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Intro Vuelo Sim-PV

Mecánica del VueloTema 3: Actuaciones de Punto

Damián Rivas Rivas y Sergio Esteban Roncero

Departamento de Ingeniería AeroespacialEscuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla

Curso 2013-2014

Rivas & Esteban MVI

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Intro Vuelo Sim-PV

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1 Introducción

2 Vuelo Simétrico en el Plano Vertical

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Intro Vuelo Sim-PV

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1 Introducción

2 Vuelo Simétrico en el Plano Vertical

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Intro Vuelo Sim-PV

Introduction

Actuaciones de punto: problema ⇒ cuasiestacionario:Se desprecian:

Términos de aceleración:(

V , γ)

6= V = cte. and γ = cte.

Otros términos dependiendo del movimiento considerado.

Las actuaciones de punto que se estudiarán (movimientos):Vuelo simétrico en un plano vertical:

Vuelo horizontal.Vuelo de subida.Vuelo de planeo.

Se considera vuelo simétrico.

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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.

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1 Introducción

2 Vuelo Simétrico en el Plano VerticalIntroducción Vuelo Simétrico en el Plano VerticalVuelo Horizontal

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Introducción Vuelo Simétrico en el Plano Vertical

Hipótesis simplificativas:

Se desprecian las aceleraciones(

V y γ

)

Ángulo de ataque del empuje ε = 0

Ecs. cinemáticas⇒{

x = V cos γh = V sin γ

⇒ No se usan

Ec. de la variación de la masa ⇒ W = −cE T

Ecs. dinámicas⇒{

T − D −W sin γ = 0L−W cos γ = 0 ⇒

T ≡ T (h,V , π)D ≡ D(h,V , L)L ≡ L(h,V , α)

Tomando L como variable de control no se necesita α

T (h,V , π)− D(h,V , L)−W sin γ = 0

L−W cos γ = 0

6 variables h,V , π, L,W , γ, y 2 ecuaciones:

habitual fijar⇒ h,V ,W , π ⇒ determinar{

γ = γ (h,V ,W , π)L = L (h,V ,W , π)

← caso particular

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Vuelo Horizontal - I

Vuelo horizontal ⇒ También denominado vuelo a nivel.Caso particular del vuelo simétrico en un plano vertical h = cte

h = cte ⇒ γ = 0

Ecs. dinámicas⇒{

T − D = 0L−W = 0

dependencias⇒

funcionales

T (h,V , π)− D(h,V , L) = 0

L−W = 0

sustituyendo⇒ L = W ⇒ T (h,V , π)− D(h,V ,W ) = 0

4 variables h,V , π,W , y 1 ecuación:

habitual fijar⇒ h,W , π ⇒ determinar V = V (h,W , π)

L = W ⇒1

2ρSV 2CL = W ⇒

{

ρ(h)V (h,W , π)

⇒ α⇒ para V deseada

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Vuelo Horizontal - II

Con h,W , π fijos ⇒ T y D son funciones de VPara turborreactor subsónico se tienen 2 posibles velocidadesde vuelo

V1 ⇒ V grande ⇒ α pequeñoV2 ⇒ V pequeña ⇒ α grande (problemas de entrada en pérdida)

En la práctica se vuela con V1

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Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - I

Fijando W y π para cada altitud ⇒ 2 velocidades de vuelo.Repitiendo para distintas altitudes ⇒ obtener el diagrama dealtura-velocidad

Fig: Envolvente de vuelo

Techo teórico: altitud máxima a la que es posible el vuelohorizontal rectilineo uniforme

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Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - II

Techo teórico: altitud máxima a la que es posible el vuelohorizontal rectilineo uniforme.

Análisis del techo teórico con las curvas T − D:V1 y V2 son intersecciones de las curvas T − D en funcion de V .El techo teórico ⇒ T (V ) y D(V ) son tangentes.

Habitual para muchos aviones:La velocidad máxima (Vmax ) se encuentra en la tropopausa.El techo teórico se encuentra en la estratosfera.

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I

Modelo ISJ (Ideal Subsonic Jet)

Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kC2L cte.

CD = CD0+ kC2

LD = 1/2ρV 2SCDL = 1/2ρV 2SCL

⇒ D =1

2ρV 2SCD0

+ k2L2

ρV 2S

Como ρ = ρ(h) es evidente la dependencia D(h,V , L).

Para el modelo aerodinámico se considera:

dado L = W ⇒1

2ρV 2SCD0

+ k2W 2

ρV 2S≡ D (h,V ,W )

Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en latropopausa (T ∗, ρ∗): el superíndice ∗ indica condiciones enTropopausa:

T = T∗(π)

(

ρ

ρ∗

)x

⇒

{

x = 0, 7⇒ en la troposferax = 1⇒ en la estratosfera

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II

Se define variables adimensionales: Eficiencia aerodinámica (E)usando polar parabólica coef. ctes.

E =L

D=

CL

CD=

CL

CD0+ kC2

L

E es una función CL luego existirá un CLopt ⇒ E(CLopt ) = Emax

Cálculo de CLopt y Emax :

dE

dCL= 0⇒

1

CD0+ kC2

L

−2kC2

Lopt

CD0+ kC2

Lopt

= 0

CD0+ kC2

Lopt+ 2kC2

Lopt= 0⇒

CLopt=

√

CD0

k

Emax =1

2√

CD0k

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III

La velocidad de referencia VR se define como: VR es la V a laque se obtiene CLopt :

L = W ⇒1

2ρV 2

RSCLopt= W ⇒ VR =

√

2W

ρS

√

1

CLopt

⇒ VR =

√

2W

ρS

(

k

CD0

)1/4

El empuje de referencia se define utilizando las 2 Ec. Dinámicas:

T = DL = W

}

⇒ E =L

D=

W

T⇒ T =

W

E

Definiendo TR como el empuje que se obtiene cuando la eficienciaaerodinámica es máxima (Emax)

TR =W

Emax

Esto implica que para un peso dado, el empuje de referencia TR es elempuje mínimo para un vuelo horizontal rectilíneo y uniforme

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV

VR y TR son las variables de referencia que se emplearán paraadimensionalizar:

u = VVR

z = TTR

}

⇒ u =V

VR⇒ D =

1

2ρu2V 2

RSCD0+ k

2W 2

ρu2V 2RS

Empleando la velocidad de Referencia VR :

VR =

√

2W

ρS

(

k

CD0

)1/4

⇒ D = u2W√

kCD0+

W

u2

√

kCD0⇒ D =

W

2Emax

(

u2 +1

u2

)

Imponiendo la ecuación dinámica T − D = 0:

T − D = 0⇒ z =T

TR⇒ zTR −

W

Emax

1

2

(

u2 +1

u2

)

Ecuación del Vuelo Horizontal Rectilíneo UniformeAdimensionalizada (VH-RU-A):

TR =W

Emax⇒ zTR −

W

Emax

1

2

(

u2 +1

u2

)

= 0⇒ z =1

2

(

u2 +1

u2

)

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI

Operando la ecuación VH-RU-A:

z =1

2

(

u2 +1

u2

)

⇒ u4 − 2zu2 + 1 = 0⇒ u =

√

z ±√

z2 − 1

Resolviendo por u:

u =

√

z ±√

z2 − 1⇒

u1 =

√

z +√

z2 − 1

u2 =

√

z −√

z2 − 1⇒

{

V1 = u1VRV2 = u2VR

Fijando z (z = TTR

) se obtien u.

Problema adimensional ⇒ simplifica mucho la formulación:Variables dimensionales ⇒ T (h,V , π) y T (D,V , L) ⇒ 4parámetros.Variables adimensionales ⇒ 2 variables: z y u.

Característica de la solución ⇒ z ≥ 1 para que√

z2 − 1 ∈ R.Corrobora ⇒TR mínimo valor de T en vuelo horizontal rectilíneo.

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VII

Vuelo Horizontal Adimensionalizado:

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Techo Teórico - I

La condición de techo viene dada por z = 1 ⇒ u = 1Para z < 1 no existe soluciónPara el resto de valores de z > 1 aparecen 2 soluciones.

Para cada π puede definirse un techo ⇒ NO tiene utilidadprática.

Utilidad práctica ⇒ Calcular techo máximo para πmax ⇒ empujemáximo (Tmax ).

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Techo Teórico - II (Troposfera)

Si el techo se encuentra en la Troposfera:

T = T∗(π)

(

ρ

ρ∗

)x

, x = 0, 7⇒ T∗(πmax ) = T∗

max ⇒ T = T∗

max

(

ρ

ρ∗

)x

z = z∗

max

(

ρ

ρ∗

)x

en el Techo⇒{

z = 1h = H

⇒ z∗

max

(

ρH

ρ∗

)x

= 1

Ecuación característica del motor ⇒ z = z∗max

(

ρρ∗

)x

Ecuación para el techo H ⇒ ρH = ρ∗ 1

(z∗max )

1/x

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Techo Teórico - III (Estratosfera)

Si el techo se encuentra en la Estratosfera:

T = T∗(π)ρ

ρ∗⇒ T∗(πmax ) = T∗

max ⇒ T = T∗

maxρ

ρ∗

z = z∗

maxρ

ρ∗en el Techo⇒

{

z = 1h = H ⇒ z∗

maxρH

ρ∗= 1

Ecuación característica del motor ⇒ z = z∗max

ρρ∗

Ecuación para el techo H ⇒ ρH =ρ∗

z∗max

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Techo Teórico - IV

Importancia del desarrollo de las ecuaciones para el techo:Si estamos en la troposfera ⇒ H < 11.000m = h∗ ⇒ ρH > ρ

∗

Implica que z∗

max < 1 (Si no el techo no estará en la troposfera)

Si estamos en la estratosfera ⇒ H > 11.000m = h∗ ⇒ ρH < ρ∗

Implica que z∗

max > 1 (Si no el techo no estará en la estratosfera)

z∗max es el parámetro que discrimina en que región se encuentra

el techo.Para calcular la altitud se emplea la relación ρ = ρ(h) de la ISA(Atmósfera Estándar):

Para la Estratosfera

ρ = ρ(h) = ρ∗e−

gRgθ∗ (h−h∗)

⇒ h− h∗ = −Rgθ

∗

g ln ρρ∗

Techo ⇒ H = h∗ −Rgθ

∗

g ln ρHρ∗⇒ z∗

max =ρHρ∗⇒ H = h∗ +

Rgθ∗

g ln z∗

max

z∗

max =T∗

maxW Emax ⇒ H = h∗ +

Rgθ∗

gln(

T∗

max

WEmax

)

Para la Troposfera ⇒ ρ = ρ(h)... Hacer como ejercicio

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Techo Teórico - V

El estudio del techo se completa con el cálculo de la velocidaden el techo VH en forma adimensional (u = 1):

V = uVR ⇒ VR =

√

2W

ρS

(

k

CD0

)1/4

⇐ empleando velocidad de referencia

se define VR0=

√

2W

ρ0S

(

k

CD0

)1/4

ρ0 = sea level

Se elimina la dependencia de VR0 en la altitud a través de ladensidad:

VR = VR0

√

ρ0

ρ⇒ VH =

√

ρ0

ρHVR0

con u = 1

Particularizando ρH para Estratosfera y Troposfera:

Troposfera VH = VR0

√

ρ0ρ∗

ρ∗

ρH⇒ z∗

max =(

ρ∗

ρH

)x⇒ VH = VR0

√

ρ0ρ∗

(z∗

max )1/x

Estratosfera VH = VR0

√

ρ0ρ∗

ρ∗

ρH⇒ z∗

max = ρ∗

ρH⇒ VH = VR0

√

ρ0ρ∗

z∗

max

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Tipo de Techos

Dependiendo de los requisitos de misión, se pueden definir 4diferentes tipos de techo:

Absolute Ceiling (techo teórico) ⇒ ROC = 0 ft/minService Ceiling ⇒ ROC = 100 ft/minCruice Ceiling ⇒ ROC = 300 ft/minCombat Ceiling ⇒ ROC = 500 ft/min (aviones de combate)

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Velocidad Horizontal Máxima - I

Cálculo de la Velocidad Horizontal Máxima: Tomando la mayorde las soluciones:

u =

√

z +√

z2 − 1⇒ umax =

√

zmax +

√

z2max − 1

zmax = z∗

max

(

ρ

ρ∗

)x

⇒

{

x = 0, 7 Troposferax = 1 Estratosfera

zmax dependerá de la altitud a través de ρ ⇒ para cada altitud setiene una velocidad máxima

Vmax = VR(ρ)umax (ρ)⇒ Vmax (ρ) = VR0

√

ρ0

ρumax(ρ)

Desde el punto de vista de las actuaciones nos interesa lavelocidad máxima de las máximas:

VM = (Vmax )max

Sólo habrá 1 altitud a la que se obtiene VM .Interesante obtener tanto VM como ρM

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Velocidad Horizontal Máxima - II

Obtener Vmax ⇒ maximizar Vmax (ρ) ⇒ a maximizar(

VmaxVR0

)2

(

Vmax

VR0

)2

=ρ0

ρu2

max ⇒ σ =ρ

ρ0⇒

(

Vmax

VR0

)2

=u2

max

σ=

zmax +√

z2max − 1

σ

d

[

(

VmaxVR0

)2]

dσ= 0 ⇒

dzmax

dσ

1 +

zmax√

z2max − 1

σ − zmax +

√

z2max − 1 = 0

(

zmax +

√

z2max − 1

)

dzmaxdσ

√

z2max − 1

σ − 1

= 0 ⇒

(

zmax +√

z2max − 1

)

= u2max 6= 0

dzmaxdσ = 1

σ

√

z2max − 1

dzmax

dσ=

x

σzmax ⇒ xzmax =

√

z2max − 1 ⇒ z2

max =1

1 − x2

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Velocidad Horizontal Máxima - III

Resultado de la maximización ⇒ z2max = 1

1−x2

Se deduce que sólo habrá 1 máximo relativo si x < 1 por lo que laexpresión sólo es válida en la Troposfera.

z∗

max

(σH

σ∗

)x=

1√

1− x2⇒ σH = σ∗

1(

z∗

max

√

1− x2)1/x

con x = 0, 7

Como para que el máximo se alcance en la Troposfera hM < h∗

entonces ρM > ρ∗

ρM = ρ∗1

(

z∗

max

√

1− x2)1/x

con x = 0, 7

Esto proporciona 1 condición para que la solución sea válida:

z∗max <

1√

1 − x2

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Velocidad Horizontal Máxima - IV (Validez Soluciones)

Validez de las soluciones:Si z∗

max <1√

1−x2:

Existe un máximo en la Troposfera

VM ⇒

(

VM

VR0

)2

=1 + x

σH

√

1− x2

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Velocidad Horizontal Máxima - V (Validez Soluciones)

Si z∗max >

1√1−x2

:

El máximo ocurre hipotéticamente en la Estratosfera.En la Estratosfera no hay máximos relativos.

(

VmaxVR0

)2

=zmax+

√

z2max−1

σ

⇒

{

x = 1zmax = z∗

maxσσ∗

⇒

(

VmaxVR0

)2

=z∗maxσ∗

+

√

(

z∗maxσ∗

)2− 1

σ2

Si aumenta ↑ h⇒ disminuye ↓ σ ⇒ ↓ Vmax ⇒ en la Estratosfera la Vmaxsólo disminuye.Conclusión: El máximo se encuentra en la Tropopausa

VM ⇒

(

VM

VR0

)2

=z∗

max +

√

z∗2

max − 1

σ∗

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Velocidad Horizontal Máxima - V

Limitaciones por entrada en pérdida y por compresibilidad

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Diagrama de Maniobra - IV - Efectos de Compresibilidad

La limitación por compresibilidad recoge el hecho de que cuandoaparecen efectos de compresibilidad:

la resistencia se hace mayor de lo esperado CD ↑la velocidad de vuelo horizontal rectilíneo se ve reducida de formaimportante V ↓

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