han sido calculados, cada uno de ellos indica una variación. El número índice 103,6 correspondiente a 1987, se interpreta: "el número de matriculados creció en un 3,6% respecto a 1986". El número 97,2 correspondiente al año 1991, se interpretaría: "el número de matriculados descendió en un 2,8% respecto a 1986".

El año que se ha tomado como referencia, llamado periodo baseperiodo base, es el que determina el significado de la serie de números índice anteriores.

Entonces, ¿Qué son los números índice ?

Los números índice se usan cuando es necesario mostrar el cambio PROMEDIO en varias variables o parámetros. Hay diferentes números índice, algunos muy comunes como los empleados en las noticias sobre las finanzas o estado de la economía (por ejemplo los números de la bolsa de valores). La tabla siguiente nos muestra algunos ejemplos:

ÍÍndicendice Muestra la Muestra la variacivariacióón en:n en:

ÍÍndice de precios al ndice de precios al consumidorconsumidor preciosprecios

ÍÍndice de cotizacindice de cotizacióón de la bolsa n de la bolsa de valoresde valores

Precios de las Precios de las accionesacciones

DDóólar ventanillalar ventanilla Cambio de monedaCambio de moneda

Un nnúúmero mero ííndicendice es un indicador de cambio en alguna variable o parámetro. Comúnmente empieza tomando como base el valor de algún año al que se asigna un nuevo valor de 100. El número índice es sólo un indicador y no tiene unidades, lo que importa son los cambios en este número con el tiempo. Los cambios se expresan en términos de porcentaje, por ejemplo:

Si se usa el año 2003 como la base, el índice inicia ahí con un valor de 100, si en el siguiente año (2004) el índice vale 120, entonces sabemos que hubo un incremento de 20%. Si para el año siguiente el índice ha aumentado a 150 entonces hay un cambio de 50% contra el valor inicial pero sería 25% contra el valor del a25% contra el valor del añño anterioro anterior.

Generalmente se usa como índice el cambio por sobre el valor anteriorpor sobre el valor anterior.

Actividad 1.Intenta llenar la siguiente tabla. Trabaja con el valor del año anterior para encontrar el porcentaje de cambio.

AAññoo ÍÍndice de preciosndice de precios Porcentaje de cambio Porcentaje de cambio (inflaci(inflacióón)n)

11 100100

22 115115

33 140140

44 175175

55 190190

Ejemplo, en el año 3 el la variación en el índice de precios fue de 25 unidades (140 – 115) por lo que el índice es:

721100115

115140 .=− x

AAññoo ÍÍndice de preciosndice de precios Porcentaje de cambio Porcentaje de cambio (inflaci(inflacióón)n)

11 100100 --

22 115115 15%15%

33 140140 21.7%21.7%

44 175175 25%25%

55 190190 8.6%8.6%

Resultado del ejemplo:

Calculando números índiceDigamos que queremos calcular la inflación (Índice de precios al consumidor) de algunos artículos o bienes. Entonces asignamos 100 al valor del artículo para el año base y calculamos el cambio en precio de cada artículo. Actividad 2. Completa la tabla siguiendo el ejemplo del primer indicador.

ProductoProducto Precio Precio -- aañño o 11

ÍÍndice ndice -- aañño o 11

Precio Precio -- aañño o 22

ÍÍndice ndice -- aañño o 22

PanPan $40$40 100100 6060 150 150

CervezaCerveza $200$200 100100 220220Cepillos de Cepillos de dientesdientes $100$100 100100 7575

PeriPerióódicosdicos $50$50 100100 6060

TOTALTOTAL 400 400

ÍÍndice globalndice global 400/4400/4==100100

El cambio en el índice global refleja la tasa promedio de la inflación. ¿Cúal es la tasa de inflación para estos cuatro productos al año 2?

ProductoProducto Precio Precio -- aañño o 11

ÍÍndice ndice -- aañño o 11

Precio Precio -- aañño o 22

ÍÍndice ndice -- aañño o 22

PanPan $40$40 100100 $60$60 150 150

CervezaCerveza $200$200 100100 $220$220 110110Cepillos de Cepillos de dientesdientes $100$100 100100 $75$75 7575

PeriPerióódicosdicos $50$50 100100 $60$60 120120

TOTALTOTAL 400 400 455455

ÍÍndice globalndice global 400/4 =100400/4 =100 455/4455/4==113.7113.755

La tasa promedio de inflación para estos cuatro productos al año 2 es de 13.75%

Series temporales.Series temporales.

En las secciones anteriores hemos usado números índice para medir y comparar variaciones ocurridas en el pasado , pero en algunas ocasiones resulta de ayuda, provechoso o incluso necesario, predecir hechos futuros.

Por ejemplo, una editorial, debe hacer una predicción de las ventas de uno de sus libros, para editar las suficientes copias, una fábrica de coches necesita saber cuales son sus expectativas de ventas, para satisfacer la demanda de un modelo. Los gobiernos deben predecir una gran variedad de factores económicos, y sociales, para establecer políticas destinadas a paliar desempleo, inflación, enfermedades, etc.

Las series cronológicas son tablas estadísticas, que recogen un conjunto de observaciones realizadas en momentos determinados, normalmente aintervalos iguales (suelen ser años, meses, trimestres, etc).

En general podemos pensar en las series temporales o series de En general podemos pensar en las series temporales o series de tiempo como el comportamiento de una variable con respecto al tiempo como el comportamiento de una variable con respecto al tiempo, es decir, el tiempo es nuestra variable independiente y tiempo, es decir, el tiempo es nuestra variable independiente y la la observaciobservacióón que nos interesa es la variable dependiente.n que nos interesa es la variable dependiente.

Imaginemos que “TRANSPO" ha estudiado el número de viajeros en los últimos 4 años, trimestralmente, para la línea Qro - DF, para planificar el número de autobuses necesarios y estudiar la rentabilidad de la línea. Los datos obtenidos son:

Una primera aproximación al estudio de los valores, es su representación gráfica:

Componentes de una Serie.Componentes de una Serie.

Cuando analicemos una serie temporal, habremos de tener en cuenta que existen una serie de factores que la determinan. A estos factores se les denomina componentes de la serie, y podemos distinguir cuatro:

TENDENCIATENDENCIA: es la dirección predominante de la serie, cuando ésta se observa en un periodo largo de tiempo. En nuestra serie, observamos que a lo largo de los cuatro años, los valores tienden a incrementarse, o lo que es lo mismo, el número de viajeros tiende a ser cada vez mayor. Esto se expresaría diciendo que "el número de viajeros tiene una tendencia creciente".

VARIACIVARIACIÓÓN ESTACIONALN ESTACIONAL: Aunque la tendencia en la serie anterior es creciente, vemos que mientras en el tercer trimestre el número de viajeros se incrementa sustancialmente, cae en el cuarto. Sabemos por experiencia, que esta variación se debe a que en el tercer trimestre (verano), existe un flujo de personas que utilizan el transporte para desplazarse a las zonas vacacionales.

En las series temporales, hemos de tener en cuenta, que causas estacionales, ligadas a motivos climáticos (como en nuestro caso) o sociales, pueden afectar a las series influenciando los valores observados. Siempre tienen que ver con periodos menores de un año. Puede ser una estación, un mes, una semana,...Por ejemplo, cómo afectaría el periodo navideño o el día de la Madre, a las ventas de una tienda de regalos, o la época de lluvias a las ventas de impermeables.

VARIACIONES CVARIACIONES CÍÍCLICASCLICAS: Son variaciones que sufre una serie, en periodos superiores al año. Normalmente, van ligadas a variables económicas, y tienen que ver con los ciclos económicos. Se presentan de forma lenta, y periódica, es decir primero se presentan aumentos de los valores, para luego ir apareciendo disminuciones, y así sucesivamente.Si observáramos nuestra serie en un periodo mayor de tiempo, veríamos que, en periodos de crisis económica, la gente está menos dispuesta a utilizar el servicio de transportes (digamos que sólo los que estén obligados por una actividad económica lo harían), mientras que durante el auge económico, el número de viajeros aumentará.

VARIACIONES ACCIDENTALESVARIACIONES ACCIDENTALES: Son variaciones que sufren las variables de una forma ocasional, y que producen desviaciones imprevisibles en la tendencia. Por ejemplo, que sube la gasolina mucho, y la gente decide empezar a utilizar más los transportes públicos. Esto hará que en ese momento la serie del ejemplo cambie.

Para analizar una serie se pueden utilizar varias Para analizar una serie se pueden utilizar varias ttéénicasnicas, entre , entre ellas:ellas:

Promedio mPromedio móóvil.vil.

Este método proporciona una forma de “suavizar” las variaciones drásticas de forma que se pueda apreciar su tendencia. Esto se logra al “desplazar”los valores medios aritméticos en la serie de tiempo.

Tendencia Lineal.Tendencia Lineal.

La tendencia a largo plazo de muchas series de datos con frecuencia se aproximan a una recta. Dicha tendencia se puede aproximar al unir el valor inicial al valor final. La pendiente de dicha recta nos proporciona el valor de la “tasa de variacion”.

Tendencias no lineales.Tendencias no lineales.

Los datos que aumentan o disminuyen en cantidades cada vez mayores durante un período aparecen curvilíneos cuando trazamos su gráfica en escala aritmética. En estos casos se debe buscar una tendencia no-lineal que mejor se aproxime a las observaciones. Algunos ejemplos son las tendencias exponenciales o las polinomiales:

Ejemplo de cEjemplo de cáálculo de Promedio Mlculo de Promedio Móóvil.vil.

Los siguientes primeras dos series de datos tienen una variación estacional que necesitamos remover (en Minitab ver Example Worksheets> Metal). La tercera se ve sin mucha variación aparente ¿es esto así?

60544842363024181261

400

300

200

100

0

Index

Dat

a

TradeFoodMetals

Variable

Time Series Plot of Trade, Food, Metals

Sin embargo, si cambiamos la escala del eje vertical veremos que sí existe una variación.

60544842363024181261

52

50

48

46

44

42

40

Index

Met

als

Time Series Plot of Metals

Si empleamos un promedio cada 5 puntos (Stat-Time Series-MovingAverage) y centramos el valor obtenido, tenemos una nueva serie con menor variación (más “suavizada”).

60544842363024181261

52

50

48

46

44

42

40

Index

Met

als

Length 5Moving Average

MAPE 1.38223MAD 0.62750MSD 0.59372

Accuracy Measures

ActualSmoothed

Variable

Moving Average Plot for Metals

Si ahora empleamos un promedio cada 10 puntos obtenemos una mejor caracterización de la tendencia.

60544842363024181261

52

50

48

46

44

42

40

Index

Met

als

Length 10Moving Average

MAPE 2.11156MAD 0.97078MSD 1.33509

Accuracy Measures

ActualSmoothed

Variable

Moving Average Plot for Metals

Ahora veamos otra de las series de tiempo, en este caso el factor comercio (trade). La escala horizontal es el tiempo en meses. ¿Cuál crees que es el período de variación estacional en los siguientes datos? (Cada cuándo ves una repetición del patrón de variación).

60544842363024181261

400

390

380

370

360

350

340

330

320

310

Index

Trad

e

Time Series Plot of Trade

Puedes ver que la repetición es cada 12 meses (anual), por lo que ése es el período (por ejemplo, mide la distancia en tiempo de un pico al otro).

Para remover esa variación estacional, se puede emplear un promedio móvil con una ventana que corresponde al período de variación estacional.En este caso si usamos un promedio cada 12 datos (meses):

60544842363024181261

400

390

380

370

360

350

340

330

320

310

Index

Trad

e

Length 12Moving Average

MAPE 2.523MAD 9.076MSD 106.840

Accuracy Measures

ActualSmoothed

Variable

Moving Average Plot for Trade

Finalmente, a los resultados del promedio móvil les podemos ajustar una recta (Stat-Regression-Fitted Line Plot) para encontrar la tendencia linealla tendencia lineal de los datos originales (porque se puede ver que los resultados se aproximan bastante a una recta).

60544842363024181261

390

380

370

360

350

340

330

320

310

Index

AV

ER1

MAPE 0.54080MAD 1.84016MSD 5.46608

Accuracy Measures

ActualFits

Variable

Trend Analysis Plot for AVER1Linear Trend Model

Yt = 312.840 + 1.17*t

La ecuación encontrada, que es la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos, nos dice que el factor comercio (trade) cambia con el tiempo de la siguiente forma (ver en el subtítulo de la gráfica anterior):

312.84 1.17( )Comercio tiempo= +

Pero, ¿Qué significa cada uno de estos números (parámetros)?:

312.84 es el valor del Comercio cuando el tiempo es cero.

1.17 es el valor de cuánto cambia el comercio por unidad de tiempo.

312.84 1.17( )Comercio tiempo= +

60544842363024181261

390

380

370

360

350

340

330

320

310

Index

AV

ER1

MAPE 0.54080MAD 1.84016MSD 5.46608

Accuracy Measures

ActualFits

Variable

Trend Analysis Plot for AVER1Linear Trend Model

Yt = 312.840 + 1.17*t

312.84 es el valor cuando t = 0 (valor inicial), por lo tanto, es el valor cuando la recta cruza el eje de las “Y”

1.17 es el valor del cambio en comercio (Y) por unidad de tiempo (X), o sea, la pendiente de la recta