mecanica de medio continuo

MECNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

2 Edicin

Leandro Alloza Cerd Ingeniero de Caminos Ingeniero Tcnico de O.P.

Profesor Titular de la U.P.A.

Ttulo: Mecnica de los medios continuos 2 Edicin. Autor: Leandro A. Alloza Cerd I.S.B.N.: 84-8454-365-X Depsito legal: A-681-2004 1 edicin: Editorial Club Universitario - Alicante, 1995 ISBN 1 edicin: 84-8952-206-5 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 965 67 38 45 C/ Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningn procedimiento electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin magntica o cualquier almacenamiento de informacin o sistema de reproduccin, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

A mi esposa Pilar por su paciencia.

Alicante, 2004

NDICE CAPTULO I: MAGNITUDES Y UNIDADES .................................... 11

I.1 DEFINICIN Y CLASIFICACIN DE LA MECNICA.............................. 11 I.2 MAGNITUDES..................................................................................... 12 I.3 MAGNITUDES ESCALARES ................................................................. 12 I.4 SISTEMAS DE UNIDADES .................................................................... 12 I.5 ANLISIS DIMENSIONAL .................................................................... 13 I.6 ELECCIN DEL SISTEMA DE UNIDADES FUNDAMENTALES ................ 14 I.7 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL ........................................................ 19 EJERCICIOS.......................................................................................... 21

CAPTULO II: MAGNITUDES VECTORIALES............................... 23 II.1 MAGNITUDES VECTORIALES ............................................................ 23 II.2 DEFINICIN DEL VECTOR ................................................................. 23 II.3 NOTACIN Y REPRESENTACIN DE LOS VECTORES.......................... 23 II.4 CLASIFICACIN DE LOS VECTORES .................................................. 24 II.5 IGUALDAD DE VECTORES ................................................................. 24 II.6 SUMA DE VECTORES LIBRES............................................................. 25 II.7 RESTA DE VECTORES........................................................................ 25 II.8 VECTOR NEUTRO DE LA SUMA ......................................................... 25 II.9 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NMERO REAL .......................... 25 II.10 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES ............................................... 26 II.11 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES ........................................... 26 II.12 PRODUCTO DE TRES VECTORES ...................................................... 27 II.13 COCIENTE DE VECTORES ................................................................ 27 EJERCICIOS.......................................................................................... 28

CAPTULO III: LGEBRA VECTORIAL.......................................... 29 III.1 LGEBRA VECTORIAL ..................................................................... 29 III.2 EXPRESIN ANALTICA DE UN VECTOR........................................... 29 III.3 VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS .............................................. 31 III.4 VECTOR DEFINIDO POR SU MDULO Y DOS PUNTOS DE SU RECTA BASE.. 32 III.5 SUMA Y RESTA DE VECTORES LIBRES ............................................. 32 III.6 IGUALDAD DE VECTORES LIBRES.................................................... 32 III.7 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES.................................... 33 III.8 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES LIBRES ................................ 33 III.9 TRIPLE PRODUCTO O PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES ...... 34 III.10 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ......................................... 35 III.11 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ....................................... 36 III.12 MNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN EN EL ESPACIO... 36 III.13 NOCIONES DE FUNCIONES VECTORIALES...................................... 37

III.14 DERIVACIN VECTORIAL .............................................................. 38 EJERCICIOS.......................................................................................... 39

CAPTULO IV: CAMPO VECTORIAL............................................... 41 IV.1 CAMPO VECTORIAL......................................................................... 41 IV.2 MOMENTO CENTRAL DE UN VECTOR .............................................. 41 IV.3 MOMENTO XICO DE UN VECTOR................................................... 43 IV.4 SISTEMAS DE VECTORES ................................................................. 44 IV.5 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS VECTORIALES........................... 45 IV.6 CASOS PARTICULARES .................................................................... 48 IV.7 EQUIVALENCIA DE SISTEMAS ......................................................... 51 IV.8 REDUCCIN DE SISTEMAS............................................................... 51 IV.9 INVARIANTES DE UN SISTEMA ........................................................ 52 IV.10 OPERACIONES POSIBLES CON VECTORES...................................... 52 EJERCICIOS.......................................................................................... 53

CAPTULO V: FUERZAS...................................................................... 55 V.1 CONCEPTO DE FUERZA..................................................................... 55 V.2 SISTEMAS DE FUERZAS..................................................................... 55 V.3 OPERACIONES POSIBLES CON FUERZAS............................................ 55 V.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO .......................................................... 56 V.5 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARIOS ............................................. 56 V.6 POLGONO FUNICULAR..................................................................... 59 V.7 POLGONO FUNICULAR QUE PASA POR DOS PUNTOS ........................ 61 V.8 POLGONO FUNICULAR QUE PASA POR TRES PUNTOS....................... 63 V.9 CONDICIONES GRFICAS DE EQUILIBRIO ......................................... 64 V.10 DESCOMPOSICIN DE FUERZAS...................................................... 65 EJERCICIOS.......................................................................................... 67

CAPTULO VI: CENTRO DE MASAS ................................................ 75 VI.1 FUERZAS CONCENTRADAS Y DISTRIBUIDAS ................................... 75 VI.2 CENTRO DE FUERZAS PARALELAS .................................................. 75 VI.3 CENTRO DE GRAVEDAD .................................................................. 77 VI.4 MOMENTOS ESTTICOS .................................................................. 79 VI.5 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN ..................................................... 79 EJERCICIOS.......................................................................................... 81

CAPTULO VII: MOMENTOS DE ORDEN N ................................... 85 VII.1 INTRODUCCIN.............................................................................. 85 VII.2 MOMENTOS DE PRIMER ORDEN ..................................................... 86 VII.3 VARIACIN DEL MOMENTO ESTTICO .......................................... 87 VII.4 MOMENTOS DE INERCIA ................................................................ 89 VII.5 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS ............................................... 90 VII.6 MOMENTOS DE INERCIA DE VOLMENES ...................................... 92 VII.7 RADIOS DE GIRO DE MASAS Y VOLMENES................................... 92

VII.8 TEOREMA DE STEINER................................................................... 93 VII.9 MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN.... 94 VII.10 ELIPSOIDE DE INERCIA................................................................. 95 EJERCICIOS.......................................................................................... 98

CAPTULO VII.A: M. I. DE SUPERFICIES ..................................... 101 VII.A.1 MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES ................................ 101 VII.A.2 TRASLACIN DE EJES. TEOREMA DE STEINER......................... 102 VII.A.3 GIROS DE EJES. EJES PRINCIPALES DE INERCIA ....................... 103 VII.A.4 EXPRESIN MATRICIAL DE LOS M.I EN EL GIRO DE LOS EJES.. 105 VII.A.5 CRCULO DE MOHR.................................................................. 107 VII.A.6 ELIPSE DE INERCIA .................................................................. 109 EJERCICIOS........................................................................................ 116

CAPTULO VIII: HIDROSTTICA .................................................. 121 VIII.1 PRESIN EN EL SENO DE UN FLUIDO EN REPOSO ........................ 121 VIII.2 PRESIN EN UN PUNTO DEL SENO DE UN FLUIDO EN REPOSO......... 121 VIII.3 ECUACIN GENERAL DE LA VARIACIN DE PRESIN ................. 122 VIII.4. APLICACIN DE LA ECUACIN GENERAL A UN LQUIDO PESADO ... 123 VIII.5 VARIACIN DE LA PRESIN CON LA PROFUNDIDAD EN UN LQUIDO... 123 VIII.6 CENTRO DE PRESIONES .............................................................. 124 VIII.7 EMPUJES SOBRE SUPERFICIES CURVAS....................................... 126 VIII.8 PRINCIPIO DE ARQUMEDES. FLOTACIN .................................. 127 VIII.9 ESTABILIDAD DE LAS FLOTACIONES .......................................... 128 EJERCICIOS........................................................................................ 129

CAPTULO IX: EMPUJE DEL TERRENO ...................................... 135 IX.1 PERFIL DE EQUILIBRIO DE UN TERRENO........................................ 135 IX.2 TIPOS DE EMPUJES DEL TERRENO ................................................. 135 IX.3 CLASES DE TERRENOS................................................................... 136 IX.4 TEORA DE RANKINE..................................................................... 137 IX.5 TEORA DE COULOMB................................................................... 137 IX.6 LNEA DE CULMAN ....................................................................... 152 EJERCICIOS........................................................................................ 155

CAPTULO X: ROZAMIENTO .......................................................... 161 X.1 INTRODUCCIN .............................................................................. 161 X.2 ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO ............................................... 161 X.3 PLANOS INCLINADOS...................................................................... 164 X.4 CUAS............................................................................................ 165 X.5 RESISTENCIA A LA RODADURA ...................................................... 166 EJERCICIOS........................................................................................ 169

CAPTULO XI: TRABAJO.................................................................. 175 XI 1 INTRODUCCIN ............................................................................. 175

XI.2 TRABAJO....................................................................................... 175 XI.3 TRABAJO REALIZADO POR UN MOMENTO APLICADO A UN CUERPO........ 177 XI.4 TRABAJO DE LAS FUERZAS DE GRAVEDAD ................................... 179 XI.5 CAMPOS DE FUERZAS.................................................................... 180 XI.6 TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES ..................................... 182 XI.7 DIAGRAMAS DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES.......................... 184 XI.8 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO ..................................................... 186 EJERCICIOS........................................................................................ 187

CAPTULO XII: GRADOS DE LIBERTAD...................................... 191 XII.1 INTRODUCCIN............................................................................ 191 XII.2 GRADOS DE LIBERTAD................................................................. 191 XII.3 SISTEMAS DE CUERPOS................................................................ 193

CAPTULO XIII: ENLACES............................................................... 195 XIII.1 INTRODUCCIN .......................................................................... 195 XIII.2 ENLACES EN SISTEMAS PLANOS ................................................. 195 XIII.3 ENLACES EN SISTEMAS ESPACIALES .......................................... 199

CAPTULO XIV: HIPERESTATICIDAD DE SISTEMAS.............. 203 XIV.1 SISTEMAS HIPERESTTICOS, ISOSTTICOS Y MECANISMOS............... 203 XIV.2 HIPERESTATICIDAD EXTERNA DE LOS SISTEMAS....................... 203 XIV.3 HIPERESTATICIDAD DE CONSTITUCIN DE LOS SISTEMAS................. 204 XIV.4 GRADO DE HIPERESTATICIDAD TOTAL DE LOS SISTEMAS.................. 204 XIV.5 CLCULO DE REACCIONES EN SISTEMAS ISOSTTICOS ............. 205 EJERCICIOS........................................................................................ 216

CAPTULO XV: ESFUERZOS INTERNOS...................................... 219 XV.1 INTRODUCCIN ........................................................................... 219 XV.2 FUERZAS INTERNAS..................................................................... 219 XV.3 SOLICITACIONES ......................................................................... 220 XV.4 CONVENIO DE SIGNOS ................................................................. 222 XV.5 RELACIONES ENTRE LOS ESFUERZOS DE UNA REBANADA................ 223 XV.6 DIAGRAMAS DE ESFUERZOS INTERNOS ...................................... 225 EJERCICIOS........................................................................................ 226

CAPTULO XVI: APLICACIONES DE T.V. A SISTEMAS ........... 237 XVI.1 INTRODUCCIN .......................................................................... 237 XVI.2 APLICACIN DE T. V A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS ISOSTTICAS. 237 XVI.3 APLICACIN DE T.V. A LAS ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTTICAS 238 XVI.4 SISTEMAS DE CUERPOS .............................................................. 239 EJERCICIOS........................................................................................ 241

CAPTULO XVII: ESTRUCTURAS ARTICULADAS .................... 243 XVII.1 INTRODUCCIN......................................................................... 243

XVII.2 ORIGEN ..................................................................................... 243 XVII.3 BARRAS Y NUDOS ..................................................................... 245 XVII.4 ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS..................................... 245 XVII.5 GRADO DE HIPERASTICIDAD INTERNA...................................... 246 XVII.6 TIPOS DE ESTRUCTURAS ISOSTTICAS...................................... 249 XVII.7 TIPOS DE CARGAS ..................................................................... 250 XVII.8 ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS EN LOS NUDOS .............. 251 XVII.9 MTODO DE LOS NUDOS ........................................................... 251 XVII.10 MTODO DE CREMONA .......................................................... 253 XVII.11 MTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER ............................. 258 XVII.12 MTODO DE LOS ELEMENTOS................................................. 259 XVII.13 ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPUESTAS .......................... 261 XVII.14 ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPLEJAS ............................. 262 XVII.15 ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS EN LAS BARRAS . 263 EJERCICIOS........................................................................................ 265

CAPTULO XVIII: CABLES............................................................... 271 XVIII.1 INTRODUCCIN ....................................................................... 271 XVIII.2 CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS................................... 271 XVIII.3 CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDAS ...................................... 273 XVIII.4 CABLE CON CARGA DISTRIBUIDA HORIZONTAL...................... 274 XVIII.5 CABLE CON CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA (PESO PROPIO) 275 EJERCICIOS........................................................................................ 277

CAPITULO XIX: LNEAS DE INFLUENCIA .................................. 279 XIX.1 INTRODUCCIN .......................................................................... 279 XIX.2 CARGAS MVILES Y LNEAS DE INFLUENCIA ............................. 279 XIX.3 LNEAS DE INFLUENCIA DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS... 282 EJERCICIOS........................................................................................ 284

BIBLIOGRAFA.................................................................................... 287

11

CAPTULO I: MAGNITUDES Y UNIDADES

I.1 DEFINICIN Y CLASIFICACIN DE LA MECNICA La Mecnica es la parte de la Fsica que estudia los fenmenos, describiendo

y prediciendo las condiciones de reposo y movimiento de los cuerpos, bajo la accin de las fuerzas.

Se divide en Mecnica del slido y del fluido. La del slido, a su vez, en Mecnica del slido rgido y del slido deformable.

Estas divisiones sirven para delimitar el slido en estudio, condicionando un modelo de la materia que lo constituye, restringiendo las hiptesis de partida y que a veces no coinciden con la realidad fsica. Los slidos rgidos no se dan en la realidad, pero hay cuerpos cuyas deformaciones bajo la accin de las fuerzas, son tan pequeas, que se pueden despreciar. As la Mecnica de los slidos rgidos, considera que stos no cambian nunca de forma, es decir que la distancia entre dos puntos, as como el ngulo formado por cada dos elementos lineales no se modifica.

Cuando se estudia la resistencia a la rotura de los cuerpos, estas deformaciones, s que afectan a los resultados, por lo que es necesario considerar a los slidos deformables.

Los fluidos se dividen en incomprensibles y comprensibles; entre los primeros se incluyen los lquidos y entre los segundos los gases.

La Mecnica de los slidos rgidos se divide en Esttica y Dinmica. La Esttica estudia el estado de reposo y la Dinmica el movimiento, relacionando espacio, velocidad y tiempo, prescindiendo de sus causas; y en Cintica que estudia las relaciones entre las fuerzas, la masa y el movimiento, prediciendo el movimiento que comunican las fuerzas al cuerpo o bien las fuerzas que es necesario aplicar a ste, para producir un movimiento dado.

La Mecnica de los slidos deformables la estudia la Resistencia de Materiales, estableciendo la hiptesis de proporcionalidad entre fuerzas, tensiones y deformaciones en las materias Elasticidad, Hormign Armado y Pretensado, Estructuras Metlicas; o bien la carencia de esta proporcionalidad, superando las deformaciones elsticas en la Plasticidad.

Mecnica de los medios continuos

12

Los fluidos incomprensibles, se estudian en Hidrulica y los compresibles o gases no se estudian en ninguna materia de esta carrera.

I.2 MAGNITUDES Al observar la naturaleza, nuestros sentidos aprecian una serie de fenmenos

fsicos, que varan en intensidad, direccin, tiempo y que al tratar de compararlos aplicando los conceptos de igualdad y desigualdad nos hacen clasificarlos en dos clases perfectamente diferenciadas; unos, en los que solo es necesario conocer o medir, comparndolos con la unidad previamente establecida, una caracterstica para que queden perfectamente definidos; otros en los que adems hay que conocer su direccin y sentido. Todos estos fenmenos observables y medibles por comparacin reciben el nombre de magnitudes. Las primeras se llamas escalares y las segundas vectoriales.

I.3 MAGNITUDES ESCALARES Quedan perfectamente definidas cuando se conoce el valor numrico que

representa su medida. Ejemplos son la longitud, la superficie, el volumen, la masa. Estas magnitudes hemos aprendido a conocerlas, comprndolas con sistemas de unidades, y hemos definido los criterios de igualdad, desigualdad, suma, resta, multiplicacin y divisin.

I.4 SISTEMAS DE UNIDADES Los sistemas de unidades ms usados son:

Sistema u. longitud u. masa u. fuerza u. tiempo C.G.S. cm. gr. dina segundo Tcnico m. u.t.m. kilopondio segundo S.I. m. kg. newton segundo

siendo en ingeniera el sistema tcnico el que ms se usa; pero siguiendo las tendencias internacionales del Comit Internacional de Pesas y Medidas en su XI Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 y en sus recomendaciones respecto a unidades suplementarias de 1969, que fueron recogidas en Espaa en 1967 en la Ley de Pesas y Medidas y actualizadas por Decreto Ley en 1974, se est tendiendo a utilizar el Newton del sistema S.I., como unidad de fuerza y el kg como unidad de masa.

Las equivalencias entre estas unidades son: 1 m. = 100 cm. 1 u.t.m. = 9.81 kg masa = 9810 gr masa 1 kp = 9.81 10E5 dinas = 9.81 Newton 1 kp/cm2 = 9.81 Newton/cm2

Captulo I: Magnitudes y unidades

13

I.5 ANLISIS DIMENSIONAL Es la parte del anlisis matemtico que estudia las funciones que pueden

ser expresiones de alguna ley fsica. Las magnitudes fsicas se miden mediante su comparacin con otra de su

misma naturaleza que se llama unidad. El enlace fsico entre las magnitudes, da lugar a ecuaciones, que por lo

tanto, enlazan las unidades respectivas. Veamos: v = s/t, nos relaciona a las tres magnitudes; velocidad, espacio y

tiempo. Si tomamos para medir, el espacio y el tiempo, las unidades m. y seg. Respectivamente, la unidad de velocidad, ser la de un mvil que recorre un metro en un segundo; por ello la frmula nos relaciona no slo las magnitudes, sino tambin sus unidades.

Todo fenmeno fsico, se puede expresar mediante una relacin entre magnitudes que en l intervienen; dicha relacin se puede traducir en la frmula, que en unos casos se puede deducir tericamente, frmula terica y en otros es preciso deducir de la experiencia, frmula emprica.

Frmula terica: ( ) 212ghv = (velocidad en cada libre)

Frmula emprica: ( )( ) ( )2

1

21

21

06,0

87 RiR

Rv+

= (frmula de Chezy)

En el conjunto de ecuaciones de definicin, que relacionan entre s las unidades, se demuestra que hay m. parmetros en exceso sobre el nmero de aquellas ecuaciones.

En consecuencia, la eleccin de esas m. magnitudes, que se llaman fundamentales, equivale en cierto modo, a sealar las variables independientes en nuestro estudio de la naturaleza.

En Mecnica, m = 3, se adoptan de ordinario, como fundamentales longitud, masa y tiempo (L.M.T.) en el sistema C.G.S. o bien longitud, fuerza tiempo (L.F.T.) en el sistema S.I.

Elegidas las magnitudes fundamentales, las dems se obtendrn a partir de stas, mediante las respectivas ecuaciones de definicin. Segn esto sean q(1), q(2), , q(m) un grupo de valores de las m. unidades fundamentales, obtenidas por comparacin con las unidades respectivas u(1), u(2), u(m) elegidas arbitrariamente. Designemos por Q el valor que toma otra magnitud distinta de las fundamentales, llamada magnitud derivada, obtenida por sustitucin de aquellos valores en la ecuacin que la define:

Q = f [q(1), q(2), , q(m)]


14

siempre que Q est representada por una sola variable, se demuestra que esta ecuacin es un monomio, formado por potencias de las variables q(i), es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmqqCqQ K,2,1 21= lo que nos permite expresar simblicamente una magnitud derivada en

funcin de las fundamentales.

En Mecnica se podra expresar:

== TFLCTMCLQ

que se puede representar por:

[ ] [ ] [ ] == ,,,,Q que son llamadas ecuaciones de dimensin de esa magnitud y los

exponentes, dimensiones de la misma. Diremos que una magnitud es adimensional, cuando los exponentes de su

expresin en funcin de las unidades fundamentales son nulos.

I.6 ELECCIN DEL SISTEMA DE UNIDADES FUNDAMENTALES Esta eleccin es arbitraria, con la condicin de que no se pueda establecer

una relacin funcional entre ellas.

Si quisiramos establecer un nuevo sistema de unidades fundamentales U(1), U(2), U(3) cuyas expresiones en funcin del primer sistema (L,M,T) fueran:

U (1) L(1) M(1) T(1) U(2 ) L(2) M(2) T(2) U(3) L(3) M(3) T(3)

la expresin de una magnitud cualquiera Q, en ambos sistemas de unidades sera:

Q L M T U(1)x U(2)y U(3)z

y sustituyendo:

(1)x + (2)y + (3)z (1)x + (2)y + (3)z (1)x + (2)y + (3)z


15

y para que este sistema sea compatible, es necesario que:

(1) (2) (3) (1) (2) (3)

(1) (2) (3)

0

por ejemplo, en el sistema C.G.S. el sistema fundamental de unidades es (L.,M,T) y si quisiramos pasar al sistema S.I, de unidades fundamentales (L,F,T) cuya expresin es:

L L1 M0 T0 F L1 M1 T--2 T L0 M0 T1

y la condicin de independencia:

1 1 - 20 0 1

1 0 1 = 1 0

por lo que constituye un sistema fundamental de unidades.

Si con las mismas unidades fundamentales (L,M,T) tomamos dos bases L(1), M(1), T(1) y L(2), M(2), T(2) y la ecuacin de definicin de una magnitud es:

Q l, m, t

se cumplir con las medidas en ambos sistemas:

Q (1) = L(1) , M(1) , T(1) Q(2) = L(2) , M(2) , T(2)

si U(1) es la unidad en la base L(1), M(1), T(1) y U(2) es la unidad en la base L(2), M(2), T(2) se verifica:

(Q ) = U(1)Q(1) = U(2)Q(2) (l ) = l(1)L(1) = l(2)L(2) (m ) = m(1)M(1) = m(2)M(2) (t ) = t(1)M(1) = t(2)M(2)

o lo que es lo mismo:

Q(1) = )1()(

UQ l(1) =

)1()(

Ll m(1) =

)1()(

Mm t(1) =

)1()(

Tt


16

Q(2) = )2(

)(U

Q l(2) = )2(

)(L

l m(2) = )2(

)(M

m t(2) = )2(

)(T

t

y sustituyendo estas expresiones en las expresiones de Q(1) y Q(2):

)1()(

)1()(

)1()1(

)1()(

Tt

Mm

LUQ

=

y

)2()(

)2()(

)2()1(

)2()(

Tt

Mm

LUQ

=

y dividiendo miembro a miembro

)2()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

TT

MM

LL

UU

=

o sea que la relacin )2()1(

UU

, entre dos unidades de una misma magnitud es

el producto de las relaciones entre las unidades fundamentales, elevadas a las correspondiente dimensiones de la magnitud.

Dos problemas importantes se pueden presentar en el cambio de sistema fundamental de unidades.

1 Conocida la medida u(1) de una cantidad (u) con una unidad U(1), hallar su medida u(2) con la unidad U(2).

(u) = u(1) U(1) = u(2) U(2)

( ) ( ))2()1(12

UUuu =

y teniendo en cuenta la expresin de la magnitud u: u = l m t

y por lo tanto:

( ) ( ) ( )

CBATT

MM

LL

UU

==)2()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

y sustituyendo:

u(2) = u(1) x (A) x (B) x (C)


17

Vamos a medir el tiempo de una hora con la unidad de tiempo del sistema de unidades cuya base la definen las tres magnitudes siguientes:

A ... Unidad de aceleracin ......................... el Km por hora B ... Unidad de fuerza .................................. el kilopondio C ... Unidad de cantidad de movimiento ..... el kg masa por el Km/hora Que expresadas en el sitema (L,M,T) A L x T 2 F L x M x T 2 C L x M x T -1 comprobamos que forman un sistema fundamental de unidades.

- 21 1 - 21 1 -1

1 0 = 1 0

por lo que podemos continuar. En primer lugar vamos a determinar la expresin de la unidad tiempo en la base (A, B, C).

T(1) = (L T 2) x (L M T -2) x (L M T -2 ) x (L M T -1) = L ( + + ) M ( + ) T (2 + 2 + ) e igualando los exponentes:

de donde:

+ + = 0 + = 0 -2-2 - = 1 de donde: = 0 = -1 = 1 luego T(1) = F -1 x C 1

y midiendo el tiempo en los dos sistemas: (T) = 3.600 T = t(1) T(1)

de donde:

( ) ( ) ( ) ( )11

113600

136001

==

CC

FF

TTt


18

( ) Nw 9.81Nw 1

Kilopondio 1Newton 1

1==

FF

; ( )h

km 1

6.3

1h

km

hKm

segm

CC

==

y sustituyendo estos valores, obtenemos la expresin de una hora

t(1) = 3600 9,81 3,6 = 127.137,6

unidades de tiempo en el nuevo sistema.

2 Dada una ecuacin que se verifica con unas ciertas unidades, transformarla para que se verifique con otras.

Sea una funcin z = f (x,y,) que nos da la medida de una magnitud (z) respecto a la unidad Z(1), cuando medimos (x) con la unidad X(1), y con la unidad Y(1) y queremos transformarla de manera que nos de la medida respecto a otra unidad Z(2), cuando medimos (x) con X(2), e (y) con Y(2)

(z) = z (1) Z(1) = z(2) Z(2) y

(x) = x (1) X(1) = x(2) X(2) (y) = y (1) Y(1) = y(2) Y(2)

expresando la funcin z en el primer sistema: z(1) = f(x(1), y(1),)

y sustituyendo:

( ) ( )( ) ( )( )( )121(

122

XXxf

ZZz == ; ( ) ( )( )1

21YYy ; )

y despejando:

( ) ( )( ) ( )( )( )121(

212

XXxf

ZZz == ; ( ) ( )( )1

21YYy ; )

Apliquemos lo anterior a la frmula de la potencia expresada en el sistema tcnico

W Kg m F Kg v m seg

w = F v

de manera que nos de C.V, cuando pongamos F en toneladas y v en Km/h.

( )( )

( )( )

( )( )12

12

12

VVv

FFF

WWw =


19

o sea

=

segmh

Kmv

KgTmF

mKgVCw

11

11

1.1

o sea

=

1msegh

Km1 v

1Kg1Tm F

1Kgm1C.V w

=

hKm3.6

hKm1

v 1Kg

1000Kg Fm 1Kgm 75Kg w

y efectuando operaciones:

3.6v F 100075w =

y se obtiene:

0.27v F

=w

I.7 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Como las frmulas que se deducen tericamente, se refieren

exclusivamente a cantidades, tienen que ser independientes a las unidades fundamentales escogidas, de donde se deduce que todos los trminos debern tener la misma ecuacin de dimensin.

V= (2gh)1/2 siendo g L T-2 y h L resulta V (L T-2L)1/2 = LT-1

que es la dimensin de una velocidad. Si la frmula es emprica, puede ocurrir que no sea homognea y que por

lo tanto las constantes, que en ella aparecen, no sean adimensionales, sino que tengan ciertas dimensiones que podemos hallar.

Sea la frmula de Chezy, obtenida experimentalmente

)()(

)(87

21

21

iRR

RV+

=


20

en la que hay dos constantes 87 y que vamos a hallar: tendr las mismas dimensiones que la magnitud a la que se suma (R)1/2

( ) ( ) 212121

22

1 LLLLR ==

=

luego tiene que tener la dimensin L1/2

[] {, 0, 0} anlogamente

[ ] [ ] ;87 212

1

21

1 LL

LLT [ ] [ ]1,0,2187 121 TLL Esta propiedad puede servirnos para hallar la dependencia existente entre

varias magnitudes que intervienen en un fenmeno fsico. Ejemplo: Sabiendo que la duracin de la oscilacin completa de un

pndulo simple, slo depende de la longitud 1 de este y de la aceleracin g de la gravedad, hallar salvo una constante, esa dependencia.

La expresin buscada ser de la forma:

t = k gx ly siendo g [LT-2]

y expresando la homogeneidad dimensional:

[0,0,1] [x + y, 0 , -2x]

de donde se deduce:

x + y = 0 y -2x = 1

o sea:

x = - e y =

y por tanto

t = k g- 1 = k (1/g)

en la que experimentalmente se ha obtenido

K = 2


21

EJERCICIOS I.1. La potencia de la hlice de un avin, depende exclusivamente de su

radio R, de su velocidad angular y de la densidad del aire. Determinar la frmula que da dicha potencia, salvo un coeficiente numrico.

I.2. Una esfera homognea de dimetro d, al introducirse en un fluido y caer por su propio peso, encuentra una resistencia R, que es funcin de su dimetro, de la densidad del fluido y de la velocidad v de cada. Se pide, determinar salvo una constante, la expresin de R, en funcin de las otras variables, sabiendo que R en un sistema L,M,T tiene las dimensiones de una fuerza.

I.3. El perodo de oscilacin de un pndulo simple es T = 2 (L/g). Considerando que L es una longitud, g es la aceleracin de la gravedad, y 2 es un nmero, verificar si la ecuacin es dimensionalmente homognea.

I.4. La ley de la gravitacin universal viene dada por la frmula:

221

d

mmGF =

en donde F es la fuerza de atraccin, m la masa y d su distancia. Se pide determinar la dimensin de G.

I.5. La frmula de pandeo de Euler es 2

2 L

IEP = , y en ella P es una

fuerza, I es un momento de inercia, L una longitud y se pide las dimensiones de E.

I.6. En la frmula del esfuerzo cortante en vigas de seccin rectangular maciza, cuya expresin es:

lIQF

=

es una tensin, F es una fuerza, I un momento de inercia, y l una longitud. Se pide dimensiones de Q.

I.7. La frmula de la flexin es I

yM = , en la que es una tensin, I un

momento de inercia, e y una longitud. Se pide dimensiones de M.


22

I.8. La expresin

( )

= 1

1

12

12

2

cv

cmE

en donde m es la masa de la partcula, v su velocidad y c la velocidad de la luz. Si esta expresin es dimensionalmente correcta, determinar la expresin dimensional de E.

I.9. La frmula que da la tensin normal en una rebanada sometida a compresin compuesta es

IxeF

AF

+=

siendo F una fuerza, e y x una longitud. Hallar las expresiones dimensionales de y de I.

I.10. La prdida de carga de un lquido en una tubera viene dada por:

gv

dlfH

2

21

=

en la que H expresa en pies, f es un coeficiente de friccin adimensional v una velocidad en pies por segundo, l una longitud en pies, de dimetro interior del tubo en pulgadas y g la aceleracin de la gravedad en pies por segundo cuadrado. Se pide hallar la expresin de H en metros, tomando el dimetro d en centmetros, las longitudes en metros y las velocidades y aceleraciones en seg

m y segsegm

.

Determinar la dimensin del coeficiente . I.11. La fuerza F, que puede ejercer un resorte helicoidal, viene dada por:

196.03

RdF =

en donde F se expresa en libras, d dimetro del alambre en pulgadas, tensin admisible en libras por pulgada cuadrada y R radio del resorte en pulgadas. Se pide traducir la frmula para que al introducir las longitudes en centmetros, las tensiones en Kg/cm2, se obtenga la fuerza en toneladas.

23

CAPTULO II: MAGNITUDES VECTORIALES II.1 MAGNITUDES VECTORIALES

Son las que corresponden a fenmenos fsicos, que para poder definirlas hace falta, adems de conocer su medida o Mdulo, su direccin y sentido. Por ejemplo: las fuerzas, la velocidad, la aceleracin.

Estas magnitudes no pueden ser tratadas como las escalares y por ello nos es necesario crear un nuevo sistema, que nos permita definir la igualdad, desigualdad, suma, resta y resto de operaciones que llamaremos vectoriales.

Para ello es necesario empezar por definir, lo que equivale en las magnitudes escalares a la unidad de medida, el VECTOR. II.2 DEFINICIN DE VECTOR

Para poder representar mediante smbolos los fenmenos de la naturaleza, que clasificamos como magnitudes vectoriales, es necesario crear un ente capaz de representar su triple aspecto de mdulo, direccin y sentido.

Definimos como vector a un segmento orientado, cuya suma se obtiene mediante la ley del paralelogramo. En l hay que considerar:

1. su lnea de accin, que es la recta sobre la que est situado el vector y que para definirla necesitamos conocer sus cosenos directores.

2. Su origen A, o punto de aplicacin y su extremo B. La magnitud escalar AB, medida en la unidad correspondiente, se llama mdulo.

3. Su sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

II.3 NOTACIN Y REPRESENTACIN DE LOS VECTORES En la escritura representaremos un vector por una letra con un guin

encima: Bmarrr

, , . Otras veces lo representaremos, escribiendo las letras que indican sus extremos, con un guin encima: ;AB en este caso la secuencia de las letras A, B indica el sentido del vector.

Para expresar el mdulo del vector, bastar que encerremos las expresiones anteriores entre barras: ABBma , , , .


24

II.4 CLASIFICACIN DE LOS VECTORES Encontramos en la naturaleza tres clases de magnitudes vectoriales:

a) magnitudes vectoriales que son iguales en todos los puntos del espacio, o, al menos en una pocin de l: la velocidad de la lluvia o del viento, la aceleracin de la gravedad.

b) magnitudes vectoriales que son iguales o producen igual efecto, aplicadas en cualquier punto de su recta de posicin: las fuerzas que actan sobre cuerpos rgidos, los giros,

c) magnitudes vectoriales que son distintas para cada punto del espacio: las velocidades y aceleraciones de los puntos de un slido, en un instante dado, que giran alrededor de un eje.

Por lo tanto, es lgico que definamos tres clases de vectores, correspondiendo a cada uno de los tipos de magnitudes descritos.

a) Vectores libres, son los que conservando su mdulo, direccin y sentido, pueden estar aplicados en cualquier punto del espacio. De esta definicin, se deduce que la recta base de un vector libre puede ser cualquier recta del espacio paralela a su direccin y su origen cualquier punto de esa recta.

b) Vectores deslizantes, son los que conservando su mdulo, direccin, sentido y recta base, pueden tener su origen en cualquier punto de esa recta.

c) Vectores fijos, son los que tienen determinado su mdulo, direccin, sentido y punto de aplicacin.

II.5 IGUALDAD DE VECTORES Definidos los tres tipos de vectores, pasamos a definir el concepto de

igualdad, que como es lgico tendr que referirse a cada uno de los tres.

a) Dos vectores libres, sern iguales cuando tengan igual mdulo, direccin y sentido.

b) Dos vectores deslizantes, sern iguales cuando tengan igual mdulo, direccin, sentido y la misma recta base.

c) Dos vectores fijos, sern iguales cuando tengan igual mdulo, direccin, sentido y el mismo punto de aplicacin.

Captulo II: Magnitudes vectoriales

25

La igualdad de vectores libres, nos define el concepto de vectores equipolentes.

La igualdad de vectores deslizantes, nos define el concepto de vectores equivalentes.

La igualdad de vectores fijos, nos define la identidad de vectores. Las tres definiciones anteriores, son distintos matices de la condicin ms

general de igualdad. Como el concepto de vector libre, es mucho ms general que el de los otros dos, vamos a construir toda la temtica vectorial, con este tipo de vectores y posteriormente estudiaremos las particularidades que la hacen extensiva a los otros dos.

II.6 SUMA DE VECTORES LIBRES Para sumar vectores libres, por definicin aplicaremos la regla del

paralelogramo; cuando son ms de dos, la aplicamos sucesivamente. Se demuestra fcilmente, que la suma de vectores goza de las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa.

II.7 RESTA DE VECTORES LIBRES

Antes de definir la resta de vectores, tenemos que definir el vector opuesto a uno dado, como el vector que tiene el mismo mdulo, direccin y sentido opuesto.

Definimos como diferencia de dos vectores, a la suma del primero con el opuesto del segundo. Por o tanto, la diferencia como caso particular de la suma, tambin goza de las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa.

Si consideramos dos vectores y les aplicamos la regla del paralelogramo, la diagonal mayor representa la suma de los dos vectores y la diagonal menor, en el sentido del vector sustraendo al vector minuendo, representa el vector diferencia.

II.8 VECTOR NEUTRO DE LA SUMA

Se define como vector neutro de la suma, a un vector que sumado a otro, el resultado reproduce el segundo vector. Este vector, es un vector de mdulo cero, que se reduce a un punto y carece de direccin y sentido y se llama vector nulo.

II.9 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NMERO REAL

La suma de n vectores iguales, equivale a otro vector que tiene la misma direccin y sentido que el inicial y cuyo mdulo es n veces el del original. Este nuevo vector, es por definicin, el producto del vector original por el entero n.


26

II.10 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES La multiplicacin de vectores, se diferencia profundamente del producto de

escalares, ya que se definen dos tipos de productos; uno cuyo resultado es un escalar y otro cuyo resultado es un vector. Vamos a estudiar el primero o producto escalar o interno de dos vectores ab cuyo resultado es un escalar, obtenido multiplicando los mdulos de a y b por el coseno del ngulo que forman. Es decir:

ab = abcos (a, b) La interpretacin geomtrica del producto escalar, es la del producto del

mdulo de un vector por la proyeccin del otro sobre l. Si los dos vectores son paralelos, el producto escalar es igual al producto

los mdulos. Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo, y por

lo tanto, esta es la condicin de perpendicularidad de vectores. Por ser ste producto, un escalar, es evidente que goza de las propiedades

uniforme, asociativa y distributiva.

II.11 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES Dados dos vectores libres a y b, que forman un ngulo , se define como

producto vectorial o producto externo de ambos, a otro vector libre perpendicular al plano de los dos, de sentido el dado por la regla de la mano derecha o la regla del sacacorchos, que gira del primer al segundo vector y cuyo mdulo viene definido por el producto de los mdulos por el seno del ngulo que forman:

a b = |a| |b| sen La interpretacin geomtrica del producto vectorial, corresponde al mdulo

del vector resultante y equivale al rea del paralelogramo definido por los dos vectores.

Si los dos vectores son perpendiculares, el mdulo del vector resultante es igual al producto de los mdulos.

Si los dos son paralelos, el mdulo del vector resultante es cero y por lo tanto el vector, es el vector nulo. Esta es la condicin de paralelismo de dos vectores.

El producto vectorial goza de las propiedades uniforme y distributiva, pero no de la conmutativa, ya que al cambiar el orden de los factores cambia el sentido de giro del sacacorchos y el vector resultante se convierte en el opuesto.

Captulo II: Magnitudes vectoriales

27

II.12 PRODUCTO DE TRES VECTORES Ningn producto de tres vectores goza de las propiedades conmutativa y

asociativa. Consideremos el triple producto escalar, tambin llamado producto mixto:

A (b c )

que representa un escalar por ser el producto escalar del vector a por otro vector, que ha resultado de multiplicar vectorialmente los b y c. El valor de este escalar representa el volumen del paraleleppedo definido por los tres vectores. Se representa por (a,b,c).

sea ahora el triple producto vectorial de tres vectores:

a ( b c)

que representa a un vector, que al tener que ser perpendicular al vector a y al (b c) tiene que estar en el plano definido por b y c y por lo tanto tiene que poder expresarse en funcin de estos dos. As se obtiene la llamada frmula de expulsin:

b c a (bc) = (ac) b (ab) c =

(ab) (ac)

II.13 COCIENTE DE VECTORES No existe, ya que la operacin inversa de la multiplicacin de vectores, ya

sea escalar o vectorial carece de la propiedad uniforme.


28

EJERCICIOS II.1. Dados los vectores paralelos A y B, ver que relaciones se verifican

correctamente:

AB=0 AB=0 (AC)B=0 (AC)B=0

II.2. Comprobar si son ciertas las siguientes expresiones vectoriales:

A (BC) = (AB)C A (CB) = (BC)A

A (CB) = B (AC) A B C = CBA

II.3. Indicar las expresiones que no definen un vector:

A(BC) A(BC) (AB)C A(BC)

II.4. Si tres vectores verifican A + B + C= 0, indicar qu expresiones son correctas:

AB=BC CA=AB AB= - (AC) CB=CA

II.5. Dados tres vectores A, B, C paralelos a un plano, indicar si cumplen las siguientes relaciones:

(AB)C = 0 (AB)C = 0 (AB) C = 0 (AB)C = 0

II.6. Comprobarlas siguientes expresiones vectoriales:

(AB) C = (CA) B = - (CB) A = (BA) C A (BC) = C (BA) = B (CA) (BC) A = B (AC) = C (BA) C (BA) = - B (CA) = A (CB)

II.7. Dados dos vectores libres A y B, determinar el rea del tringulo definido por ambos.

II.8. Dados los vectores libres A, B y C determinar el volumen del tetraedro definido por ellos.

29

CAPTULO III: LGEBRA VECTORIAL III.1 LGEBRA VECTORIAL

Todos los conceptos expuestos en el captulo anterior, vamos a expresarlos analticamente, lo que constituye el lgebra vectorial.

Como se trata de expresar matemticamente fenmenos que ocurren en nuestro entorno fsico, la nica forma de fijarlos es recurrir a un sistema de referencia, que suele ser un triedro y para mayor facilidad, trirrectngulo.

Entendamos, y esto es importante, que los fenmenos fsicos son reales, y el triedro de referencia es imaginario y creado por nosotros para poder fijar su posicin en dicho entorno; por lo tanto deberemos colocarlo en la posicin que ms nos convenga. Esta posicin vendr definida por su origen, que podr ser cualquier punto del entorno, y las direcciones de sus ejes, pasando por el origen, que tambin las tomaremos de la forma ms conveniente. Por ltimo los sentidos de estos ejes; en este caso, si que se nos plantea una doble posibilidad; el triedro directo, cuya secuencia de ejes es X, Y, Z con giro destrgiro y el triedro inverso, cuya secuencia de ejes es X, Y, Z con giro levgiro.

Podemos elegir cualquiera de los dos, sin que afecte a los fenmenos fsicos. Normalmente se utiliza el directo o destrogiro, que ser el que utilizaremos de ahora en adelante.

III.2 EXPRESIN ANALTICA DE UN VECTOR

Sea un vector AB, en el sentido ms general y definamos en su entorno, un triedro trirrectngulo cuyo origen O colocaremos en el punto A, origen del vector; los ejes los colocaremos de la forma ms general, es decir, sin que coincida ninguno con la direccin del vector, lo cual nos facilitara los clculos, pero en este caso nos interesa que sea ms general.

Llamemos m al mdulo del vector, o sea m = AB, y sean , y los ngulos que forma la recta AB base del vector, con los ejes OX, OY, OZ; sus cosenos son los cosenos directores de la recta base y tambien del vector.

T. DIRECTO X

Z

YT. INVERSO

Y

Z

X


30

Consideremos la diagonal AB de un paraleleppedo, cuyos lados son paralelos a los ejes del triedro de referencia. Sobre esta diagonal situemos el vector AB, de mdulo m, y basndonos en consideraciones geomtricas, observamos que sus proyecciones sobre los ejes, llamadas componentes del vector, son X, sobre el eje OX; Y sobre el eje OY; Z sobre el eje OZ, verifican las siguientes relaciones escalares:

X = AB, cos = m cos Y = AB, cos = m cos Z = AB, cos = m cos de donde:

mX

=cos mY

=cos mZ

=cos

1coscoscos2

2

2

2

2

222222

===

++=++

mm

mAB

mZYX

siendo , y los cosenos directores de la recta base del vector AB. Si el mdulo del vector fuera m =1, las componentes de este seran:

X = cos ; Y = cos ; Z = cos lo que nos dice que las componentes del vector unitario, son los cosenos

directores. Este vector unitario de la direccin AB se llama VERSOR de esta direccin. Cada direccin incluidos los ejes, tienen sus versores. A los versores de los ejes OX, OY, OZ, por su importancia, se les denomina i,j,k.

OB = OD + DC + CB = OD + OE + OG = X i + Y j + Z k

expresin analtica del vector libre AB y de todos sus equipolentes.

Consideremos el vector OD, cuyo mdulo coincide con X, componente sobre el eje OX del vector AB. Tendremos OD = X i; anlogamente OE = Y j y OG = Z k

Teniendo en cuenta que estamos considerando vectores libres:

X

Z

GH

Y

X

A

D CE

BZ

k

O j Y

Captulo III: lgebra vectorial

31

III.3 VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS

En un sistema de referencia, OXYZ, se nos dan las coordenadas de dos puntos A(x,y,z) y B(x,y,z) que corresponden al origen y extremo del vector libre AB. Vamos a determinar la expresin analtica del vector.

Geomtricamente sabemos que un segmento AB, se proyecta sobre cada uno de los ejes, segn magnitudes que vienen definidas por la diferencia de las coordenadas, sobre cada eje, de los puntos extremos.

Por lo tanto: X = (x x) Y = (y y) y Z = (z z) que son las componentes del vector AB.

AB = (x x; y y; z z) = (X, Y, Z)

o bien su expresin analtica: AB = X i + Y j Z k

y su mdulo: AB = (X2 + Y2 + Z2) sus cosenos directores:

ABZ

ABY

ABX

=== cos;cos;cos

con lo que tendremos perfectamente definido el vector libre AB.

X

A (x,y,z)

B (x,y, z)

Z

Y


32

III.4 VECTOR DEFINIDO POR SU MDULO Y DOS PUNTOS DE SU RECTA BASE

Sea m el mdulo del vector y A (x,y,z) y B (x,y,z) dos puntos de su recta base.

Vamos a calcular los cosenos directores de la recta:

ABzz

AByy

ABxx

=

= cos cos cos

siendo ABel mdulo del segmento AB. Conocidos los cosenos directores de la recta, conocemos la expresin analtica del versor de la direccin AB:

u = cos i + cos j + cos k el vector pedido ser:

V = m u = m cos i + m cos j + m cos k III.5 SUMA Y RESTA DE VECTORES LIBRES

Dados dos vectores V (x,y,z) y V (x,yz) definimos como su suma: V + V = (x + x) i + (y + y) j + (z + z) k y como diferencia: V + V = (x x) i + (y y) j + (z z) k

III.6 IGUALDAD DE VECTORES LIBRES Dos vectores V y V son iguales cuando se cumple:

x = x y = y z = z

A(x,y,z)

B(x,y,z)

x

x

Z

X Y


33

III.7 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES Dados dos vectores V y V, su producto escalar goza de las propiedades

uniforme, conmutativa y distributiva, por lo tanto podemos operar con ellos como si fueran escalares.

V V = (x i + y j + z k) (x i + y j + z k) = = (x x (i i) + x y (i j) + x z (i k) + y x (j i) + y y (j j) + y z (j k) + z x (k i) + z y (k j) + z z (k k)

segn la definicin de producto escalar se verifica:

i i = j j = k k = 1 i j = i k = j k = j i = k i = k j = 0

y por lo tanto: V V = x x + y y + z z

Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar deber ser nulo. x x + y y + z z = 0

y sta deber ser la condicin de ortogonalidad.

Al ser el producto escalar, el producto del mdulo de un vector por la proyeccin del otro sobre l, ser constante cualquiera que sea el sistema de referencia adoptado y por lo tanto es un invariante, o sea, que su proyeccin analtica es un invariante:

x x + y y + z z = Cte.

En el caso particular de ser V = V el producto escalar

V V = V V = V V = x2 + y2 + z2 = V2 = Norma

La norma es el cuadrado del mdulo de un vector y es un invariante en cualquier sistema de referencia. III.8 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES LIBRES

Dados dos vectores V y V, su producto vectorial sabemos que goza de las propiedades uniforme y distributiva, pero no de la conmutativa, por lo tanto operaremos con ellos tendindolo en cuenta.


34

En primer lugar hay que conocer los siguientes productos vectoriales entre los versores de los ejes del sistema de referencia:

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k i x k = -j j x k = i j x i = -k k x i = j k x j = -i

cuya demostracin es consecuencia de la definicin de producto vectorial. V x V = (x i + y j + z k) x (x i + y j + z k) =

x x (i x i) + x y (i x j) + x z (i x k) + y x (j x i) + y y (j x j) + y z (j x k) + z x (k x i) + z y (k x j) + z z (k x k) =

= (y z z y) i + (z x x z) j + (x y y x) k o sea:

i j k V x V = x y z

x y z

Si los dos vectores son paralelos se verifica V x V = 0 y por lo tanto el determinante anterior debe ser nulo; para ello se tiene que verificar que una fila es combinacin lineal de otra o que son proporcionales, o sea:

zz

yy

xx

=

=

que es la condicin de paralelismo.

III.9 TRIPLE PRODUCTO O PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES

Sean tres vectores V, V, V, vamos a calcular la expresin analtica del triple producto:

i j k x y z V (V V) = (xi+yj+zk) x y z = x y z

x y z x y z

El triple producto representa el volumen del paraleleppedo definido por los tres vectores, y por lo tanto es un escalar. El producto vectorial V x V, representa el rea del paralelogramo definido por los vectores V y V. El producto escalar por V representa la altura de dicho paraleleppedo correspondiente a la cara definida por V y V.


35

De lo anterior se deduce que para que cuatro puntos sean coplanarios, o lo que es lo mismo tres vectores concurrentes estn en un mismo plano es que el volumen del paraleleppedo definido sea cero, es decir:

V (V x V) = V, V, V) = 0

ecuacin que por otro lado representa un plano definido por los cuatro puntos dados.

III.10 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea un punto P (x, y, z), en un sistema de referencia trirectngulo de origen O, y un plano definido por el versor u, perpendicular al plano y por su distancia al origen O, D. Vamos a calcular vectorialmente la distancia d, del punto P al plano.

El versor u (cos , cos , cos ) viene definido por los cosenos directores del plano, y OP (x, y, z) = xi + yj+ zk el vector posicin de P.

Tendremos entonces OP. u = d + D de donde d = OPu D

cuya expresin analtica ser:

d = (xi + yj + zk) (cos i + cos j + cos k) D d = cos x + cos y + cos z D = 0 si esta distancia se anula, entonces el punto P est en el plano, y por tanto:

cos x + cos y + cos z = D es la ecuacin general de los punto P que estn en un plano.

X

P(x,y,z)

Zu

Dd

O Y


36

III.11 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Considerando el plano definido por la recta y el punto, como plano XY, el punto P (x, y) lo referiremos a un sistema de referencia rectangular de origen O. La recta la definiremos por el versor u (cos , cos ) perpendicular a la recta y por su distancia d al origen O. Vamos a calcular la distancia d del punto P a la recta, siendo OP = (xi + yj) el vector posicin del punto P. tendremos entonces:

si esta distancia se anula, quiere decir que el punto P est en la recta, y por tanto:

cos x + cos y = D representa la ecuacin de la recta definida por los puntos P.

III.12 MNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN EN EL ESPACIO

La mnima distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio, sabemos por geometra, que est sobre una recta perpendicular a las dos rectas dadas. Por lo tanto esta direccin vendr dada por el versor del producto vectorial de dos vectores situados sobre las dos rectas.

R1

u H

A

R2 A

u

Y u

P (x, y)

dX O

D

OP u = d + D de donde d = OP u D o sea d = cos x + cos y - D

H


37

Sea u el versor de la recta R1; u el versor de R2 y u el versor de la mnima distancia, que corta en H y H a las rectas R1 y R2. Sean A y A dos puntos genricos sobre R1 y R2.

Se verifica: A A = AH + HH + HA

y tendremos; siendo los mdulos de estos vectores:

AH = u HH = u HA = u

y sustituyendo: AA = u + u + u

y multiplicando esta igualdad escalarmente por u:

u AA = u u + u u + u u

y al ser u, u perpendiculares se verifica u u = u u = 0 y u u = 1

y por lo tanto:

u AA = de donde = mnima distancia = u AA

siendo AA un vector que une dos puntos cualesquiera de las dos rectas.

III.13 NOCIONES DE FUNCIONES VECTORIALES Fijado un punto O en el espacio, la posicin de otro cualquiera P, queda

determinada por medio del vector r = OP, llamado vector posicin del punto P. Cuando la posicin del punto P viene definido por parmetros, el vector

posicin OP se dice que es funcin de estos parmetros. Entonces definimos una funcin vectorial. Vamos a tratar solamente funciones dependientes de un parmetro y que adems sea un escalar.

Si t es el parmetro del que depende la funcin vectorial lo expresaremos as: R = r (t)

Si adems colocamos un triedro trirectngulo de referencia, con vrtice en O, la funcin se podr expresar:

R = x (t) i + y (t) j + z (t) k

ecuacin vectorial equivalente a las tres escalares:

x = x (t) y = y (t) z = z (t)


38

Cuando estas tres funciones escalares, son independientes, al dar valores al parmetro t, el punto P, describe una curva y por lo tanto la funcin r (t) es la ecuacin paramtrica vectorial de todas las curvas.

III.14 DERIVACIN VECTORIAL Sea la funcin r = r(t) = x(t) i + y (t) j + z (t) k en la que admitimos, que

las tres funciones sean continuas as como sus derivadas.

Dando a t un valor obtenemos un vector r y al darle un incremento a t y ser t = t + t, obtenemos otro vector r. Al vector que une sus extremos PP la llamaremos r y se verifica:

r r = r

entonces: r (t) = x (t) i + y (t) j + z(t) k

r = r (t+t) = x (t+t) i + y (t+t) j + z (t+t) k

y restando miembro a miembro:

r-r = r (t) r (t+t) = [x(t) - x(t+t)] i + [y(t) y (t+t)] j + z (t) z(t+t)] k

o sea: r = x i + y j + z k

y dividiendo por t y tomando lmites cuando t 0

kzjyixrkdtdzj

dtdyi

dtdx

dtr

++==++=

La derivada de una funcin vectorial respecto a su parmetro, es una nueva funcin vectorial, cuyas proyecciones sobre los ejes de referencia son las derivadas de las proyecciones de la funcin inicial.

Como t es un escalar, el vector tr

es otro vector que tiene la misma

direccin que r, con lo cual en el lmite, el vector dtdrr = ser equipolente a la

tangente a la curva r = r(t) en el punto P.


39

EJERCICIOS III.1. Dados dos vectores de mdulos 2 y 3, que forman un ngulo de 60,

determinar la resultante, su mdulo, direccin y componentes.

III.2. Dados dos vectores A (1,2,3) y B (3,2,1) se pide:

1 ngulo que forman. 2 Resultante definida por su mdulo, consenos directores y componentes. 3 Su diferencia. 4 Su producto escalar. 5 Su producto vectorial. 6 rea del paralelogramo que definen.

III.3. Un vector V tiene por mdulo 5 y su recta base pasa por los punto (1,1,0) y (5,6,5). Determinar las componentes del vector V y sus cosenos directores.

III.4. Dados los tres vectores A(1,-2,0) B(-1,4,-1) y C(3,2,-2) calcular las siguientes expresiones vectoriales.

(A+ B) C A x (B C) A x (B x C) (A x B) C

III.5. Hallar la proyeccin del vector 2i 2j +k sobre el vector 3i + j k.

III.6. Dado un vector V de mdulo 6, descomponerlo en otros dos que formen con l 30 y 45.

III.7. Un vector V es perpendicular al plano x = 0, su producto escalar por otro W vale 8 y su suma, con l es el vector (2,3,1). Determinar V y W.

III.8. Determinar la ecuacin del plano que pase pro los puntos:

a (1,2,3) b (2,3,1) c (3,1,2)

III.9. Hallar el volumen del tetraedro definido por dos de sus vrtices (1,1,1) Y (3,2,-2) y dos aristas que concurren en este ltimo, definidas por los vectores 3i 2j + k y 2i 3 k.

III.10. Determinar la mnima distancia entre dos rectas AB y CD, que se cruzan en el espacio y el vector mnimo que se apoya en ambas, siendo

A (1,2,3) B (4,2,1) C(-6,5,3) D(1,5,-2)

41

CAPTULO IV: CAMPO VECTORIAL IV.1 CAMPO VECTORIAL

Cuando a cada punto del espacio le corresponde un vector fijo, constante o variable, se crea un campo vectorial.

Estos vectores pueden ser fijos o variables, dependiendo de parmetros constantes o variables y creando campos vectoriales constantes o variables.

IV.2 MOMENTO CENTRAL DE UN VECTOR En un sistema de referencia OXYZ, definimos un vector V(X,Y,Z)

aplicado en el punto, P(x,y,z), y vamos a definir el Momento Central del vector V respecto a un punto, P(x,y,z), como el vector fijo asociado al punto P, definido por la igualdad vectorial:

MP = PP V = [(x x) i + (y y) j + (z z) k] (X i + Y j + Z k)

i j k Mr

P = x x y y z - z = MX i + MY j + MZ k X Y Z

Este momento central, tiene como componentes sobre los ejes MX, MY, MZ:

y y z z z - z x x x x y y MX = MY = MZ =

Y Z Z X X Y y est aplicado en el punto P. este vector fijo, es de naturaleza distinta al

vector V y nunca podr componerse con ste o anlogos. Si repetimos el proceso respecto a todos los puntos del espacio, y

asociamos a cada punto su momento central, habremos creado un campo vectorial asociado a un vector.


42

Tomemos otro punto P (x, y, z) sobre la recta base de V y hallemos el producto vectorial:

PP V = (PP + PP) V = PP V + PP V = PP V = Mr

P

por lo tanto, el momento central de un vector V, no depende del punto P que tomemos sobre la recta base y por lo tanto el vector fijo V se comporta como si fuera un vector deslizante, en lo que respecta a momentos centrales.

El mdulo del momento central, segn la definicin de producto vectorial es el rea del paralelogramo definido por los vectores PP y V indicado en la figura adjunta. Esta rea vale la mitad del mdulo de V por la altura h del tringulo correspondiente al punto P y por tanto:

Mr P = h Vr a la altura h se la llama brazo del vector, y el mdulo del momento central

vale el producto del mdulo de Vr

por su brazo h. Tomemos otro punto P4 con la nica condicin de que no est sobre la

recta base de V. Calculemos el momento central respecto a este punto:

4PMr

= P4P Vr

= (P4P + PP) Vr

= P4P Vr

+ PP Vr

= MP + P4P Vr

luego el momento central de un vector respecto a un punto cualquiera, es igual al momento central respecto de otro punto, ms el momento central de un vector equipolente al primero aplicado en el segundo punto, respecto al primero.

De todo el razonamiento anterior, podemos obtener las siguientes conclusiones:

1. Para definir el campo vectorial de un vector, no necesitamos distinguir entre vectores fijos y deslizantes.

Y X

Z P3 P

h V P4 P

P

Captulo IV: Campo vectorial

43

2. Para definir el campo vectorial de un vector V, conociendo el momento central en un punto y el vector V, no es necesario distinguir entre vectores fijos, libres o deslizantes.

IV.3 MOMENTO XICO DE UN VECTOR

Hemos visto que los momentos centrales de un vector V, respecto a dos puntos cualesquiera A y B vienen ligados por la expresin:

MB = MA + BA V

y si consideramos la recta AB de versor u y proyectamos MA y MB sobre AB:

MB u = MA u + (BA V) u = MA u

Proyeccin de MB sobre u = Proyeccin de MA sobre u = MOMENTO XICO.

Esta proyeccin constante se llama M momento xico del vector V, respecto a la recta cuyo versor es u, y que por lo tanto es un escalar cuyo signo depende del que se tome como positivo sobre la recta al tomar el versor u.

Su expresin analtica ser:

i j k M = (BA V) u xa - xb ya yb za - zb u

X Y Z o sea:

M = (BA, V, u)

que representa un producto mixto de tres vectores, que sabemos que es el volumen del paraleleppedo definido por los tres vectores, o bien seis veces el volumen del tetraedro que tiene por aristas opuestas a los vectores V y u con el signo ms si el triedro BA, V, u es destrogiro y con menos en el caso contrario.

Sea la recta R, cuyo versor es u (ux, uy, uz) y un vector fijo Vr

cuyo origen es el punto P. tracemos un plano perpendicular a la recta r por un punto A de ella.

El momento central de V respecto al punto A, MA, tiene como mdulo el doble del rea del tringulo definido por el punto A y el vector V y el momento xico:


44

De lo que antecede deducimos que el momento xico ser nulo cuando:

cuando V corta a la recta R, ya que entonces h = 0 cuando V es paralelo a R, ya que entonces cos = 0 cuando v es nulo.

IV.4 SISTEMAS DE VECTORES Un conjunto de vectores en nmero indeterminado y con resultante finita,

se llama sistema de vectores. Los elementos caractersticos del sistema son:

1. La resultante del sistema R: Es un vector libre, cuyas proyecciones sobre los ejes de referencia, son la suma de las proyecciones de todos los vectores del sistema considerados como vectores libres.

2. El momento central del sistema respecto a un punto, que es un vector fijo igual a la suma de los momentos centrales de todos los vectores del sistema.

3. El momento xico del sistema respecto a una recta, que es la suma de los momentos xicos respecto de la misma recta, de cada uno de los vectores del sistema.

Entre todos los momentos xicos del sistema existe uno, de mayor importancia, que es el momento xico respecto a rectas paralelas a la resultante del sistema.

M = Mr

A u = MA cos siendo el ngulo que forma MA con R, que al mismo tiempo es el ngulo que forman las normales al plano y al plano del rea del tringulo definido por A y V. Por lo tanto el multiplicar el doble del rea por el coseno de equivale al doble del rea proyectada sobre el plano , definida por el punto A y el vector V proyeccin de V sobre el plano .

ur

MA MA

A

V P

V

R


45

Sea un sistema de vectores Vr

i aplicados en los puntos Pi (xi, yi, zi) cuya resultante R

r = V

ri, verificndose:

Rx = Vix Ry = Viy Rz = Viz

el momento central:

MA = APi Vi

MB = BPi Vi = MA + Ba Vi = MA + BA Vi = MA + BA R

y multiplicando escalarmente MB por R:

MB R = MA R + (BA R) R = MA R

MB R = MA R = cte = AUTOMOMENTO DEL SISTEMA.

el momento xico ser:

R

OAUTOMOMENTR

RMM A rr

rr

=

=

El AUTOMOMENTO del sistema es un INVARIANTE.

IV.5 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS VECTORIALES La clasificacin de los sistemas vectoriales la vamos a establecer,

analizando la Resultante y el Automomento del sistema. Se pueden dar los siguientes casos:

1. R 0 y R M 0 Caso ms general

2. R 0 y R M = 0 R perpendicular a M M = 0 3. R = 0 y R M = 0 M 0 Par de vectores

M = 0 Sistema nulo

Vamos a analizar cada uno de estos casos:

1. R 0 y R M 0

Consideremos el campo de los momentos centrales (MC) creado por el sistema y sea R su resultante y MA el MC en el punto A.


46

a) El MC en un punto cualquiera B ser: MB = MA + BA R por lo tanto el campo de MC queda definido conociendo el MC en un punto cualquiera y R.

b) El lugar de los puntos B en que MB es equipolente a MA se obtendr haciendo BA R = 0 y entonces MB = MA. Como BA y R son distintos de cero, tienen que ser BA y R paralelos, luego el lugar geomtrico ser un recta paralela a R trazada por A.

c) El MC respecto al origen de coordenadas:

i j k Mr

0 = xi yi zi y sus componentes sobre los ejes o momentos xicos Xi Yi Zi yi zi zi xi xi yi M0X = M0Y = M0Z =

Yi Zi Zi Xi Xi Yi d) El MC en un punto cualquiera B en funcin de M0:

i j k MB = M0 + BO R = M0 + - xB -yB -zB

X Y Z e) El automomento vale RM y es un invariante en todos los puntos del

espacio.

R M = R MA = R MB = ......................

f) Por cada punto del espacio tracemos una recta paralela a R y proyectemos su MC sobre dicha recta. En todos los puntos del espacio esa proyeccin es constante y vale Mm.

Considerando los infinitos tringulos rectngulos definidos por Mm y M, siendo M la hipotenusa, se verificar M Mm, luego el momento ser mnimo cuando sea paralelo a R y vale:

A B C

Mm Mm MmMM

MA MB

MC R R R

R

E

ME


47

RMRM m rrr

=

Los momentos xicos del sistema respeto a rectas paralelas a R, son iguales y en aquellos que adems el MC es paralelo a R, este es MC mnimo Mm.

g) El lugar geomtrico de los momentos centrales mnimos, es una recta paralela a R, que se llama EJE CENTRAL y que se obtiene expresando el paralelismo de R y M.

2

RMR

RM

RM

RM

Z

Z

Y

Y

X

X===

h) Vamos a representar el campo de MC. Para ello tomaremos sobre

el eje central, un punto O y trazaremos por l un plano perpendicular a dicho eje central. Tracemos una recta en el plano pasando por O y tomemos en ella un punto A y hallemos su MC en funcin de R

r y su M

r0 aplicados en O.

Mr

A = Mr

0 + AO Rr

Cuando movemos el punto A sobre la recta alejndonos de O, el MA

aumenta en funcin de la distancia AO. Si trazamos por a una recta paralela a R veremos que los MC en ella son equipolentes a MA. Por tanto el lugar geomtrico de los puntos en los que sus MC son equipolentes, es una recta paralela a R. El lugar geomtrico de los puntos en los que su MC tiene el mismo mdulo es una superficie cilndrica cuyo eje es el eje central.

M

A2

M O

A1 MA1

M A

M

E.C.

B

MB

R M

MA

M MA


48

2 R 0 y R M = 0 R perpendicular a M

Al ser R perpendicular a M en todos los puntos, no puede ser R paralelo a M y por lo tanto no existe el eje central, a no ser que en algn punto del espacio su MC sea nulo, en cuyo caso la recta paralela a R pasando por l, sera el eje central. El sistema se reduce a la R aplicada en el eje central.

3 R 0 R M = 0 M = 0

El ser M = 0 implica R M = 0. Si M = 0 en todos los puntos del espacio, quiere decir que el campo M C es nulo, y esto no puede ser ya que R 0 y por tanto es imposible.

4 R = 0 R M = 0 M = 0

El campo MC se reduce a un momento central constante en todos los puntos del espacio.

5 R = 0 R M = 0 M = 0

El sistema es un sistema nulo. Resumiendo: Para que un sistema se reduzca a una R nica o a un M nico

se tiene que verificar:

R M = 0

y adems y respectivamente: R 0 y M = 0

IV.6 CASOS PARTICULARES A) Vectores coplanarios

MO = OPi Vi y MB = MO + BO R

siendo B (x, y, z) un punto genrico, que puede estar fuera del plano XY.

En el caso particular en el que el sistema general est en un plano, es decir que todos los vectores que lo forman sean coplanarios, tomaremos este plano como plano XY del sistema de referencia; suponiendo que MO sea el MC correspondiente al origen O del sistema de referencia, se tiene:

B(x,y,z) Z

O

X

Y

C(,,0) Pn nV&&&

R iV&&&

2V&&&

1V&&&

P1 P2

Pi


49

Tomemos sobre el plano XY un punto C (, , 0) tal que se verifique:

Yi xi = Y y xi yi = x1 de donde

YxY ii

= X

yx ii =

siendo Vi = R = X i + Y j + Z k

i j k MO = OPi Vi = xi yi zi = ( Yixi - Xiyi) k = (Y - X) k Xi Yi Zi i j k MO = OPi Vi = 0 = OCR X Y 0 y sustituyendo:

MB = OC R + BO R = (OC + BO) R = BC R

MB = (BPi Vi) = BC R

que constituye el Teorema de Varignon para un sistema plano y dice: La suma de los momentos de un sistema de vectores, respecto a un punto,

es igual al momento de la resultante del sistema aplicada en el punto C de coordenadas C (, , 0).

B) Vectores concurrentes

Sea un sistema de vectores concurrentes en el punto P (x y z) . el momento en el punto P ser nulo MP = 0. El momento en otro punto cualquiera B ser:

MB = MP + BP Vi = BP Vi = BP R

que constituye el teorema de Vringnon para vectores concurrentes y dice: La suma de los momentos de un sistema de vectores concurrentes en un punto, respecto a otro cualquiera del espacio es igual al momento de la resultante del sistema aplicada en el punto de concurrencia de los vectores.

C) Vectores paralelos El sistema de vectores considerado es paralelo y por lo tanto:

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mecanica de medio continuo

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